Математика рынка ценных бумаг

Размещено на http://www.allbest.ru

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного обучения

6 курс

Контрольная работа

по курсу «Математика рынка ценных бумаг»

Вариант №15

Минск 2014



Задача 1.1.15. Наращение и дисконтирование. Кредитные расчеты

Заем D =20 000 д.е. взят на л = 8 лет под / = 8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер это выплаты. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

кредитный процентный облигация ценный фондовый

Решение:

Величину ренты при сложной процентной ставке определим по формуле:

Размер ежегодной выплаты составит 3480 д. е.

Величина ренты при простой процентной ставке:

Размер ежегодной выплаты составит 2700 д. е.

Задание 1.2.15. Потоки платежей. Ренты

Для ренты с параметрами: годовая ставка процента r = 12%, годовой платеж R = 400 д.е., длительность ренты п = 6 лет, получить следующие ее характеристики: коэффициенты приведения и наращения, современную и наращенную величины. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение:

Для сложных процентов.

Современная величина ренты при сложной процентной ставке:

,

где r - процентная ставка, - коэффициент приведения.

Наращенная величина ренты при сложной процентной ставке:

где - коэффициент наращения.

Находим коэффициент приведения:

Современная величина ренты: 400·4,111 = 1644,4 д. е.

Коэффициент наращения:

Наращенная величина: 8,115·400 = 3246 д. е.

Для простых процентов.

Современная величина ренты при простой процентной ставке:

, где i - ставка простых процентов,

- коэффициент приведения.

Наращенная величина ренты при простой процентной ставке:

, где - коэффициент наращения.

Найдем коэффициент приведения:

Современная величина ренты: 400·5,357 = 2142,8 д. е.

Коэффициент наращения:

Наращенная величина: 7,8·400 = 3120 д. е.

Задача 1.3.15. Реальная и эффективная ставки. Анализ облигаций

Первый инвестор осуществил покупку одного ГКО по цене 85% от номинала, а затем продажу по цене 86% от номинала. Второй инвестор купил одну корпоративную облигацию по цепе 85% от номинала. По какой цене (в процентах от поминала) он должен продать корпоративную облигацию, чтобы получить прибыль в два раза большую, чем первый инвестор от операции с ГКО (учесть налог на прибыль)?

Решение:

Определим доходность операции, совершенной первым инвестором:

0,86/0,85 = 1,0118,

прибыль составляет 1,2%, с учетом налога на прибыль в размере 10%, получим значение чистой прибыли:

1,2%·0,9 = 1,08%.

Тогда чистая прибыль второго инвестора должна составлять 1,08·2 = 2,16%.

Прибыль без учета налога: 2,16/0,9 = 2,4%. Доходность сделки должна составлять 1,024.

Находим цену продажи акции:

85%·1,024 = 87%.

Второй инвестор должен продать акцию по цене 87% от номинала.

Задача 2.2.15 Оптимальный портфель ценных бумаг

С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4, 10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными 6, 34 и 60%. Проверить компьютерные расчеты.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 11.2.

Таблица 11.2

Вариант	(m1, r1)	(m2, r2)	(m3, r3)	rp	(х1, х2, х3), %	mmax	r
15	(10,21)	(20,34)	(10,47)	27	(6, 49, 25)	23,9	26,95

Решение:

Найдем ожидаемую доходность портфеля:

=m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₃ =10*0,06+20*0,49+10*0,25=12,9.

Расчеты ожидаемой доходности оказались неверными (по расчетам компьютера это значение равно 23,9).

Найдем риск портфеля:

Дисперсия:

V_p = r₁²•x₁² + r₂²•x₂² + r₃²•x₃² = 0,21²*0,06² + 0,34²*0,49²+ +0,47²*0,25² = 0,0417.

Тогда риск портфеля равен: r = =20,42%

Значение риска портфеля, рассчитанное компьютером, оказалось неверным.

Задача 3.1.1. Оценка стоимости вторичных ценных бумаг

Продавец реализует опцион колл на акцию компании «В» с ценой исполнения 30 руб. Цена за опцион (премия), полученная продавцом, составляет 4 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 32 руб. Определите, прибыль или убыток получил покупатель опциона.

Решение:

Так как рыночная цена на момент исполнения выше цены опциона S>K, то прибыль опциона составит 32 - 30 = 2 руб., с учетом прими заплаченной продавцу, доход покупателя составит 2 - 4 = -2 руб. Следовательно, покупатель окажется в убытке, что бы оказаться в точке безубыточности, рыночная цена акции должна составлять 34 руб.

Задача 3.1.2

Инвестор приобрел опцион стрэнгл на акции компании «А» со стеллажными точками (цены исполнения)140 и 180 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 50 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила:

в) 260 руб.

Решение

Так как рыночная цена поднялась, то эффективным будет опцион колл. Доход, по которому составит 260 - 140 = 120 руб., с учетом премии уплаченной продавцу прибыль инвестора составит 120 - 50 = 70 руб.

Задача 3.2 (б-15)

По Формуле Блэка-Шоуэлса рассчитать цену опциона колл и фьючерса, а затем найти цену опциона пут.

вариант	15
Т	10
r	0,1
у	0,1
S	100
K	70

Решение:

Опцион-колл. В этом случае . Цена опциона колл:

Фьючерс.

Для фьючерса .

Цена фьючерса: .

ден. ед.

Опцион-пут. , откуда легко находится .

Цена опциона пут: =77,92-77,92 = 0 ден. ед.

Задача 4 (В9) Статистика фондового рынка и элементы технического анализа

Из таблицы приложения (результаты торгов акциями ЛУКойл НК) в соответствии с последней цифрой Вашей зачетной книжки выберите необходимые исходные данные (25 строк) для выполнения контрольной работы:

По данным Вашего варианта выполните следующие задания:

Постройте график - гистограмму.

Постройте график японских свечей.

Рассчитайте по ценам закрытия:

а) нормированный 5-уровневые инерционный осциллятор;

б) осциллятор нормы изменения.

4. Рассчитайте по ценам закрытия:

а) 5-уровневую невзвешенную скользящую среднюю (МА5);

б) 5-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА5);

в) 9-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА9).

5. На основе полученных экспоненциальных средних рассчитайте значения уровней и постройте на графиках:

а) сигнальную линию (применив осреднение по 7 уровням);

б) линию MACD;

в) MACD-гистограмму.

В пунктах 3 - 5 все расчеты должны быть приведены полностью, а также сделаны соответствующие ссылки на использованное программное обеспечение.

6. Проведите анализ построенных графиков и рассчитанных показателей: дайте общую характеристику динамики цены в рамках данного периода, укажите точки изменения тренда и определите возможные торговые сигналы. Сделайте выводы о степени соответствия Ваших прогнозов фактической динамике цены в последующий период.

Решение:

1. Построим гистограмму с помощью Excel (для всех остальных графиков и расчетов будет использоваться названное ПО):



2. Построим график японских свечей

3. рассчитаем по ценам закрытия нормированный 5-уровневый инерционный осциллятор:

Инерционный осциллятор представляет собой разность текущего значения цены и ее значения, зафиксированного несколько дней назад:



где - цена закрытия или средневзвешенная цена i-ro дня;

- цена закрытия или средневзвешенная цена х дней назад.

Данный осциллятор оценивает скорость роста или падения уровней цены. При этом с уменьшением временного интервала х он становится более чувствительным к изменениям исследуемой динамики.

Для повышения аналитичности инерционный осциллятор нормируется. Для этого за определенный временной интервал выбирается его максимальное по модулю значение и все другие значения делятся на этот максимумом. На графике нормированный инерционный осциллятор будет изменяться в интервале от -1 до +1. Приближение его к данным границам будет свидетельствовать о большой скорости изменения цены и, следовательно, о возможном приближении состояния перекупленности или перепроданности рынка.

Осциллятор нормы изменения ROC (rate of change) представляет собой отношение текущего значения цены к ее уровню, зафиксированному несколько дней назад:

Данный осциллятор принимает только положительные значения, которые на графике колеблются относительно центральной линии, соответствующей 100%. Кривая осциллятора примерно соответствует кривой осциллятора инерции. Однако, в отличие от последней она характеризует не скорость, а интенсивность изменения уровней или потенциал роста.

Расчет инерционного осциллятора, нормированного инерционного осциллятора, а так же осциллятора нормы изменения представлен в таблице 4.1.

Таблица 4.1

Дата	Цена закрытия	Mx = ЦЗi - Цзi-4	Нормированный осцилятор	ROC=Цзi/Цзi-1
20.10.1998	65,00
21.10.1998	69,00
22.10.1998	59,30
23.10.1998	62,10
26.10.1998	63,00
27.10.1998	62,85	-6,15	-0,430	96,69%
28.10.1998	59,50	0,20	0,014	86,23%
29.10.1998	62,50	0,40	0,028	105,40%
30.10.1998	65,00	2,00	0,140	104,67%
02.11.1998	65,45	2,60	0,182	103,89%
03.11.1998	65,40	5,90	0,413	104,06%
04.11.1998	70,00	7,50	0,524	117,65%
05.11.1998	65,95	0,95	0,066	105,52%
06.11.1998	66,40	0,95	0,066	102,15%
10.11.1998	67,00	1,60	0,112	102,37%
11.11.1998	67,00	-3,00	-0,210	102,45%
12.11.1998	71,40	5,45	0,381	102,00%
13.11.1998	76,00	9,60	0,671	115,24%
16.11.1998	79,90	12,90	0,902	120,33%
17.11.1998	79,60	12,60	0,881	118,81%
18.11.1998	80,00	8,60	0,601	119,40%
19.11.1998	79,50	3,50	0,245	111,34%
20.11.1998	82,50	2,60	0,182	108,55%
23.11.1998	93,90	14,30	1,000	117,52%
24.11.1998	91,80	11,80	0,825	115,33%

4. Рассчитаем по ценам закрытия:

а) 5-уровневую невзвешенную скользящую среднюю (МА5):

Формула простой скользящей средней k-гo порядка - MA(k) (moving average) имеет следующий вид:

,

где p_i - цена i-го периода,

k - порядок скользящей средней,

j - порядковый номер скользящей средней (j = k,n).

Расчет 5-уровневой невзвешенной скользящей средней представлен в таблице 4.2.

б) 5-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА5):

Экспоненциальная скользящая средняя k-го порядка -EMA(k) (exponential moving average) по своей природе также является дисконтированной величиной. Однако, в отличие от взвешенной скользящей средней она отражает не только динамику уровней в рамках периода осреднения, но и учитывает все предшествующее развитие. Экспоненциальную скользящую среднюю будем рассчитывать по формуле:

EMA(k)_i = ·p_i + (1 - )·EMA(k)_i-1

При этом начальным уровнем в цепочке скользящих средних является простая средняя k-го порядка:

.

Параметр равен: = 2/(5+1) = 0,333.



Расчет 5-уровневой экспоненциальную скользящую средней (ЕМА5) представлен в таблице 4.2.

в) 9-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА9):

Параметр равен:

=2/(9+1) = 0,2.

Расчет 9-уровневой экспоненциальную скользящую средней (ЕМА9) представлен в таблице 4.3.

Таблица 4.2

Цена закрытия	сумма	5-уровневая невзвешенная скользящая средняя (МА5)	?·pi	EMAi	(1-?)·EMAi-1	ЕМА5
65,00
69,00
59,30
62,10
63,00				63,68
62,85	316,25	63,25	20,93	63,25	42,47	63,40
59,50	306,75	61,35	19,81	61,35	42,19	62,00
62,50	309,95	61,99	20,81	61,99	40,92	61,73
65,00	312,85	62,57	21,65	62,57	41,35	62,99
65,45	315,30	63,06	21,79	63,06	41,73	63,53
65,40	317,85	63,57	21,78	63,57	42,06	63,84
70,00	328,35	65,67	23,31	65,67	42,40	65,71
65,95	331,80	66,36	21,96	66,36	43,80	65,76
66,40	333,20	66,64	22,11	66,64	44,26	66,37
67,00	334,75	66,95	22,31	66,95	44,45	66,76
67,00	336,35	67,27	22,31	67,27	44,66	66,97
71,40	337,75	67,55	23,78	67,55	44,87	68,65
76,00	347,80	69,56	25,31	69,56	45,06	70,36
79,90	361,30	72,26	26,61	72,26	46,40	73,00
79,60	373,90	74,78	26,51	74,78	48,20	74,70
80,00	386,90	77,38	26,64	77,38	49,88	76,52
79,50	395,00	79,00	26,47	79,00	51,61	78,09
82,50	401,50	80,30	27,47	80,30	52,69	80,17
93,90	415,50	83,10	31,27	83,10	53,56	84,83
91,80	427,70	85,54	30,57	85,54	55,43	86,00

Таблица 4.3

Цена закрытия	a·pi	EMAi	(1-?)·EMAi-1	ЕМА9
65,00
69,00
59,30
62,10
63,00
62,85
59,50
62,50
65,00		63,14
65,45	13,09	63,19	50,51	63,60
65,40	13,08	62,79	50,55	63,63
70,00	14,00	63,98	50,23	64,23
65,95	13,19	64,41	51,18	64,37
66,40	13,28	64,78	51,52	64,80
67,00	13,40	65,24	51,83	65,23
67,00	13,40	66,08	52,20	65,60
71,40	14,28	67,07	52,86	67,14
76,00	15,20	68,29	53,65	68,85
79,90	15,98	69,89	54,63	70,61
79,60	15,92	71,47	55,92	71,84
80,00	16,00	72,58	57,18	73,18
79,50	15,90	74,09	58,07	73,97
82,50	16,50	75,88	59,27	75,77
93,90	18,78	78,87	60,70	79,48
91,80	18,36	81,62	63,09	81,45

5. На основе полученных экспоненциальных средних рассчитаем значения уровней и построим на графиках:

а) сигнальную линию (применив осреднение по 7 уровням):

Расчет 7-уровневой экспоненциальную скользящую средней (ЕМА7) представлен в таблице 4.4. (б=0,25)

Таблица 4.4.

Цена закрытия	a·pi	EMAi	(1-?)·EMAi-1	ЕМА7
65,00
69,00
59,30
62,10
63,00
62,85
59,50		62,96
62,50	15,63	62,61	47,22	62,85
65,00	16,25	62,04	46,96	63,21
65,45	16,36	62,91	46,53	62,89
65,40	16,35	63,39	47,19	63,54
70,00	17,50	64,39	47,54	65,04
65,95	16,49	64,83	48,29	64,78
66,40	16,60	65,81	48,62	65,22
67,00	16,75	66,46	49,36	66,11
67,00	16,75	66,74	49,84	66,59
71,40	17,85	67,59	50,06	67,91
76,00	19,00	69,11	50,69	69,69
79,90	19,98	70,52	51,83	71,81
79,60	19,90	72,47	52,89	72,79
80,00	20,00	74,41	54,35	74,35
79,50	19,88	76,20	55,81	75,69
82,50	20,63	78,41	57,15	77,78
93,90	23,48	81,63	58,81	82,29
91,80	22,95	83,89	61,22	84,17

Сигнальная линия представляет собой точечный график значений ЕМА7. Построим сигнальную линию:

б) линию MACD:

Показатель, строящийся на основе нескольких экспоненциальных скользящих средних, называется индикатором MACD (MA convergence-divergence: скользящие средние схождения-расхождения). При построении индикатора MACD могут использоваться различные сочетания порядков скользящих, в контрольной работе будем использовать вариант 5-9-7.

Таким образом, для построения данного индикатора необходимо:

Рассчитать по ценам закрытия 5-дневную ЕМА.

Рассчитать по ценам закрытия -9дневную ЕМА.

Вычесть значения ЕМА9 из ЕМА5; в результате получится
быстрая линия MACD.

Построим линию MACD:



Линия MACD отражает изменение настроения участников рынка за короткий промежуток времени, сигнальная линия характеризует изменение этих настроений за более длительные периоды.

в) MACD-гистограмму:

Гистограмма MACD (MACD-H) показывает кто доминирует на рынке - быки или медведи, а также позволяет определить, растет или падает их сила. Для каждого временного периода уровень MACD-гистограммы определяется так: MACD-H = Линия MACD - Сигнальная линия.

Построим МСАD-Н диаграмму:

По всем вышепредставленным графикам можно сделать следующие выводы. На первой гистограмме видно, что и максимальная и минимальная цена, а также цена закрытия возрастает, т.е. наблюдается рост цен за весь период торгов. Однако, если присмотреться более детально, то завметны следующие колебания цен (точки изменения тренда): первые два дня наблюдался рост цены закрытия, 22.10.1998 падение и установление цен на данном уровне до 30.10.1998, небольшой скачок, за которым следует стабильный рост цен закрытия.

На графике японских свечей преобладают быки (белые свечи), что говорит о движении цены вверх. Последняя свеча на графике - черная, так что следует ожидать падения цены.

Проанализируем осцилляторы: инерционный показывает скорость изменения цен, а осциллятор нормы изменения - интенсивность. На протяжение практически всего периода торгов скорость изменения цен оставалась сравнительно низкой, однако к концу торгов заметны скачки, следовательно цены менялись довольно быстро. Что касается интенсивности - заметных скачков не наблюдается, но имеются колебания.

Так как линия MACD не пересекает сигнальную линию, то сигналов для покупки или продажи нет. Насколько соответствуют прогнозы будущей действительности судить невозможно, т.к. изменение цен на рынке зависит от огромного числа факторов, но проанализировав все наблюдения, можно принять участие в торгах либо отказаться от них.

Размещено на Allbest.ru