Прогнозирование цен акций автостроительных компаний на основе использования марковского свойства

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Уфа, Уфимский государственный авиационный технический университет

Прогнозирование цен акций автостроительных компаний на основе использования марковского свойства

Е.М. Бронштейн, А.И. Авзалова

Аннотация

Анализируется возможность использования возможного наличия марковского свойства временного ряда доходностей цен акций автостроительных компаний для краткосрочного прогнозирования. Используется методика проверки гипотезы о независимости временного ряда дискретизированных доходностей и того же ряда со сдвигом. Проводится кластеризация временных рядов. Прогноз на основе марковского свойства сравнивается с эконометрическим и мартингальным прогнозом.

Введение

В работе [1] рассматривалась задача прогнозирования цен акций компаний, относящихся к сектору «Технологии и Электроника». Проверялось наличие марковости во временных рядах курсов акций (установлено, что это свойство присуще акциям зарубежных компаний кроме Toshiba и отсутствует у курсов акций отечественных компаний), а также их однородность и согласованность. В случаях, когда гипотеза об отсутствии марковости не отвергается, предложена методика краткосрочного прогнозирования цены акции. Было установлено, что наличие марковского свойства позволяет формировать весьма точные краткосрочные прогнозы.

В данной статье методика, развитая в цитированной работе, применяется к анализу цен акций ряда ведущих автостроительных компаний, при этом проведено сравнение качества полученного прогноза цены акции с мартингальным прогнозом ("завтра как сегодня") и с прогнозом, опирающимся на модель авторегрессии - скользящего среднего. Проводилось также сопоставление семейств компаний, у которых обнаружено или не обнаружено марковское свойство, с результатом кластеризации методом k-средних.

1. Проверка гипотезы о марковости цепи

В качестве исходных данных мы использовали котировки акций ряда ведущих предприятий автомобильной промышленности (Ford, Honda, Nissan, Toyota, Volkswagen, Peugeot, Mazda, Mitsubishi, Renault). Для проверки марковости анализировались (в зависимости от их наличия в базах) данные о ценах акций компаний за период с 1 января 2000 г. по 31 августа 2013 г [2].

Доходность определяется как отношение цены акции в конце временного промежутка (мы принимали его равным неделе) к цене в начале. Разумеется, как наиболее адекватная цена акции рассматривалась цена закрытия. Для проверки марковости необходимо дискретизировать данные о доходности, т.е. интервал вариации доходности разбить на несколько интервалов, и по историческим данным фиксировать события - попадания доходности в те или иные интервалы.

Проиллюстрируем примененный подход на примере акций компании Ford. На рис. 1 и рис. 2 приведены графики цены акции и доходности компании.

Интервалы доходностей разбивались на 4, 6 и 8 равных (кроме крайних) интервалов. При уменьшении числа интервалов падает информативность, при увеличении - интервалы становятся меньше погрешности измерений. Приведем описание методики для 8 интервалов, которые в этом случае таковы: (0; 0,955] , (0,955; 0,97] , (0,97; 0,985] , (0,985; 1] , (1; 1,015] , (1,015; 1,03] , (1,03; 1,045] , (1,045; +). В крайние интервалы попадают аномальные значения.

Для проверки наличия марковости первого порядка составлялась матрица статистических оценок переходных вероятностей p_ij=n_ij /n (i, j=1, …, 8), где n_ij - число случаев, когда попаданию доходности акции в j-й промежуток предшествовало попадание в i-й промежуток; n - полное число наблюдений минус одно, поскольку при переходе к доходностям первое наблюдение исчезает (для компании Ford это число равно 711). В табл. 1 приведены матрицы частот n_ij и статистических оценок переходных вероятностей.

Использована методика проверки гипотезы H₀ об отсутствии марковости в последовательности (независимости) при альтернативной H₁ - о наличии марковости первого порядка, приведенная в [4]. Для этого вычислялась статистика

В предположении независимости распределений случайных величин {x_i}, {x_i1}, где x_i - значение случайной величины в момент i (т.е. при отсутствии марковости) статистика имеет центральное распределение ² с (s1)² степенями свободы, где s - число состояний (у нас их 8). На уровне значимости 0,05 пороговое значение статистики равно 78.23; если значение статистики превосходит пороговое, то нулевая гипотеза (отсутствие марковости) отвергается.

В рассматриваемом случае значение статистики равно 120.77, т.е. альтернативная гипотеза (о марковости процесса) условно принимается.

Аналогичным образом проверялась гипотеза о наличии (отсутствии) марковости второго порядка. Однако достоверность полученных результатов следует поставить под сомнение, так как для проверки гипотезы, например, при 8 интервалах требуется построение матриц размерностью 8²х8.

Для матриц такой размерности имеющийся объем исходных данных недостаточен. цена акция автостроительный марковский

Результаты проверки марковости для акций анализируемых компаний автостроительной промышленности (Ford, Honda, Nissan, Toyota, Volkswagen, Peugeot, Mazda, Mitsubishi, Renault) при различных значениях чисел интервалов разбиения приведены в табл. 2.

2. Проверка однородности и согласованности данных. Кластеризация

Для акций компаний, в особенности для которых гипотеза об отсутствии марковости первого порядка отвергается, была проведена проверка однородности переходных вероятностей. Для этого массив данных доходностей акций разбивался на две равные части (по времени), для каждой части вычислялись статистики и проводилось сравнение по соответствующему критерию [5]. Установлено, что во всех случаях гипотеза об однородности не отвергается на уровне значимости 0,05.

С помощью ППП «STATISTICA» для полученных переходных вероятностей при 8 интервалах были применены кластеризация методом К-средних и дисперсионный анализ [4]. При дисперсионном анализе межгрупповая дисперсия сравнивается с внутригрупповой дисперсией для установления того, являются ли средние для отдельных переменных в разных совокупностях значимо различными. Гипотеза о минимальном различии между параметрами не отвергается при уровне значимости больше б=0,05. Чем больше значение суммы квадратов разностей, тем корректнее распределение по кластерам. Отмечено, что в 1-й кластер попали все компании с марковостью 1-го порядка (за исключением Nissan - это единственная компания, у которой условно подтверждается марковское свойство 2-го порядка для 6 и 8 интервалов), во 2-й кластер попали компании с отсутствием марковости 1-го порядка для 8 интервалов, табл. 2. Таким образом, кластеры фактически выделяют именно это свойство курсов акций. Наиболее репрезентативным с точки зрения кластеризации оказалось разбиение интервала доходностей на 8 промежутков.

3. Прогнозирование цен акций

3.1 Использование свойства марковости

Прогноз строился по 8-интервальному разбиению. При попадании доходности в тот или иной интервал по статистическим оценкам переходных вероятностей вычислялись математические ожидания значений будущих доходностей, при этом интервалы заменялись их серединами, для крайних интервалов принимались значения на 0,05 меньше/больше конечных (для компании Ford - 0,978 и 1,053). По прогнозным значениям доходностей вычислялись прогнозы цен акций. Отметим, что прогноз доходностей был дискретным.

Для компании Ford математические ожидания доходностей (прогнозы) при попадании в разные интервалы представлены в табл. 3. Прогноз цены акций был сопоставлен с фактическими данными с сентября 2013 по март 2014 г. (табл. 4).Средняя ошибка составила 1,35%.

Анализ показал, что средняя ошибка прогноза для акций всех компаний при наличии марковости составила 2,13%, при отсутствии марковости 2,47%.

3.2 Мартингальный прогноз

Прогноз строился по принципу "доходность завтра как сегодня". Средняя ошибка прогноза значительно больше, чем в п.3.1 (табл. 5).

3.3 Применение моделей авторегрессии - скользящего среднего

Оценка моделей и построение прогноза проводились в ППП «STATISTICA» в модуле ARIMA, а также в статистическом пакете Eviews.

Для определения типа случайного процесса применялись процессы последовательного тестирования временного ряда с помощью тестов Дики-Фуллера (рис. 3) и Филлипса-Перрона (рис. 4) [6]. Выдвигалась гипотеза H₀ о значимости параметров в уравнениях, описывающих процессы, представленные временными рядами, при уровне значимости меньше 5%.

Модель АРСС(р; q) применяется к стационарным случайным процессам [7]. В данной модели р - порядок авторегрессии, q - порядок процесса скользящей средней. Модель АРПСС применяется к нестационарным временным рядам. В данной модели p - порядок авторегрессии, q - порядок скользящей средней, d - степень интеграции процесса. В сезонных АРПСС-моделях также имеется сезонный сдвиг ls.

Тесты Дики-Фуллера и Филлипса-Перрона показали, что все рассматриваемые временные ряды нестационарные, и относятся к интегрируемым процессам первого порядка.

В модели АРПСС (1,1,1) значимы параметры как авторегрессии, так и процесса скользящей средней, так как выдвигалась гипотеза H₀ о значимости параметров при уровне значимости меньше 5%. (рис.3), (рис 4.). При построении модели также оценивались: статистика Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции и коэффициент детерминации (с точки зрения «объясняющей» способности модели). В результате была получена полностью статистически значимая модель. Аналогично строился ряд моделей и выбиралась наилучшая (по принятым критериям).

Аналогичным образом формировались прогнозные значения с помощью моделей АРПСС для всех рассматриваемых компаний (табл. 5). Следует отметить, что модели АРСС не значимы, а модели САРПСС либо не строятся, либо статистически незначимы. Причиной этому может быть то, что исходные данные переводились в показатели доходности, при этом значения доходностей, по сути являющиеся индексами, колебались около 1.

Заключение

В статье исследуется эффективность краткосрочного прогнозирования курсов акций ведущих автостроительных компаний на основе марковского свойства временного ряда цен акций. Установлено, что кластеризация временных рядов по методу K-средних при двух кластерах коррелируется с наличием или отсутствием марковского свойства. Проверена однородность временных рядов. Проведено сравнение прогнозов, основанных на марковском свойстве, с эконометрическими моделями АРПСС, САРПСС и упрощенным мартингальным прогнозом. Анализ показал, что наличие марковского свойства временного ряда курсов акций позволяет строить краткосрочный прогноз цены акций, как правило, более точный (для 4 компаний из 5), нежели мартингальный или эконометрический (табл. 5).

Отмечено, что при рассмотрении длительных временных промежутков свойство марковости может не сохраняться. Так, для компаний Ford (период с июня 1972 по май 2014 г.г.) и Toyota (период с августа 1976 по апрель 2014 г.г.) свойство марковости не подтверждается при любом числе интервалов разбиения. На длительных временных интервалах экономическая ситуация претерпевает значительные изменения.

Список литературы

1. Бронштейн Е. М., Авзалова А.И. Прогнозирование цены акции на основе свойств цепей Маркова // Экономика и математические методы. 2015. № 3. С. 81-86.

2. Yahoo Finance - Business Finance, Stock Market, Quotes [Электронный ресурс]/ - Режим доступа: http://finance.yahoo.com/ - Загл. с экрана.

3. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика: справочное пособие. Москва. ФИЗМАТЛИТ. 2006;

4. Вистелиус А.Б. Основы математической геологии (определение предмета, изложение аппарата). Ленинград. Наука. 1980;

5. Кластеризация методом K средних в STATISTICA [Электронный ресурс]/ - Режим доступа: http://statosphere.ru/blog/110-statclusterk.html - Загл. с экрана.

6. Носко В.П. Эконометрика (в 2-х частях). Москва. Издательский дом "Дело" РАНХиГС. 2011.

7. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Статистическое моделирование по временным рядам. Учебно-методическое пособие. Саратов. ГосУНЦ “Колледж”. 2000.

8. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами. Москва. Физматлит. 2013.

9. Горяинова Е.Р., Панков А.Р., Платонов Е.Н. Прикладные методы анализа статистических данных. Москва. Изд. Дом Высшей школы экономики. 2012.

Приложение 1

Рис. 1 График цены акций компании Ford

Рис. 2 График доходности акций компании Ford

Рис 3 Тест Дики-Фуллера для компании Ford

Рис. 4 Тест Филлипса-Перрона для компании Ford

Рис 5 Построение модели АРПСС в пакете Eviews для компании Ford

Рис. 6 Построение модели АРПСС в ППП «STATISTICA» для компании Ford

Таблица 1 Частоты и статистические оценки переходных вероятностей

Таблица 2 Марковость 1-го и 2-го порядка для рассматриваемых компаний

Таблица 3 Математические ожидания доходностей

Таблица 4 Фактические и прогнозные значения цен акций

Таблица 5 Сравнительная таблица погрешностей различных методов прогнозирования

Размещено на Allbest.ru