Колебания протосолнца и упорядоченность орбит планет

Размещено на http://www.allbest.ru/

Колебания протосолнца и упорядоченность орбит планет

А.И. Хлыстов

Введение

Проблема закономерного распределения средних расстояний планет от Солнца является одной из важнейших в современной астрономии, поскольку её решение может радикально изменить наши представления на происхождение Солнечной системы. И. Кеплер, открывший в начале XVII в. 3 закона движения планет по орбитам, был уверен, что существует и 4-й закон, описывающий распределение орбит в пространстве вокруг Солнца. Интерес к этой проблеме возродился после того, как в 1687г. И. Ньютон показал, что все 3 закона Кеплера вытекают из закона Всемирного тяготения. В 1731 г. Христиан Вольф [1] попытался установить связь между размерами планетных орбит с помощью числового ряда, но не довёл свою работу до конца. Иммануил Кант [2] и Иоганн Ламберт [3] также были уверены в существовании закономерности в распределении планет по орбитам и даже говорили о возможности обнаружения планеты между орбитами Марса и Юпитера. В 1766 г. Иоганн Тициус в своём переводе на немецкий язык книги Шарля Бонне «Созерцание природы» [4], впервые поместил в ней в виде замечания свою знаменитую формулу для радиусов планетных орбит. В настоящее время эта формула обычно записывается в следующем виде [5]

r_n = 0.4 + 0.3·2ⁿ , (1) ,

где n = - для Меркурия и n = 0, 1, 2, … для последующих планет, r_n - большие полуоси орбит планет в а.е.

1. Закон Тициуса-Боде и открытие новых планет

На момент опубликования Тициусом формулы (1) астрономам были известны только шесть планет - от Меркурия до Сатурна - и ничего не было известно о поясе астероидов. Эта ситуация отражена в Табл. 1, где в строке (Т-Б) даны вычисленные по формуле (1) расстояния, а (набл) - фактические средние расстояния до планет, взятые нами из [6]. Как видно из таблицы, формула (1) даёт прекрасное согласие с наблюдениями. Однако, только в 1772 г. астрономы впервые обратили на неё внимание. И. Боде включил формулу (1) в текст своей фундаментальной книги «Руководство по изучению звёздного неба» [7] и в последующие годы неоднократно ссылался на эту формулу в других своих астрономических работах.

Таблица 1

В настоящее время выражение (1) обычно называют законом Тициуса-Боде, отдавая дань уважения Иоганну Боде, много сделавшему для пропаганды этого закона в своих астрономических трудах

Отношение к закону Тициуса-Боде кардинально изменилось в 1781 г., когда Вильям Гершель открыл Уран, среднее расстояние которого от Солнца отличалось от расчётов по формуле (1) всего лишь на 2% (см. Табл.2). Можно сказать, что открытие Урана возвело формулу (1) в ранг закона, поскольку она, по существу, оказалась способной предсказывать новые планеты.

Таблица 2

Двадцать лет спустя астрономы ещё более уверовали в справедливость закона Тициуса-Боде, когда в 1801 г. Джузеппе Пиацци открыл малую планету Цереру между орбитами Марса и Юпитера как раз на том расстоянии, которое предсказывал этот закон (см. Табл.2).

«Золотой век» закона Тициуса-Боде оказался недолгим. В 1846 г. был открыт Нептун, истинное расстояние которого от Солнца оказалось на 29% меньше предсказанного этим законом (см. Табл.3). И уже окончательно «похоронило» этот закон открытие в 1930 г. Плутона, истинное среднее расстояние которого от Солнца оказалось почти в 2 раза меньше предсказанного законом Тициуса-Боде (см. Табл.3).

Таблица 3

2. Модификации закона Тициуса-Боде

На протяжении XIX - XX вв. было выполнено большое количество работ, посвященных поискам физических основ и различных математических модификаций закона Тициуса-Боде [9]. Мы коснёмся здесь только тех работ, идеи которых в той или иной степени оказали влияние на разработку предлагаемого нами механизма квантования орбит планет и спутников.

Принципиально важным для понимания физических процессов, приводящих к ф.(1), является впервые высказанное в 1787 г. Вурмом [8] предположение, что эта формула должна выполняться также для систем спутников больших планет. Он показал, что для известных в то время спутников Юпитера и Сатурна выполняется соотношение

r_n = a + b·2ⁿ , (2)

где a и b подбираются отдельно для каждой планеты. Спустя 15 лет Гильберт [10] впервые отказался от геометрической прогрессии со знаменателем 2 и записал закон Тициуса-Боде в виде

r_n = a + b·cⁿ (3)

который он применил для планет и спутников Сатурна.

С точки зрения согласия с наблюдениями, наиболее точными оказались две сходных модификации закона Тициуса-Боде, полученные независимо М. Блэгг [11] и Д. Ричардсоном [12]. Опубликованная в 1913 г. формула

М. Блэгг имеет вид

r_n = A·(1.7275)ⁿ [B + f] , (4)

где A и B - постоянные, а f - эмпирическая периодическая функция с двумя параметрами подгонки, принимающая значения от 0 до + 1. Практически такую же формулу предложил 30 лет спустя Д. Ричардсон

r_n = (1.728)ⁿ с _n , (5)

где с _n - эмпирическая функция периода 2р, содержащая пять параметров подгонки. При надлежащем подборе параметров в ф.(3) и ф.(4) удаётся добиться для планет и их спутников точности не хуже 6% [9].

3. Физические основы закона Тициуса-Боде

Подводя итог работам по модификации закона Тициуса-Боде, можно сделать вывод, что они определённо указывают на существование единого механизма, приводящему к квантованию орбит планет и их спутников. Чтобы подойти к пониманию физических основ этого механизма, рассмотрим, опираясь на данные современной астрофизики, процесс формирования Солнца как звезды.

В настоящее время общепринято считать [13], что образование звёзд происходит внутри гигантских молекулярных облаков, расположенных преимущественно в спиральных ветвях нашей Галактики. Вначале, в результате гравитационной неустойчивости в холодном плотном молекулярном облаке формируется более плотное и быстро сжимающееся ядро, окруженное протяженной разреженной оболочкой. При сжатии ядро разогревается за счёт выделения гравитационной энергии. Когда температура протозвезды достигает значения порядка 3000 - 4000 К, её вещество становится ионизованным, коэффициент непрозрачности резко возрастает и лучистый перенос энергии к поверхности сменяется конвективным. Звезда вступает в так называемую стадию Хаяши.

Согласно А. Эддингтону [14], если коэффициент непрозрачности в некотором слое звезды резко возрастает, могут возникнуть радиальные пульсации значительной амплитуды, которые при наличии развитой конвекции постепенно затухают. Из сказанного выше следует, что при вступлении протосолнца в стадию Хаяши в нём могут возникнуть именно такие затухающие радиальные колебания. Для последующих обсуждений важно также отметить, что на этой стадии эволюции протосолнца оно оказывается окружённым непрозрачной газопылевой средой (протопланетный диск) [13].

Согласно [15], в простейшем случае линейной системы с одной степенью свободы амплитуды колебаний убывают по геометрической прогрессии и все последовательные значения амплитуды Х располагаются

на экспоненте (Рис.1)

Х(t) = X₀e^-бt, (6)

где б - показатель затухания, t - время. Если T - период колебаний, то

X₁ = X₀e^-бT, X₂ = X₀e^-2бT , …, X_n = X₀e^-nбT . (7)

Предположим, что на каждом колебании n происходит выброс вещества из протосолнца в виде тонкой оболочки с массой m и начальной скоростью v_n, превышающей 2-ю космическую скорость. Очевидно, кинетическая энергия оболочки пропорциональна полной энергии колебаний, то есть

mv_n²/ 2 = k X _n²/ 2 = kX₀²e^-2nбT / 2 , (8)

где k - постоянный множитель.

Рассмотрим простейший случай, когда со стороны межпланетной среды на движущуюся оболочку действует постоянная сила сопротивления Fs, пропорциональная начальной скорости оболочки:

F_s= k₁v_n . (9)

Используя (9), находим выражение для работы силы трения:

A _s = k₁v_n = k₁v_n (r- r₀) , (10)

где r₀ - радиус протосолнца, r - конечное положение остановившейся оболочки.

Будем предполагать, что вся кинетическая энергия сброшенной оболочки перешла в работу сил трения, то есть,

mv_n²/ 2 = A _s (11)

Приравнивая (8) и (10), находим

r_n = r₀ + b (e^-бT )ⁿ, (12)

где b = X₀, n = 0, 1, 2, … Заметим, что ф.(12) аналогична ф.(3), полученной Гильбертом [10].

Как следует из (8), значению n = 0 соответствует максимальная начальная скорость оболочки, поэтому она останавится на максимальном расстоянии от протосолнца. Будем вслед за [9] рассматривать 9 планет и пояс астероидов (см. Табл.3). Тогда в наших обозначениях значению n = 0 будет соответствовать Плутон, а n = 9 - Меркурий.

Хотя такая «обратная» нумерация находится в полном соответствии с физикой процесса, она не совсем удобна с точки зрения сравнения наших результатов с работами других авторов, где используется «прямая» нумерация [9]. Учитывая это, будем использовать в наших расчётах «прямую» нумерацию планет, в которой Меркурию приписывается n = 1, поясу астероидов n = 5, а Плутону n = 10 (см. Табл.4). В соответствии с этим формула (12) принимает вид

r_n = r₀ + b (e^-бT ) ^{(10 - n)} (13)

Расчёты по ф.(13) показали, что наилучшее согласие с наблюдениями (исключая Меркурий, Нептун и Плутон) достигается для r₀ = 0.4, b = 76.8 и бT = ln 2 = 0.693 (Табл.4, строка А1).

Таблица 4

Сравнивая расчёты по формуле (13), полученной нами из физических соображений и расчёты по эмпирической формуле (1) Тициуса-Боде, приходим к выводу, что они дают тождественные результаты для всех планет (и пояса астероидов), за исключением Меркурия. Однако если устранить произвол в выборе n для этой планеты в законе Тициуса-Боде, взяв согласно Вурму [8] n = -1, то формула (1) даст для Меркурия также r = 0.55 в полном согласии с нашими расчётами по формуле (13).

Используем теперь более реалистичное выражение для силы сопротивления со стороны межпланетной среды. Как уже было указано выше, пульсационная неустойчивость протосолнца наступает при температуре порядка 3000 - 4000 К. Но как следует из [13], при температуре оболочки ниже 6·10⁵ K её движение можно рассматривать в приближении модели «снегоочистителя», то есть необходимо учитывать тормозящее воздействие «сгребаемой» массы окружающего вещества M(r) = 4р/3сr³, где с - плотность. В этом случае, для силы сопротивления F_s вместо (9) получаем

F_s = k₁v_n [1+ k₂M(r)]. (14)

Интегрируя (14) по r, находим следующее выражение для работы силы трения:

A _s = k₁v_n (r- r₀) + вv_n (r ⁴- r₀⁴) , (15)

где k₁ и в - постоянные множители.

Исходя из закона сохранения энергии, приравняем (15) и (8) и после несложных преобразований получим

r_n = r₀ + b (e^-бT ) ^{(10 - n)} - в (r ⁴- r₀⁴). (16)

Результаты расчётов расстояний планет по ф.(16) для значений параметров r₀ = 0.4, b = 78, бT = ln 2, в = 0.15·10^-4 приведены в Табл.5 (строка А2). Для сравнения, в строке А1 даны результаты расчётов по ф.(13) (без учёта эффекта «снегоочистителя»). Из Табл.5 видно, что эффект «снегоочистителя» в наибольшей степени проявляется для самых далёких планет - Нептуна и Плутона и его учёт позволяет в рамках предложенного нами физического механизма добиться хорошего согласия (с точностью не хуже 6%) вычисляемых и истинных расстояний для всех планет, за исключением Меркурия.

Таблица 5

Как следует из наших расчётов, протосолнце вошло в режим колебаний и начало сбрасывать оболочки в тот момент, когда оно сжалось до радиуса r₀ = 0.4 а.е. Это значение радиуса практически совпадает с радиусом «непрозрачного» протосолнца R = 80R_? или R = 0.372 а.е., соответствующему лавинообразной ионизации за счёт выделившейся при сжатии протосолнечной туманности гравитационной энергии [13]. Таким образом, мы получили независимое подтверждение тому, что постулируемые нами затухающие радиальные колебания действительно соответствуют моменту вступления протосолнца в стадию Хаяши.

4. Проблема Меркурия

На то, что Меркурий «не вписывается» в закон Тициуса-Боде, впервые указал Вурм [8] ещё в 1787 г. Он отметил, что если действительно закон Тициуса-Боде справедлив в том виде, в каком он дан, то для Меркурия нужно брать n = -1 (см. Табл.3), и тогда расстояние для него должно быть равным 0.55 вместо 0.4, то есть, отличие от истинного расстояния становится неприемлемо большим. Если же принять для Меркурия n = - , то возникает проблема объяснения бесконечного числа незаполненных орбит, лежащих в интервале от n = - 1 до n = - . Однако в то время на фоне очевидных успехов закона Тициуса-Боде это замечание Вурма посчитали несущественным. По прошествии более двухсот лет этот вопрос всё ещё ждёт своего решения.

Попробуем на основании предложенного нами механизма квантования орбит объяснить особый «статус» этой ближайшей к Солнцу планеты. Согласно нашим расчётам (см. выше), на момент начала образования планетной системы радиус орбиты Меркурия был равен 0.553 а.е., что существенно больше современного значения r = 0.387 а.е. Следовательно, должны были существовать причины, вызвавшие постепенную миграцию Меркурия от первоначальной орбиты к современной. Покажем, что динамическая эволюция орбиты Меркурия могла происходить в результате гравитационного взаимодействия протомеркурия и протовенеры. Как станет понятным из последующих выкладок, при расчёте близких к Солнцу орбит становится существенным учёт изменения потенциальной энергии оболочки в процессе её движения. Очевидно, закон сохранения энергии, записанный выше в виде (11), в этом случае принимает вид

mv_n²/ 2 = A _s + GM m /(1/ r₀ - 1/ r ) _, (17)

где M - масса протосолнца. Опуская промежуточные выкладки, приведём обобщённое уравнение для расчёта больших полуосей орбит планет с учётом нелинейного сопротивления и потенциальной энергии гравитации:

r_n = r₀ + 2b (e^-бT )ⁿ - в (r ⁴- r₀⁴) - , (18)

где r₀, b, бT, в и k₂ - параметры подбора.

В Табл. 6 приведены результаты расчётов расстояний планет с точностью 0.001 а.е. по ф.(16) (столбец r₁) и ф.(18) (столбец r₂), а также наблюдаемые значения (столбец r₃).

Таблица 6

Наилучшее согласие расчётов по ф.(18) с наблюдениями достигнуто для следующих значений параметров: r₀ = 0.446, b = 620, бT = ln 2, k₂ = 0.1,

в = 0.15·10^-4, Отметим, что все большие планеты и включённый нами в столбец r₃ карликовая планета Эрида (r = 67.7 а.е. [16]), хорошо описывается как обобщённой ф.(18), так и ф.(16) (см. также Рис.2). Это является следствием того, что при больших r вторым членом в формуле для потенциальной энергии (см. ф.(17)) можно пренебречь.

Рис.2. Сравнение формулы Тициуса-Боде (ТБ) и расчётов по ф.(18) (Автор) с наблюдениями (Набл)

Совсем иначе обстоит дело для r ? r₀. Из табл. 6 видно (см. столбец r₁), что без учёта изменения потенциальной энергии оболочки для принятой нами точности расчётов между протомеркурием (r = 0.550 а.е.) и поверхностью протосолнца (r = 0.400 а.е.) может располагаться семь орбит (n = 3 ч 9). Учёт потенциальной энергии снижает количество разрешённых орбит до трёх (n = 7 ч 9, столбец r₂). При этом радиус протосолнца оказывается немного больше (r = 0.446 а.е.), а расстояние до протомеркурия уменьшается (r = 0.535 а.е.).

Обратим теперь внимание на то, что на момент начала образования планетной системы орбиты протомеркурия (ПМ) и протовенеры (ПВ) оказались настолько близко друг к другу, что из-за эллиптичности орбит имелась возможность их непосредственного контакта. Действительно, если в момент соединения этих двух тел ПМ находится в афелии а ПВ в перигелии, то условие контакта можно записать в виде

(1 + e)·0.535 = (1- e)·0.684, (20)

откуда находим величину эксцентриситета (взятого нами для упрощения расчётов одинаковым для обоих тел) e = 0.12. Используя рассчитанные нами расстояния для ПМ и ПВ (Табл.6, столбец r₂) по 3-му закону Кеплера находим периоды обращения T_ПМ ?143^d и T_ПВ ? 207^d . Отсюда получаем 3T_ПМ ? 429^d и 2T_ПВ ? 413^d. Таким образом, мы приходим к выводу о наличии близкой соизмеримости периодов типа 3T_ПМ ? 2T_ПВ. Эта ситуация изображена на Рис. 3, из которого видно, что непосредственный контакт (или приливные силы в случае его отсутствия), приводили к торможению более быстрого ПМ и, следовательно, к приближению его к протосолнцу (ПС). В то же время, двигавшаяся с меньшей скоростью ПВ при каждом взаимодействии с ПМ ускорялась и постепенно удалялась от ПС.

Рис.3. Конфигурация ПВ и ПМ, приводящая к миграции этих протопланет и потере ими осевого момента

Расчёты показали, что такое взаимодействие приводит к уменьшению орбитального момента ПМ на 1.6·1045 г·см²/с и к увеличению орбитального момента ПВ на 4.9·1045 г·см²/с., то есть, происходит перекачка орбитального момента от ПМ к ПВ. Баланс орбитальных моментов становится точным, если в расчётах принять первоначальную массу ПМ примерно на 25% больше современной. По-видимому, этот избыток массы ПМ был впоследствии потерян в результате его столкновений с ПВ. В настоящее время, благодаря исследованию Венеры с различных КА ("Венера-15", "Венера-16" и "Магеллан"), составлена полная (98%) карта поверхности Венеры в радарном изображении [17], что позволяет найти подтверждение нашему предположению. Действительно, на снимках "Магеллана" найдено около 850 метеоритных кратеров размером от 1.5 км до гигантов с поперечником 280 км. Установлено также, что эти кратеры образовались в последние 0.5 млрд лет сразу после прекращения активного вулканизма, стёршего следы всех процессов, происходивших на протяжении 4,0 млрд лет до этого. Как показывают снимки "Магеллана", при падении достаточно больших метеороидов происходило вскрытие резервуаров лавы, которая заливала большие пространства (семь метеоритных кратеров вблизи области Альфа, три огромных метеоритных кратера в области Лавиния, кратер «Изабелла», кратер патера Клеопатры и другие). Возможно, что бурный вулканизм 0.5 млрд лет назад был как раз следствием интенсивного выпадения на ПВ большого количества таких метеороидов, образовавшихся при столкновениях ПМ и ПВ.

Как следует из Табл. 6 (столбец r₂), современная орбита Меркурия находится ближе к Солнцу, чем три разрешённые орбиты с n = 7ч9. Это означает, что если даже в начальный период между ПМ и ПС и существовали «протовулканы», в процессе миграции ПМ «сгрёб» эти объекты и присоединил к себе. Очевидно, такой процесс сопровождался выпадением на ПМ осколков «протовулканов» самых разных размеров. Действительно, на снимках поверхности Меркурия, полученных в течение 1974 и 1975 гг. аппаратом «Маринер-10» видно, что она усеяна множеством кратеров ударного происхождения размером от сотен метров до нескольких сотен километров. Но самое убедительное доказательство столкновения Меркурия с одним из «протовулканов» сохранилось на поверхности планеты в виде гигантского кратера диаметром около 1300 км (Равнина Жары). Происхождение этого бассейна в виде правильного круга связывают с ударом гигантского тела размером с небольшую планету [17].

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Как следует из Рис.3, взаимодействие ПМ и ПВ приводит не только к изменениям их орбитальных моментов, но также к одновременному уменьшению осевых моментов обеих протопланет. Этим объясняется медленное осевое вращение Венеры и Меркурия, являющееся предметом дискуссий в течение длительного периода времени.

Заключение

Основные результаты настоящей статьи можно суммировать следующим образом. Когда протосолнце сжалось до радиуса r₀ = 0.4 а.е., в нём началась лавинообразная ионизации вещества за счёт выделившейся при сжатии протосолнечной туманности гравитационной энергии. Скачкообразное возрастание непрозрачности возбудило, согласно А. Эддингтону [14], радиальные пульсации протосолнца значительной амплитуды, приводившие на каждом колебании к сбросу тонких сферических оболочек, заполненных горячим (порядка 3000 - 4000 К) веществом. В условиях развитой конвекции такие пульсации могли быть только затухающими, поэтому сброшенные оболочки останавливались силами трения в межпланетной среде на строго определённых расстояниях, пропорциональных квадратам амплитуд затухающих колебаний. Поскольку на этой стадии эволюции протосолнца оно было окружено тонким газопылевым диском [13], сброс оболочек приводил к тому, что в местах пересечения остановившихся оболочек с плоскостью диска возникали кольцевые зоны более плотного и более горячего вещества. Эти зоны становились как бы «центрами конденсации», приводившими к фрагментации протопланетного диска на отдельные части и последующему формированию из них протопланет. Это и привело, в конечном итоге, к квазиквантованности орбит планет Солнечной системы. Уравнение (18), являющееся математическим выражением этого сценария, позволило описать распределение орбит всех планет (кроме Меркурия), пояса астероидов и карликовой планеты Эрида с точностью не хуже 6%. В результате периодически повторяющегося контактного и/или приливного взаимодействия ПМ и ПВ, произошла миграция этих протопланет от их первоначальных орбит, предсказываемых нашей обобщённой ф.(18), к современным орбитам. Это же взаимодействие привело к существенному замедлению осевого вращения Венеры и Меркурия.

Если в уравнении (18) положить в = 0 и k₂ = 0, то есть, исключить нелинейное трение и изменение потенциальной энергии оболочки, то получим точное выражение закона Тициуса-Боде. Следовательно, закон Тициуса-Боде является нулевым приближением уравнения (18).

солнце планета орбита квантование

Литература

1. Wolf Ch.F. Cosmologia Generalis, Frankfurt und Leipzig, 1731.

2. Kant I., Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels, Konisberg und Leipzig, 1755, pp.18, 163.

3. Lambert J.H., Cosmologische Briefe uber die Einrichtung des Weltbau, Augsberg, 1761, p.7.

4. Bonnet Ch. Contemplation de la nature, Amsterdam, 1764, p.8.

5. Ипатов С.И. Миграция небесных тел в Солнечной системе. Эдиториал УРСС, М.2000, 318с.

6. Астрономический Ежегодник на 2008 год. ИПА, Санкт-Петербург, 2007.

7. Bode J.E. Ainleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels, 2nd Ed, Hamburg, 1772, p.462.

8. Wurm V.J.F., Verschiedene astronomische Bemerkungen und eine Abhandlung uber mogliche Planeten und Kometen unsers Sonnensystems, Astron. Jahrbuch, 15, 162-173, Berlin, 1787; ed. by J.E.Bode.

9. М. М. Ньето, Закон Тициуса-Боде, «МИР», Москва, 1976, 190 c.

10. Gilbert L.W., Ist der Ophion (ein Planet jenseits der Uranusbahn), ein noch unbekannter Weltkorper?, Ann.der Phys., 11, 482-485, Halle, 1802.

11. Blagg M.A. On a suggested substitute for Bode's Low, MNRAS, 73, 414-422 12. Richardson D.E., Distances of planets from the Sun and of satellites from their primaires in the satellite systems of Jupiter, Saturn and Uranus, Pop. Asron., 53, 14-26 (1945).

13. А.В.Засов, К.А.Постнов. Общая астрофизика. Фрязино, 2006, 495 с.

14. Eddington A.S. Internal constitution of the stars, Cambridge, 1930, P.200.

15. ФЭС, т.2, с. 49, 1962. ГНИ «Советская Энциклопедия».

16. Уральская В.С. Крупнейшие транснептунные объекты. // Земля и Вселенная. 2006. № 2. С.41-48.

17. Ксанфомалити Л.В. Парад планет, М. Наука-Физматлит, 1997, 256 с. 14.

Размещено на Allbest.ru