Модель рынка с мягкой скупкой акции (Обесценивание акции)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Часть вторая

Модель рынка с мягкой скупкой акции (Обесценивание акции)



Содержание

Модель рынка с мягкой скупкой акции (Обесценивание акции)

Описание модели

Вычисление мартингальных мер. Параметризация множества мартингальных мер

Вычисление верхней и нижней цен для европейского опциона

Хеджирование динамических финансовых обязательств



Модель рынка с мягкой скупкой акции (Обесценивание акции)

В этом разделе учебного пособия рассматривается реализация общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна. Моделируется ситуация появления на рынке жесткого скупщика, который в случайный момент времени может изъять акцию из оборота, заплатив ее стоимость, затем в случайный момент времени вернуть акцию на рынок. В промежутке между изъятием акции и появлением ее на рынке акция «превращается» в банковский счет.

Описание модели

Модель описывается следующей системой разностных уравнений:

, , (2.1)

где , бинарные случайные величины.

Нетрудно установить связь между общей моделью и моделью (2.1). Развитие на рынке можно представить в виде дерева:

Рис. 2.1. Черные вершины дерева обозначают события, связанные со скупкой акции.

Комментарий к рис. 2.1. Белым цветом закрашены те атомы, где чёрным цветом закрашены те атомы, где Один из возможных путей изменения цены акции выделен на рисунке всего таких путей-где N-терминальный момент времени. На этом пути акция скупается в момент и появляется на рынке в момент . Обведены две принципиально разные ситуации:

1) когда предыдущий атом-белый

2) когда предыдущий атом-чёрный.

Возможны следующие ситуации поведения акции:

Видно, что в 3-м и 4-м случаях акция ведёт себя как банковский счёт.

Вычисление мартингальных мер. Параметризация множества мартингальных мер

Рассмотрим естественную фильтрацию

,

- алгебра случайных событий, связанных с набором

. Например, в алгебре содержится событие

.

Используем следующие обозначения, сокращающие выкладки:

.

В этих обозначениях

,

следовательно, дисконтированная стоимость акции:

. (2.2)

Для вычисления мартингальных мер используем мартингальное равенство

Так как

то его можно вынести за знак условного математического ожидания (по свойству уловного математического ожидания):

.

Из мартингального равенства следует

,

которое можно записать в следующем виде:

(2.3)

Пусть

предсказуемая последовательность, удовлетворяющая условию: . Положим

,

тогда решением (2.3) будет:

(2.4)

Уравнения (2.4) определяют в параметрическом виде множество мартингальных мер эквивалентных исходной мере, которая нагружает все атомы.

Относительно рассматриваемого рынка можно сделать следующие выводы:

1) рынок безарбитражен, так как множество мартингальных мер непусто.

(см. первую фундаментальную теорему финансовой математики);

2) рынок неполон, так как множество мартингальных мер состоит из бесконечного числа элементов. (см. вторую фундаментальную теорему финансовой математики);

3) вместо одной справедливой цены С мы имеем дело с интервалом справедливых цен [5, стр. 39] где нижняя цена финансового обязательства (цена покупателя), а верхняя цена финансового обязательства (цена продавца).

Вычисление верхней и нижней цен для европейского опциона

Для нахождения верхней и нижней цен необходимо решить задачу (1.32), решение которой определяется формулами (1.34). Произведем вычисления по этим формулам.

Значение в терминальный момент времени

известно. Сделаем один шаг назад. Возможны 2 ситуации:

1)

Тогда

,

здесь и далее верхние индексы «ч» и «б» обозначают значения в черных и белых вершинах соответственно.

2)

Распространим эти формулы.

Найдём

(для произвольного n)

Отсюда

. (2.5)

Вычислим теперь параметры верхнего хеджа.

а)

б) , .

Поскольку нижний хедж и нижняя цена находятся аналогично, то мы предоставляем эту возможность читателю.

Среднеквадратический хедж. Вычисление среднеквадратического хеджа. кокс скупщик хеджирование мартингальный

Пусть

- некоторое

-измеримое платёжное обязательство. На полных безарбитражных рынках продавец опциона имеет возможность при некотором начальном капитале x и некоторой стратегии р в точности воспроизвести

, в том смысле, что с вероятностью единица

В случае же неполных (безарбитражных или арбитражных) рынков ситуация усложняется и надеяться на точное воспроизведение уже не приходится.

В настоящем пункте оптимальное хеджирование будет пониматься в ином смысле, а именно, как возможность с “наибольшей точностью” воспроизвести без c использованием самофинансируемого портфеля. Качество воспроизведения измеряется среднеквадратическим отклонением портфеля. То есть

.

Таким образом, требуется решить задачу:

. (2.6)

Еще раз отметим, что риск минимизируется по начальному капиталу x и по портфелю . Заметим, что финансовое обязательство должно удовлетворять дополнительному условию:, Однако, так как пространство элементарных событий Щ конечно, то для этого достаточно, чтобы было конечным, кроме того будем считать, что вероятностная мера, по которой происходит интегрирование является мартингальной мерой. Из самофинансируемости портфеля и мартингальности меры следует, что

-

мартингал и

.

Положим

и используем равенство:

.

Отсюда

Справедливо неравенство

Равенство достигается при

.

Следовательно оптимальное значение для :

.(2.7)

Образуем последовательность

с

Для

имеет место представление:

.

Покажем, что последовательность

мартингал.

При доказательстве этой формулы было использовано телескопическое свойство условного математического ожидания.

Теперь докажем эквивалентность:

.

Заметим, что

.

1) Докажем

2) Докажем

.

Найдём такую последовательность при которой последовательность

образует мартингал или, при какой последовательности

Проведем ряд преобразований

В последнем слагаемом применим телескопическое свойство условного математического ожидания. В результате:

Вынесем измеримые величины вынесены за знак условного математического ожидания:

Рассмотрим два случайных события из алгебры . Первое событие:

и событие . Представим последнее равенство в виде:

,

которое преобразуется в равенство:

.

Из определения условного математического ожидания

.

Таким образом - произвольное число (можно положить

)

, .

Следовательно,

(2.8)

Покажем, что при такой предсказуемой последовательности для любой другой последовательности г справедливо следующее:

Значит, для любой пары (р,х) справедливо:

С помощью последнего устанавливаем, что минимальное значение риска

(2.9)

Где

и вычисляются по формулам (2.7) и (2.8) соответственно. Зная начальный капитал и число единиц рискового актива, находим дисконтированный капитал

,

и из условия самофинансирования находим

Для упрощения вычислений введём процесс

тогда:

Отметим, что последовательность - дисконтированный капитал совершенного хеджа на полном и безарбитражном рынке. Вычислим

:

в этом случае .

Следовательно,

. (2.10)

Предоставляем читателю возможность завершить выкладки, связанные с вычислением оптимального среднеквадратичного хеджа. Несколько слов по поводу выбора мартингальной меры для среднеквадратичного хеджирования. Допустим, что продавец и покупатель опциона договорились о цене контракта , выбрав ее из интервала справедливых цен. Тогда мартингальная мера, которая параметризуется предсказуемой последовательностью , должна удовлетворять уравнению

.

Решений у такого уравнения бесконечное множество, поэтому необходимо дополнительное ограничение, которое может выглядеть, например, следующим образом:

.

Хеджирование динамических финансовых обязательств

Рассматрим вычисление верхнего хеджа для опциона американского типа. Напомним, что задача вычисления верхнего хеджа (стратегия продавца опциона) выглядит следующим образом:

, (2.11)

где - множество мартингальных мер эквивалентных исходной мере.

Покупатель опциона решает задачу о выборе оптимального в смысле получения прибыли момента предъявления опциона (момента остановки). Понятно, что момент остановки зависит от состояния рынка, то есть является случайной величиной, принимающей значения из множества N=, определенной на . Естественно, что покупатель и продавец используют одну и туже информацию, поэтому момент остановки согласован с фильтрацией. Выберем один из возможных эквивалентных способов согласования, который сформулируем в виде определения.

Определение 2.1. Марковским моментом остановки или просто моментом остановки называется случайная величина , для которой случайное событие .

Легко доказывается, что следующие случайные события:

также принадлежат

. Случайное событие

.

Так как , то . Событие

,

следовательно принадлежит , так как - алгебра. Событие принадлежит , так как - алгебра. Важно отметить, что события

и

принадлежат, то есть решение об остановке или продолжении в момент времени покупатель может принимать, только на основе информации доступной в момент времени .

Задача покупателя известна в литературе как задача об оптимальной остановке случайного процесса и является по отношению к задаче продавца двойственной. Задача об оптимальной остановке выглядит следующим образом.

Имеется адаптированная последовательность

.

Будем предполагать, что

. Требуется найти оптимальный момент остановки , чтобы средний выигрыш . То есть задача покупателя американского опциона заключается в вычислении

. (2.12)

В решении задачи (2.12) «работает» метод обратной индукции (метод Беллмана), который в этой задаче реализуется следующим образом.

Введем последовательность

: .

Определим также для моменты остановки . Прокомментируем появление этих элементов и то, как это связано с обратной индукцией. Допустим, покупатель решил остановиться в момент времени , в этом случае его выигрыш равен

.

Рассмотрим поведение покупателя в момент времени (индуктивный переход от к ). У покупателя есть две возможности.

Первая остановиться в момент времени , в этом случае его выигрыш составит .

Вторая продолжить, в этом случае выигрыш составит, с учетом, что далее его поведение будет оптимальным,

Естественно, что оптимальное поведение в момент -

.

При таком поведении выигрыш покупателя

.

Продолжив индукцию, получим

.

Более строго эти рассуждения формулируются в виде теоремы.

Теорема 2.1. Последовательность и моменты , определенные соотношением (2.13) обладают следующими свойствами:

a) ,

b) ,

для любого ,

c) ,

в частности

Решив задачу об оптимальной остановке можно перейти к решению задачи вычисления верхнего хеджа для динамического финансового обязательства.

Основные формулы необходимые для вычисления являются результатом теоремы.

Теорема 2.2. «Основные формулы для хеджирования , потребления и капитала». Пусть P(P)?Ш и

-

последовательность неотрицательных платежных функций таких, что

.

Тогда найдется хедж и потребление H такие, что соответствующий капитал

(а)

эволюционирует в соответствии с «балансовыми условиями»

(б),

при этом определяется формулой

,

динамика определяется формулой

, где

, (2.13)

компоненты и H находятся из опционального разложения

, из

.

Доказательство. Пусть

-

супермартингал, удовлетворяющий ограничениям задачи (2.11), тогда для любой меры и любого момента остановки выполняется неравенство

.

Отсюда решение задачи (2.11) удовлетворяет неравенству

.

Докажем, что - супермартингал. Это следует непосредственно из определения . Из определения также следует, что удовлетворяет ограничениям задачи. Вычислим . Для этого введем моменты остановки

.

Теперь установим следующий факт:

Применим метод математической индукции. Для N свойства очевидны. Пусть свойства установлены для . Покажем, что тогда они выполняются для . Вычислим

.

Выберем некоторую базовую меру и - плотность меры относительно . Обозначим

.

Рассмотрим последовательность

,

Тогда

.

Применим формулу замены меры:

,

в результате

.

Отсюда

где

.

Рассмотрим два случайных события:

и .

Оба этих события принадлежат алгебре и .

Поэтому

В результате

В очередной раз используем телескопическое свойство условного математического ожидания

Отсюда в частности возникает формула для . Следовательно,

Из неравенства

Вытекает

и - дисконтированный капитал оптимального портфеля, компоненты которого вычисляются по формулам (2.14).

Для рассматриваемой модели случайная последовательность вычисляется по формуле:

.

После подстановки параметрического представления мартингальной меры получаем формулы для дисконтированного капитала:

,

(2.15)

Зная дисконтированный капитал, можно вычислить компоненты портфеля и процесс потребления, используя опциональное разложение. Для момента времени запишем систему неравенств

,

которая должна выполняться. Рассмотрим два варианта.

1) . Система неравенств приобретает вид

выполняется при любом значении . Это следует из (2.15).

2) . Система неравенств приобретает вид

или в эквивалентном виде

.

Единственным решением является

.

При этом неравенства превращаются в равенства. Таким образом,

.(2.16)

Для вычисления процесса потребления запишем равенства, которые должны выполняться

,

и также рассмотрим два случая.

1) . Из (2.16) и (2.15) следует, что

.

2) . Из (2.16) и (2.15) следует, что . Таким образом, процесс потребления

.(2.17)

Вторая составляющая портфеля вычисляется также, как и раньше

. (2.18)

Таким образом, получено решение довольно трудной задачи вычисление верхней цены и оптимального портфеля для динамического финансового обязательства на неполном безарбитражном рынке.

Размещено на Allbest.ru