На основе статистического анализа пяти каталогов орбит геостационарных спутников (ГСС) из интервала 2000-2013 г. г., подтверждена справедливость формулы n (R) = г•R^в, где R - расстояние минимального сближения двух ГСС; n (R) - среднесуточное количество сближений ГСС до расстояния, не более R; г, в - постоянные. Указанная формула справедлива при R<8км. Показатель степени в можно рассматривать как фрактальную размерность множества точек, определяемых вектором . Для всех каталогов в ? 1.9.

Используя эту формулу, сделана оценка частоты опасных сближений ГСС. По состоянию геостационарной зоны на начало 2013 года одно парное сближение ГСС до R<3м происходит в среднем за 420 лет, до R<5м - за 159 лет, до R<10м - за 42 года и до R<30м - за 5 лет. Не позже 2070 года одно сближение неуправляемых ГСС до R<5м будет происходить в среднем за 10 лет, что сравнимо со временем работоспособности вновь запускаемых аппаратов. Эти оценки получены с учетом только тех объектов, которые включены в каталоги ГСС.

В настоящее время количество ИСЗ, находящихся в геостационарной зоне или регулярно попадающих в нее (ГСС), с характерным размером более 1 м, превышает 1600. Из них только 1/4 - активные (управляемые) спутники, и 3/4 - неуправляемые ГСС, представляющие собой крупные фрагменты космического мусора. С течением времени количество ГСС постоянно возрастает, соответственно, возрастает и вероятность их столкновений. Линейная абсолютная скорость движения типичного ГСС равна 3.1 км/сек, скорость взаимного сближения может достигать половины этой величины, то есть 1.5 км/сек. Понятно, что на таких скоростях даже легкое касание может привести к разрушению космических аппаратов. Поэтому анализ опасных сближений спутников в геостационарной зоне является достаточно актуальной задачей.

В работе [1] предложена эмпирическая формула оценки частоты опасных сближений ГСС:

n (R) = г•R^в, или lg (n (R)) = б + в•lg (R), (5.1)

где R - расстояние минимального сближения двух ГСС в км; n (R) - среднесуточное количество сближений ГСС до расстояния, не более R;

б, в, г - постоянные, б = lg (г). Множитель г численно равен среднесуточному количеству сближений до расстояния R = 1км, то есть г = n (1). Функция

ф (R) = 1/n (R) = R^-в/г (5.2)

определяет средний интервал времени в сутках, в течение которого происходит одно парное сближение ГСС до расстояния, не больше R.

В данной статье подтверждается справедливость этих формул, уточняются значения постоянных б, в, г, диапазон применимости формул, и дается прогноз частоты взаимных сближений ГСС до предельно малых расстояний путем экстраполяции зависимости (5.1).

Для конкретных расчетов взяты пять каталогов орбит ГСС. Их характеристики даны в таблице 5.1, где обозначено: Date - средняя дата элементов орбит в годах и долях года; N, N₀, N₁ - общее количество объектов, количество управляемых и неуправляемых объектов, соответственно; M - число парных сближений ГСС до расстояния R<200км за расчетный интервал времени 3 года с учетом всех объектов каталога (см. ниже); M₁ - то же самое, но с учетом только неуправляемых спутников.

геостационарный спутник зона орбита

Таблица 5.1 Характеристики каталогов орбит ГСС

Вычисление положения объектов проводится в геоцентрической экваториальной системе координат, причем на первом этапе все управляемые ГСС рассчитываются по законам движения неуправляемых спутников. Для ускорения расчетов используется упрощенная теория движения, в которой учитываются только долгопериодические гравитационные возмущения в долготе ГСС (именно эти резонансные возмущения порождают уникальный класс объектов ? либрационные ГСС). Понятно, что при таком подходе точность расчета конкретного парного сближения ГСС будет невысокой. Однако можно надеяться, что глобальные статистические параметры будут достаточно хорошо отражать реальную ситуацию.

В рамках принятой модели движения ГСС погрешность вычисления моментов сближения в наших расчетах была равна 1.0 - 1.5 мсек, а соответствующие взаимные расстояния имеют погрешность 1 - 2 м. Для каждого каталога расчеты были выполнены на интервале 3 года (1.5 года до средней даты элементов орбит, и столько же после этой даты). Фиксировались все парные сближения ГСС вплоть до расстояний 200 км. Общее количество сближений до этого расстояния за 3 года указано в столбце M таблицы 5.1 При поиске моментов минимального сближения применялся метод "золотого сечения", [2]. Этот метод обладает хорошей равномерной сходимостью, высокой устойчивостью и легко реализуется на ЭВМ. Суммарное время непрерывного счета на современных ПК среднего класса 100-150 часов.

Рис. 5.1 Зависимость n (R) в логарифмическом масштабе для пяти каталогов и линейная аппроксимация в интервале 0.4 км - 8 км. Все объекты считаются неуправляемыми. Нижняя линия относится к каталогу 2000г, две средние линии - к 2009 г. и 2011 г., две верхние линии - к 2012 г. и 2013 г.

На рисунке 5.1 показаны зависимости lg (n (R)) от lg (R) в диапазоне расстояний 0.4 км ? 30 км для всех каталогов, а также их линейная аппроксимация на расстояниях сближения 0.4 км - 8.0 км (точки аппроксимации отмечены крестиком). Из рисунка видно, что на расстояниях R< 8км эти зависимости хорошо представляются прямыми линиями вида (1). Наклон линий остается практически неизменным, но сами линии с течением времени поднимаются вверх. В таблице 5.2 отдельно для каждого каталога ГСС приведены значения постоянных б, в, г, входящих в формулы (5.1 и 5.2). Заметим, что параметр в можно рассматривать как фрактальную размерность множества точек минимального сближения, определяемых радиусом-вектором R= (R_x, R_y, R_z), а сам метод поиска в аналогичен алгоритму Грассбергера-Прокаччиа для определения корреляционной размерности фрактального множества [3].

Таблица 5.2 Значения констант, входящих в формулы (1 и 2), учтены все объекты каталогов.

Анализируя данные этой таблицы, можно предположить, что показатель степени в для всех каталогов одинаков, то есть не зависит от времени. Вычислим новые значения постоянных с учетом этого предположения. Тогда получим:

в=1.907; г₁=0.183; г₂=0.324; г₃=0.349; г₄=0.413; г₅=0.422, (5.3)

где г_n - значение коэффициента г для каталога с номером n.

В таблице 5.3 приведены интервалы времени, в течение которых происходит одно парное сближение ГСС до заданного расстояния. Расчеты выполнены по формуле (5.2) с использованием значений (5.3). К примеру, из этой таблицы следует, что сближение до 5 м в настоящее время происходит каждые 159 лет.

Таблица 5.3 Функция ф (R) в годах для различных значений R, учтены все объекты каталогов.

Выше мы всюду полагали, что корректируемые ГСС движутся по законам неуправляемых объектов. В действительности это не так. Поэтому представляет интерес провести аналогичный анализ только для тех объектов, которые реально являются неуправляемыми и свободно движутся по законам небесной механики. Соответствующие объемы статистики приведены в таблице 5.1, столбцы N₁ и M₁. Результаты такого анализа представлены ниже.

На рисунке 5.2 показана зависимость lg (n (R)) от lg (R) в диапазоне расстояний 1 км ? 100 км и их линейная аппроксимация на расстояниях сближения 1 км - 40 км с учетом только пассивных объектов.

Рис. 5.2 Зависимость n (R) в логарифмическом масштабе и линейная аппроксимация от R=1км до R=40км (точки аппроксимации отмечены крестиком). Учитываются только неуправляемые объекты. Нижняя линия относится к каталогу 2000г, две средние линии - к 2009 г. и 2011 г., две верхние - к 2012 г. и 2013 г.

Из рисунка 5.2 хорошо видно, что зависимость вида (5.1) с учетом только неуправляемых ИСЗ наблюдается на значительно большем диапазоне расстояний, чем для всего массива ГСС (см. рис.5.1). Численные значения постоянных б, в, г для этого случая представлены в таблице 5.4 Отличие констант б, г от значений, приведенных в таблице 5.2, в особом комментарии не нуждается. Однако показатель степени в оказался почти таким же, что и на полном массиве ГСС, несмотря на значительную разницу в исходных данных.

Таблица 5.4 Значения констант, входящих в формулы (1 и 2), учтены только неуправляемых объекты.

Предполагая, как и ранее, что параметр в одинаков для всех каталогов, получим новые значения постоянных, аналогичные значениям (5.3):

в=1.915; г₁=0.00604; г₂=0.0161; г₃=0.0177; г₄=0.0205; г₅=0.0213. (5.4)

В таблице 5.5 представлен прогноз функции ф (R) на малые расстояния сближения только для пассивных спутников, с использованием значений (5.4).

Таблица 5.5 Функция ф (R) в годах для различных значений R, учтены только неуправляемые объекты.

Из этой таблицы видно, что опасные сближения двух неуправляемых спутников в настоящее время случаются довольно редко. Сближения до 10 м происходят один раз за 872 года, до 30 м - один раз за 106 лет.

Анализируя зависимость параметра г от времени, можно прийти к следующему выводу. Если темп заполнения геостационарной зоны неуправляемыми объектами в будущем будет таким же, как на интервале 2000 - 2013 г. г., то примерно к 2070 году одно взаимное сближение этих объектов до R = 5 м будет происходить в среднем за 10 лет, что сравнимо со временем работоспособности вновь запускаемых космических аппаратов.

Наконец, заметим, что все наши оценки получены с учетом только тех спутников, которые занесены в используемые каталоги ГСС. Сюда не входят малоразмерные объекты, количество которых может быть неопределенно большим.

Литература