Изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы

И.И. Смульский, О.И. Кротов

Аннотация

Достаточно часто рассчитанные траектории и реальные движения небесных тел и космических аппаратов различаются. Их отличие может быть обусловлено несовершенством методов расчета орбит и траекторий. С целью проверки этих методов рассмотрено изменение кинетического момента при расчете движений программой Galactica, с помощью эфемерид DE406 и системы Horizons. Наименьшее изменение получено в программе Galactica, наибольшее - по системе Horizons. Исследована динамика кинетического момента планет. Полученные результаты могут быть использованы для контроля и совершенствования методов расчета движений.

Ключевые слова: Солнечная система, динамика, численное интегрирование, кинетический момент.

Введение

траектория движение небесный орбита

В результате исследования космического пространства в последние десятилетия появились свидетельства о несоответствии рассчитанных орбит небесных тел и траекторий космических аппаратов с наблюдаемыми. Эти свидетельства имеются также при исследовании эволюции Солнечной системы за геологические периоды времени. Благодаря им ряд исследователей пришел к выводу о хаотичности движений в Солнечной системе: возможности распада ее в будущем [1], хаотическом движении астероидов после сближения с планетой [2] и т.д. Другие исследователи для устранения этих несоответствий дополнительно к силе тяготения Ньютона привлекают другие более слабые воздействия: силу радиационного воздействия Ярковского [3], “темную материю” [4], световое давление и т.д.

Однако индетерминированность движений и невыясненная природа сил противоречит духу механики. По-видимому, прежде чем соглашаться с вышеупомянутыми изменениями, необходимо в рамках механики проверить достоверность существующих методов расчета движений. Одним из показателей точности решения задач механики является соблюдение законов сохранения. В данной работе выполнено исследование по сохранению момента количества движения всей системы взаимодействующих тел при расчете динамики Солнечной системы разными методами.

1. Изменения кинетического момента в программе Galactica

В результате исследования движения Апофиса при разных начальных условиях и с помощью разных методов [5]-[8] было установлено, что неопределенность в движении астероида после сближения с Землей может быть уменьшена за счет увеличения точности этих методов. Поэтому были выполнены исследования по изменению момента количества движения Солнечной системы при численном расчете ее движения двумя методами. Первый метод - традиционный. Он основан на стандартной динамической модели (SDM) и реализован в программах расчета эфемерид серии DE, в частности DE-406 [9] и в системе Horizons [10]. Второй метод реализован в программе Galactica [11]. Он основан на ньютоновском взаимодействии точечных масс, а для интегрирования дифференциальных уравнений движения используется новый высокоточный метод. Информация о задачах, решенных с помощью программы Galactica, приведена по адресу: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/Galct11R.pdf. Система Galactica, с набором необходимых средств для решения задач, свободно доступна на сайте http://www.ikz.ru/~smulski/GalactcW/. Ее описание представлено в файле GalDiscrp.pdf на русском языке, а в файле GalDiscrpE.pdf - на английском.

Одним из важных показателей достоверности решения дифференциальных уравнений движения является относительное изменение момента количества движения системы. При отсутствии внешних воздействий на систему взаимодействующих материальных точек момент количества ее движения или кинетический момент, например в проекции на ось z, остается неизменным:

, (1)

где m_i, x_i, y_i и v_xi, v_yi - масса, координаты и скорости i-того тела, а n - количество тел в системе.

Поэтому относительное изменение момента

дM_z = (M_z - M_z0)/M_z0, (2)

где M_z0 - величина момента количества движения в определенный момент времени, должно быть равно нулю, т.е. дM_z = 0. Если его значение не равно нулю, то это свидетельствует о погрешностях при численном интегрировании задачи.

О показателе точности величины дM_z при интегрировании уравнений с помощью программы Galactica и связи дM_z с погрешностью координат и скоростей более детально дано в работах [12, 13]. В этой программе в процессе решения дифференциальных уравнений вычисляются различные критерии достоверности расчетов, в том числе и относительное изменение момента дM_z. В результате неоднократных исследований для Солнечной системы было установлено, что проекции момента количества движения на оси x и y ведут себя аналогично проекции дM_z. Так как эта проекция близка по величине к изменению модуля момента дM_t, то в дальнейшем рассматривается изменение только величины дM_z.

Момент количества движения по программе Galactica рассчитывается для планет, Луны, Солнца и Апофиса в барицентрической экваториальной системе координат на эпоху 2000.0 г. [6]-[8]. Вычисления выполнялись с шагом dT = 10^-5 года и с расширенной длиной числа (34 десятичных знака). Динамика изменения дM_z за 160 лет показана на рис. 1а. Как видно, эта величина линейно изменяется со временем со средней скоростью dдM_z/dT = 1.510^-21 cyr^-1, где 1 cyr = 100 лет. Эти результаты, как уже упоминалось выше, получены с расширенной длиной числа. При интегрировании уравнений движения программой Galactica с двойной длиной числа (17 десятичных знаков) на этом интервале времени погрешность момента дM_z колеблется в пределах дM_z = 10^-13, т.е. линейно не растет с увеличением времени решения задачи. Алгоритм программы Galactica позволяет, если в этом возникнет необходимость, застабилизировать погрешность и при расширенной длине числа.

Рис 1. Относительное изменение момента количества движения Солнечной системы: при интегрировании дифференциальных уравнений движения Солнца, планет, Луны и Апофиса программой Galactica (а); при расчетах движения планет, Солнца, Луны и астероидов: Церера, Паллада и Веста по программам DE406 (б) и Horizons (в). Величины M_z рассчитаны согласно (2) при M_z0 на 30.XI.2008. T - время в юлианских столетиях по 36525 дней в столетии от эпохи 30.XI.2008.

2. Изменение кинетического момента в программах SDM

Изменение момента количества движения по эфемеридам DE406 и системе Horizons мы исследовали для планет, Солнца, Луны и трех астероидов Церера, Паллада и Веста относительно центра масс Солнечной системы. Рассчитывались проекции момента M_x, M_y и M_z на оси барицентрической экваториальной системы координат и модуля момента M_t. Эти вычисления были выполнены для нескольких моментов времени. Для эфемерид DE406 массы тел (те же, что и в эфемеридах DE405) были взяты из их описания.

В системе Horizons для каждого тела выдается его масса. Так как эти массы отличаются от масс, принятых в эфемеридах DE406, то также были рассчитаны моменты количества движения с массами из эфемерид DE406. Кроме того, в системе Horizons координаты Плутона выдаются до 29.I.2051. Поэтому были рассчитаны моменты количества движения без Плутона. Однако выяснилось, что характер изменения моментов количества движения в двух последних вариантах практически не отличается от первого варианта. Поэтому в дальнейшем использовались моменты количества движения с массами из эфемерид DE405.

В табл. 1 приведены величины момента M_z, рассчитанного по эфемеридам DE406 и системе Horizons на интервале 160 лет. По эфемеридам DE406 значения момента неизменны до 10 значащей цифры, а по системе Horizons - до четвертой. Характер изменения проекций момента M_x, M_y и полного момента M_t аналогичен изменению z-проекции момента M_z, поэтому в дальнейшем, как и по программе Galactica, рассматривается только проекция момента на ось z.

Таблица 1. Момент количества M_z движения планет, Солнца, Луны и трех астероидов по эфемеридам DE406 и системе Horizons для разных дат и номеров юлианских дней JD с массами DE405.

На рис. 1 сопоставлены относительные изменения моментов количества движения, рассчитанные по программе Galactica, эфемеридам DE406 и системе Horizons. Относительные изменения моментов приведены по отношению к значению момента на 30.XI.2008. Первая точка относится к дате 30.XII.1949. По программе Galactica, как уже отмечалось, момент количества движения растет линейно со временем, и за 160 лет относительное изменение момента M_z = 2.410^-21. По эфемеридам DE406 величина M_z изменяется немонотонно, и диапазон колебаний равен 810^-10, что на 11 порядков превышает погрешности момента по программе Galactica.

Кинетический момент по системе Horizons изменяется также не монотонно, и колебания M_z достигают значений 910^-5. Отсюда следует, во-первых, что изменения момента количества движения в эфемеридах DE406 и системе Horizons на много порядков превышают его изменения в программе Galactica. А во-вторых, изменения момента количества движения в системе Horizons на 5 порядков превышают его изменения в эфемеридах DE406.

Следует отметить, что первоначально эти исследования для эфемерид DE406 и системы Horizons были выполнены для планет, Луны и Солнца, т.е. без трех астероидов. Изменение момента M_z для эфемерид DE406 было в 2.5 раза больше. Меньшее изменение M_z в результатах, представленных в табл. 1 и на рис. 1, обусловлено тем, что в эфемеридах DE406 рассчитывается движение с учетом этих астероидов. Так как вклад астероидов в изменения момента M_z составляет порядка 1.210^-9, то следовало ожидать, что учет астероидов не окажет влияния на изменение момента по системе Horizons. Этот вывод подтвердился при расчетах: учет астероидов не изменил погрешности момента количества движения в системе Horizons.

4. Динамика кинетических моментов отдельных тел

С целью выяснения причин изменения момента количества движения были выполнены исследования изменений момента количества движения в эфемеридах DE406 по отдельным телам: планетам, Солнцу и Луне. Рассматривалось относительное изменение момента по отношению к моменту на дату 30.XI.2008. Исследовались все три проекции момента M_x, M_y и M_z. Ввиду идентичности поведения будем, как и ранее, рассматривать проекцию только на ось z. Изменение момента M_z этих тел за 160 лет показано на рис. 2 сплошной линией. Как видно, моменты количества движения тел, как и Солнечной системы на рис. 1 б, изменяются колебательно. Наименьшие относительные изменения имеют Плутон, Нептун, Сатурн и Юпитер. Момент Солнца изменяется в наибольшей степени, а из планет наибольшее изменение M_z имеет Меркурий.

Следует иметь в виду, что в отличие от задачи двух тел, при взаимодействии многих тел момент количества движения каждого тела претерпевает изменение. Происходит постоянный взаимообмен моментами между телами. Например, из графиков на рис. 2 видно, что величины M_z для Юпитера (Jp) и Солнца (Su) изменяются асинхронно, что свидетельствует об их взаимообмене моментами количества движения. Поэтому проблема заключается не в том, что эти моменты изменяются, а в том, насколько правильно результаты интегрирования уравнений отражают действительные изменения кинетических моментов этих тел. Небольшое несовпадение расчетных величин моментов от действительных может привести при их сложении к значимым изменениям момента количества движения всей Солнечной системы.

Рис 2. Относительное изменение моментов количества движения тел Солнечной системы: от Меркурия (Me) до Луны (Mo) и Солнца (Su). Величина M_z рассчитана согласно (2) при M_z0 на 30.XI.2008: 1 - по эфемеридам DE406; 2 - по программе Galactica.

Вклад моментов отдельных тел в момент количества движения Солнечной системы зависит от их абсолютных величин. В табл. 2 приведены моменты M_z0i тел, размах M_zi их относительных изменений и размах их абсолютных изменений M_zi. Эти величины определялись так:

M_zi = M_zmaxi - M_zmini; M_zi = M_z0i M_zi, (3)

где i - номер тела; M_zmaxi и M_zmini - максимальное и минимальное значения M_zi на графиках рис. 2.

Как видим, наибольший абсолютный размах M_zi колебаний момента количества движения у Солнца (Su) и Юпитера (Jp), и, как видно из табл. 2, величины их M_zi близки. Как уже отмечалось выше, моменты их изменяются в противофазе. Поэтому погрешность в определении их моментов количества движения может дать существенный вклад в изменения M_z всей Солнечной системы.

Таблица 2. Диапазоны изменений момента количества движения планет, Луны и Солнца относительно центра масс Солнечной системы по DE-406 на интервале 160 лет от 30.XII.1949. Относительные изменения определены по отношению к 30.XI.2008. Проекции кинетических моментов тел M_z0i и их изменения M_zi приведены в кгм/сек.

Эти же исследования моментов количества движения тел были выполнены и по программе Galactica. Относительные изменения моментов M_z тех же тел приведены на рис. 2 пунктирной линией. Здесь расчеты проводились с меньшим интервалом по времени, а именно через 5 лет. Для планет с большим периодом обращения, начиная с Юпитера, видно, что момент количества движения тел периодически изменяется. Для планет земной группы периоды колебаний M_z меньше интервала в 5 лет между точками на графиках. Поэтому колебания этих периодов здесь не видны.

При сравнении относительных моментов M_z на графиках рис. 2, рассчитанных по эфемеридам DE406 и программе Galactica, видно, что относительные диапазоны их колебаний совпадают. В некоторых случаях, когда моменты рассчитаны для одного и того же значения времени, совпадают также величины M_z. Например, при T 0.4 относительные изменения момента имеют примерно одинаковые значения для следующих тел: Me, Ve, Ea, Jp, Sa, Ur, Ne, Pl и Su. И только для двух тел: Марса (Ma) и Луны (Mo) они существенно отличаются. Это отличие, как видно из рис. 1 б, для эфемерид DE406 при T 0.4 может приводить к наибольшей погрешности момента количества движения всей Солнечной системы M_z = 610^-10.

Хорошее совпадение изменений моментов M_z по двум программам на всем диапазоне имеется для Урана (Ur), Нептуна (Ne) и Солнца (Su). В тоже время наблюдается отличие моментов M_z вблизи некоторых значений времени: для Меркурия при T = -0.6 и -0.4, для Венеры при T = -0.6 и 0.9, для Сатурна при T = 0.9, для Земли и Марса при T = 0.2 и 0.6. Эти отличия кинетических моментов отдельных тел могут приводить к отмеченным ранее колебаниям кинетического момента всей Солнечной системе в эфемеридах DE406. Таким образом, приведенные на рис. 2 сопоставления моментов количеств движения отдельных тел, выполненных разными методами, могут быть ориентирами по поиску причин погрешностей момента в той программе, точность которой ниже, в данном случае в эфемеридах DE406.

Рис 3. Относительное изменение z-проекции момента количества движения планет от Меркурия (Me) до Юпитера (Jp) за одно обращение планеты. Величины M_z рассчитаны при M_z0 на дату 30.XII.1949 T_n = T/P - нормализованное время в периодах обращения. P = 0.24; 0.68; 1.000; 1.84; 11.85 - периоды обращения в сидерических годах планет от Меркурия до Юпитера.

По программе Galactica были выполнены исследования по изменению кинетического момента ближних планет с большей детальностью. Периодичность изменения координат и скоростей, которые согласно (1) определяют кинематический момент, обусловлена периодичностью обращения тел. Так как период P обращения тел от Меркурия до Плутона изменяется в тысячу раз, то эти исследования выполнялись на интервалах времени, кратных периоду P. На рис. 3 представлено его изменение M_z на интервале одного обращения планеты. Как видно из графиков, величина M_z для всех планет на этом интервале изменяется колебательно с периодами, которые меньше периодов P обращения планеты. Для Земли (Ea) имеется около 12 колебаний M_z. Они обусловлены воздействием Луны. Наименьший размах колебаний M_z 310^-6 на интервале одного обращения имеет Меркурий, а наибольший без учета Земли - Юпитер: M_z 210^-4. У Земли за счет учета воздействия Луны величина M_z = 10^-3 превышает размах колебаний Юпитера. При сопоставлении размахов этих колебаний с размахами колебаний M_zi за 160 лет (см. табл. 2) видно, что величина колебаний на интервале одного обращения тела меньше на 3ч4 порядка для Меркурия и Венеры, и на 1 порядок - для Земли и Юпитера.

Следует отметить, что представленная на рис. 3 динамика кинетического момента M_z на интервале одного обращения в другую эпоху может видоизмениться. Поэтому были выполнены исследования по изменению кинетического момента за большие периоды времени. В этом случае рассматривались средние модули моментов M_tm количеств движения планет за одно обращение. Эти исследования были выполнены для каждой планеты на интервале 300 ее обращений. На рис. 4 представлены изменения средних кинетических моментов для тех же планет, что и на рис. 3. Так как интервал между точками на графиках рис. 4 равен одному периоду P обращения планеты, то периоды колебаний кинетического момента составляют несколько периодов P. Например, наименьшие периоды колебаний среднего кинетического момента на рис. 4 для Меркурия и Юпитера составляют 4ч5 их собственных периодов обращения P. Кроме этих коротких, как видно из рис. 4, существуют и более долгие колебания. А для Марса (Ma) и Юпитера (Jp) наметились тренды изменения, которые являются началом колебаний с периодом в десятки и сотни тысяч лет. Они обусловлены долгопериодическими колебаниями орбит планет [13].

Рис 4. Относительные изменения среднего модуля момента количества движения планет от Меркурия (Me) до Юпитера (Jp) за 300 обращений планеты. Величина M_tm рассчитана при значении среднего модуля момента M_tm0 на 30.XII.1949. Остальные обозначения см. рис. 3.

Размах колебаний средних кинематических моментов на рис. 4 не превышает размах колебаний внутри одного обращения, показанных на рис. 3. Это обусловлено тем, что при осреднении амплитуд колебаний за время одного обращения их разброс уменьшается. Следует отметить, что на рис. 3 и 4 представлены исследования изменения моментов на больших интервалах времени только для пяти первых планет. Для остальных планет эти изменения хорошо видны на графиках штриховой линией рис. 2 с интервалом по времени, равным 5 лет. На интервале 160 лет для планет от Сатурна (Sa) до Плутона (Pl) прослеживаются колебания с двумя периодами порядка десятка лет и порядка сотни лет.

Следует отметить, что выполненные с большим разрешением по времени исследования кинетического момента M_z по программе Galactica (см. рис. 3) показывают, что изменение M_z для отдельных тел происходит плавно: без скачков и разрывов. Поэтому случаи отличия величины M_z по DE406 на рис. 2 от значений, рассчитанных по программе Galactica, обусловлены погрешностями эфемерид DE406.

Итак, несмотря на разнообразные изменения моментов количества отдельных тел, входящих в Солнечную систему, момент количества движения всей системы остается неизменным. Степень его изменения свидетельствует о точности решения уравнений динамики Солнечной системы. Наименьшее изменение кинетического момента дает программа Galactica, а система Horizons - наибольшее. Изменение кинетического момента отдельных тел по наилучшей программе расчета могут служить ориентирами для определения причин погрешностей в программе расчета с меньшей точностью.

4. Разности положений тел

Полученные положения кинетического момента могут свидетельствовать о погрешностях координат и скоростей тел. Попробуем их оценить. Пусть у всех тел по всем координатам и компонентам скоростей имеется одинаковое относительное отклонение , тогда для i-того тела, например для проекции на ось x можно записать координату и скорость тела в любой момент времени

x_i = x_ti (1 + ); v_xi = v_xti (1 + ), (4)

где x_i и v_xi - рассчитанные значения, а x_ti и v_xti - истинные значения координаты и скорости i-того тела в этот момент времени. После подстановки координат и скоростей согласно (4) в выражения кинетического момента (1), а затем в (2), получаем

M_z 2 . (5)

Следует отметить, что в этом случае при вычислении относительного изменения момента M_z величина M_z0 в выражении (2) рассчитывается по истинным значениям x_ti и v_xti и т.д.

Итак, при одинаковом для всех тел относительном отклонении координат и скорости оно равно половине отклонения момента = 0.5 M_z.

С целью анализа структуры отклонений были проведены исследования по отличию эфемерид DE406 от эфемерид DE405, DE403, DE200 и системы Horizons для двух дат: 30.XII.1949 c юлианским днем JD = 2433280.5 и 30.XII.1999 c JD = 2451542.5. Определялись отклонения координат x_i, y_i, z_i и скоростей v_xi, v_yi, v_zi; отклонение модулей расстояний r_i и скоростей v_i; угловое смещение _i в плоскости xy и относительное изменение расстояний между положениями тела r_i.

В табл. 3 приведены два параметра этих исследований, которые получены в результате осреднения по всем телам: r_m - среднее по всем телам относительное отклонение расстояния между положением тел по разным программам расчета и _m - среднее по всем телам значение модулей разности угловых расстояний между ними в гелиоцентрической экваториальной системе координат. Как видно из табл. 3, эти величины хорошо коррелируют между собой, причем величина _m примерно в два раза меньше относительного отклонения r_m. Из сравнения двух разных эпох: 1949 г. и 1999 г., видно, что характер отклонений практически не изменился.

Таблица 3. Средние относительные отличия эфемерид DE405, DE403, DE200 и системы Horizons от эфемерид DE406.

Из табл. 3 видно, что чем меньше номер эфемерид, тем хуже их точность. Данные табл. 3 также подтверждают худшую точность результатов системы Horizons по сравнению с эфемеридами DE406 или DE405. Кроме того, из анализа разностей расстояний r и скоростей v следует, что при изменении их значений в широком диапазоне для разных тел их относительные величины r и v изменяются в меньших пределах. Среднее значение пределов адекватно отражается величинами r_m и _m. Поэтому принятая одинаковая величина отклонения координат и скорости тел при выводе ее зависимости от отклонения кинематического момента M_z является оправданной.

При исследовании изменения кинематического момента за 160 лет мы получили, что по эфемеридам диапазон его колебания M_z = 810^-10, а по системе Horizons - 910^-5. Поэтому следует ожидать, что относительные погрешности координат и скорости, рассчитанных с помощью этих систем, могут быть порядка 410^-10 и 4.510^-5, соответственно. Эта оценка точности получена по отношению к “истинным” параметрам движения тел, которые дают неизменный кинематический момент M_z. Она, естественно, отличается от отклонений r_m в табл. 3, полученных при сравнении разных версий эфемерид между собой.

5. Изменение кинетического момента с учетом вращательного движения тел

Выше мы рассмотрели суммарный момент количества движения тел в динамике Солнечной системы, который обусловлен их орбитальными движениями. При анализе статьи рецензентом он отметил, что учет кинетического момента, обусловленного вращательным движением тел, расширил бы возможности этого подхода. Например, в системе Земля-Луна можно было бы проследить рост орбитального кинетического момента Луны за счет торможения вращения Земли. Действительно, представляет интерес рассмотрение суммарного кинетического момента с учетом моментов количеств движения тел, обусловленных собственным вращением. Эти моменты еще называют спинами тел. В рассматриваемых в статье программах расчета орбитальных движений спины тел не учитываются. Поэтому на данном этапе работа по изменению кинетического момента в динамике Солнечной системы может быть выполнена только с учетом орбитальных кинетических моментов.

Следует отметить, что в системе Galactica в начальные условия кроме орбитальных параметров входят также радиусы тел и проекции их спинов. Поэтому, если все эти параметры задать для какой-то задачи гравитационного взаимодействия тел, то в результате ее решения будет получена динамика орбитального и вращательного кинетических моментов тел. При этом могут происходить столкновения тел, их слияние в одно тело, затем столкновения слившихся тел, а также другие процессы при соударениях.

Эти процессы неоднозначны. Достаточно сложно определиться с выбором и разработать их алгоритмы. В этом случае контроль измерения суммарного (с учетом спинов) кинетического момента является единственным надежным методом контроля достоверности полученных результатов.

Следует отметить, что в статье рассматривается изменение кинетического момента в динамике Солнечной системы, т.е. в теориях, которые описывают движения в Солнечной системе. А изменение кинетического момента в самой Солнечной системе зависит не только от орбитального и вращательного движения тел, но и от других факторов. Самый главный из них является орбитальное движение. В дальнейшем, по мере повышения точности описания первых по значимости факторов, будут учитываться и последующие.

Приведем оценку моментов, обусловленных вторым по значимости фактором - вращательным движением тел. Если J - осевой момент инерции, а щ_rt - угловая скорость вращения, то спин тела будет

S = Jщ_rt ? 0.4 m R²2/P_rt = 0.8 mR²/P_rt, (6)

где m - масса тела; R - его радиус, а P_rt - период его вращения.

Если средний радиус орбиты a, а средняя угловая скорость движения тела по орбите щ_or, то его орбитальный момент количества движения будет:

M = mщ_ora² = 2ma²/P_or, (7)

где P_or - период обращения тела по орбите.

Тогда соотношение между спином и орбитальным моментом запишется в виде

. (8)

В таблице 4 приведены эти соотношения для планет (Me - Pl) и Луны (Mo). Для Луны орбитальный момент рассчитан по ее орбите вокруг Земли, а для планет - вокруг Солнца. Видно, что орбитальный момент превышает спин на много порядков. Тем не менее, точность программы Galactica, по-видимому, позволяет учесть его. Поэтому, в дальнейшем исследователи могут ставить задачи, подобные предложенной рецензентом, и пытаться их решить с помощью системы Galactica.

Таблица 4. Параметры планет от Меркурия до Плутона (Me - Pl) и Луны (Mo) , их средние орбитальные моменты (M) и спины (S). Знак “-” перед числами означает, что планета вращается по часовой стрелке.

Заключение

Для современных задач космической и небесной механики точность существующих методов расчета движений является недостаточной. Например, для повышения достоверности расчета движения Апофиса после сближения его с Землей в 2029 г. точность методов должна быть увеличена на порядок [6,7]. Более точные методы необходимы не только для расчета движения астероидов и космических аппаратов, для изучения эволюции тел Солнечной системы за геологические интервалы времени, но и для многих других задач небесной механики, например, для уточнения масс планет. Выполненные исследования по изменению кинетического момента позволяют оценить точность используемых методов расчета движений, а также сориентироваться в причинах их погрешностей и направлениях дальнейшего совершенствования методов.

Благодарности

Вычисления по программе Galactica проводились на суперкомпьютерах Сибирского Суперкомпьютерного Центра СО РАН. Работа выполнялась при поддержке Интеграционной Программой 13 Президиума Российской академии наук. В заключение выражаем признательность рецензенту за интерес к нашей статье, детальный ее анализ и высказанные предложения.

Список литературы

1. Laskar J., Large-scale chaos in the solar system // Astron. and Astrophys. 1994. Vol. 287, No. 1, pp. L9-L12.

URL: http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1994A%26A...287L...9L/L000009.000.html (дата обращения: 02.X.2014)

2. Рыхлова Л.В., Шустов Б.М., Поль В.Г., Суханов К.Г. Насущные проблемы астероидной опасности // Околоземная астрономия 2007. Материалы международной конференции 3-7 сентября 2007 г. п. Терскол. г. Нальчик: Международный центр астрономических и медико-экологических исследований Национальной академии наук Украины и Институт астрономии РАН. 2008 г. C. 25-33.

3. Giorgini J.D., Benner L.A.M., Ostro S.I., Nolan H.C. and Busch M.W. Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis // Icarus. Vol. 193, 2008, pp. 1-19. URL: http://dx.doi.org/10.1016/j.icarus.2007.09.012 (дата обращения: 30.V.2012)

4. Anderson J.D., Laing P.A., Lau E.L., Liu A.S., Nieto M.M., and Turyshev S.G. Study of the Anomalous Acceleration of Pioneer 10 and 11 // Physical Review D. Vol. 65, pp. 1-50. URL: http://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.65.082004. (дата обращения: 02.X.2014)

5. Smulsky J.J., Smulsky Ya.J. Evolution of Apophis Orbit for 1000 Years and New Space Targets // "Protecting the Earth Against Collisions with Asteroids and Comet Nuclei" - Proceedings of the International Conference "Asteroid-Comet Hazard-2009", Eds.: A. Finkelstein, W. Huebner, V. Shor. - Saint-Petersburg: "Nauka". 2010. -Pp. 390-395. URL: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvlAp3Ec.pdf (дата обращения: 30.V.2012)

6. Смульский И.И., Смульский Я.И. Эволюция движения астероидов Апофис и 1950 DA за 1000 лет и возможное их использование // Институт криосферы Земли СО РАН. - Тюмень, 2011. - 36 с. ил.: 10. Библиогр.: 27 назв. - Рус. - Деп. в ВИНИТИ 25.01.11 г. № 21-В2011. URL: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvAp1950c.pdf (дата обращения: 30.V.2012)

7. Смульский И.И., Кротов О.И. Расчет движения Апофиса за 100 лет по двум программам: Galactica и Horisons // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: сборник материалов конференции, посвященной 50 - летию полета Ю.А. Гагарина и 90 - летию со дня рождения основателя и первого директора НИИ ПММТГУ А. Д. Колмакова, 12 - 14 апреля 2011 г. Томск: Томский Государственный университет. 2011. C. 402-403. URL: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/ClApGlH20.pdf (дата обращения: 30.V.2012)

8. Смульский И.И., Смульский Я.И. (Smulsky J. J., Smulsky Ya. J.), Asteroids Apophis and 1950 DA: 1000 Years Orbit Evolution and Possible Use // Horizons in Earth Science Research. Vol. 6. Editors: Benjamin Veress and Jozsi Szigethy. Nova Science Publishers, USA, 2012. P. 63-97. URL: https://www.novapublishers.com/catalog/index.php (дата обращения: 30.V.2012)

9. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Interoffice Memorandum: JPL IOM 312. F - 98-048. August 26. 1998. URL: ftp://ssd.jpl.nasa.gov/pub/eph/planets/ioms/de405.iom.pdf (дата обращения: 30.V.2012)

10. Система HORIZONS. URL: http://ssd.jpl.nasa.gov/?horizons (дата обращения: 30.V.2012)

11. Smulsky J. J. Galactica Software for Solving Gravitational Interaction Problems // Applied Physics Research. 2012. Vol. 4, No. 2, pp. 110-123. http://dx.doi.org/10.5539/apr.v4n2p110 (дата обращения: 30.V.2012)

12. Гребеников Е.А., Смульский И.И. Эволюция орбиты Марса на интервале времени в сто миллионов лет // Сообщения по прикладной математике. Российская Академия Наук: ВЦ им. А.А. Дородницына. М.: ВЦ РАН А.А. Дородницына, 2007. 63 с. URL: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/EvMa100m4t2.pdf (дата обращения: 30.V.2012)

13. Мельников В.П., Смульский И.И. Астрономическая теория ледниковых периодов: Новые приближения. Решенные и нерешенные проблемы. Новосибирск: Академическое изд-во «Гео», 2009. 98 с. Книга на двух языках. С обратной стороны: Melnikov V.P., Smulsky J.J. Astronomical theory of ice ages: New approximations. Solutions and challenges. Novosibirsk: Academic Publishing House “GEO”, 2009. 84 p. URL: http://www.ikz.ru/~smulski/Papers/AsThAnR.pdf (дата обращения: 30.V.2012)

Размещено на Allbest.ru