Основы актуарной математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Практическая работа №1

по дисциплине «Основы актуарной математики»

1. При какой ставки сложных процентов за 1,5 года сумма удваивается?

Решение:

Sn=P(1+i)*n

2=1(1+i)*1.5

(1+i)*1.5=2

Прологарифмируем полученное выражение:

1.5lg(1+i)=lg2; lg2=0.3;

1.5lg(1+i)=0.3;

Lg(1+i)=0.02

i=0,58

Ответ: За 1,5 года сумма увеличится на 0,58%

В день рождения внука бабушка положила в банк $1000 под 4 % годовых. Какой будет эта сумма к семнадцатилетие внука?

Решение:

S=S0*(1+P/100*n)

где S0 - первоначальная сумма вклада y.e.

P - годовой процент

N - срок вклада

S=1000*(1+4/100*17)=1680 y.e.

При сложных процентах:

S=S0*(1+P/100)n

S=1000*(1+4/100)*17=17680 y.e.

Ответ: При простых процентах к семнадцатилетию внука сумма буден равна 1680 y.e., а при сложных процентах 17680 y.e.

2. Как найти инфляцию за квартал, если известна годовая инфляция?

Решение:

Пусть a инфляция за год, тогда инфляция за квартал x находится из уравнения

(1+х)4 = 1+а => 1+х = => x = - 1

Ответ: инфляция за квартал x = - 1

3. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

Решение:

По формуле требуемая номинальная ставка равна:

j= 0.06+0.12+0.6*0.12=0.1872=18.72%

Для получения приближенного решения можно воспользоваться оценкой и прийти к достаточно точному значению.

7*0.06+0.12=0.18=18%

Ответ: банк должен назначить ставку 18%, чтобы при годовой инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%.

4. Наращение простых процентов с переменной ставкой. Пусть простые проценты за k-й год равны . Найдите наращенную сумму через n лет.

Решение:

S = P*(1+n1i1+ n2i2 + …… + nkik) = P*(1+ ),

где P - первоначальная сумма

it - ставка простых процентов в периоде с номером t, t = 1,k

nt - продолжительность t периода начисления по ставке it, i = 1, k.

5. Наращение сложных процентов с переменной ставкой. Пусть сложные проценты за k-й год равны . Найдите наращенную сумму через n лет.

Решение:

S = P* (1+i1)n1 * (1+i2)n2 ……*(1+im)nm = P*nk,

где i1, i2, i3, ….. im - значения ставок процентов, действующих в соответствующие периоды n1, n2, n3,……. nk времени.

6. По договору зафиксирован платеж через 3 года в размере 1000 д.е. Через год процентная ставка увеличилась. Кому это выгодно: тому, кому будут платить, или тому, кто будет платить?

Ответ: плательщику

7. Найдите пять сумм в прошлом и в будущем, эквивалентных сумме 10 000 грн. в момент времени 0, при ставке процента 20,5%.

Решение:

S= (1+i)n-t * P

S5= (1+0,205)5-0*10 000 = 25 405 грн.

S4= (1+0,205)4-0*10 000 = 21 083 грн.

S3= (1+0,205)3-0*10 000 = 17 496 грн.

S2= (1+0,205)2-0*10 000 = 14 520 грн.

S1= (1+0,205)1-0*10 000 = 12 050 грн.

S-0= (1+0,205)0-0*10 000 = 10 000 грн.

S-1= (1+0,205)-1-0*10 000 = 8298 грн.

S-2= (1+0,205)-2-0*10 000 = 6886 грн.

S-3= (1+0,205)-3-0*10 000 = 5715 грн.

S-4= (1+0,205)-4-0*10 000 = 4742 грн.

S-5= (1+0,205)-5-0*10 000 = 3936 грн.

Ответ: 25405, 21 083, 17 496, 14 520, 12 050, 10 000, 8298, 6886, 5715, 4742, 3936 грн.

8. Вексель номиналом 10 000 учтен банком за 12с+40 дней срока погашения. Определить выкупную стоимость векселя, если учетная ставка равна 26% годовых

Решение:

Дан номинал векселя Р = 10000, количество дней до срока погашения t = 76, учетная ставка i = 26% = 0,26.

S = P * (1 - i/360*t), где 360 - это временная годовая база.

S = 10000 * (1 - 0,26 / 360 * 76) = 9450 д. е.

Ответ: сумма полученная владельцем векселя 9450д. е.

9. Покупатель предложил два варианта расчетов при покупке дачи: 1) $5000 немедленно и затем по $1000 в течение 5 лет; 2) $8000 немедленно и по $300 в течение 5 лет. Какой вариант выгоднее для продавца при годовой ставке процента: а) 10,5% , б) 5%.

Решение:

1000*(1+0,105)5 = 1647,44 + 5000 = 6 647,44$ - выгоднее

1000*(1+0,05)5 = 1276,28 + 5000 = 6 276, 28$

300*(1+0,05)5 = 382,88 + 800 = 8 382, 88$

300*(1+0,105)5 = 494,23 + 8000 = 8 494, 23$ - выгоднее

Ответ: при выплате 5000$ немедленно и затем 1000$ в течении 5 лет, при ставке 10,5% выгоднее и при выплате 8000$ немедленно и затем 300$ в течении 5 лет, при ставке 10,5% выгоднее.

10. Бизнесмен арендовал виллу за $10 000 в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 2.25% Решение. Эта выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна

A=R/i=10000/0.0225=444444.4.

Это в точности годовые процентные деньги, которые стал бы получать арендодатель с 444444,4, помещенных в банк под упомянутую процентную ставку.

11. Заем величиной 12000 грн. был взят под 10,5% годовых на 6 лет. Найти размеры ежегодных выплат при возвращении займа следующими способами:

-погашение долга одним платежом в конце срока;

По таблице мультиплицирующих множителей M(6;10,5) = 1,772 Значит искомый платеж равен:

R = 12 000*1,772 = 212,64 грн.

-погашение основного долга одним платежом в конце:

R = iD + D = 0,105 * 12 000 + 12 000 = 13260 грн.

-погашение основного долга равными годовыми выплатами:

R1 = D/n + iD = 12000/6 + 0.105*12000 = 2000 + 1260 = 3260 грн.

R2 = D/n + i(D-D/n) = 12000/6 + 0.105*10000 = 2000 + 1050 = 3050 грн.

R3 = D/n + i(D-2D/n) = 12000/6 + 0.105*8000 = 2000 + 840 = 2840 грн.

R4 = D/n + i(D-3D/n) = 12000/6 + 0.105*6000 = 2000 + 630 = 2630 грн.

R5 = D/n + i(D-4D/n) = 12000/6 + 0.105*4000 = 2000 + 420 = 2420 грн.

R6 = D/n + i(D-5D/n) = 12000/6 + 0.105*2000 = 2000 + 210 = 2210 грн.

-погашение займа равными годовыми выплатами;

Из таблицы коэффициентов приведения ренты находим а(6;10,5) = 4,35526

Значит R = 12 000/4,35526 = 2755,289 грн.

-погашение потребительского кредита равными ежемесячными выплатами;

R = D*(1+ni)/nm = 12000 * (1 + 6 * 0,105) / 6*12 = 39120грн.

-формированием погасительного фонда по более (вдвое) высоким процентам и погашением долга одним платежом в конце:

Процентная ставка погасительного фонда в 2 раза больше, следовательно

g = 2i = 34% = 0,34.

Размер фонда должен составлять

S = D = (1+i)n = 12000*(1+0,105)6 = 12000*1,820 = 21840 грн.

Фонд представляет собой ренту, тогда S будет наращенная величина ренты. Из формулы наращенной величины найдем ежегодный платеж.

R = S / s(6,34)

s(6,34) = ((1+0,34)6 - 1) / 0,34 = 14.086 R = 21840 / 14.086 = 1550,47 грн.

12.Задан инвестиционный проект: Inv = 40000 д.е., последующий годовой доход при 9% годовых равен R=10000, длительность проекта 7 лет. Найти характеристики инвестиционного проекта, то есть NPV, NFV, срок окупаемости (если проект окупается) и IRR.

Решение: Поток доходов есть конечная годовая рента с годовым платежом R, длительностью n лет. Современная величина этой ренты

A = R*a(n,i),

где а(7;9) = 5,0329528. Значит приведенный чистый доход проекта есть

NPV = Inv + R* а(7,9) = - 40 000 + 10 000 * 5,0329528= 10329,528 грн.

d = NPV/ Inv = 10329,528/40 000 = 0,25 = 25%

Для нахождения внутренней доходности найдем такое g, что а (7,g) = 40 000/10 000 = 4; a(7,25) = 3,1611392 => g = 31%.

NFV = NPV*(1+i)tn = 10329,528 *(1+0,9)7 = 923327,315 грн.

Внутренняя норма доходности авансированного в проект капитала IRR = (10329,528/40 000)*100 = 25%.

13.Оборудование стоимостью 10000 д.е. арендуется сроком на 5 лет. Срок амортизации оборудования 8 лет. Рассчитайте ежегодный арендный платеж, если ставка равна 11% годовых.

Решение: Остаточная стоимость оборудования равна

S = P(1-nh) =>10 000*(1-5*0,08) = 6 000 д.е.

Следовательно годовой платеж

инфляция процент вексель заем

R = (P - S/(1+j)n) / a(n,j) = (10 000 - 6000/(1 + 0,11)5)/2,8034730 = 6439/2,8034730 = 2296,7940 д.е.

Ответ: ежегодный арендный платеж 2296,7940 д.е.

Размещено на Allbest.ru