Методы расчета резерва произошедших, но незаявленных убытков

Методы расчета резерва произошедших, но незаявленных убытков

Что такое IBNR?

Резерв произошедших, но незаявленных убытков (IBNR: Incurred But Not Reported) - основной технический резерв в краткосрочном страховании.

Описанные ниже методы можно применять и для вычисления резервов убытков вцелом.

Резерв произошедших, но незаявленных убытков, который корректнее было бы называть резервом вмененных, но незаявленных убытков, есть технический резерв страховой компании, предназначенный служить источником средств для оплаты требований, который будут предъявлены в связи с уже произошедшими страховыми случаями. Суммы, направляемые в данный резерв, являются расходами и, следовательно, уменьшают налогооблагаемую прибыль.

При формировании IBNR имеются в виду две основные цели:

Избежать налогообложения будущих расходов;

Создать запас денег, которые не могут быть потрачены на цели иные, чем страховые выплаты.

IBNR формируется из зарабатываемых премий (т.е. за счет перевода средств из резерва незаработанных премий по мере уменьшения срока до окончания действия договора страхования) и капитала страховой компании, если зарабатываемых премий не хватает для создания резерва необходимого размера. Поэтому формировать IBNR нужно осторожно: если размер резерва недостаточен, то страховая компания понесет убытки от налогообложения; если резерв чрезмерно велик, то происходит уменьшение капитала страховой компании, что может привести к неблагоприятным последствиям, например вмешательству надзорных органов в деятельность компании.

Опишем механизм формирования IBNR. Для простоты рассуждения возмем группу договоров страхования заканчивающихся в один и тотже момент времени. На этот момент формируется начальный IBNR, исходя из статистических данных о суммарных выплатах в течение срока последействия договора страхования. При этом страховщик не знает сколько страховых случаев произошло и каковы будут их последствия. Поэтому страховщик может использовать только следующую информацию:

Отношение Страховые выплаты в период последействия/ Страховые премии по прошлым договорам страхования;

Отношение Выплаты в период последействия/ Все страхове выплаты по прошлым договорам;

Данные о страховых выплатах и числе заявленных страховых случаев в период действия рассматриваемых договоров страхования;

Данные о количестве событий катастрофического характера, по каждому из которых резерв рассчитывается отдельно.

В последующие годы происходит списание сформированного резерва по мере заявления убытков. При этом время от времени может происходить переоценка резерва (обычно 1 раз в год), на основании новых данных о количестве страховых случаев и возможных размерах убытков; а также на основании изменений в прогнозе еще не заявленных убытков.

Используемые обозначения

Нами будет рассмотрена такая ситуация: резерв требований = IBNR, т.е. заявленное требование = оплаченное требование; незаработанных премий нет (бесконечно короткие договора), т.е. рассматриваются договора начавшиеся в одно и тоже время; распределение выплат во времени известно и задается набором величин: 0 < P1 < P2 < ... < Pn = 1 ; где Pj есть ожидаемая доля от общего объема выплат по рассматриваемым договорам, которая будет выплачена в течении j лет с начала срока действия договоров страхования.

Введем и другие обозначения:

На начальный момент времени имеется оценка суммарного объема будущих выплат -- U0.

С течением времени происходит переоценка этого объема -- Uk -- оценка суммарного объема выплат на конец k-го года.

Pазмер резерва на конец k-го года -- Rk.

И наконец, выплаты осуществленные до окончания k-го года мы обозначим Ck.

Метод Борнхуеттера-Фергюсона (Bornhuetter/Ferguson)

Данный метод был авторами предложен в 1972 году. Основная идея метода - рассчитывать IBNR по аналогии с проспективным математическим резервом в страховании жизни. При этом величина резерва будет зависеть от начальной оценки общих выплат и ожидаемой доли общих выплат, приходящейся на будущие периоды:

Rk ... BF = QkU0, где Qk = 1 - Pk

При расчете этого резерва никак не учитывается объем уже осуществленных выплат и изменение оценки общего объема выплат по рассматриваемым договорам, которая будет равна

Uk = Rk ... BF + Ck = Qk U0 + Ck.

Можно сказать, что, используя данный метод для расчета резерва, мы полностью доверяем нашим предположениям об общем объеме выплат и полностью не доверяем текущим данным об осуществленных выплатах, как показателе величины будущих выплат. Понятно, что такой подход разумно использовать, по истечении небольшого промежутка времени с начала списания IBNR, когда произведено малое число выплат и по их объему трудно судить об общем объеме предстоящих выплат. Но в последние годы списания резерва ситуация становится противоположной: По данным об осуществленных выплатах становится возможным судить об общем объеме выплат, и представляется не вполне разумным ориентироваться только на первоначальный прогноз выплат U0 , и пренебрегать данными о том, что этот прогноз не верен.

Поскольку именно этот метод наиболее подходит для расчета резерва требований при малых k, то при расчете резерва требований до истечения срока действия договора страхования нужно ориентироваться именно на него. (Увы, использованая здесь и бухгалтерская терминологии несколько не совпадают, поэтому наш IBNR будет входить в бухгалтерские резерв незаработанных премий и резерв требований.) В первом приближении формула расчета бухгалтерского резерва требований, при длительности договора страхования 1 год будет иметь вид:

Rt = (1 - P1t) U0t,

где t время прошедшее с начала действия договора в годах.

при этом размер нашего IBNR составит Rt = (1 - P1t) U0 и часть этого резерва равная Rt = (1 - P1 t) U0(1 - t) будет входить в незаработанные премии.

Цепной (Chain Ladder) метод расчета произошедших, но незаявленных убытков.

Данный метод можно назвать полной противоположностью методу BF, ибо в цепном методе оценка резерва дается на основании уже осуществленных выплат. Итак, в первую мы делаем весьма разумное предположение, что выплаченная доля общего объема требований совпадает с ожидаемой т.е. с Pk ; тогда оценка общего объема выплат будет такой:

Uk ... CL = Ck / Pk

И тогда можно оценить резерв, как невыплаченный остаток от Uk ... CL:

Rk ... CL = Uk ... CL - Ck = Qk Uk ... CL

Данный метод предполагает, что мы полностью доверяем данным об осуществленных выплатах, как показателе определяющем выплаты будущие, и совершенно не доверяем нашему первоначальному прогнозу касательно общего размера выплат. Поэтому, даже если в наши предположения о значении U0 закралась ошибка, оценка величины резерва будет несмещенной. Однако, при использовании этого метода мы совершенно не в состоянии оценить начальный резерв, и нам будет сложно составить мнение о реальном общем объеме выплат до тех пор, пока нам не будет предъявлено значительное число требований. Но зато к концу срока списания резерва мы будем иметь достаточно информации, чтобы судить о реальном общем объеме выплат.

Метод Гуннара Бенктандера (Gunnar Benktander)

Впервые метод был предложен 1976 году, и впоследствии неоднократно переоткрывался. Основной идеей этого метода было произвести синтез методов Борнхуеттера-Фергюсона и цепного, являющихся противоположностями в отношении использования информации о текущих требованиях и предварительных прогнозов. Поэтому Бенктандер предложил заменить при определении резерва U0 на:

Uc = cUk ... CL + (1 - c)U0;

Здесь с - фактор отражающий степень нашего доверия текущим данным о требованиях при оценке общего размера требований. Таким образом, мы принимаем в расчет, при определении общего размера требований, а, следовательно, и IBNR, не только первоначальную оценку объема требований, как в методе Борнхуеттера-Фергюсона, но и текущую оценку общего объема трабований, даваемую на основе имеющихся данных об уже поступивших требованиях, как в цепном методе.

При таком подходе возникает вопрос о том, как определить значение фактора с так, чтобы получить наилучшую оценку резерва. Постольку поскольку фактор с должен изменятся с течением времени и возрастать по мере развития Резерва (по мере того, как заявляются убытки), Г. Бенктандер предложил принять c = Pk и оценивать IBNR как:

Rk ... GB = Rk ... BF UPk / U 0

Заметим, что последнее равенство может быть переписано таким образом (см. расчет резерва по методу Борнхуеттера -Фергюсона) :

Rk ... GB = Qk UPk,

и поскольку:

UPk = Pk Uk ... CL + Qk U0 = Ck + Rk ... BF = Uk ... BF

можно записать:

Rk ... GB = Qk Uk ... BF.

А это означает, что Резерв рассчитанный по методу Г. Бенктандера совпадает c Резервом который получится при двукратном применении процедуры описанной в методе Борнхуеттера-Фергюсона, что и позволяет называть данный метод "Iterated BF" (повторенный BF).

При этом апостериорная оценка общих выплат отличается от использованной априорно:

Uk ... GB = Ck + Rk ... GB = (1 - z) Uk ... CL + z U0 = Uz; где z = Qk ^2

Метод Г. Бенктандера позволяет получить качественные оценки IBNR. О качестве оценок можно прочесть в NEUHAUS, W. Another Pragmatic Loss Reserving Method or Bornhuetter/Ferguson Revisited. In Scand. Actuarial J. 1992, 151-162.

Оптимальный фактор доверительности

Теперь, приняв, что при расчете IBNR мы используем линейную комбинацию IBNR, расчитанного по Методу Борнхуеттера-Фергюсона, и IBNR рассчитанного цепным методом:

Rk .. c = cRk .. CL + (1 - c)Rk .. BF> ;

мы можем подобрать оптимальное значение коэффициента с; но для этого нам потребуется задать критерий оптимальности. В качестве такового критерия разумно взять минимизацию ожидаемого квадрата отклонения рассчитываемого резерва от реального. В этом случае, поскольку Rk .. c есть линейная функция с, то

будет квадратичной функцией с.

Если мы теперь предположим, что U0 есть величина независимая от Ck; Rk; U (последнее есть общий объем выплат по рассматриваемым договорам); такая, что EU0 = EU; и имеющая известную дисперсию равную DU0; тогда оптимальный фактор доверительности будет задаваться формулой:

Вывод формулы см. в MACK, T Credible Claims Reserves. The Benktander Method. ASTIN Bulletin vol 30 p 338.

Заметим, что если нам точно известна средняя величина выплат, то DU0 = 0 , и, следовательно, формула для расчета c* упростится:

Отметим, что из последней формулы вытекает, что при отрицательной корреляции между осуществленными выплатами и предстоящими выплатами коэффициент c* может быть отрицательным, что по определению невозможно согласно методу Гуннара Бенктандера.

Однако, для того, чтобы можно было использовать данный метод необходимо иметь модели описывающие DCk и Cov(Ck , Rk) . То есть мы не сможем рассчитать IBNR используя только те данные, которыми обходились ранее!

IBNR при Пуассоновском распределении числа убытков

Теперь мы представим суммарный объем требований как сумму отдельных требований. При условии, что размер требований - одинаково распределенная величина для всех требований, развитие резерва убытков определяется числом убытков, произошедших, оплаченных и не оплаченных.

Поскольку здесь нам не важны выплаченные суммы и величины убытков мы будем использовать иные обозначения:

n_u - общее число требований;

n_p - число предъявленных (оплаченных) требований.

n_q - число не предъявленных требований.

Мы хотим рассчитать величину резерва, а для этого нам нужно знать ожидаемое количество не предъявленных требований, равное n_u- n_p. А для этого нам нужно рассчитать вероятность каждого возможного значения общего числа требований при условии, что предъявлено N_p требований.

Теперь, вспомнив о том, что безусловное распределение n_u является Пуассоновским с параметром, а при фиксированном n_u равном N распределение n_p является биномиальным с параметрами N; p, мы можем записать искомую вероятность так:

Таким образом, ожидаемое количество не предъявленных требований не зависит от количества предъявленных. Точно так же не зависит от количества предъявленных требований и резерв убытков. А поскольку = q E Y = q U₀ , то оптимальный способ расчета резерва - БФ.