Решение задачи страхования по выбору оптимальной стратегии страхования при дополнительных ограничениях

Размещено на http://www.allbest.ru/

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

“НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

“ВЫСШАЯ ШКОЛА ЭКОНОМИКИ”

Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова

Решение задачи страхования по выбору оптимальной стратегии страхования при дополнительных ограничениях

Выпускная квалификационная работа

по направлению 01.03.04 Прикладная математика

студента образовательной программы бакалавриата “Прикладная математика”

Студент

Миронова Виктория Андреевна

Научный руководитель

Доцент ДПМ МИЭМ НИУ ВШЭ

А.Ю. Голубин

Москва 2019



ЗАДАНИЕ

на выполнение выпускной квалификационной работы

1. Тема работы

Решение задачи страхования по выбору оптимальной стратегии страхования при дополнительных ограничениях.

2. Цель работы

Найти оптимальную стратегию страхования для страхователя с некоторыми ограничениями, наложенные на риск страхователя.

3. Формулировка задания

Рассмотреть стандартную задачу страхователя, где максимизируется его полезность, после чего рассмотреть страхование с некоторым ограничением и применить его к задаче страхователя, также привести формулу пригодную для вычисления решения задачи страхователя при определенных условиях, далее привести численный пример. Проект ВКР должен быть предоставлен студентом в срок до “23” декабря 2018 г.

Научный руководитель ВКР	“19” декабря 2018 г.	______________ А.Ю. Голубин

Первый вариант ВКР предоставлен студентом в срок до “15” февраля 2019 г.

Научный руководитель ВКР	“12” февраля 2019 г.	______________ А.Ю. Голубин

Итоговый вариант ВКР предоставлен студентом в срок до “26” мая 2019 г.

Научный руководитель ВКР	“24” мая 2019 г.	___________ А.Ю. Голубин
Задание выдано студенту	“03” ноября 2018 г.	___________ А.Ю. Голубин
Задание принято к исполнению студентом	“03” ноября 2018 г.	__________ В.А. Миронова

Аннотация

Предлагаемая работа представляет исследование оптимальной формы страхования со стороны страхователя, то есть клиента страховой компании.

Первая часть работы содержит основные теоретические материалы, которые необходимы для решения поставленной задачи.

Следующая часть содержит анализ некоторых статей из направления теории страхования, с помощью которых были изучены предложенные методы по данному вопросу. Поставлена задача в рамках установленной модели с помощью важных теорем и утверждений в сфере оптимизации дележа риска.

Третья глава состоит из решения данной задачи и обзора полученных результатов, подтверждающие применимые методы.



Abstract

The proposed paper represents the study of the optimal form of insurance by the insured, that is, the client of the insurance company.

The first part of the work contains the main theoretical materials that are necessary to solve the problem.

The next part contains an analysis of some articles from the direction of the theory of insurance, with the help of which the proposed methods were studied on this issue. The task was set within the framework of the established model with the help of important theorems and statements in the field of optimization of risk sharing.

The third chapter consists of solving this problem and reviewing the results, confirming the applicable methods.



Введение

Данная работа основывается на изучении определенного процесса, называемого страхованием, то есть взаимовыгодной сделки распределения риска между страховщиком (страховой компании) и страхователем (клиентом). Такая процедура подразумевает собой принятие потенциального риска страховщиком, который берет на себя материальное обязательство выплатить возможный ущерб каждому из независимой группы клиентов. Целью страхователя является обеспечение сохранности своих средств в случае возможного нанесенного ущерба, тем самым он вносит определенную плату за получение компенсации при происшествии страхового случая на оговоренный период. Страховая компания в свою очередь предполагает, что вероятность возникновения страхового события у существенного количества людей мала, следовательно, средств, полученных со страховых взносов, вполне хватит на возмещение ущерба и собственные затраты.

Собственно говоря, каждая сторона данного соглашения имеет выгодность, а решение каждого из участников сделки принимается в соответствии собственной системы предпочтений, формированием которой служит теория полезности. Понятие “риск” тут выступает в роли вероятного ущерба, выраженный в денежном эквиваленте, являющийся случайной величиной.

Рынок страховых услуг с течением времени стремительно развивается, множество объектов страхования растет, так что необходимо исследовать различные методы и механизмы страхования и анализировать возникающие при них условия.

Целью данной работы является исследование оптимальной стратегии страхования для клиента при определенных ограничениях, наложенных на риск страхователя. Вследствие этого можно установить задачи, поставленные перед исследованием: определить основные понятия страховой области, определить необходимые функции распределения для описания случайных величин, описать математическую модель индивидуального риска при соответственных условиях, рассмотреть стандартную задачу страхователя, где максимизируется его полезность, после чего рассмотреть страхование с некоторым ограничением и применить его к задаче страхователя, также привести теорему, пригодную для вычисления решения задачи страхователя при определенных условиях.

страхование риск математический риск



Глава 1. Теоретические сведения

Модель, используемая в данной дипломной работе, является статической моделью (моделью индивидуального риска), исходя из этого модель предусматривает ряд страховых контрактов в ходе которых устанавливаются одинаковые сроки страхования, не предвидится приход новых клиентов, в положенный срок, а именно в начале периода производится оплата договора, и в конце периода происходят выплаты ущербов. Таким образом, в качестве выплат клиентам будем считать суммарный ущерб всех клиентов, оформивших договор.

Обозначим эту величину за , где - количество страхователей, , независимые неотрицательные случайные величины ущербов конкретных клиентов, имеющие функции распределения . Страхователь платит страховой взнос , тем самым получая гарантию того, что компания возместит его возможный ущерб. Принятая цена полиса разделяется на рисковую премию и нагрузку , где - заданный коэффициент нагрузки. Получаем, что Страховщик в начале периода таким образом получает суммарную величину страховых взносов от клиентов , к тому же уже имея при этом собственный капитал и принятый риск В этом случае остаточный капитал страховой компании является случайной величиной Определим также вероятность “неразорения”, которая описывает финансовую надежность страховой компании - .

Введем ожидаемую полезность страховщика, описанная неравенством. Оно выражает то, что если страховая компания пойдет на сделку только в том случае, если после сделки ожидаемая полезность будет не меньше, чем без нее:

начальный капитал страховщика, а - суммарная величина компенсаций страхователям.

Обозначим за минимальный платеж, при котором страховщику выгодно страховать клиента. будет корнем уравнения:

Теперь определим ожидаемую полезность страхователя. Он принимает решение о сделке тогда, когда полезность его капитала будет равной или больше ожидаемой полезности, если произойдет инцидент без страхования:

,

где - ущерб страхователя, а - компенсация ущерба.

Пусть наибольший платеж, который может заплатить клиент за услугу страхования, также корень уравнения:

В страховой практике не редко встречаются модели страхования, в которых ущерб клиента оплачивается не только страховщиком, а размер ущерба делится между ними. Будем считать, что в соглашении о взаимных обязательствах оговорено о том, что ый клиент принимает на себя какую-то часть возможного риска , в надежде получения скидки страхового взноса. Принимаем за функцию дележа, оговоренная страховой компанией и, значит, - доля риска страхователя, которую он покрывает самостоятельно.

Ущерб страхователя можно представить в виде: (за ого клиента возьмем 1), где доля риска страхователя, определенная выше. Так как математическое ожидание средних рисков как страховщика, так и страхователя уменьшаются из-за линейности сравнительно от начальных: и . Бывают особые случаи, когда весь риск не распределяется между клиентом и страховой компанией, а передается полностью одному их них, тогда, если в роли плательщика ущерба выступает клиент, то , следовательно и , а если страхователь, то , и значит

Но то же самое нельзя сказать про “дележ дисперсии”, так как там зависимость между не определяет обязательное равенство сумм дисперсий ущербов страхователя и страховщика, поэтому необходимо ввести достаточное условие, наложенное на сделку, уменьшающее дисперсии сразу обоих участников договора:

Лемма 1

Имеем функцию дележа , такую, что не убывают на , где и ущерб имеет конечный второй момент. Тогда:

Первый пункт превращается в равенство в том случае, если либо

либо детерминированная величина.

Представленная выше лемма поможет нам подробнее разобраться с выбором необходимой франшизы.

Глава 2. Постановка задачи

Эрроу выявил оптимальность франшизы в страховых полисах и рассматривал это более подробно в своей статье [1]. Были изучены два вида франшиз - безусловная и условная франшизы.

Данная работа предполагает рассмотрение задачи страхователя, для которого оптимальной формой страхования является безусловная франшиза, имеющая следующую функцию дележа где константа, обозначающая уровень этого дележа. График функции дележа при безусловной франшизе представлен на Рис.1. Смысл в данной франшизе заключается в том, что ущерб -ого страхователя выплачивается полностью в случае не учитывая суммы и не выплачивается при небольших значениях . А так как величина взноса страхователя после установки франшизы должна быть меньше, чем до введения: .

Рис.1

Теперь определим функцию распределения для функции , график которой представлен на Рис.2:



Рис.2

По графику можем наблюдать, что при смещении на некоторое значение , вероятность попадания в интервал возрастает. Также вероятность инцидента после введения франшизы будет меньше, чем .

Далее следует найти математическое ожидание , которое рассчитывается по формуле для неотрицательной случайной величины:

Условная франшиза же предполагает собой разрывную функцию дележа и так же имеет уровень , и если ущерб меньше него, то выплаты страхователю не производятся, если же больше, то страховая компания покрывает ущерб в полном размере.

Разница между этими видами франшиз состоит в том, что Лемма 1 о дележе, который уменьшает дисперсию уже неприменима из-за разрывности функции дележа, следовательно, при условной франшизе после дележа дисперсия страховщика может увеличиться по сравнению с начальной.

Полагаем, что на риск, который останется после страхования у клиента наложены ограничения, которые предусматривают отсутствие громадных ущербов.

Cначала необходимо ввести задачу полезности страхователя, который стремится максимизировать ожидаемую полезность своего капитала после сделки, учитывая, что функция полезности , непрерывно дифференцируема, и строго вогнута, где заданный показатель неприятия риска:

(1)

при первоначальный капитал страхователя

Рассмотрим задачу (1) с ограничением на средний риск. Допустим, что существуют только такие дележи страхования , которые определяют ограничение сверху на риск клиента, остающийся после страхования. Таким образом, можно формально ввести дополнительные ограничения на риск страхователя:

,

где ( фиксированная величина.)

В [2] изучается задача страхователя, который стремится максимизировать ожидаемую полезность своего конечного состояния, при условии, что ожидаемая потеря средств страховщика поддерживается и не может быть ниже определенного установленного уровня. В [3] изучали аналогичную проблему, однако, с верхним наложенным обязательством убытки, которые возможны в страховом случае.

Оптимальная форма страхования с точки зрения страховщика исследуется в [4], где обобщили предыдущие исследования ограничений на договор страхования. Оптимальной политикой оказывается “stop loss” страхование, которое будет введено при решении задачи.

Глава 3. Решение задачи

Для решения задачи максимизации (1) необходимо сначала определить “страхование с верхним пределом” или “stop loss” страхование, функцией дележа которого является:

Рис.3

Суть данного страхования заключается в том, что страховщик освобождает себя от чрезмерно больших выплат клиенту: при превышении значения он производит платеж лишь в размере , называемый верхним пределом ответственности страховой компании. Такой вид страхования используется, например, при пожаре недвижимого имущества, когда страховая компания не может взять на себя возмещение весьма колоссального ущерба.

Также нам нужно доказать существование и единственность оптимального дележа

Утверждение 1 [5]

Единственным решением задачи (1) является франшиза с уровнем

Где является минимальным корнем уравнения

Доказательство.

Рассмотрим функционал . Можно заметить, что он вогнут в силу вогнутости , тогда необходимое и достаточное условие оптимальности будет принимать вид:

для любой допустимой функции дележа.



После дифференцирования неравенство (2) преобразовывается в:

где

Тогда - решение задачи максимизации интеграла

на множестве измеримых функций

Аналогичные задачи были рассмотрены в теории моментов [6,7] и данная задача решается обобщенной леммой Неймана-Пирсона:

“Предположим, что на промежутке даны две функции: и измеримые по Борелю, а также вероятностная мера с функцией распределения F(x). Пусть интегралы и конечны.

Функция y*(x) доставляет максимум интегралу



на множестве борелевских функций тогда и только тогда, когда

с точностью до множества нулевой меры F.

Обратимся снова к (2), в итоге оптимальна тогда и только тогда, когда

(4)

с точностью до множества нулевой меры F. Необходимо обозначить, функция о(x) зависит от некоторого дележа , который заранее неизвестен. Когда возрастает от 0, функция о(x) > 0 монотонно убывает из-за убывания (при этом так как после того как значение о(x) затрагивает в точке ось абсцисс, функция о(x) не может принимать значения меньше 0, иначе получается противоречие - . Также не может произойти возрастания , поскольку тогда , из-за чего последует убывание о(x).

В итоге Вырожденный случай здесь означает отказ от страхования.

Для того, чтобы подтвердить единственность оптимальной стратегии страхования нужно отметить, что функционал строго вогнут по из-за строгой вогнутости функции полезности Действительно, при неравенство обращается в равенство лишь в случае , но тогда .”

В нашем случае вместо страховщика оплачивать мелкие расходы будет страхователь, следовательно, графики относительно этого изменения будут следующими:

Теперь рассмотрим решение нашей задачи, учитывая наложенные ограничения.

Для удобства обозначим , где введено в утверждении 1.

Теорема 1

Дележ - решение задачи максимизации (1) с ограничениями тогда и только тогда, когда

1) Если , то

2) Если то где находится из уравнения (5)

Пример

Из постановки задачи мы возьмем функцию полезности страхователя равную заданным показателем неприятия риска После подстановки данной функции полезности в уравнение из утверждения 1, оно будет выглядеть таким образом:

Запишем уравнение оптимальности после преобразований:

Теперь распишем функцию распределения ущерба, учитывая, что функция распределения выплат экспоненциальная:

,

где - вероятность происшествия. Объединим все найденные величины и подставим их в уравнение :

(6)

Далее решаем полученное уравнение, подставляя следующие случайные параметры и находим :

Таблица 1

0,1	0,2	0,1	0,1	0,53

Проверяем на ограничения из Теоремы 1, подставляя :

Получаем, что выполняется первое условие Теоремы 1, далее попробуем изменять некоторые параметры так, чтобы также результаты удовлетворяли первому условию и построим графики, относительно них, где по оси x-изменяемый параметр, а по оси y- найденное значение :

Таблица 2

0,12	0,2	0,1	0,1	0,63	0,134	0,63
0,13	0,2	0,1	0,1	0,68	0,125	0,68
0,14	0,2	0,1	0,1	0,73	0,117	0,73
0,15	0,2	0,1	0,1	0,78	0,108	0,78

Рис. 6



Таблица 3

0,1	0.25	0,1	0,1	0,42	0,159	0,42
0,1	0,27	0,1	0,1	0,39	0,162	0,39
0,1	0,30	0,1	0,1	0,35	0,165	0,35
0,1	0,32	0,1	0,1	0,33	0,167	0,23

Рис. 7

Таблица 4

0,1	0,2	0,12	0,1	0,5304	0,1819	0,5304
0,1	0,2	0,13	0,1	0,5302	0,1180	0,5302
0,1	0,2	0,14	0,1	0,5301	0,0632	0,5301
0,1	0,2	0,15	0,1	0,5299	0,0157	0,5299



Рис. 8

Таблица 5

0,1	0,2	0,1	0,2	0,59	0,885	0,59
0,1	0,2	0,1	0,3	0,68	1,803	0,68
0,1	0,2	0,1	0,4	0,78	2,700	0,78
0,1	0,2	0,1	0,5	0,92	3,5605	0,92



Рис. 9

Получилось, что во всех случаях решение будет таковым:

.

Теперь выборочно подставим найденные значения k, чтобы узнать значение функционала полезности нашего финального капитала S.



Пусть начальный капитал примет значение 9:

Таблица 6

0,1	0,2	0,1	0,1	0,53	0,203
0,1	0,32	0,1	0,1	0,33	0,079
0,1	0,2	0,13	0,1	0,5302	0,194
0,1	0,2	0,1	0,3	0,68	0,306

Рассмотрим второе условие, когда . Так же подбираем параметры уравнения (6) и считаем :

Таблица 7

0,2	0,3	0,2	0,2	0,762

Выбираем значение и с учетом этого посчитаем

Повторим те же действия, что и для первого условия:

Таблица 8

0,20	0,3	0,2	0,2	0,762	0,759	0,762
0,21	0,3	0,2	0,2	0,797	0,753	0,797
0,22	0,3	0,2	0,2	0,832	0,747	0,832
0,23	0,3	0,2	0,2	0,866	0,741	0,800



Таблица 9

0,2	0,32	0,2	0,2	0,716	0,767	0,716
0,2	0,35	0,2	0,2	0,655	0,777	0,655
0,2	0,37	0,2	0,2	0,621	0,783	0,621
0,2	0,40	0,2	0,2	0,575	0,791	0,575

Таблица 10

0,2	0,3	0,21	0,2	0,7714	0,709	0,7714
0,2	0,3	0,22	0,2	0,7803	0,666	0,7803
0,2	0,3	0,23	0,2	0,7894	0,625	0,7894
0,2	0,3	0,24	0,2	0,7985	0,588	0,7985

Таблица 11

0,2	0,3	0,2	0,3	0,870	1,160	0,870
0,2	0,3	0,2	0,4	1,006	1,535	1,006
0,2	0,3	0,2	0,5	1,183	1,873	1,183
0,2	0,3	0,2	0,6	1,413	2,162	1,413

Нетрудно заметить, что графики будут аналогичны тем, что и в первом рассмотренном случае. Следует немного оговорить изменение величин: при повышении вероятности страхового случая, увеличивается. Это значит, что, когда число незначительных ущербов увеличивается, то клиент оплачивает большую сумму на починку этих самых неисправностей, а когда же, например, увеличивается коэффициент неприятия риска, то уровень ответственности уменьшается. Это говорит о том, что страхователь соглашается на ту сделку, где страховой полис будет более выгоден для него, соответственно таким образом он проявляет свою осторожность при заключении страхового договора.

Теперь необходимо посчитать величину из уравнения (5). Возьмем из представленных таблиц несколько параметров и относительно них найдем корень уравнения.

Таблица 12

0,2	0,3	0,1	13,54
0,22	0,2	0,1	10,03
0,24	0,2	0,1	8,83
0,2	0,6	0,1	17,01

Так же рассчитаем функционал полезности при неких параметрах, подставляя найденный корень и начальный капитал 9:

Таблица 13

0,2	0,3	0,2	0,3	13,54	0,069
0,22	0,3	0,2	0,2	10,03	0,070
0,24	0,35	0,2	0,2	8,83	0,046
0,2	0,4	0,21	0,6	17,01	0,028



Заключение

В первой главе были сформулированы базовые теоретические сведения математической теории страхования, которые были использованы для решения задачи. Была установлена статическая модель, которая задает условия для дальнейшего исследования. Также описаны переменные, которые будут фигурировать в ходе работы.

Следующая часть выпускной квалификационной работы содержит изучение некоторых существующих методов в данной сфере с помощью статей и книг, указанных в списке источников. Была определена основная задача страхователя, после которой были введены ограничения, наложенные на риск страхователя.

В решении задачи изложен обоснованный выбор стратегии, основой которой послужила безусловная франшиза, также было указано, почему именно она подходит для исследования установленной проблемы. Также использовались необходимые теоремы и утверждения, помогающие решить поставленную задачу, а в конце был приведен численный пример, который показал на практике оптимизацию дележа риска для страхователя.



Список источников

[1] Arrow K.J. Essays in the Theory of Risk Bearing. Chicago: Wyley and Sons, 1971.

[2] Chunyang Zhou and Chongfeng Wu (2009): Optimal Insurance Under the Insurer's VaR Constraint. The Geneva Risk and Insurance Review v. 34, pp. 140-154

[3] John Cummins and Olivier Mahul (2004): The Demand for Insurance With and Upper Limit on Coverage. Journal of Risk and Insurance vol. 71, issue 2, 253-264

[4] Golubin A.Y. Optimal Insurance and Reinsurance Policies in the Risk Process // ASTN Bulletin. 2008. 38(2). P. 170-179.

[5] Голубин А.Ю. Математические вопросы управления риском в базовых моделях страхования. М.: АНКИЛ, 2013 C 123-137

[6] Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. М.: Наука, 1976

[7] Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука, 1964.

[8] Голубин А.Ю. Математические модели в теории страхования: построение и оптимизация. М.: АНКИЛ, 2003.

Размещено на Allbest.ru