Соотношения между премиями опционов. Паритет и взаимосвязь опционов

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство образования и науки Украины

Донецкий Национальный университет

Кафедра теории вероятностей и математической статистики

Экзаменационная работа

на тему: «СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ. ПАРИТЕТ И ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПЦИОНОВ»

Выполнила: студентка IV курса группа 4-А

Полева Евгения Леонидовна

Проверил: Селяков Кирилл Борисович

Донецк-2010

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПРЕМИЯМИ ОПЦИОНОВ

В данной работе рассматриваются ценовые соотношения, которые должны выдерживаться между премиями различных опционов.

Вначале проанализируем зависимости между опционами с разными ценами исполнения, временем истечения и стандартным отклонением. После этого докажем паритетные взаимосвязи для европейских и американских опционов колл и пут.

а) Соотношения между премиями опционов, которые имеют различные цены исполнения

Сравним два опциона колл, которые отличаются только ценами исполнения.

X₁ -- цена исполнения опциона С₁

Х₂ -- цена исполнения опциона С₂.

Если X₁ < Х₂, то для таких опционов с₁ > с₂, так как первый опцион в случае его исполнения позволяет приобрести акцию по более низкой цене. Для опционов пут верным будет обратное соотношение. Если X₁ < Х₂, то р₂ ? p₁ так как второй опцион в случае исполнения дает инвестору возможность продать акцию по более высокой цене.

б) Соотношение между премиями опционов с различным временем до истечения контрактов

Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере увеличения периода действия контракта, то есть, если T₂ > T₁, то

c_а2 ? c_а1 и р_а2 ? р_а1

Данная закономерность возникает потому, что опционы c_а2 и р_а2 предоставляют инвестору такие же возможности, как и опционы с_а1 и р_а1 в течение периода времени Т₁, но в то же время дают ему дополнительную потенциальную возможность получить прибыль в течение периода времени Дt, который равен Т₂ - T₁.

Для европейских опционов картина складывается несколько сложнее. Рассмотрим вначале опционы на акции, не выплачивающие дивиденды. Увеличение срока действия контрактов увеличивает потенциальную возможность благоприятного исхода событий как для опциона колл, так и пут. Следовательно, это способствует росту премии опционов с более отдаленной датой истечения контрактов. В то же время, как известно, для опциона пут нижняя граница премии равна

X ^?rT ? S

Поэтому опцион с более близкой датой истечения должен стоить больше опциона с более отдаленной датой истечения контракта. Таким образом, мы не можем однозначно утверждать, что премия европейского опциона пут с более отдаленной датой истечения контракта будет больше премии опциона пут с более близкой датой истечения.

Выплаты дивидендов на акции, лежащие в основе опционов, могут привнести дополнительные нюансы в сравнительную оценку премии опционов. Рассмотрим их на примерах.

Пример 1. Имеется два европейских опциона колл, выписанных сроком один -- на два месяца, другой -- на три. Через два с половиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, лежащим в основе опционов. В таком случае вполне вероятно, что первый опцион будет стоить дороже второго.

Пример 2. Имеется два европейских опциона пут, выписанных сроком один -- на два месяца, другой -- на три.

а) Через два с половиной месяца ожидается выплата дивидендов по акциям, лежащим в основе опционов. В таком случае не исключено, что второй опцион будет стоить дороже первого.

б) Выплата дивидендов ожидается через полтора месяца. В этом случае вполне вероятно, что первый опцион стоит дороже второго.

в) Соотношение между премиями опционов, у которых цены активов имеют различные стандартные отклонения

Имеются два опциона. Они отличаются друг от друга только одним параметром: цена акции, лежащей в основе первого опциона, имеет меньшее стандартное отклонение (у), то есть меньший разброс колебаний, чем цена акции второго опциона. Для такого случая возникает следующая закономерность. Если у₁< у₂, то

c₁ ? c₂ и р₁ ? р₂

Таким образом, опцион на акцию, несущую более высокий риск для инвестора, будет стоить дороже. Это объясняется тем, что потенциально второй опцион предоставляет инвестору больше возможностей получить большую прибыль при ограниченной степени риска. Показатель стандартного отклонения является еще одним показателем, от которого зависит величина премии опциона. Чем больше будет значение стандартного отклонения, тем больше должен стоить опцион.

ПАРИТЕТ И ВЗАИМОСВЯЗЬ ОПЦИОНОВ

а) Паритет европейских опционов пут и колл душ акций, не выплачивающих дивиденды

Определим взаимосвязь между р_e и с_е, которая носит название паритета опционов пут и колл. Значение паритета состоит в том, что, приравнивая друг к другу опционы пут и колл, имеющие одинаковые цены исполнения и сроки истечения контрактов, можно, зная, например, величину премии опциона пут, определить цену опциона колл и наоборот. Если условия паритета не выдерживаются, то возникает возможность получить прибыль за счет арбитражной операции. Рассмотрим вышесказанное более детально.

Предположим, имеется два портфеля -- А и Б. Портфель А состоит из одного европейского опциона колл и облигации с нулевым купоном, равной Xе^-rT. В портфель Б входит один европейский опцион пут и одна акция. Если к моменту истечения контракта Р > X, то портфель А равен Р и портфель Б также равен Р. Если Р ? X, то портфели А и Б равны X. Таким образом, в конце периода T оба портфеля имеют одинаковую стоимость. Поэтому можно сделать вывод, что в начале периода Т стоимость их также должна быть равна, то есть:

c_е+ Xe -^rT=p_e+s

Указанное равенство носит название паритета опционов пут и колл.

Пример. S = 42 долл., Х=40долл., r -- 10%, срок контрактов -- 3 месяца, с_е =3,5 долл. Определить стоимость p_e. Она равна:

с_е + Xe^-rT = 3,5 долл. + 40 долл. е^-0,1?0,25 = 42,5 долл.

р_е = 42,51 долл. - 42 долл. = 0,51 долл.

Предположим теперь, что цена р_е завышена и составляет не 0,51 долл., а 1 долл. В этом случае открывается возможность совершить следующую арбитражную операцию. Арбитражер покупает европейский опцион колл и продает европейский опцион пут и акцию, заняв ее у брокера. В результате он получает сумму:

-3,5 долл. + 1 долл. + 42 долл. = 39,5 долл.

и инвестирует ее под ставку без риска на три месяца:

39,5 долл. е^0,1?0,25 = 40,5 долл.

Если по окончании срока контрактов Р> 40 долл., то арбитражер исполнит опцион колл, то есть купит акцию за 40 долл. В этом случае его прибыль от данной операции составит:

40,5 долл. - 40 долл. = 0,5 долл.

Если Р < 40 долл., то будет исполнен опцион пут. Арбитражер купит у контрагента акцию за 40 долл. и получит прибыль от операции в размере:

40,5 долл. -- 40 долл. = 0,5 долл.

Допустим теперь, что цена опциона пут занижена и равна 0,2 долл. Тогда инвестор продает опцион колл и покупает опцион пут и акцию. Для этого он занимает под ставку без риска сумму в размере:

0,2 долл. + 42 долл.-3,5 долл. = 38,7 долл.

Через три месяца он должен вернуть кредитору сумму, равную:

38 долл.е^0,1?0,25 = 39,68 долл.

При Р < 40 долл. арбитражер исполняет опцион пут и получает прибыль:

40 долл. -39,68 долл. = 0,32 долл.

При Р > 40 долл. контрагент исполняет опцион колл, то есть арбитражер продает ему акцию за 40 долл. Вновь его прибыль составит:

40 долл.-39,68 долл. = 0,32 долл.

б) взаимосвязь между премиями американских опционов пут и колл для акций, не выплачивающих дивиденды

Паритет существует только для европейских опционов пут и колл. В то же время можно установить определенную взаимосвязь между американскими опционами пут и колл. Выше мы доказали, что р_а >р_е и р_е +S = с_е+Хе^-rT.

Следовательно,

р_а > с_е + Х е^-rT - S

поскольку с_а = с_е , то

р_а > с_а + Х е^-rT - S или

с_а - р_а < S - X е^-rT

Теперь сравним два портфеля -- А и Б. Портфель А состоит из одного американского опциона пут и одной акции. В портфель Б входит один европейский опцион колл и облигация с нулевым купоном, равная X, эмитированная под процент e^r на период Т. Опционы имеют одинаковую цену исполнения и срок контрактов равен Т. Предположим, что опцион пут не исполняется раньше срока истечения контракта. Если в конце периода Т Р > X, опцион пут не исполняется, и портфель А стоит Р. Если Р < X, то опцион исполняется и портфель равен X. Если Р >X, исполняется опцион колл, портфель Б равен (P -Х)+Хе^rT . При Р < X портфель равен Хе^rT Таким образом в обоих случаях портфель Б стоит больше портфеля А. Предположим, что имеет место раннее (время t) исполнение американского опциона пут. Это означает, что Р < Х и портфель А равен X. Портфель Б в этот же момент стоит как минимум, если предположить, что с_а = 0, Xe^rt. Таким образом, портфель Б вновь стоит больше портфеля А. Вышесказанное наглядно представлено в таблице 1.

Таблица 1

В итоге правомерно записать, что с_е + Х > р_а + S

Поскольку c_е = с_а, то

с_а + Х > р_а + S или с_а - р_а > S - X

Выше мы записали, что с_а - р_а < S - X е^-rT

Отсюда следует: S - X < с_а - р_а< S - X е^-rT

Пример. Для акций, не выплачивающих дивиденды, с_а = 2 долл.,

Х= 35 долл., S= 33,5 долл., срок действия контракта -- 3 месяца, r =

10%. Определить премию опциона пут для данных условий.

33,5 долл. - 35 долл. < с_а -р_а < 33,5 долл. - 35 долл. е-^0,1х0,25

-1,5 долл. < с_a -р_a < 0,64 долл.

1,5 долл. > р_а -с_а > 0,64 долл.

3,5 долл. >р_а> 2,64 долл.

Таким образом, цена американского опциона пут должна быть не выше 3,5 долл. и не ниже 2,64 долл.

в) Паритет опционов для акций, выплачивающих дивиденды

Рассмотрим два портфеля. Портфель А состоит из одною европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном X е^-rT и суммы денег D. В портфель Б входят один европейский опцион пут и одна акция. В конце периода T стоимость портфелей будет равна (см. табл. 2).

Таблица 2

Следовательно, мы можем записать, что в начале периода Т

с_е + X е^-rt + D = р_е + s

Данное равенство представляет собой паритет опционов пут и колл, в основе которых лежат акции, выплачивающие дивиденды.

г) Взаимосвязь американских опционов пут и колл для акций, выплачивающих дивиденды

Рассмотрим портфели А и Б. Портфель А состоит из одного

европейского опциона колл, облигации с нулевым купоном, равной X, эмитированной под процент r, и суммы D. В портфель Б

входят один американский опцион пут и одна акция. Как следует из таблицы 30, портфель А в конце периода T стоит больше портфеля Б. Поэтому правомерно записать, что и в начале этого периода

р_а + S < с_е + X + D

Таблица 3

Поскольку европейский опцион никогда не будет стоить дороже американского, то

р_а + S < с_а + X + D или

S - X - D < с_а - р_а

Выше мы записали, что для акций, не выплачивающих дивиденды, справедливы следующие условия:

c_a - p_a< S - Xe ^-rT

Данные условия выдерживаются и для акций, выплачивающих дивиденды, поскольку выплата дивидендов уменьшает премию американского опциона колл и увеличивает премии американского опциона пут. В итоге взаимосвязь между американскими опционами пут и колл принимает следующий вид:

S -X -D < с_а - р_а < S -Хе^-rТ

ВЫВОДЫ

опцион цена паритет пут колл

Опцион колл с более низкой ценой исполнения должен стоить дороже опциона с более высокой ценой исполнения. Опцион пут с более низкой ценой исполнения должен стоить дешевле опциона с более высокой ценой исполнения.

Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере увеличения периода действия контрактов. Нельзя однозначно настаивать на данном утверждении применительно к европейским опционам. Выплата дохода на актив в течение действия европейского опциона может привести к тому, что опцион с более близкой датой истечения будет стоить дороже опциона с более отдаленной датой истечения.

Опцион на актив, цена которого имеет более высокое стандартное отклонение, должен стоить дороже опциона с меньшей величиной стандартного отклонения.

Между ценами европейских опционов пут и колл на активы, выплачивающие и не выплачивающие доход, существуют паритетные отношения. Если условия паритета не выдерживаются, то открываются возможности для арбитражных операций.

Размещено на Allbest.ru