Особенности ценообразования в страховании жизни

Размещено на http://www.allbest.ru/

Особенности ценообразования в страховании жизни

М.Ю. Серкин

профессор кафедры страхования

Хабаровской государственной академии экономики и права

Страхование жизни в системе классификации по отраслям относится к отрасли личного страхования. В то же время эта подотрасль коренным образом отличается от других подотраслей личного страхования, а также от других отраслей.

Страхование жизни состоит из большого числа видов, основными из которых являются страхование на дожитие и страхование на случай смерти. Страховым случаем здесь является факт дожития до определённого возраста либо дата смерти в течение определённого периода. Страхование жизни является длительным видом страхования и в отличие от других видов и отраслей базируется на особых принципах ценообразования - капитализации нетто-фонда, демографическом прогнозировании, эквивалентности финансовых обязательств сторон в терминах современных стоимостей.

Принцип капитализации нетто-фонда характеризуется обязательством страховщика наращивать собранные со страхователей денежные средства по процентной ставке, которая не может быть ниже заданной процентной ставки, заявленной страховщиком в лицензии. Эта ставка является фактором, от которого зависит величина страхового тарифа. С ростом процентной ставки величина страхового тарифа падает.

Демографическое прогнозирование позволяет в процессе вычисления страхового тарифа оценивать, сколько людей доживёт до определённого возраста и сколько людей умрёт в течение заданного периода времени. Демографическое прогнозирование осуществляется на базе таблиц смертности, где указывается число доживших до каждого возраста из заданной совокупности новорождённых и число умерших в течение года среди доживших до начала каждого года. Принцип эквивалентности финансовых обязательств сторон непосредственно используется для расчётов в страховании жизни и реализуется через равенство современных стоимостей доходов и расходов страховщика, полученное с помощью операции дисконтирования.

Кроме того, используется так называемый принцип солидарности ответственности, общий для всех видов страхования. Согласно этому принципу, платят все страхователи, а получают только те, с кем произошёл страховой случай.

В классической теории ценообразования в страховании жизни при расчёте тарифов делается ряд предложений, упрощающих вычисления. Первое предположение состоит в том, что число застрахованных совпадает с числом доживших до соответствующего возраста согласно, таблице смертности. Как было показано в [1], это предположение не влияет на окончательный результат. Второе предположение применяется при расчётах тарифов с ежемесячными взносами страхователей. Суть предположения состоит в том, что при расчётах учитывается накопление денежной массы, равной двенадцати месячным взносам и сосредоточенной в конце каждого года. Это предположение необходимо для того, чтобы можно было воспользоваться теорией сложных процентов, согласно которой дисконтирование возможно для целого числа единиц времени.

Третье предположение необходимо учитывать для распределения смертности застрахованных в течение года. Оно состоит в том, что все застрахованные умирают в конце каждого отчётного года страхования. В реальной ситуации это, очевидно, не так.

В настоящей работе оценим влияние третьего предположения на величину тарифа. Рассмотрим страхование на случай смерти с единовременным взносом от возраста х лет на срок n лет. Страховым случаем является факт смерти застрахованного в любой момент действия страхового договора страхования от возраста х лет до возраста х+n лет.

Нетто-ставку обозначили символом nАх(е), где верхний индекс указывает на то, что страхователь единовременно погашает свои обязательства перед страховщиком. Задний нижний индекс определяет возраст застрахованного на дату заключения договора страхования. Передний нижний индекс n определяет длительность договора страхования. Тариф исчисляется с 1 руб. страховой суммы, то есть страхователь уплачивает величину nAx(e) и получает страховую защиту на величину 1 руб. при наступлении страхового случая. В классической теории страхования жизни величина nAx(e) находится по формуле

страхование ценообразование обязательство демографический

nAx(e) = (1)

где Dx и Mx - коммутационные числа, определяемые равенствами

Dx= LxVx , Mx= Cx+ Cx+1+…+Cw , Cx = dxVx+1 (2)

Здесь Lx - число доживших до возраста x, dx - число умерших в течение одного года среди тех, кто дожил до возраста х согласно таблице смертности, то есть здесь используется демографическое прогнозирование. Величина V определяется равенством

V = (3)

где i - процентная ставка наращения нетто-фонда за 1 год, заявленная страховщиком в лицензии на проведение страхование жизни.

В классической теории страхования жизни нетто-ставка, определяемая формулой (1), находится с помощью так называемых коэффициентов рассрочки, смысл которых недостаточно ясен. В работе [2] был предложен способ расчёта нетто-ставок, основанный на принципе эквивалентности финансовых обязательств сторон, согласно которому современная стоимость потока наличности, описывающего финансовые отношения страховщика и страхователей, равна нулю.

Следуя этому способу, представим данный поток наличности на рисунке 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1 - Поток наличности описания финансовых отношений страховщика и страхователей на случай смерти с единовременным взносом

Из рисунка 1 следует, что застрахованы все Lx человек, доживших до возраста х согласно таблице смертности (предположение 1), и смерти всех умерших в течение одного года сконцентрированы в конце каждого отчётного года. Например, все умершие за первый год числом dх имеют дату смерти в конце первого года (предположение 3).

На рисунке 1 стрелка к оси времени указывает на поступление денежных средств в страховую организацию, стрелки от оси времени указывают на расходы страховой организации, связанные с выплатами выгодоприобретателям в случае смерти застрахованных. Современная стоимость А(0) потока наличности, изображённого на рисунке 1, в силу принципа эквивалентности финансовых обязательств сторон равна нулю. Из этого равенства находится нетто-ставка, определяемая формулой (1), которая полностью совпадает с соответствующей классической формулой.

Оценим погрешность, которую вносит третье предположение в расчёт нетто-ставки. Предположим, что даты смертей в течение одного года распределены равномерно. Пусть, например, в течение j-го года каждый месяц умирает dх/12 человек в среднем. Тогда предположение 3 можно заменить другим предположением, более адекватно описывающим реальный процесс вымирания популяции людей. А именно, предположим, что даты смерти в течение одного месяца сконцентрированы в конце каждого месяца и число смертей равно dх/12. В этом случае одна выплата в конце каждого года (рисунок 1) заменяется двенадцатью выплатами с интервалом в один месяц. На рисунке 2 изображен новый поток наличности.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2 - Поток наличности с периодом выплат в один месяц

Найдём единовременный взнос nАх(е). Для этого следует найти современную стоимость А(0) потока наличности. В схеме сложенных процентов операция дисконтирования невозможна, так как период ренты, изображённый на рисунке 2, меньше единицы. Для преодоления этой трудности можно воспользоваться приёмом, предложенным в работе [2]. Необходимо перейти к непрерывному наращиванию капитала с заданной силой процента б, эквивалентной заданной процентной ставке i.

При этом дисконтирующий множитель определяется равенством

V (t) = e-бt (4)

Тогда современная стоимость потока наличности, изображенного на рисунке 2,

определяется равенством

А(0) = nАх(е)Lx - A1 - … - An (5)

где Aj - современная стоимость потока выплат за j-й год, 1jn.

Величина А1 определяется равенством

A1 = V(1/12) +… + V(1) (6)

С использованием равенства (4) выражение (6) принимает вид

A1 = (e-б/12 + … + e-б) (7)

Пользуясь формулой геометрической прогрессии выражение (7) можно представить в виде

A1 = = J (8)

Аналогично можно получить равенства

A2 = e-б J, …, A n= e-б(n-1) J (9)

Подставляя выражения (8) и (9) в равенство (5), получим, что

A(0) = nАLx - J/12(dx+dx+1e-б+…+dx+n-1e-б(n-1)) (10)

Полагая в силу принципа эквивалентности финансовых обязательств сторон А(0) = 0, из равенства (10) можно найти выражение для нетто-ставки в виде

nА = (11)

В равенстве (11) можно перейти от вспомогательного параметра силы процента б к эквивалентной ей процентной ставке i по формуле

e-б= V (12)

где дисконтирующий множитель V определяется формулой (3).

Тогда равенство (11) примет с учётом равенств (2) вид

nА = (13)

Пользуясь выражением (2), для Mx равенство (13)можно представить в виде

nА= (14)

где величина J/12V с учётом равенств (8), (12) и (3) принимает вид

= (15)

Можно заметить, что величина J/12V, определяемая равенством (15), больше единицы при любых значениях процентной ставки i>0. При неограниченном приближении ставки i к нулю величина J/12V приближается к единице. При неограниченном увеличении ставки i величина J/12V неограниченно возрастает. Отсюда следует, что нетто-ставка, вычисляемая по приближенной формуле (1), меньше, чем нетто-ставка, вычисляемая по уточнённой формуле (14). Это означает, что приближенная формула (1) выгоднее страхователям, а уточнённая формула (14) выгоднее страховщикам. Этот поразительный факт можно объяснить либо незнанием страховщиками-практиками этого эффекта, либо желание привлечь к данному виду страхования большее число страхователей. Из вышеизложенного также следует, что при малых значениях ставки i разница между тарифами, определяемыми формулами (1) и (14), должна быть незначительной. В практике страхования жизни процентные ставки i, заложенные в лицензии, достаточно малы и не превышают четырёх процентов, в редких случаях пяти процентов, так как закладывать большое значение нормы капитализации на длительный срок достаточно рискованно. В некоторых зарубежных странах норма капитализации в страховании жизни ограничена сверху даже законодательно.

Приведём численные расчёты оценки погрешности тарифов при использовании приближенной формулы (1). Отметим вначале, что относительная погрешность ? определяется равенством

? = (J/12V - 1)100%,

где J/12V определяется равенством (15). Расчёты показывают, что при i = 0,04 величина ? = 1,81 %, при i = 0,05 величина ? = 2,39 %, при i = 0,07 величина ? = 3,8 %. Расчёты подтверждают сделанные выше выводы.

Оценим абсолютные погрешности. Вычислим страховые премии при страховании жизни на случай смерти с единовременным взносом при страховании от возраста х = 35 лет на срок n = 15 лет при страховой сумме 100000 рублей. На основании таблиц коммутационных чисел [3] при i = 0,04 имеем значения М35 = 6000, М50 = 4896, D35 = 23822, при i = 0,05 имеем значения М35 = 3216, М50 = 24906, D35 = 17042, при i = 0,07 имеем значения М35 = 986, М50 = 667, D35 = 8804.

Тогда нетто-премия при i = 0,04 по приближенной формуле (1) равна

ТН= 100 000 = 4634 руб.,

по уточненной формуле (14)

ТН'= 100 000х1, 0181х = 4718 руб.

Абсолютная погрешность составляет 84 рубля. Аналогично при i = 0,05 значения ТН = 4260 руб., ТН' = 4362 руб., абсолютная погрешность составляет 102 рубля. При i = 0,07 значения ТН = 3623 руб., ТН' = 3761 руб., абсолютная погрешность составляет 138 рублей. Российские страховые организации, проводящие операции по страхованию жизни, имеют десятки и сотни тысяч договоров. Например, страховая компания «Колымская», зарегистрированная на территории Хабаровского края, имеет число договоров, приближающееся к ста тысячам. В этом случае упущенная выгода страховщика при использовании классической формулы расчёта страхового тарифа имеет порядка 9 млн рублей.

Литература

1. Кагаловская, Э. Т. Финансовые основы страхования жизни в СССР / Э. Т. Кагаловская, А. А. Попова. - М. : Финансы, 1971.

2. Бадюков, В. Ф. Покупать пенсии или вкладывать деньги в банк? / В. Ф. Бадюков // Вестник ХГАЭП. 2001. № 3.

3. Бадюков, В. Ф. Актуарные расчёты: учеб. пособие / В. Ф. Бадюков. - Хабаровск : РИЦ ХГАЭП, 2010.

Размещено на Allbest.ur