Интегралы динамики гиростата в световом потоке

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 531.381:531.392

Интегралы динамики гиростата в световом потоке

Н.Н. Макеев

Институт проблем точной механики и управления РАН

Россия, 410028, Саратов, ул. Рабочая, 24

nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33



Приводятся условия существования частных полиномиальных первых интегралов динамической системы гиростата, движущегося в поле сил светового давления.

Ключевые слова: интеграл динамической системы; гиростат; световое давление.



The integrals of dynamics a gyrostat in the light stream

N. N. Makeyev

Problems of Precision Mechanics and Control Institute Russian Academy of Sciences

Russia, 410028, Saratov, Rabochaya st., 24

nmakeyev@mail.ru; (845) 272-35-33

The conditions of existence a particular polynomial first integrals of a dynamic system of gyrostat, moving in a field of forces light pressure are considered in this article.

Key words: integral of dynamic a system; gyrostat; light pressure.



Космическое пространство является динамически активной вакуумной средой, в которой источники света вызывают эффект светового давления (СД) на твёрдые тела. Это явление порождается световым потоком - составным элементом солнечного (или звёздного) излучения. Световой поток, динамически взаимодействуя с поверхностями твёрдых тел, порождает моментно-силовое воздействие на эти тела. Это воздействие обусловлено влиянием поля сил светового давления (СД-поля). Динамические свойства этого поля являются предметом исследования нового научного направления механики - динамики твёрдого тела в радиационно-лучевом силовом поле (радиационной механики [1]) и связанных с ним проблем.

Возникновение этой проблемы, имеющей теоретическое и прикладное значение, представляет естественную эволюцию классической динамики твёрдого тела.

В настоящей статье в основу динамической модели взаимодействия светового потока с твёрдой поверхностью положена термомеханическая схема, принятая в работе [2]. Эта схема учитывает реально существующий эффект переизлучения (в тепловом диапазоне) мощности, поглощаемой твёрдой поверхностью. Как утверждается [2], в ряде случаев эффект переизлучения не является пренебрежимо малым: сила отдачи тепловых фотонов не консервативна и порождает дополнительное динамическое воздействие. гиростат световой термомеханический переизлучение

Основные положения

Рассматривается движение в СД-поле свободного от связей гиростата с заданным постоянным результирующим гиростатическим моментом. Гиростат движется так, что его неизменяемая основа (тело-носитель) движется вокруг неподвижного полюса О, неизменно связанного с инерциальным пространством. С телом-носителем гиростата неизменно связан светоотражающий экран в виде тонкой недеформируемой оболочки неизменной конфигурации с заданными постоянными термомеханическими параметрами. На экран падает однородный световой поток в виде пучка параллельных световых лучей.

Введём правые координатные ортобазисы с общим началом в полюсе О: базис Z(Oz1z2z3), неизменно связанный с инерциальным конфигурационным пространством, и базис X(Ox1x2x3), оси которого направлены по главным в полюсе О направлениям тензора инерции гиростата.

Пусть s (s1, s2, s3) - гелиоцентрический орт, устанавливающий ориентацию светового потока относительно базиса Z, неизменный в этом базисе. Этот вектор является направляющим ортом светового потока, ориентированным против направления его световых лучей.

При определённых ограничениях, принятых для данной термомеханической модели, СД-поле является консервативным с потенциалом [2, 3]

(1)

Здесь n1, n2 - заданные постоянные термомеханические параметры, характеризующие теплофизические и оптические свойства светоотражающего экрана.

В дальнейшем функция плотности потенциала силового СД-поля G (s3) (1) рассматривается в области D (щ, s) при условиях

(А)

где всюду в области D.

В силу зависимости (1) результирующий момент сил СД-поля относительно полюса О равен [4] 

(2)

где штрих обозначает дифференцирование по s3. В дальнейшем всеми моментно-силовыми воздействиями, помимо фактора (2), пренебрегаем.

Обозначим: - матрица тензора инерции гиростата в полюсе О; - абсолютная угловая скорость носителя гиростата; - постоянный в базисе X гиростатический момент.

Согласно принятым предпосылкам в си-лу соотношений (1), (2) движение гиростата в однородном параллельном СД-поле определяется динамической системой

(3)

где обозначено

и принято s0 ? 0.

Система уравнений (3) обладает первыми независимыми алгебраическими интегралами [4]

(4)

(5)

(6)

где h1, h2 - постоянные интегрирования.

Постановка задачи

Система уравнений (3) с гамильтонианом I1 (4) согласно известному результату А.Пуанкаре в общем случае не является интегрируемой в смысле существования однозначного (относительно некоторого параметра) интеграла. Однако для отдельных значений параметров, содержащихся в уравнениях данной системы, или для определённых начальных значений такие интегралы могут существовать [5, c. 84].

Вопрос об интегрируемости в квадратурах данной системы уравнений сводится к проблеме существования дополнительного по Е.Уиттекеру независимого интеграла. Если этот интеграл существует и объединённая система, составленная из первых интегралов (4)?(6) и присоединённого к ним дополнительного интеграла, на некотором симплектическом многообразии находится в инволюции, то данная система уравнений интегрируема по Буру - Лиувиллю [6].

В силу этого данный вопрос приводит к задаче о нахождении независимого первого интеграла системы уравнений (3), дополнительного к системе интегралов (4)-(6), если он существует.

Ставится следующая задача: на многообразии возможных значений при ограничениях (А) найти условия существования независимого алгебраического первого интеграла системы уравнений (3), определённого в области D (щ, s) фазового пространства и находящегося в инволюции с интегралами системы (4)-(6).

Такая постановка задачи предполагает существование при различных условиях k независимых дополнительных первых интегралов, каждый из которых может быть определён в соответствующей подобласти Dk

Поскольку каждый из дополнительных интегралов системы уравнений (3) как частный интеграл может существовать лишь при определённых структурно-динамических и начальных условиях, данную задачу следует рассматривать как задачу нахождения элементов интегрального многообразия динамической системы в предположении, что это многообразие не является пустым.

Дополнительные интегралы динамической системы

Рассмотрим задачу о существовании дополнительных первых интегралов системы уравнений (3) в классе однозначных алгебраических функций C2 (щj, sj) (j = 1, 2, 3). Представим искомые интегралы в общем виде

(7)

где F - полиномиальная функция заданных переменных, h ? постоянная интегрирования.

Как известно [5, 6], критериальным условием существования первого интеграла (7) системы уравнений (3) является равенство нулю скобки Пуассона (коммутатора) от функции F и гамильтониана данной системы, заданных на симплектическом многообразии. Согласно этому имеем

(8)

Равенство (8) в силу уравнений системы (3) является тождеством, выполняющимся при определённых ограничениях, наложенных на структурно-динамические параметры данной системы. Эти ограничения и определяют искомые случаи существования дополнительных первых интегралов вида (7) для исходной системы уравнений.

Следует ожидать, что искомые интегралы, если они существуют, явно зависят лишь от части переменных, содержащихся в равенстве (7). Такая закономерность, в частности, имеет место в классических случаях интегрируемости для твёрдого тела, движущегося в однородном поле силы тяжести [7].

Равенство (8) в силу уравнений системы (3) является тождеством по всем переменным щj и по любым двум переменным sj (j = 1, 2, 3). В соответствии с этим разделим совокупность искомых интегралов вида (7) на следующие группы.

* Группа 1 ? интегралы вида

* Группа 2 ? интегралы вида

* Группа 3 ? интегралы вида

Замечание. Все последующие утверждения, относящиеся к поставленной задаче, справедливы в области D, где и при ограничениях (А).

Алгебраические интегралы группы 1

Рассмотрим условия существования линейного по компонентам первого интеграла динамической системы (3).

Линейный интеграл

Составим условия осевой кинетической симметрии гиростата

(9)

необходимые в дальнейшем и соответствующие группе симметрий динамической системы.

Введём линейную форму

(В)

и получим условия существования независимого первого интеграла системы (3)

(10)

Здесь - вектор, постоянный в базисе X, с неизвестными компонентами, удовлетворяющими условию



(11)

Полагая согласно условию (11) a3 ? 0 и применяя равенство (10), исключаем компоненту щ3. Из тождества (8) в силу равенства (10) и уравнений (3) получаем систему необходимых условий

(12)

(13)

В равенствах (12) обозначено

Равенство (13) является уравнением голономной связи, налагаемой на данные компоненты орта s, выражающим ортогональность вектора координатной оси Ox3.

Для определяющей системы (12), (13) имеют место следующие случаи тождественного выполнения данных условий.

Случай 1. Пусть a1 = a2 = 0. Тогда из соотношений (12) следуют условия структурно-динамической симметрии относительно оси Ox3 (9), а условие (13) тождественно удовлетворяется. При этом равенство (10) принимает вид

(14)

и не зависит от значений термомеханических параметров экрана n1, n2.

Случай 2. Примем aj ? 0 (j = 1, 2). В этом случае имеет место движение на связи (13), причём из условий (12) следует

(15)

что соответствует случаю полной (центральной) кинетической симметрии гиростата. В результате данные условия сводятся к следующим:

(16)

Система условий (16) выполняется в следующих подслучаях.

Подслучай 2А. Пусть в равенстве (10) h ? 0 (векторы a, щ не ортогональны). Так как a3 ? 0, то Полагая

где и, ц - углы Эйлера (0 ? и ? р), приведём уравнение связи (13) к виду

(17)

а соотношение (10) ? к форме

(18)

Согласно условию (17) вектор (ks) ортогонален оси Ox3, а в силу равенства (18) векторы неортогональны.

Подслучай 2В. Пусть h = 0. Тогда, согласно равенству (10), векторы a, щ ортогональны. Обозначим



(19)

и положим В этом подслучае ограничения (12) сводятся к системе

из которой для параметров m1, m2 получаем определяющие соотношения

(20)

Система (20) имеет по крайней мере одну пару ненулевых действительных значений параметров m1, m2, если k1k2k3 ? 0, и все значения kj различны. Здесь уравнение связи (13) и соотношение (10) согласно равенствам (19) принимают вид

(21)

(22)

Случай 3. При a1 ? 0, a2 = 0 уравнение связи (13) будет

(23)



а из условий (12) при дополнительных ограничениях

(24)

следует (25)

(26)

(27)

Из условия (25) имеем

(28)

а в силу ограничений (26), (27) согласно (19) получаем

(29)

(30)

В соответствии с условием (29) имеют место ограничения

(31)

Случай 4. Полагая a1 = 0, a2 ? 0, при ана-логичных условиях получаем случай, структурно симметричный случаю 3.

Действительно, в этом случае уравнение связи есть

(С)

а вместо соотношений (28)?(31) получаем соответственно



Таким образом, установлен ряд случаев, для которых при определённых ограничениях линейная форма (В) является частным интегралом (10) системы уравнений (3). Эти случаи определяются следующими утверждениями, доказанными выше.

Утверждение 1. Для того чтобы равенство (10) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3) в форме (14), необходимо, чтобы выполнялись условия a1 = = a2 = 0, a3 ? 0 и (9).

Следствия

1. Если равенство (14) необходимо является независимым первым интегралом системы уравнений (3), то гиростат кинетически симметричен относительно его главной в полюсе О оси инерции Ox3, а векторы a, k коллинеарны этой оси.

2. Если равенство (14) является указанным первым интегралом, то этот интеграл инвариантен относительно начальных значений компоненты щ3, принадлежащих непустому множеству его возможных значений.

3. Если первый интеграл (14) необходимо существует и то для любых значений t векторы a, щ неортогональны.

Структурно-динамические условия (9) определяют осевую кинетическую симметрию гиростата, которая по характеру аналогична симметризации в классической задаче Лагранжа о движении кинетически симметричного твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в однородном поле силы тяжести [7]. В силу этого условиям (9) соответствует гиростатический аналог случая Лагранжа для СД-поля [4, 8].

Утверждение 2. Для того чтобы равенство (10) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (13), необходимо, чтобы выполнялись условия aj ? 0 ( j = 1, 2, 3), (13), (15) и (16).

Следствия

1. При условиях утверждения 2 гиростат обладает полной (центральной) кинетической симметрией, определяемой равенства-ми (15).

2. Движение гиростата на связи (13) реализуется либо в режиме "спящего волчка" (при и = 0 или и = р), либо при некотором фиксированном значении угла ц ? в режиме маятниковой прецессии. При этом:

* если h ? 0, то уравнение связи (13) и интеграл (10) приводятся к виду (17), (18);

* если h = 0, то эти соотношения принимают вид (21), (22), где параметры m1, m2 определяются системой уравнений (20).

3. При условиях утверждения 2 в случае, когда h ? 0, векторы a, k коллинеарны.

Утверждение 3. Для того чтобы равенство (10) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), необходимо, чтобы выполнялись условия a2 = 0, a1a3 ? 0, (23), (24), (26)?(28).

Следствия

1. В силу условия (26) справедливы ограничения (31). При этом вектор a (a1, 0, a3) ортогонален плоскости кругового сечения гирационного эллипсоида гиростата, отнесённого к полюсу О.

2. Если вектор ортогонален главной оси инерции Ox2, то для интеграла (10) имеем h = 0. Справедливо и обратное предложение.

3. Если в интеграле (10) h = 0, то для начальных значений компонент щ1, щ3 имеем

Справедливо и обратное предложение.

Утверждение 4. Для того чтобы равенство (14) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), достаточно, чтобы выполнялись условия (9).

Доказательство данного утверждения очевидно в силу системы уравнений (3).

Утверждение 5. Для того чтобы равенство (18) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), достаточно, чтобы выполнялись условия (15), (17).

Доказательство. Составляя линейную форму и применяя указанные условия, получаем интеграл (18).

Замечание. Достаточное условие существования интеграла вида (22) может быть легко получено аналогичным образом.

Введём равенство [3]

(32)

и конфигурационное условие [3]

(33)

Утверждение 6. Для того чтобы равенство (32) являлось независимым первым интегралом системы уравнений (3), достаточно, чтобы выполнялись условия (23), (24), (28), (33) и h = 0.

Доказательство. Введём линейную по щ форму и вычислим величину в силу уравнений системы (3):

Полагая



и применяя указанные условия, в результате получаем

откуда следует (34)

Выбирая в равенстве (34) начальное значение заключаем, что равенство (32) является частным первым интегралом системы уравнений (3).

Следствия

1. При условиях утверждения 6 вектор гиростатического момента k (k1, 0, k3) ортогонален плоскости кругового сечения гирационного эллипсоида гиростата, построенного в полюсе О [3].

2. Условие (33) имеет место при ограничениях (31).

3. Выбор значения h = 0 в выражении интеграла (32) равносилен выбору ненулевых начальных значений компонент щ1, щ3 в виде

4. Движение гиростата на связи (23) реализуется либо в режиме “спящего волчка” (при и = 0 или и = р), либо при некотором фиксированном значении угла ц - в режиме маятниковой прецессии. В последнем движении плоскость маятниковых колебаний прецессирует относительно гелиоцентрической оси с ортом s со скоростью

Замечание. Приведённые выше линейные интегралы (за исключением интеграла (14)) принадлежат классу условных первых интегралов, существующих при условиях, выраженных уравнениями голономных связей. Такая особенность является характерным свойством движения механических объектов в силовом СД-поле, обладающем силовым фактор-моментом (2).

Интеграл (32) при h = 0 и структурно-динамические условия (28), (33) в определённом смысле аналогичны интегралу и соответствующим ограничениям классической задачи Гесса о движении твёрдого тела вокруг неподвижного полюса в однородном поле силы тяжести [7]. В силу этого условия (28), (33) определяют гиростатический аналог случая Гесса для СД-поля, а интеграл (32) - гиростатический аналог линейного интеграла Гесса для этого силового поля [3, 9].

Утверждение 7. Независимые функции (4)?(6) и попарно заданные на симплектическом многообразии, находятся в инволюции.

Доказательство проводится элементарно и основано на построении полного множества неупорядоченных пар указанных функций с последующим вычислением их скобок Пуассона.

Следствие. Согласно данному утверждению в силу теоремы Бура - Лиувилля [6] система уравнений (3) интегрируема в квадратурах.

Замечание. В утверждении 7 под функцией понимается первый линейный интеграл системы уравнений (3).

Дальнейшее исследование существования дополнительных алгебраических первых интегралов системы уравнений (3) производится на основе приёма, аналогичного применённому в работе [10].

Интегралы с одной переменной

Рассмотрим вопрос о существовании независимых частных первых интегралов группы 1 для системы уравнений (3) в случаях, при которых равенство (7) содержит только одну независимую переменную.

Введём соотношение

(35)

В силу основного тождества (8) и уравнений (3) согласно соотношению (35) получаем структурно-динамические условия (9), соответствующие гиростатическому аналогу случая Лагранжа в СД-поле с интегралом (14).

Задав соотношение вида

аналогично предыдущему в силу полученного тождества находим симметричные к равенствам (9) условия

(36)

и уравнение связи (23). Здесь имеет место условный частный интеграл

Для соотношения вида

подобным же образом получаем

(37)

и уравнение связи (С). Здесь имеет место условный частный интеграл

Ограничения (36), (37) по форме симметричны условиям (9), а соответствующие им первые интегралы симметричны интегралу Лагранжа (14).

Итак, первые интегралы группы 1 с одной переменной являются интегралами типа интеграла Лагранжа, существующими для каждого набора условий (9), (36), (37). Других частных интегралов вида система уравнений (3) не имеет.

Интегралы с двумя переменными

Зададим соотношение типа (7) в виде

(38)

и обозначим

Из основного тождества (8) в силу соотношения (38) и уравнений системы (3) получаем равенство

(39)

являющееся тождеством по переменной щ3 и произвольному варьируемому параметру k3.

Полагая k3 ? 0, из (39) получаем систему

(40)

(41)

где

Равенства (40) рассматриваются как система уравнений относительно величин p1, p2, определитель которой должен быть равен нулю. В результате получаем тождество по компонентам щ1, щ2



из которого следуют условия осевой кинетической симметрии (9). Но для этих условий интеграл вида (38) не существует, а ограничение (41) становится артефактом, поскольку при условиях (9) связь по компонентам орта s не имеет места.

Полагая теперь k3 = 0, из тождества (39) получаем систему уравнений относительно p1, p2, составленную из первого уравнения (40) и уравнения (41). Условие существования нетривиального решения этой системы имеет вид

(42)

Налагая на данное движение связь

(43)

из соотношения (42) получаем

(44)

Исключая из равенства (44) величины s1, s2 в силу уравнения (43), при k1k2 ? 0 имеем

(45)

Из первого уравнения системы (40) в силу равенства (45) следует

Это условие при произвольных значениях P2 ? 0 тождественно удовлетворяется, если положить [3]

(46)

с точностью до произвольного ненулевого множителя.

Согласно соотношениям (46) для представления (38) получаем

(47)

Исключая из равенства (45) величины щ1, щ2 в силу соотношения (47), при условиях имеем

(48)

(49)

Условие (48) симметрично ограничению (33) и имеет аналогичное ему геометрическое истолкование. Согласно значению (49) линейная форма (47) является первым интегралом системы уравнений (3).

Таким образом, соотношение вида (38) является линейным интегралом, существующим на связи (43) при условиях k3 = 0, (48), (49). Других интегралов вида (38) кроме интеграла (47) при h = 0, система уравнений (3) не имеет.

Пусть соотношение типа (7) имеет вид

(50)

Обозначим [3]



Согласно основному тождеству (8) в силу соотношения (50) и уравнений системы (3) имеем

(51)

Равенство (51) является тождеством по переменной щ2 и произвольному варьируемому параметру k2.

Полагая k2 ? 0, из равенства (51) находим

(52)

где Из системы (52) аналогично предыдущему получаем уравнение связи (23) и тождество

из которого следуют первые три условия (37). Однако для указанных условий интеграл вида (50) не существует.

Принимая k2 = 0, из тождества (51) при произвольных значениях щ2 получаем систему, содержащую первое и третье условия (52). Первое условие тождественно удовлетворяется при p1 = p3 = 0. Однако если хотя бы одна из величин p1, p3 равна нулю, то соотношение (50) вырождается в равенство с одной переменной. Но так как то в общем случае при когда щ2 ? 0, величины щ1, щ3 принимают постоянные значения. Это означает, что данное движение сводится к перманентному по щ1, щ3 вращению, существующему на связи (23).

Таким образом, алгебраические первые интегралы вида (50) для системы уравнений (3) не существуют.

Введём соотношение

(53)

и обозначим [4]

Согласно основному тождеству (8) в силу соотношения (53) и уравнений системы (3) получаем

(54)

где

Равенство (54) является тождеством по переменной щ1 и произвольному варьируемому параметру k1. В силу этого аналогично предыдущему получаем следующее.

При k1 ? 0 из тождества (54) следуют первые три условия (36) и уравнение связи (С), при которых интеграл вида (53) не существует. Если k1 = 0, то из того же тождества для произвольных значений щ1 следует, что в общем случае, при и величины щ2, щ3 принимают постоянные значения. Вследствие этого данное движение сводится к перманентному по щ2, щ3 вращению, существующему на связи (С).

Итак, алгебраические первые интегралы вида (53) для системы уравнений (3) не существуют.

Таким образом, множество независимых алгебраических первых интегралов системы уравнений (3), содержащих две независимые переменные щj ( j = 1, 2, 3), включает в себя лишь линейный по щj интеграл вида (32), существующий при условиях (28), (33), h = 0 на связи (23). Другие виды этого интеграла являются симметричными к данному виду формами, существующими при условиях и связях симметричного вида.



Заключение

Рассмотренная задача является частным ограниченным случаем общей проблемы о радиационном моментном приводе [1].

Построение интегрального многообразия систем уравнений движения твёрдого тела в силовом СД-поле позволяет сформировать аналитическую базу, необходимую для точного интегрирования данных уравнений. Это важно в силу того, что точные решения уравнений движения в общем случае являются носителями основной информации о характерных особенностях динамики этого движения. Вместе с тем, до настоящего времени не существует общих методов построения частных интегралов систем уравнений движения механических объектов в СД-поле. В силу этого в настоящей статье для нахождения множества независимых частных интегралов системы уравнений (3) в классе полиномиальных применён традиционный подход, характерный для классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений [11].

Известно, что силовое СД-поле в общем случае не является консервативным [1]. Консервативность этого поля проявляется в случаях, при которых допустимо пренебрежение эффектами, возникающими в результате термической реакции продуктов тепловой эрозии экрана и дезинтеграции, происходящих под воздействием светового излучения. При этом представление потенциала консервативного СД-поля в виде (1) возможно, в частности, в случае, при котором величины коэффициентов степени черноты прямой и обратной поверхностей тонкой экранной оболочки одинаковы [2]. Примером экрана, для которого световой поток порождает потенциальный силовой момент, является коническая зеркальная поверхность.

Второе условие (А) имеет следующую трактовку. Выражение для G (s3) (1) в рамках принятой термомеханической модели является линейной частью заведомо абсолютно сходящегося степенного ряда по переменной s3 коэффициенты которого (n = 1, …). Следствием этого и является данное условие.

Представление силового момента СД-поля в форме (2) проистекает из общего свойства для осесимметричных световых экранов, выраженного относительно базиса X в общем виде [12]:

(55)

Здесь N - произвольная ортогональная матрица поворота вокруг оси Ox3 базиса X.

Свойство (55) выполняется для экрана с почти плоской или с конической поверхностью, имеющей постоянные термомеханические характеристики. Можно показать, что модель динамического взаимодействия светового потока с твёрдой недеформируемой поверхностью, построенная на основе N-L свойства (55), описывает достаточно общий случай движения твёрдого тела в однородном параллельном световом потоке [12].

Представляет интерес исследование вопроса о существовании независимых алгебраических интегралов системы уравнений (3), относящихся к группе 1 и содержащих три независимые переменные, а также интегралов группы 3.



Список литературы

1. Джуманалиев Н.Д., Киселёв М.И. Введение в прикладную радиационную небесную механику. Фрунзе: Илим, 1986. 201 с.

2. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Термомеханические явления в движении относительно центра масс космического аппарата с солнечным стабилизатором // Космические исследования. 1992. Т.30, вып. 3. С. 312-320.

3. Макеев Н.Н. Редукция уравнений движения космического аппарата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1997. С. 78?85.

4. Макеев Н.Н. Угловое движение симметричного космического аппарата с солнечным стабилизатором // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1996. С. 105?112.

5. Джакалья Г.Е. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. 319 с.

6. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974. 431 с.

7. Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1946. 656 с.

8. Макеев Н.Н. Прецессия космического аппарата в световом потоке // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1998. С. 115?121.

9. Макеев Н.Н. Управляемость и стабилизируемость вращательного движения космического аппарата // Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы / Пермский гос. ун-т. Пермь, 1999. Вып. 31. С. 97?105.

10. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твёрдого тела. М.: Наука, 1977. 328 с.

11. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 468 с.

12. Коган А.Ю., Кирсанова Т.С. Вращение закрученного космического аппарата в световом потоке // Космические исследования. 1994. Т. 32, вып. 3. С. 74?87.

Размещено на Allbest.ru