Классическая модель оценки долгосрочных активов

Исходная информация для выполнения практических заданий курсовой работы представлена в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Котировки индекса ММВБ и некоторых российских акций

Задание 1. Используя дневные котировки индекса ММВБ или любой акции, рассчитать ожидаемую доходность, логарифмическую ожидаемую доходность, риск, корреляцию и ковариацию между двумя активами. Сделать выводы. Проверить, подчиняются ли котировки нормальному распределению (визуально с помощью гистограммы).

Решение.

Для того чтобы превратить дневные котировки в дневную доходность, используем формулу:

(2.1)

где r_t - доходность на период t;

P_t - цена на период t;

P_t-₁ - цена на период t - 1.

Логарифмическую доходность будем находить по следующей формуле:

 (2.2)

Возьмем из таблицы 2.1 котировки акций «Мегафон» и скопируем их в Excel. Затем в ячейку С3 введем формулу = (В3 - В2)/В2.

Эту формулу скопируем до конца столбца доходностей.

Результат получился следующий (рис.2.1).

Рисунок 2.1 - Исходные данные и доходность акций «Мегафон»

Ожидаемую доходность вычисляем с помощью функции Excel «СРЗНАЧ»: в ячейку С47 введем формулу =СРЗНАЧ(C3:C46), в ячейку D47 - =СРЗНАЧ(D3:D46).

Риск вычисляем как дисперсию и стандартное отклонение с помощью функций «ДИСП» и «СТАНДОТКЛОН», для чего вводим формулы:

С48 = ДИСП(C3:C46);

D48 =ДИСП(D3:D46);

С49 =СТАНДОТКЛОН(C3:C46);

D49 = СТАНДОТКЛОН(D3:D46).

Возьмем из таблицы 2.1 котировки индекса ММВБ и скопируем их в Excel. Для индекса ММВБ вычислим доходности, как для акций «Мегафон». Ковариацию и корреляцию между доходностями двух активов рассчитаем с помощью функций «КОВАР» и «КОРРЕЛ»:

С50 =КОВАР(C3:C46;F3:F46);

С51 =КОРРЕЛ(C3:C46;F3:F46).

Результат получился следующий (рис.2.2).

Рисунок 2.2 - Характеристики доходностей акций «Мегафон» и индекса ММВБ

Проверку соответствия распределения доходностей нормальному закону осуществить, построив гистограмму и визуально проверив ее сходство с гистограммой нормального распределения. Для этого воспользуемся надстройкой «Анализ данных», где выберем пункт «Гистограмма». В качестве исходных данных выделяем исходную выборку.

Для заполнения пункта «Карман» приготовим данные следующим образом. Сформируем 8 групп в гистограмме. Тогда от максимального значения отнимаем минимальное и делим разность на 8.

Полученный результат прибавляем к минимальному значению, затем к полученному - и так далее, пока не дойдем до последнего значения. Получившийся столбец будет диапазоном данных для графы «Карман». Надстройка выдаст частоту попадания в каждый карман и по этим данным построит график-гистограмма.

Для доходностей акций «Мегафон» совершаем следующие действия.

В ячейки записываем формулы:

I3=(МАКС(C3:C46)-МИН(C3:C46))/8;

J3 =МИН(C3:C46);

J4 =J3+I$3.

Копируем ячейку J4 на диапазон J5: J10.

Выбираем на панели инструментов Данные >Анализ данных> Гистограмма. Выберем входной интервал - значения доходностей акций «Мегафон», карман - сформированные значения интервалов, выходной интервал - ячейку начала выходной информации, вывод графика, интегральный процент (табл.2.3).

Рисунок 2.3 - Окно вывода Гистограммы

Полученная гистограмма приведена на рис.2.4.

Аналогично выводим гистограмму доходностей индекса ММВБ. Полученная гистограмма приведена на рис.2.5.

Рисунок 2.4 - Гистограмма доходностей акций «Мегафон»

Рисунок 2.5 - Гистограмма доходностей индекса ММВБ

Расчеты показали, что за рассматриваемый период дневная доходность акций «Мегафон» в среднем составила 0,5%, а среднедневная убыточность индекса ММВБ - 0,3%. Значит, больше потенциальной прибыли может принести вложение в акции «Мегафон». Максимальная доходность акций «Мегафон» составила 5% за 12-й день торгов, а индекса ММВБ - 5,3% за 41-й день торгов.

Мера рассеивания (стандартное отклонение) значений доходности вложений в индекс ММВБ больше, чем в акции «Мегафон», значит, риск вложений в индекс ММВБ выше, несмотря на его среднюю убыточность.

Коэффициент корреляции доходностей ( < 0,3) показывает, что изменение стоимости акций «Мегафон» и индекса ММВБ находятся в прямой слабой зависимости.

Гистограммы показывают, что распределение доходностей акций «Мегафон» и индекса ММВБ не соответствуют нормальному закону. При этом распределение доходностей акций «Мегафон» ближе к нормальному закону, чем индекса ММВБ.

Задание 2. Используя дневные котировки трех акций, рассчитать по каждой акции собственный риск, доходность и бета-коэффициент. При безрисковой ставке 0,00014 (0,14%) в день определить доли активов в оптимальном портфеле по модели САРМ.

Решение.

Возьмем из таблицы 2.1 котировки индекса ММВБ и акций «МТС», «Армада» и «Мегафон» и скопируем их в Excel. Затем для расчета ежедневных доходностей в ячейку С3 введем формулу = (В3 - В2)/В2. Эту формулу скопируем до конца столбца доходностей и в пятый, седьмой и девятый столбцы. Результат получится следующий (рис. 2.6).

Рисунок 2.6 - Исходные данные и доходность индекса ММВБ и акций трёх компаний

Используем для определения собственного риска надстройку «Регрессия» во вкладке «Анализ данных».

Для определения собственного риска акции «МТС» в качестве входного интервала Х вводим значения доходности индекса, в качестве входного интервала У - значение доходности акции. Ставим галочку напротив «Выводить остатки» (рис.2.7).

Повторяем процедуру для всех трех акций. Результаты регрессии будут на отдельных листах.

Рисунок 2.7 - Окно вывода Регрессии

Формулы индексной модели выглядят следующим образом.

Для доходности:

(2.3)

где б_i - альфа-коэффициент, коэффициент смещения - доходность акции, свободная от рыночных факторов;

r_m - ожидаемая доходность рыночного индекса;

e_i - случайная составляющая, или ошибка регрессии (в дальнейшем ей пренебрегают);

в_i - бета-коэффициент - чувствительность доходности акции к рыночной доходности.

Слагаемое в_ir_m показывает компоненту доходности, зависящую от рынка. Параметры альфа и бета находятся методом наименьших квадратов из системы уравнений.

В листах результатов будут «Пересечение с осью У» и «Переменная Х1». Это и есть соответственно альфа- и бета-коэффициенты.

По результатам Регрессии получаем следующие индексные модели:

Доходность акций «МТС» -

Доходность акций «Армада» -

Доходность акций «Мегафон» -

Для риска:

акционерный капитал доходность акция

(2.4)

где - дисперсия i-й акции;

- дисперсия рыночного индекса;

- дисперсия остатков e_i.

Первое слагаемое показывает рыночный риск, а второе - специфический риск, от которого можно избавиться путем диверсификации.

Также в результатах будут остатки. Посчитаем по функции «ДИСП» дисперсию остатков - это и будет собственный риск:

акций «МТС» -

акций «Армада» -

акций «Мегафон» -

Найдем с помощью функций ожидаемую доходность (СРЗНАЧ) и дисперсию рынка (ДИСП):

акций «МТС» -

акций «Армада» -

акций «Мегафон» -

индекса ММВБ - ,

Выпишем на отдельном листе доходность рынка, безрисковую ставку, дисперсию рынка, заданную доходность (ее задаем самостоятельно в диапазоне средних доходностей акций), бета-коэффициент и собственный риск по всем трем акциям. На месте долей ставим нули. Рассчитываем риск и доходность портфеля по формулам:

(2.5)

где - риск портфеля;

x_i - доля i-й акции;

- собственный риск i-й акции;

в_i - бета-коэффициент i-й акции;

m_p - заданное значение доходности портфеля.

Открываем надстройку Excel «Поиск решения», вводим целевую функцию из формулы (2.5), также вводим два ограничения. Указываем, что целевая функция минимизируется. Ограничение по неотрицательности долей не вводим. Отрицательные доли означают заемные средства (рис.2.8).

Рисунок 2.8 - Окно Поиска решений

Результат расчетов приведен на рис.2.9.

Рисунок 2.9 - Формирование оптимального портфеля

Получаем оптимальный портфель, состоящий на 13% из акций «МТС», на 23% из акций «Армада» и на 64% из акций «Мегафон» при заданной среднедневной доходности 0,6%. При этом риск портфеля будет минимальным и составит

Задание 3. Используя дневные котировки трех акций, построить ковариационную матрицу, рассчитать по каждой акции доходность и риск. Самостоятельно задать доходность портфеля. Определить доли акций в оптимальном портфеле по модели Марковитца.

Решение.

Копируем на новый лист котировки трех акций и превращаем их в доходность по формуле (2.1). Ковариационную матрицу строим с помощью функции «КОВАР». Выглядит ковариационная матрица для трех активов следующим образом (активы 1, 2, 3):

(2.6)

Получили ковариационную матрицу:

Найдем ожидаемую доходность каждой акции (она найдена в задании 2), зададим доходность портфеля (аналогично предыдущему заданию). Зададим целевую функцию и ограничения по следующим формулам:

(2.7)

где V_p - целевая функция;

V- матрица ковариаций (диагональные элементы этой матрицы являются дисперсиями);

X - матрица-столбец долей активов;

M - матрица-столбец ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель;

I^Т - единичная матрица-столбец;

m_p - заданное желаемое значение доходности портфеля.

Решение задачи выглядит следующим образом:

(2.8)

где J₁ = I^TV-¹I, J₁₂ = I^TV-¹M, J₂ = M^TV-¹M.

Так как формулы матричные, то используем такие функции Excel, как «МОБР» (нахождение V-¹), «ТРАНСП», «МУМНОЖ». Сначала находим J₁, J₁₂, J₂, затем вектор-столбец Х. Сумма его элементов должна быть равна единице.

Получим решение, представленное на рис.2.10.

Рисунок 2.10 - Формирование оптимального портфеля Марковитца с заданной доходностью

Получаем оптимальный портфель, состоящий на 11,37% из акций «МТС», на 22,35% из акций «Армада» и на 66,28% из акций «Мегафон» при заданной среднедневной доходности 0,6%. При этом риск портфеля будет минимальным и составит

Задание 4. Используя дневные котировки индекса ММВБ и трех акций, рассчитать бета-коэффициенты для каждой акции и определить доли акций в арбитражном портфеле.

Решение.

Бета-коэффициенты посчитаны в задании 2, но мы их посчитаем по формуле (2.9).

(2.9)

где cov_im- ковариация между акцией и рынком.

Для этого используем функции Excel «КОВАР» и «ДИСПР».

Получим следующие значения (рис.2.11).

Рисунок 2.11 - Бета-коэффициенты

Арбитражный портфель должен соответствовать двум условиям: быть портфелем с нулевыми инвестициями и иметь нулевой риск (т.е. нулевой бета-коэффициент). Эти условия показаны следующими уравнениями:

(2.10)

Строим систему уравнений для нашего случая:

х₁ + х₂ + х₃ = 0,

в₁х₁ + в₂х₂ + в₃х₃ = 0.

Уравнений больше, чем неизвестных, поэтому мы фиксируем долю х₁, равной 0,1. Решаем систему методом методом Крамера (рис.2.12).

Рисунок 2.12 - Формирование арбитражного портфеля

Получаем арбитражный портфель, состоящий на 10% из акций «МТС», на -43,16% из акций «Армада» и на 33,16% из акций «Мегафон». При этом риск портфеля составит в = 0, а среднедневная доходность - -0,3%.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ