Р-адическая аппроксимация изменения цен

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Филимонова С.А.

Р-АДИЧЕСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН

Моделирование изменений курсов акций на финансовых рынках является трудоемким и сложным процессом. Переменные, влияющие на цену курса актива, определены неоднозначно. Так как на результирующий показатель оказывают воздействие экономическая, социальная, политическая и другие сферы жизнедеятельности человека.

Целью исследования в рамках настоящей темы является моделирование типичных случаев флуктуаций курсов активов на фондовых биржах с использованием теории р-адических чисел, а также анализ модели аппроксимации волновых паттернов р-адическим отображением для индекса РТС на Московской бирже за период с 03 февраля 2015 г. по 05 февраля 2015 г.

На сегодняшний момент всё большую популярность приобретает «эконофизика». Началом ее применения в экономике послужили два переломных момента, произошедших на финансовых рынках. Во-первых, 1973 год, когда валюты начали продаваться как товар, т.е. курс валют стал определяться не только внутренними (государственными) факторами, но и внешними (международными). Во-вторых, 1980-е гг., когда торги стали электронными, и их данные электронно фиксируемыми, что способствовало накоплению большого объема информации. Схожесть физических и экономических процессов, а значит, методов их оценивания позволяет применять эконофизику, которая устанавливает количественные закономерности и связи в экономике с использованием методов статистической физики [5], с. 12.

Виды распределений для флуктуаций цен на финансовых рынках

Колебания цен на финансовых рынках представляют собой нечто подобное стохастическому процессу, поэтому для анализа ценовых изменений - непрерывной случайной величины - используются распределения, наиболее подходящие для описания исследуемой выборки. К видам распределений относят нормальное (гауссовское), логарифмически-нормальное, равномерное, экспоненциальное (показательное), ч-квадрат (частные случаи - распределения Рэлея и Максвелла) и гамма распределения, а также распределения Парето, Леви и Стьюдента (частный случай - распределение Коши).

В эконофизике применяется распределение Леви для анализа ценовых изменений наподобие физического процесса (броуновского движения). Простейшей дискретной аппроксимацией броуновского движения служит одномерное случайное блуждание. В 1905 г. А.Эйнштейном выполнено теоретическое описание случайного блуждания, далее - Н.Винером в 1923 г. дано строгое математическое описание. В итоге, установлено, что флуктуации в физике имеют гауссову (нормальную) плотность распределения вероятности.

В экономике в докторской диссертации Л.Башелье 1900 года выдвинута гипотеза о нормальном распределении ценовых изменений на финансовых рынках. Однако в 1963 г. Б.Мандельбротом взамен вышеупомянутой гипотезы выдвинута гипотеза о том, что ценовые изменения следуют устойчивому распределению Леви, которая подтверждена исследованиями Ю.Фамы в 1965 г.

Устойчивый процесс Леви представляет собой область притяжения в функциональном пространстве функций плотности вероятности. Сумма независимых идентично распределенных стохастических процессов , характеризуемых функцией плотности вероятности с хвостами, определяемыми степенным законом для большого числа стохастических переменных и , будет сходиться по вероятности к устойчивому стохастическому процессу с индексом б, когда n стремится к бесконечности [6] (Рис. 1). Важнейшими свойствами распределения Леви являются его устойчивость, а также то, что оно принадлежит к классу распределений с «тяжелыми хвостами».

Рис. 1. Результаты измерения функции распределения разности значений индекса S&P 500 (кружками), «чистое распределение Леви с показателем б=1,4 (сплошная кривая) ([5], с. 163)

Распределение Леви для больших x напоминает распределение Парето, с помощью которого описываются не только функции денег, доходов и имущества в экономике, но и флуктуации цен и курсов акций на финансовых рынках. Функция плотности вероятности для распределения Парето задается степенным законом .

На основе выборочных данных колебания индекса РТС за период с 03 февраля 2015 по 05 февраля 2015 проведен эксперимент: выдвинута гипотеза о том, что эмпирические данные имеют нормальный (гауссовый) закон распределения. В качестве тестовой статистики выбран чІ - критерий согласия Пирсона, который позволяет сравнивать два распределения одного и того же признака. В результате оказалось, что фактическое значение статистики критерия (646,3) больше критического значения (357,4) на уровне значимости, равного 0,05, поэтому проверяемая гипотеза отклонена. Сделан вывод о негауссовых колебаниях индекса РТС. Используя чІ - критерий согласия Пирсона, проанализировано соответствие эмпирического закона распределения другим теоретическим законам распределения. В итоге, исходные данные следуют логарифмически-нормальному распределению с вероятностью 95% и экспоненциальному (показательному) распределению на уровне значимости 0,01.

Таким образом, колебания цен на финансовых рынках имеют фрактальный характер. Однако подход описания фракталов, предложенный Мандельбротом, является глобальным и определяет фрактал в целом, как всю фигуру, во всей области. Для поточечного построения фрактала как функции от времени (локальное описание фрактала) применяются методы эконофизики, одним из которых являются методы р-адической математики.

Основы р-адической математики

В повседневной жизни и в научных экспериментах мы никогда не имеем дела с бес-конечными десятичными дробями, т.е. с иррациональными веще-ственными числами. Результаты любых практических действий мы можем выражать только в рациональных числах. Итак, примем в качестве нашей отправной точки поле рациональных чисел Q [1], с. 9.

Нормой ([3], с. 9) называется отображение, обозначаемое через , поля F в множество неотрицательных вещественных чисел, такое, что:

1) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0,

2) ,

3) .

Определение ([3], с. 10). Пусть p{2, 3, 5, 7, 11, 13, …} - некоторое простое число. Для произвольного ненулевого целого числа а (aZ - это множество всех целых чисел) положим равным кратности вхо-ждения р в разложение а на простые сомножители, т.е. наибольшему целому неотрицательному числу т, для которого а = 0 (mod ). Если , , , , то .

Определим на Q следующее отображе-ние ([3], с. 11):

Определение ([3], с. 11). Норма называется неархимедовой, если всегда выполнено неравенство .

Таким образом, является неархимедовой нор-мой на поле Q.

Р-адическая аппроксимация колебаний цен на финансовых рынках

Для построения модели изменений курсов активов использована аппроксимация р-адическими числами, т.к. данная аппроксимация дает сглаживание в пространстве р-адических чисел, а не вещественных, что наиболее точно отражает скачки курсов активов или цен на финансовых рынках.

Методика построения р-адической аппроксимации в Wolfram Mathematica представлена следующим алгоритмом действий [2].

1. Выбор р-адического числа (). Р-адическое число используется для обозначения корректирующих и импульсных волн.

2. Перевод числа в р-ичную систему счисления.

Любое р-адическое число при переводе из целого числа Z по основанию р имеет запись: , где .

3. Нахождение значения функции для р-адического числа.

Функция находится следующим образом: , где - степень р-адического числа.

4. Построение кусочно-линейной аппроксимации волновых паттернов р-адическими отображениями (сложными функциями) .

Исследованы наиболее типичные случаи флуктуаций цен акций на финансовых рынках на основе следующих данных.

Исходные данные для построения модели изменения курсов активов

Построены модели аппроксимации волновых паттернов р-адическим отображением для типичных случаев:

1) Аппроксимация паттерна «Пила» для изменения цен на акции Аэрофлота (Рис. 3);

2) Аппроксимация паттерна «Флэт» для изменения фьючерса RTSo (Рис. 5);

3) Аппроксимация паттерна «Лестница» для изменения курсов на ценную бумагу AFKS (рис. 7).

Рис. 2. График реального изменения цен акций «Аэрофлот»

Рис. 3. Аппроксимация паттерна «Пила» р-адическим отображением

Рис. 4. График реального изменения фьючерса RTSo

Рис. 5. Аппроксимация паттерна «Флэт» р-адическим отображением

Рис. 6. График реального изменения ценной бумаги AFKS

Рис. 7. Аппроксимация паттерна «Лестница» р-адическим отображением

Следующее исследование произведено на основе индекса РТС (RTSI, RTS Index), торгуемого на Московской бирже. Его расчет производится в долларах США на основе 50-ти ликвидных акций крупнейших российских эмитентов, что может отражать состояние экономики страны. Взят период с 03 февраля по 05 февраля 2015 г.

Алгоритм действий для построения р-адической аппроксимации изменения индекса РТС усложнен в п.п. 3 и 4: значение функции для р-адического числа находится по формуле , где ; а аппроксимации волновых паттернов р-адическими отображениями представлена полиномиальной функцией вида , где

В результате получена модель по 5-тиминутному таймфрейму (Рис. 8). Найдены значения функции для р-адического числа

где , а также построена функция аппроксимации волновых паттернов р-адическими отображениями .

Рис. 8. Исходные данные (сплошная линия) и р-адическая аппроксимация моделируемых данных (пунктирная линия).

Следовательно, р-адический анализ позволяет наглядно демонстрировать флуктуации, используя аппроксимацию волновых паттернов р-адических отображений.

На наш взгляд, p-адическая аппроксимация моделируемых данных это ничто иное, как сглаживание.

Список литературы

1. Владимиров В.С., Волович И.В., Зеленов Е.И. Р-адический анализ и математическая физика. М.: Физмалит, 1994. 352 с.

2. Жарков В.М. Численное моделирование магнетиков в адельном представлении // Вестник Пермского университета. Выпуск 5. 2001.

3. Коблиц Н. P-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. Пер с англ. В.В. Шокурова / Под ред. и с предисловием Ю.И. Манина. М.: Мир, 1981. 192 с., ил.

4. Мантенья Р.Н, Стенли Г.Ю. Введение в эконофизику: Корреляция и сложность в финансах. Пер. с англ. / Под ред. В.Я. Габескирия. Изд. стереотип. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2014. 192 с.

5. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в эконофизику: статистические и динамические модели. Изд. 2-е, испр. и доп. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. 340 с.

Размещено на Allbest.ru