Оптимизация портфеля инвестиций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Псковский государственный политехнический институт

Кафедра «Финансы и кредит»

Курсовая работа

по дисциплине «Финансовая среда предпринимательства и финансовые риски»

на тему «Оптимизация портфеля инвестиций»

Выполнил: Васильева Е.В.

группа: 072-1105С

Проверил: Чиркова Т.Ю.

Псков,

2010

Содержание

Введение

Глава 1. Методы оптимизации портфеля ценных бумаг

1.1 Модель Марковица

1.2 Модель У. Шарпа

1.3 Факторные модели для акций

Глава 2. Оценка риска и доходности портфеля ценных бумаг

Глава 3. Оптимизация портфеля ценных бумаг

Заключение

Список литературы

Введение

Занимаясь инвестициями, необходимо выработать определенную политику своих действий и определить основные цели инвестирования (стратегический или портфельный его характер), состав инвестиционного портфеля, приемлемые виды ценных бумаг; качество бумаги, диверсификацию портфеля и т. д.

Состояние рынка и возможности инвестора определяют выбор его инвестиционной стратегии. Именно поэтому портфельное инвестирование пока ещё не стало преобладающим на отечественном рынке. Однако наметились определенные подходы, реализуемые, в частности, в учете всех приобретенных в результате инвестиционных операций ценных бумаг.

В общем случае под инвестиционным портфелем понимают совокупность нескольких инвестиционных объектов, управляемую как единое целое. Портфель может одновременно включать в себя и реальные средства (землю, недвижимость, станки, оборудование и т.п.), и финансовые активы (ценные бумаги, паи, валюту и др.), и нематериальные ценности (права на интеллектуальную собственность, научно-технические разработки), и нефинансовые средства (драгоценные камни, предметы коллекционирования).

Данная тема является актуальной в связи с тем, что нынешнее состояние финансового рынка заставляет быстро и адекватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвестиционным портфелем резко возрастает и заключается в нахождении той грани между ликвидностью, доходностью и риском, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля. Целью данной работы является оптимизация портфеля ценных бумаг. В соответствии с поставленной целью, необходимо решить следующие задачи: рассмотреть теорию методов оптимизации портфеля ценных бумаг; составить произвольный портфель из акций (4-6 активов); рассчитать доходность и риск портфеля на период, состоящий из 60-100 временных интервалов; а также оптимизировать портфель ценных бумаг.

Глава 1. Методы оптимизации портфеля ценных бумаг

1.1 Модель Марковица

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью «Portfolio Selection», которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор, формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E (r) - ожидаемую доходность и у стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания - обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска у . Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения “доходность-риск”.

Подход начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения. В конце периода владения инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует его в различные ценные бумаги (либо делает и то, и другое одновременно).

В момент времени t=0 инвестор должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг, которые будут находиться в его портфеле до момента времени t1. Подобную проблему часто называют проблемой выбора инвестиционного портфеля. Принимая решение, инвестор может оценить ожидаемую доходность различных ценных бумаг, основываясь на некоторых предположениях, а затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью. Марковиц отмечает, что это будет неразумным решением, так как типичный инвестор хотя и желает, чтобы доходность была более высокой, но одновременно хочет, “чтобы доходность была бы настолько определенной, насколько возможно”. Это означает, что инвестор, стремясь максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать неопределенность (риск) имеет две противоречивые цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке в момент времени t0. Подход Марковица дает возможность адекватно учесть обе эти цели. Он утверждает, что инвестор должен основывать свое решение по выбору портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении (риске). Это означает, что инвестор должен оценить оба этих параметра, а затем сделать выбор портфеля, основываясь на соотношении этих параметров.

Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение - как мера риска. Марковиц предлагает использовать кривые безразличия. Эти кривые отражают отношение инвестора к риску и доходности и, таким образом, могут быть представлены как двухмерный график, где по горизонтальной оси откладывается риск, мерой которого является стандартное отклонение, а по вертикальной оси- вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность.

Рис.2.Кривые безразличия инвестора

Рисунок представляет собой график кривых безразличия гипотетического инвестора. Каждая кривая линия отображает одну кривую безразличия инвестора и представляет все комбинации портфелей, которые обеспечивают заданный уровень желаний инвестора.

В зависимости от восприятия риска инвестором кривые безразличия разных инвесторов различаются:

оптимизация портфель марковиц шарп акция

Рис. 3. Виды инвесторов в зависимости от отношения к риску



все портфели, лежащие на одной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора.

кривые безразличия не пересекаются.

инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой портфель, лежащий на кривой безразличия, которая находится ниже и правее.

Таким образом, Марковиц утверждает, что максимальный доход от портфеля не должен быть основой для принятия решения из-за элементов риска. Для сведения риска к минимуму портфель нужно диверсифицировать. Уменьшение риска, однако, означает и уменьшение доходности. Фактически нужен такой портфель, в котором соотношение риска и дохода было бы приемлемым для инвестора.

Само собой разумеется, что у каждого инвестора свое отношение к риску - его неприятие или стремление к нему в зависимости от угла зрения. Некоторые инвесторы предпочитают высокий риск, в то время как другие стремятся свести его к минимуму. Естественно, что чем выше риск, тем выше должен быть ожидаемый доход.

Диверсификация по Марковицу представляет собой сочетание ценных бумаг, имеющих менее чем позитивную корреляцию с тем, чтобы сократить риск, не сокращая ожидаемого дохода. В целом, чем меньше корреляция между ценными бумагами, тем меньше степень риска по портфелю. Проще говоря, это означает включение в портфель ценных бумаг, из которых одна поднимается в цене в то время, как другая падает.

1.2 Модель У. Шарпа

Выведенные Марковицем правила построения границы эффективных портфелей позволяет находить оптимальный (с точки зрения инвестора) портфель для любого количества ценных бумаг в портфеле. Основной сложностью применения метода Марковица является большой объем вычислений, необходимый для определения весов Wi каждой ценной бумаги. Действительно, если портфель объединяет n ценных бумаг, то для построения границы эффективных портфелей необходимо предварительно вычислить n значений ожидаемых (средних арифметических) доходностей E(ri) каждой ценной бумаги, n величин у2i дисперсий всех норм отдачи и n(n-1)/2 выражений попарных ковариаций уi,j ценных бумаг в портфеле.

В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).

В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две случайные переменные величины - независимую Х и зависимую Y линейным выражением типа Y = б + в*Х. В модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал доходность rm, вычисленную на основе индекса Standart and Poor's (S&P500). В качестве зависимой переменной берется доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&P500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model), а доходность rm - доходностью рыночного портфеля.

Пусть доходность rm принимает случайные значения, и в течение N шагов расчета наблюдались величины rm1, rm2, ... , rmN. При этом доходность ri какой-то i-ой ценной бумаги имела значения ri1, ri2, ... , riN. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами rm и ri в любой наблюдаемый момент времени в виде:

ri,t = бi + вirm,t + еi,t, где (1)

ri,t - доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t (например, 31 декабря 2000 года);

бi - параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг rm;

вi - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;

rm,t - доходность рыночного портфеля в момент t;

еi,t - случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения ri,t и rm,t порою отклоняются от линейной зависимости.

Особое значение необходимо уделить параметру вi, поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.

В общем случае, если вi>1, то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность rm. Соответственно, при вj < 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности rj от средней арифметической (ожидаемой) величины E(r)j, чем рыночная доходность. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом в > 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с в < 1 - менее рискованными.

Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг в > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной в.

Для нахождения параметров бi и вi по результатам наблюдений используется метод наименьших квадратов (МНК). По этому методу в качестве параметров бi и вi берутся такие значения, которые минимизируют сумму квадратов ошибок е. Если провести необходимые вычисления, то окажется, что параметры бi и вi принимают следующие значения:

бi = E(ri) ? вi*E(rm) (2)

Параметры бi и вi регрессионной модели дают представление об общих тенденциях взаимосвязей между изменениями рыночного показателя rm и нормой отдачи ri. Однако величины бi и вi не позволяют давать однозначный ответ о степени подобной взаимосвязи. На точность регрессионной модели оказывает значительное влияние ошибки еi. Значит, точность регрессионной модели, степень взаимосвязи rm и ri, определяется разбросом случайных ошибок еi, который можно оценить с помощью дисперсии случайной ошибки. Кроме того, точность регрессии можно определить, оценивая, сколь точно регрессионная модель определяет дисперсию ценных бумаг, для которых составляется регрессионная модель.

Дисперсию i-ой ценной бумаги можно представить:

(3)

Разделим обе части равенства на величину :

(4)



В этом случае первое слагаемое будет показывать, какую долю в общем риске ценной бумаги можно описать с помощью регрессионной модели (ri,t = бi + вirm,t), а второе слагаемое - степень неточности регрессионной модели. Значит, чем ближе величина к единице, тем более точная регрессионная модель.

В данном случае средняя арифметическая величина вычисляется делением на (N-2), поскольку две степени свободы были утеряны при вычислении бi и вi.

Использование рыночной модели Шарпа для построения границы эффективных портфелей.

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что она позволяет значительно сократить объемы вычислений при определении оптимального портфеля, давая при этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то будем считать, что:

1) средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E(еi)=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n;

2) дисперсия случайных ошибок для каждой ценной бумаги постоянна;

3) для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок;

4) отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле;

5) отсутствует корреляция между случайными ошибками еi и рыночной доходностью.

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии бi и вi позволяет выразить с их помощью все начальные элементы - ожидаемую доходность E(ri) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии и ковариации бi,j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений бi, n величин вi, n значений, а также E(rm) и у2m. Следовательно всего потребуется найти: (n+n+n+2) = 3n+2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг:

(5)

где Wi - вес каждой ценной бумаги в портфеле.

Подставим в эту формулу выражение для ri:

(6)

Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения можно представить в виде:

(7)

W (8)

(9)

при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности. Выражение (23) представляет собой сумму взвешенных величин “беты” (вi) каждой ценной бумаги (где весом служат Wi) и называется портфельной бетой (вn). С учетом сделанных допущений, формулу (9) можно записать так:

(10)

а поскольку, согласно введенному начальному условию 1), E(еi) = 0, то окончательно имеем:

(11)

Итак, ожидаемую доходность портфеля E(rn) можно представить состоящей из двух частей:

а) суммы взвешенных параметров бi каждой ценной бумаги - W1б1 + W2б2 + .... + Wnбn, что отражает вклад в E(rn) самих ценных бумаг, и

б) компоненты, то есть произведения портфельной беты и ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля.

Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:

(12)

При этом только необходимо иметь в виду, что , то есть (Wn+1)^2=(W1в1 + W2в2 + .... + Wnвn)^2, а . Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из 2-х компонент:

а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат Wi, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);

б) - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя , где весом служит квадрат портфельной беты, что отражает долю риска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).

В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:

- необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля:

(13)

при следующих начальных условиях:

(14)

(15)

(16)

1) выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности ri,t каждой ценной бумаги;

2) по рыночному индексу (например, AK&M) вычислить рыночные доходности rm,t для того же промежутка времени;

3) определить величины вi:



(17)

4) найти параметр бi:

бi = E(ri) - вiE(rm)

5) вычислить дисперсии уе 2 i ошибок регрессионной модели;

6) подставить эти значения в уравнения

После такой подстановке выяснится, что неизвестными величинами являются веса Wi ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля E*, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.

1.3 Факторные модели для акций

Текущая внутренняя стоимость (Vt) акции в общем виде в рамках фундаментального анализа может быть рассчитана по формуле:

(18)

где, Dt - дивиденд на акцию в момент времени t;

Ps - цена продажи акции;

r - норма доходности;

t - горизонт прогнозирования.

То есть дисконтированием денежного потока, генерируемого анализируемой ценной бумагой.

Как видно из формулы, оценка теоретической стоимости акции зависит от трех параметров: ожидаемые денежные поступления, которые состоят из ожидаемых дивидендов (Dt) и предполагаемой цены продажи (Ps), горизонта прогнозирования (t) и норма доходности (r). Последний параметр оценивается достаточно просто, и для его оценки существуют множество подходов. Второй параметр непосредственно зависит от предполагаемого срока инвестирования. Первый вероятно наиболее существенен, поскольку он непосредственно связан с активом и от точности его определения зачастую зависит эффективность инвестиций на рынке акций.

Собственно практически все существующие на сегодняшний момент модели оценки стоимости акций являются следствием из выше приведенной формулы, которая видоизменяется в зависимости от целей инвестирования. Выделяют две основные цели - получение доходов в виде дивидендов и получение дохода от прироста курсовой стоимости ценной бумаги. Рассмотрение всех методов не представляется целесообразным, поскольку их очень много и тема данной работы не предусматривает полное их рассмотрение. Приведем лишь некоторые, наиболее употребляемые из них.

Допустим, что инвестор собирается купить акции некоторой компании и владеть ими всегда. В этом случае для инвестора естественно определить цену акции как текущее значение последовательности дивидендов, которые он надеется получить. Таким образом, цена акции с точки зрения инвестора должна быть равна:

(19)

где, Dt - дивиденд на акцию в момент времени t;

r - норма доходности;

t - горизонт прогнозирования.

Размер дивидендов может изменяться произвольно, но чаще это изменение происходит систематически. То есть дивиденды либо возрастают, либо убывают, либо остаются постоянными. Ниже будут рассмотрены методы оценки акций нулевого и постоянного роста.

Допустим, что дивиденды по обыкновенным акциям некоторой компании по прогнозам останутся постоянными, т.е. D1 = D2 = …= D

Тогда после подстановки D вместо Dt в уравнение оно преобразуется к виду:

(20)

где, D - дивиденд на акцию в момент времени t;

r - норма доходности.

То есть цена акции нулевого роста равна текущему значению бессрочной ренты с выплатами D. Следовательно:

(21)

Наиболее частой практикой в западных компаниях является политика стабильно растущих дивидендов, поскольку, таким образом, повышается привлекательность акций, во-первых, с точки зрения защищенности будущих дивидендов от инфляционного воздействия, а, во-вторых, стабильно растущие дивиденды на протяжении длительного периода являются символом постоянного развития компании. В данном случае стоимость обыкновенной акции, чаще всего, оценивается при помощи "формулы Гордона":



(22)

где, D0- дивиденд на акцию в момент времени t;

g - предполагаемый темп роста дивидендов;

r - норма доходности.

Если предприятие не выплачивает дивиденды, внутреннюю стоимость акции можно оценить с использованием факторной модели.

Факторная модель представляет собой попытку учесть основные экономические силы, систематически воздействующие на курсовую стоимость ценной бумаги. Внутренняя стоимость акции с использованием факторной модели может быть рассчитана путем решения уравнения

(23)

где, a0 - свободный член;

ei - случайная ошибка;

Fi - предсказанное значение i - го фактора;

bi - чувствительность цены к i - му фактору.

При использовании факторных моделей возникает ряд проблем:

1. Факторные модели строятся на анализе прошлой информации, однако, не всегда те факторы, которые оказывали влияние на цену акции в прошлом, будут аналогичным образом действовать и в будущем.

2. Очень трудно выделить именно те факторы, которые оказывали максимальное влияние на цену акции.

3. Поскольку значение случайной ошибки выбирается случайным образом, она может достигать достаточно больших величин.

Систематизировано модели оценки внутренней стоимости акций с использованием суммы будущих дивидендов, представлены в следующей таблице:

Глава 2 «Оценка риска и доходности портфеля ценных бумаг»

Во второй главе поставлена задача оценки риска и доходности портфеля акций. В портфель входят акций кампаний Аэрофлота, Газпрома, Лукойла и Ростелекома. В табл. 2.1 представлены котировки акций этих кампаний в период с 11.01.2009 по 05.04.2009.

Таблица 2.1 Котировки акций с фондовой биржи ММВБ

№ п/п	Период	Актив А Аэрофлот	Актив Б Лукойл	Актив В Газпром	Актив Г Ростелеком
1	11.01.2009	27,94	1016,1	111,58	275
2	12.01.2009	27,95	1058,52	113,85	294
3	13.01.2009	27,96	1110	114,14	294,7
4	14.01.2009	28,24	1001,3	108,3	292,98
5	15.01.2009	27,25	1015	107,17	297
6	16.01.2009	26,79	1033,99	107,9	308,65
7	19.01.2009	25,18	999	106,05	306,7
8	20.01.2009	23,95	982,99	105,55	289
9	21.01.2009	23,56	1024,99	107,99	277
10	22.01.2009	21,5	985,97	103,79	271,01
11	23.01.2009	20,2	995,01	101,49	276,5
12	26.01.2009	24,93	1134,4	111,41	295,02
13	27.01.2009	22,7	1105	109,56	297,99
14	28.01.2009	22,51	1159,43	114,11	307
15	29.01.2009	22,89	1156,5	113,85	314,03
16	30.01.2009	23,3	1166,98	114,7	309,01
17	02.02.2009	22,68	1147,11	116,7	301,05
18	03.02.2009	23	1129	117	301,88
19	04.02.2009	23,55	1151,9	118,38	302,9
20	05.02.2009	23,51	1112,99	113,69	304,99
21	06.02.2009	24,1	1151	117	320
22	09.02.2009	24,59	1232,12	126	318,1
23	10.02.2009	25,35	1282	127,7	323,99
24	11.02.2009	25,01	1267	124,4	312,65
25	12.02.2009	25,3	1202	119,91	305
26	13.02.2009	25,7	1271	126,51	310
27	16.02.2009	25,2	1239,01	123,99	311
28	17.02.2009	25,23	1126	113,9	309,49
29	18.02.2009	25,16	1087,09	110,98	298,7
30	19.02.2009	25,9	1115	113,4	301,4
31	20.02.2009	25,81	1091	111,65	297,95
32	24.02.2009	26,75	1074,04	112	289
33	25.02.2009	26,98	1066,07	112,75	287,97
34	26.02.2009	26,75	1185	119,3	291,74
35	27.02.2009	26,56	1152	116,5	287,99
36	02.03.2009	26,24	1104	111,83	288,01
37	03.03.2009	27,66	1115	111,3	287,5
38	04.03.2009	29,92	1178,99	114,55	291
39	05.03.2009	29,89	1166,78	112,07	287,88
40	06.03.2009	29,98	1197,99	112,7	288,88
41	10.03.2009	30,22	1321,99	124,3	292,6
42	11.03.2009	30,46	1282,97	125,83	292,1
43	12.03.2009	30,49	1269,5	122,5	300
44	13.03.2009	31,12	1338,2	127,3	294
45	16.03.2009	31,19	1324,92	128,68	300,96
46	17.03.2009	31,34	1303,01	125,91	297,75
47	18.03.2009	31,85	1221,99	120,5	295,1
48	19.03.2009	32,4	1272	124,3	296,5
49	20.03.2009	32,05	1291,38	125,99	291,61
50	23.03.2009	33,89	1373,01	137,08	313,95
51	24.03.2009	34,64	1330	133,3	305
52	25.03.2009	36,5	1401	137,9	297,8
53	26.03.2009	36,2	1419,01	136,7	299,99
54	27.03.2009	35,7	1402,11	133,27	297,88
55	30.03.2009	36,5	1275	124,21	308,2
56	31.03.2009	39,65	1264,99	126,4	305
57	01.04.2009	39,12	1298,9	131,35	301,5
58	02.04.2009	39	1378,85	140,59	304,91
59	03.04.2009	39,48	1380	143,89	303,17
60	04.04.2009	39,5	1399,46	137,057	303,89
61	05.04.2009	42,94	1386,7	142,96	300,12

1) Расчет доходностей активов:



ra1=(27,95-27,94)/27,94=0,0358%

rа2=(27,96-27,95)/27,95=0,0358%

rа3=(28,24-27,96)/27,96=1,001%

:

rа58=(39,48-39)/39=1,23%

rа59=(39,5-39,48)/39,48=0,05%

rа60=(42,94-39,5)/39,5=8,709%

rб1=(1058,52-1016,1)/1016,1=4,17%

rб2=(1110-1058,52)/1058,52=4,86%

rб3=(1001,3-1110)/1110= - 9,79%

:

rб58=(1380-1378,85)/1378,85=0,08%

rб59=(1399,46-1380)/1380=1,41%

rб60=(1386,7-1399,46)/1399,46= - 0,91%

rв1=(113,85-111,58)/111,58=2,03%

rв2=(114,14-113,85)/113,85=0,25%

rв3=(108,3-114,14)/114,14= - 5,12%

:

rв58=(143,89-140,59)/140,59=2,35%

rв59=(137,057-143,89)/143,89= - 4,75%

rв60=(142,96-137,057)/137,057= 4,31%

rг1=(294-275)/275=6,91%

rг2=(294,7-294)/294=0,24%

rг3=(292,98-294,7)/294,7= - 0,58%

:

rг58=(303,17-304,91)/304,91= - 0,57%

rг59=(303,89-303,17)/303,17= 0,24%

rг60=(300,12-303,89)/303,89= - 1,24%

2) Произвольный выбор удельных весов:

xa= 6% xб= 40% xв= 40% xг=14%

3) Расчет доходности портфеля:

rр=? ri* xi=0.06*(0.000358+0.000358-0.0351-0.0169-0.06009+………+0.01231+0.000507+0.0871)/60+0.4*(0.0417+0.0486-0.09793+……..+0.000834+0.0141-0.00912)/60+0.4*(0.020344+0.002547-0.051165+……+0.023476-0.04748+0.04307)/60+0.14*(0.06909+0.00238-0.00583+……-0.00571+0.0023749-0.0124)/60= 0,00420803

Таким образом, из данных расчетов видно, что доходность портфеля составляет 0,42%.

4) Расчет дисперсии:

да2= ?(ri -rср)^2/(n-1)= 0,002292113

дб2= 0,002171237

дв2= 0,00150218

дг2= 0,000655437

5) Расчет риска активов:

да===0,047876014=4,79%

дб===0,046596538=4,66%

дв===0,038757966=3,88%

дг===0,025601514=2,56%

6) Определение ковариации между активами:



covа,б=((0,000358-(-0,0008))*(0,0417-0,0063)+ (0,000358-(-0,0008))*(0,0486-0,0063)+...........+(0,00507+0,0008)*(0,0141-0,0063)+ (0,087089+0,0008)*(-0,00911+0,0008))/(60-1)= 0,048418742

covа,в= 0,045414277

covа,г= 0,021368419

covб,в= 0,093157943

covб,г= 0,027276417

covв,г= 0,019441035

7) Определение дисперсии портфеля:

8) Расчет риска портфеля:

Вывод: значения ковариации между данными активами близки к нулю - это означает, что связи между их доходностями почти нет. Риск портфеля акций составляет 2,6%. Всвязи с этим, задача оптимизации - минимизация риска.

Глава 3. «Оптимизация портфеля ценных бумаг»

Для оптимизации портфеля акций поставлена задача минимизации риска. Составляем следующие ограничения:

> min

С помощью функции Лагранжа составляем следующую матрицу:

	covа,б	covа,в	covа,г
covа,б		covб,в	covб,г
covа,в	covб,в		covв,г
covа,г	covб,г	covв,г

Далее необходимо решить следующую систему уравнений:

2 да2 xа+ 2covа,б* xб +2 covа,в * xв +2 covа,г * xг +1=0

2covа,б* xб +2 дб2 xб+ 2 covб,в * xв +2 covб,г * xг +1=0

2covа,в* xб +2 covб,в * xв +2 дв2 xв+ 2 covв,г * xг +1=0

2covа,г* xб +2 covб,г * xв +2 covв,г * xг +2 дг2 xг+ 1=0

В результате расчета, оказалось, что актив Б из портфеля необходимо исключить, т.к. у него отрицательный удельный вес. Результаты расчета представлены в табл. 3.1.



Таблица 3.1. Сравнительный анализ

Показатели	до оптимизации	после оптимизации
Xa	6%	5,37%
Xb	40%	-
Xc	40%	33,12%
Xd	14%	61,51%
	0,42%	0,42%
	2,6%	2,45%

В результате оптимизации риск уменьшился на 0,15%

Заключение

В общем случае под инвестиционным портфелем понимают совокупность нескольких инвестиционных объектов, управляемую как единое целое. Портфель может одновременно включать в себя и реальные средства (землю, недвижимость, станки, оборудование и т.п.), и финансовые активы (ценные бумаги, паи, валюту и др.), и нематериальные ценности (права на интеллектуальную собственность, научно-технические разработки), и нефинансовые средства (драгоценные камни, предметы коллекционирования).

Управление ценными бумагами как единым портфелем необходимо для того, чтобы улучшить условия инвестирования, придав совокупности ценных бумаг такие инвестиционные свойства, которые невозможно получить от отдельно взятой ценной бумаги. В зависимости от цели инвестирования и принимаемого риска можно создавать различные типы и виды портфелей. Для сохранения заданных инвестиционных свойств, а также уровня дохода и риска портфель должен управляться.

В данной работе были рассмотрены основные модели оптимизации портфеля инвестиций, в частности: модель Марковица, У. Шарпа, а также факторные модели для акций. Во второй главе был произведен расчет риска и доходности портфеля. На основе этих расчетов можно сказать, что риск портфеля составил 2,6 % а доходность 0,42 %. В связи с этим, для оптимизации портфеля была поставлена задача: минимизация риска. В результате оптимизации, которая была произведена в третьей главе, были определены оптимальные удельные веса активов, причем акции Лукойла из портфеля пришлось исключить. В результате риск уменьшился на 0,15% и составил 2,45%.

Список использованной литературы

1. http://www.micex.ru/

2. Аньшин В.М. Инвестиционный анализ. - М.: Дело, 2005. - 280 с.

3. Аскинадзи В.М., Максимова В.Ф. Портфельные инвестиции. - М.: Московская финансово-промышленная академия, 2005. - 62с.

4. Касимов Ю.Ф. Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг. - М.: Филинъ, 2005. - 240с.

5. Федеральная комиссия по рынку ценных бумаг “Базовый курс по рынку ценных бумаг” 1998 , Москва

6. Шарп У.Ф. “Инвестиции” 2007, ИНФРА-М

Размещено на Allbest.ru