Финансовые операции в банках

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Под финансовой математикой понимаются модели и алгоритмы финансовых расчетов. Базовая финансовая операция - кредитование. Субъекты рынка заключают сделку: кредитор выдает заемщику ссуду с условием, что в установленный срок заемщик вернет кредитору ссуду с наращением (процентами). Ситуация в простейшем случае, когда ссуда выдана на год, показана на рис.5.1.

Обозначим:

P - ссуда;

S - ссуда с наращением ( с процентами);

I - процент;

I = S - P;

кредитование актуарный метод годовая ставка

i = = - годовая ставка процента, в данном случае ставка наращения.

Обратим внимание на некорректность названия величины I - «процент». На самом деле I - это величина наращения ссуды и измеряется в денежных единицах, а не в процентах. Но такова традиционная терминология финансовых операций: сумма наращения называется процентом или процентами.

Обычно при кредитовании предметом договора являются величина ссуды P и годовая процентная ставка i , а ссуда с наращением S является функцией P и i. Выразим S через P и i. S = P(1 + i ). Приведенная формула для S справедлива только при годовом сроке ссуды. Для любого другого срока в формулу нужно ввести время. Традиционно в финансовых расчетах время измеряется в годах, а процентная ставка берется годовая, хотя возможны и другие измерители времени - квартал, месяц, день, на которые может устанавливаться ставка. Все эти условия оговариваются в договоре о предоставлении кредита. Ссуда может выдаваться на любой срок, с любой даты, по любую дату. Первый и последний дни обычно считаются за один день. В разных странах и даже в разных банках одной страны срок ссуды в годах исчисляется по-разному.

Обозначим:

t - срок ссуды в днях;

T - количество дней в году;

n = - срок ссуды в годах.

Величины t и T могут определяться точно по календарю, либо приближенно (округленно). В последнем случае принимается, что год состоит из 12 месяцев по 30 дней в каждом из них. Первый способ обозначается (365/365), а второй - (360/360). Возможны и перекрестные способы. В любом случае при получении ссуды нужно предварительно убедиться, каким способом определяется срок ссуды, т.к. от этого зависит величина процентов.

Величина процентов зависит от величины ссуды, процентной ставки и срока ссуды. Различают простые и сложные проценты. Простыми называют проценты, которые являются линейной функцией от времени. Сложные проценты являются показательной функцией от времени, где время входит в показатель степени.

Простые проценты

Выше была приведена формула наращения для случая, когда ссуда выдана точно на год: S = P(1 + i) . Выведем формулу наращения для произвольного срока ссуды, измеренного в годах (рис.5.1.1).

S1, S2, S3 - ссуда с наращением за 1, 2 и 3 года соответственно.

S1 = P(1 + i) = P + Pi = P + I1

Применим метод индукции.

S2 = P(1 + 2i) ; S3 = P(1 + 3i)

Очевидно, что за n лет

Sn = P(1 + ni)

In = Pni - проценты за n лет.

Видно, что проценты являются линейной функцией времени.

Формулы для вычисления Sn и In были выше написаны для целого числа лет n. Очевидно, что они справедливы и для дробных значений n как меньше, так и больше 1. Напр., нужно вычислить проценты за месяц по приближенному методу (360/360). Тогда n= и Iмес. = Pi/12. Соответственно проценты за день по методу (360/360) равны Pi / 360. Во всех формулах i - годовая ставка процента.

Переменная ставка

При значительных сроках ссуды иногда применяют переменную ставку - напр., когда предполагают изменение темпа инфляции в будущем. Выведем формулу для наращенной ссуды для этого случая.

Обозначим:

t = 1,...,m - номера временных интервалов с различными процентными ставками;

nt - продолжительность t-го интервала в годах;

it - годовая ставка наращения в t-ом интервале.

S = P (1 + n1i1 + ... + nmim) = P (1 + ).

Возврат ссуды по частям

Возврат ссуды с процентами может осуществляться один раз в конце срока ссуды, либо частями в течение этого срока. В последнем случае необходимо рассчитывать величину последнего платежа. Для этого используют два метода: актуарный и торговца.

На рис. 5.1.2 изображена схема расчетов по актуарному методу, который обычно применяется при сроках ссуды более года.

Обозначим:

Р - ссуда;

t = 1,m - номера платежей;

nt - срок t-го платежа в годах от момента получения ссуды;

n - срок ссуды;

i - годовая ставка наращения;

St - сумма долга, накопленная к t-му платежу;

Rt - величина t-го платежа;

Pt - остаток долга после t-го платежа.

Формулы для вычислений:

St = Pt-1(1 + ( nt - nt-1) i );

Pt = St - Rt

Вычисляя все величины последовательно от t = 1 до m, определяем величину последнего платежа : Rm = Sm = Pm-1 ( 1 + (n - nm-1) i).

В любой момент накопленный долг состоит из двух частей: оставшаяся не возмещенной часть ссуды Р и накопленные и непогашенные проценты. Если очередной платеж меньше накопленных и непогашенных процентов, то уменьшение суммы долга не производится, а сумма платежа присоединяется к следующему платежу.

На рис 5.1.3 показана схема расчетов по методу торговца, который обычно применяется при сроке ссуды менее года.

Обозначим:

P - ссуда;

S - ссуда с процентами, S = P(1 + ni);

n - срок ссуды;

t = 1, m - номера промежуточных платежей;

Rt - величина t-го промежуточного платежа;

nt - срок t-го промежуточного платежа;

R - заключительный платеж.

Идея метода торговца заключается в следующем. Пусть в срок nt осуществлен промежуточный платеж Rt. На оставшееся до конца срока ссуды время, равное (n-nt), начисляются проценты, и к концу срока ссуды сумма промежуточного платежа с процентами составит:

St = Rt ( 1 + (n - nt) i

Если таких платежей было m, то к концу срока ссуды накопится сумма платежей с процентами.

Очевидно, что заключительный платеж R должен дополнять накопленную сумму платежей с процентами до величины ссуды с накопленными по ссуде процентами.

P( 1 + ni ) = (1 + ( n - nt) i ) + R

Отсюда получим величину заключительного платежа:

R = P(1 + ni) - (1 + ( n - nt) i)

Сопоставим идеи двух рассмотренных методов промежуточных платежей по ссуде. В актуарном методе каждый платеж уменьшает сумму долга, проценты продолжают начислять на оставшийся долг. В методе торговца каждый платеж не уменьшает суммы долга, но на него начисляются проценты. В конце срока ссуды при заключительном платеже сумма накопленного долга и сумма накопленных платежей должны сравняться.

Дисконтирование (учет).

До сих пор рассматривалась процедура наращения: выданная ссуда Р с течением времени наращивалась процентами и превращалась в ссуду с процентами S. Ставка наращения определялась отношением процентов за год I к ссуде Р. В банковском деле применяется также процедура дисконтирования (учета), которая появилась из операции учета векселей. Вексель - обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму Р, меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала - дисконтом. Схема расчетов по дисконтированию показана на рис.5.1.4 для случая, когда до срока оплаты векселя векселедателем (т.е. тем, кто его выдал) остался год.

Обозначим:

S - номинал векселя;

1 год - срок действия векселя;

D - дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;

Р - цена векселя, т.е. сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.

D = S-P или P = S-D

Легко заметить, что схема дисконтирования очень похожа на схему наращения (рис.5.1). Величины Р и S, D и I совпадают. Разница заключается в том, что в схеме наращения в основу расчетов положена выдаваемая ссуда Р, а вычисляется возвращаемая ссуда с процентами S, при дисконтировании же в основу положен номинал векселя S (т.е. возвращаемая сумма), а рассчитывается сумма денег Р, которую получит продавец векселя.

Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка i считается на величину ссуды Р, а при дисконтировании учетная ставка d считается на номинал векселя S.

Сопоставим :

i = ;

d = ;

Очевидно, что при одинаковых величинах S и Р учетная ставка будет меньше ставки наращения. Запишем формулу расчета Р при известных S и d.

P = S(1- d)

Эта формула справедлива при годичном сроке векселя. Пусть срок действия векселя n лет, где n - неотрицательное число, в том числе дробное. Формула для расчета Р примет вид: P = S(1-nd). Видно, что n и d могут быть такими, что может оказаться nd > 1 и Р станет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S(nd-1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd > 0.

Номинальная и реальная ставки процента

Пусть ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год нужно вернуть эту ссуду с процентами S=P(1 + i). Если имеет место инфляция с темпом j, то за год величина S обесценится.

Обозначим:

Sн - номинальная ссуда с процентами;

Sр - реальная ссуда с процентами, т.е. покупательная способность Sн;

r - реальная ставка процента;

i - номинальная ставка процента;

j - темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

Sн = P(1 + i);

SP = P(1 + r);

Sн = SP (1 + j) = P(1 + r)(1 + j)

Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо Sн подставим ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j) или (1 + i) = (1 + r)(1 + j)

Произведя преобразования, получим:

Это точная формула расчета реальной ставки процента по известным величинам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции применяют приближенную формулу r = i - j. При значительной инфляции нужно применять точную формулу.

Конверсия валюты

Под конверсией валюты понимается перевод финансовых активов из одной валюты в другую, - напр., перевод рублей в доллары или наоборот. В банке можно хранить деньги на рублевом или валютном вкладе. Что выгоднее? Обычно, процентные ставки по рублевым счетам выше, чем по валютным. Это связано с тем, что рубли обесцениваются в связи с инфляцией быстрее, чем доллары, евро и др. Ответ на вопрос, в какой валюте выгоднее хранить деньги в банке, зависит от процентных ставок по рублевому и валютному вкладам, а также от темпа изменения курса национальной валюты. Схема расчетов показана на рис. 5.1.5.

Вся операция рассчитана на год. А, В, С, D - различные состояния во время операции.

Стрелка АВ - хранение денег на рублевом вкладе.

АС - конверсия рублей в доллары, т.е. продажа банком долларов вкладчику.

CD - хранение денег на валютном вкладе.

DB - конверсия долларов в рубли.

РP- сумма вклада в рублях.

Р - сумма вклада в долларах.

SP - рублевая сумма вклада с наращением (с процентами) через год.

S - долларовый вклад с процентами через год.

i - годовая ставка процента по рублевому вкладу.

v - годовая ставка процента по валютному вкладу.

bпр - курс продажи на момент вклада, т.е. цена по которой банк продает доллары за рубли.

bпок - курс покупки через год, т.е. цена , по которой банк покупает доллары.

На стрелках показаны формулы для расчета результатов операций.

SP=PP(1 + i)

результат хранения денег на рублевом вкладе в течение года.

результат первоначальной конверсии рублей в доллары по курсу bпр.

Sд=Рд(1 + v)

результат хранения денег на валютном вкладе в течение года.

SP=Sд·bпок

результат конверсии долларового вклада с процентами в рубли.

Определим условия эквивалентности хранения денег на рублевом и валютном вкладе: в этом случае результат хранения должен быть одинаковым.

Размещено на Allbest.ru