Вихревые турбулентные течения в атмосферах планет и на Солнце

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вихревые турбулентные течения в атмосферах планет и на Солнце

Трунев Александр Петрович

к. ф.-м. н.



Введение

циклон планетарный турбулентный

Атмосферные течения на Земле, на Марсе, Юпитере, Сатурне, Уране и Нептуне характеризуются турбулентностью и сложной вихревой структурой, что обусловлено значительной угловой скоростью вращения этих планет.

На нашей планете атмосферные вихри большого масштаба существуют в форме циклонов и антициклонов. Циклоны имеют области пониженного давления в центре, обладают циркуляцией воздуха по часовой стрелке в Южном полушарии и против часовой стрелки в Северном. Антициклоны, напротив, имеют область повышенного давления и циркуляцию воздуха по и против часовой стрелки в Северном и Южном полушариях соответственно. Такая поляризация указывает на влияние силы Кориолиса, что подтверждается численными расчетами, выполненными в настоящей работе.

Циклоническое течение наблюдается на северном полюсе Сатурна, вокруг которого, в районе 75^oN (PC) широты (78^oN PG), существует крупномасштабное гексагональное течение, с характерными масштабами скорости и длины - 120 м/с и 14500 км соответственно [1-2].

Гигантский антициклон - Большое красное пятно на Юпитере, имеет характерные масштабы скорости и длины - 150 м/с, 14000 км с юга на север и 24000-40000 км с запада на восток, наблюдается уже более 350 лет [3-6].

В работах [7-8] мы установили, что есть два механизма, ведущих к формированию гексагонального течения на северном полюсе Сатурна и Большого красного пятна на Юпитере соответственно. В первом случае происходит усиление слабого геострофического течения в турбулентном пограничном слое с большим градиентом турбулентной вязкости. Во втором случае выявлен механизм формирования вихревого течения, связанный с усилением малого по амплитуде зонального течения неоднородного по меридиональной координате в планетарном пограничном слое с градиентом сдвиговой турбулентной вязкости и при наличии объемной турбулентной вязкости.

В работах [7-15] мы рассмотрели некоторые вопросы моделирования неизотермических потоков в планетарном пограничном слое с учетом градиента давления, ускорения потока, силы плавучести и силы Кориолиса.

В настоящей работе предложена модель формирования циклонов и антициклонов в турбулентном потоке под влиянием силы Кориолиса. Целью исследования является проверка гипотез о влиянии силы Кориолиса на формирование циклонов и антициклонов в северных и южных широтах. Первая гипотеза о направлении циркуляции в циклонах была проверена в случае осесимметричных радиально сходящихся и вертикально восходящих турбулентных потоков при натуральном соотношении параметров Кориолиса и вязкости. Из полученных данных численных экспериментов следует, что течение в северных широтах циркулирует против часовой стрелки, а в южных - по часовой стрелке, в полном соответствии с данными наблюдений. Таким образом, мы показали, что в турбулентном радиально сходящемся потоке под влиянием силы Кориолиса формируется циклоническое течение. Вторая гипотеза о формировании антициклонов была проверена в случае радиально расходящихся и вертикально нисходящих турбулентных потоков. В результате численных экспериментов установлено, что в этом случае течение в северных широтах циркулирует по часовой стрелке, а в южных - против часовой стрелки, что соответствует данными наблюдений для антициклонов. Для проверки влияния скорости движения центра циклона (антициклона) на циркуляцию была развита нестационарная 3D модель турбулентного течения. В рамках этой модели исследованы течения в циклонах и антициклонах, движущихся с постоянной скоростью, а также в сдвиговом течении.



1. Моделирования турбулентных течений в планетарном пограничном слое

Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение несжимаемого газа с учетом силы плавучести и силы Кориолиса, имеем [7-12]

(1)

Здесь обозначено: - вектор скорость потока; - вектор угловой скорости вращения планеты; - плотность; - кинематическая вязкость; - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; - вектор ускорения свободного падения; - равновесная плотность; - температура, - число Прандтля; массовая концентрация примеси; - число Шмидта; - коэффициент молекулярной диффузии.

Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде

(2)

Здесь - коэффициент расширения, для идеального газа.

Определим систему декартовых координат таким образом, чтобы ось была направлена против направления вектора ускорения свободного падения. Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением . Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:

(3)

Здесь - температура подстилающей поверхности, - концентрация примеси на поверхности, - высота пограничного слоя, - скорость течения на высоте , - температура и концентрация примеси на высоте соответственно.

По координатам зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем

(4)

Решения задачи (1), (4) для различных турбулентных течений были получены в наших работах [9-12] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси.

Обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [9-12]. Основная идея заключается во введении в уравнения (1) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор скорости течения в форме

,

где - поверхность, описывающая динамическую шероховатость.

Такую поверхность можно характеризовать случайными параметрами , которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию распределения этих параметров

.

Предположим, что и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом , где - типичные масштабы течения в направлениях x, y соответственно - рис.1. Рассмотрим подобласть течения , которая принадлежит рассматриваемой области течения , и в которой случайные параметры изменяются в интервалах , , , .

В общем случае подобласть является многосвязной областью, объем которой задается уравнением

.

Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения в объеме :

Размещено на http://www.allbest.ru/

(5)



Здесь - произвольный объем, вложенный в и содержащий . Статистический момент порядка случайной функции определяется следующим образом

(6)

В результате применения указанных преобразований система уравнений (1) принимает вид [11-12]:

(7)

Здесь

,, .

Отметим, что фигурирующая в уравнениях (7) турбулентная вязкость пропорциональна квадрату расстояния до шероховатой стенки. Система уравнений (7) имеет установившееся решение в форме логарифмического профиля, как для скорости, так и для температуры и концентрации [9-12].



2. Модель турбулентной объемной вязкости

В задаче о формировании вихревых турбулентных течений типа Большого красного пятна на Юпитере большую роль играет турбулентная объемная вязкость [8, 13]. Анализ системы уравнений (7) показывает, что уравнение неразрывности в турбулентном потоке принимает вид как для сжимаемой среды, хотя в исходной системе уравнений Навье-Стокса (1) предполагается течение несжимаемого газа. Это позволяет связать давление и дивергенцию скорости в виде [7-8, 13-15]

(8)

Здесь - некоторые параметры, которые могут быть определены для потока в целом, - параметр, характеризующий вязкость в турбулентном потоке, - скорость звука.

Уравнение (8) было выведено в нашей работе [13] из общих физических соображений. Покажем, что в турбулентном пограничном слое уравнение (8) выполняется в модели (7) при некоторых предположениях. Действительно, запишем уравнения, выражающие дивергенцию скорости и давление в турбулентном потоке - см. уравнения (2.11), (2.11, а) в [12], имеем

(9)

(10)

В стационарном пограничном слое и в отсутствии сил плавучести уравнение (10) можно проинтегрировать, в результате получим



(11)

Используя уравнение (9), приведем (11) к виду

(12)

В объеме течения при усреднении параметров согласно (6) сохраняется линейная связь

(13)

Наконец, полагая и учитывая, что в обсуждаемом случае , находим

(14)

Мы, таким образом, установили, что параметр пропорционален динамической вязкости атмосферного газа. Используя уравнение (14), можно переформулировать модель Навье-Стокса (1) в виде, удобном для численного интегрирования. Для этого запишем второе уравнение (1) в общей форме

(15)

Здесь - вектор объемных сил. Вычислим дивергенцию от обеих частей уравнения (15), тогда, используя (14) с постоянными параметрами получим

(16)

Здесь по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, - параметр турбулентной диффузии поля давления, - динамическая вязкость. Таким образом, мы можем записать уравнения Навье-Стокса (1) в виде системы уравнений параболического типа:

(17)

Отметим, что параметры турбулентной диффузии и вязкости возникают в системе (17) в силу уравнения (14). Система уравнений (17) может быть использована для моделирования неустановившихся турбулентных течений [7-8, 13-15].

Другой вариант преобразованной системы уравнений Навье-Стокса может быть получен путем прямой подстановки выражения давления (14) в уравнение (15), имеем

(18)



Здесь параметры , следует считать заданными функциями координат и времени. Отметим, что в модели (18) турбулентность проявляется через механизм второй или объемной вязкости, а не через сдвиговые напряжения, как в стандартных моделях турбулентности, включая модель (7).

3. Модель циклонического течения

Для моделирования циклонов в земной атмосфере используем уравнение (18), которое модифицируем с учетом (7). Предполагая наличие осевой симметрии, имеем в цилиндрической системе координат

(19)

Параметр Кориолиса зависит от угла широты по формуле . Система уравнений (19) решалась численно методом установления в прямоугольной области . Начальные данные и граничные условия зададим, используя частные решения системы уравнений (7), описывающие течение в пограничном слое [9, 11], имеем



(20)

Здесь - время установления, которое ниже принято за единицу, . На рис. 1-2 представлены линии тока течения, сформировавшегося за время в Северном и Южном полушариях соответственно. Параметры модели: . Число Рейнольдса изменяется в процессе решения задачи и достигает значения .

Рис. 1. Линии тока циклонического течения в северных широтах: слева - в сечении ; справа - в плоскости



Рис. 2. Линии тока циклонического течения в южных широтах: слева - в сечении ; справа - в плоскости

Из приведенных на рис. 1-2 данных следует, что течение в северных широтах циркулирует против часовой стрелки, а в южных - по часовой стрелке, в полном соответствии с данными наблюдений. Таким образом, мы показали, что в турбулентном радиально сходящемся потоке под влиянием силы Кориолиса формируется циклоническое течение.

Рассмотрим обобщение модели (19) на случай движения центра циклона с некоторой заданной скоростью. Учитывая зависимости параметров течения от полярного угла, находим

(21)



Система уравнений (21) решалась численно в области . Начальные данные и граничные условия зададим аналогично (20), с учетом скорости движения циклона, имеем

(22)

На рис. 3-5 представлены линии тока и компоненты скорости течения, сформировавшегося за время в Северном полушарии.

Рис. 3. Линии тока циклонического течения в северных широтах (слева) в сечении и распределение азимутальной компоненты скорости (справа) в плоскости в сечениях

Параметры модели:



Здесь мы существенно увеличили параметр Кориолиса, на порядок понизили время установления и параметр шероховатости для сокращения времени счета. Число Рейнольдса изменяется в процессе решения задачи и достигает значения .

Рис. 4. Линии тока циклонического течения в северных широтах в плоскости в сечениях

Отметим, что локальный максимум азимутальной скорости достигается вблизи центра циклона и на периферии, а также вблизи верхней границы расчетной области. При этом в самом центре циклона , что связано с выбором граничных условий (22). Такое распределение азимутальной скорости соответствует известным гипотезам о механизмах формирования циклонов [16-22].

Рис. 5. Распределение компонентов скорости циклонического течения в северных широтах: вверху - в плоскости в сечении ; в плоскости в сечении - средние рисунки; внизу - в плоскости в сечении

Линии тока в подвижном циклоне - рис. 4, не указывают на наличие тороидального вихря, как в осесимметричном течении - рис. 1, 2, что, видимо, связано с различием систем уравнений (19) и (21), а также граничных условий (20) и (22). Распределение компонентов скорости в плоскостях и - рис. 5, демонстрируют наличия максимума амплитуды скорости в лобовой точке и минимума - в кормовой, что соответствует распределению на внешней границе.

4. Модель антициклона

Антициклон представляет собой область повышенного давления, в которой циркуляция воздуха направлена по часовой стрелки в Северном полушарии. Для моделирования антициклона используем систему уравнений (21) с граничными условиями (22), в которых изменим знаки радиальной и вертикальной скорости на противоположные, имеем

(23)

В параметрах модели изменим знак скорости движения центра:

(24)

Результаты расчетов скорости течения в Северном и Южном полушариях приведены на рис. 6-7 соответственно. Из приведенных на рис. 6 данных следует, что течение в северных широтах циркулирует по часовой стрелке, что соответствует антициклону. Антициклон в Южном полушарии показан на рис. 7. В этом случае течение циркулирует против часовой стрелки.



Рис. 6. Линии тока антициклонического течения в северных широтах (слева) в сечении и распределение азимутальной компоненты скорости (справа) в плоскости в сечениях

Рис. 7. Линии тока антициклонического течения в Южном полушарии (слева) в сечении и распределение азимутальной компоненты скорости (справа) в плоскости в сечениях

Линии тока в подвижном антициклоне в Северном и Южном полушариях в плоскости приведены на рис. 8.



Рис. 8. Линии тока циклонического течения в северных (вверху) и южных (внизу) широтах в плоскости в сечениях

Таким образом, мы показали, что в турбулентном радиально расходящемся потоке под влиянием силы Кориолиса формируется антициклоническое течение, закрученное по часовой стрелке в Северном полушарии и по часовой стрелке - в Южном, что соответствует наблюдательным данным.

5. Модель петлевых протуберанцев

Некоторые типы петлевых протуберанцев на Солнце можно объяснить наличием вихревого турбулентного течения, начинающегося в недрах Солнца и охватывающего хромосферу. Рассмотрим модель петлевых протуберанцев, в которой циклон и антициклон играют роль источника и стока плазмы соответственно. Для моделирования турбулентного течения между источником и стоком используем уравнение (18).

Следует учитывать, что с солнечной поверхности в окружающее пространство постоянно выбрасываются потоки плазмы, образующие солнечный ветер. Будем учитывать этот ветер как локальное явление, полагая зависимость скорости от высоты над поверхностью в форме

Источник и сток описываются одной моделью:

Результаты моделирования представлены на рис. 9. Данные параметров модели:

- верхние рисунки;

- нижние рисунки.

Отметим, что при большой скорости восходящего потока петля не замыкается, поэтому наличие петлевых протуберанцев, видимо, свидетельствует о локальной нейтральности хромосферы. В этом случае для образования петли достаточно будет наличия пары циклон-антициклон. Можно предположить, что такие пары образуются за счет дифференциального вращения Солнца. Для проверки этой гипотезы была использована модель (21) с граничным условием сдвигового потока . Результаты моделирования приведены на рис. 10-11.



Рис. 9. Формирование петлевого протуберанца при малой (вверху) и большой (внизу) скорости восходящего течения плазмы

Рис. 10. Формирование пар циклон-антициклон в сдвиговом потоке: линии тока в плоскости в сечениях и в сечении



Рис. 11. Распределение компонентов скорости течения: вверху - в плоскости в сечении ; внизу - в плоскости в сечении

Данные, приведенные на рис. 10-11, были получены при . Эти результаты показывают, что в сдвиговом потоке образовалось сразу две пары циклон-антициклон, что является подтверждением гипотезы об образовании пар в сдвиговых потоках при дифференциальном вращении.

Наконец, заметим, что результаты численных экспериментов, представленные на рис. 1-8, соответствуют известным гипотезам о механизмах формирования циклонов и антициклонов [16-21]. Вихревые течения такого типа наблюдаются не только на нашей планете, но и на Марсе, Юпитере [4-6, 8], Сатурне [1-2, 7], Уране, Нептуне и на Солнце. Проведенные нами исследования [7-15] и результаты, приведенные на рис. 1-11, свидетельствуют о возможности построения адекватной модели вихревых турбулентных течений в атмосферах планет и на Солнце.



Библиографический список

1. Godfrey, D.A. A hexagonal feature around Saturn's North Pole// Icarus, 76, 335-356, 1988.

2. Sayanagi K.M., et al. Saturn's Polar Atmosphere//arXiv:1609.09626v2 [astro-ph.EP] 3 Oct 2016.

3. Allison, M., Godfrey, D.A., Beebe, R.F. A wave dynamical interpretation of Saturn's Polar Hexagon. Science 247, 1061-1063, 1990.

4. Dowling, T.E., Ingersoll, A.P. Potential vorticity and layer thickness variations in the flow around Jupiter's Great Red Spot and White Oval BC// Journal of Atmospheric Sciences 45, 1380-1396, 1988.

5. Vasavada, A.R., Ingersoll, A.P., et al. Galileo Imaging of Jupiter's Atmosphere: The Great Red Spot, Equatorial Region, and White Ovals// Icarus 135, 265-275, 1998.

6. Choi David S., Banfield Don, Gierasch Peter J., Showman Adam P. Velocity and Vorticity Measurements of Jupiter's Great Red Spot Using Automated Cloud Feature Tracking//Icarus, 188, 35-46, 2007; arXiv:1301.6119v1 [astro-ph.EP] 25 Jan 2013.

7. Трунев А.П. Моделирование гексагонального турбулентного течения в северной полярной области Сатурна/ А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - №01(125). Doi: 10.21515/1990-4665-125-050.

8. Трунев А.П. Моделирование атмосферных вихревых течений на Юпитере и Сатурне / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - № 02 (126). С. 697-721. - IDA [article ID]: 1261702050. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2017/02/pdf/50.pdf, 1,562 у.п.л.

9. Trunev A.P. Similarity theory for turbulent flow over natural rough surface in pressure and temperature gradients/ Air Pollution IV. Monitoring, Simulation and Control, eds. B. Caussade, H. Power & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Pub., Southampton, pp. 275-286, 1996.

10. Trunev A.P. Similarity theory and model of diffusion in turbulent atmosphere at large scale/ Air Pollution V. Modelling, Monitoring and Management, eds. H. Power, T. Tirabassi & C.A. Brebbia, CMP, Southampton-Boston, pp. 109-118, 1997.

11. Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование диффузии примесей в приземном слое атмосферы. - Сочинский научно-исследовательский центр РАН, Сочи, 160 с., 1999.

12. Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование турбулентного переноса в атмосфере. / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - № 05 (059). С. 179-218. - Шифр Информрегистра: 0421000012\0088, IDA [article ID]: 0591005013. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2010/05/pdf/13.pdf.

13. Трунев А.П. Физические механизмы турбулентной вязкости и моделирование турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - № 04(118). С. 1469-1487. - IDA [article ID]: 1181604096. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/04/pdf/96.pdf.

14. Трунев А.П. Моделирование турбулентного течения в полости на основе уравнений Навье-Стокса / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - № 05 (119). С. 1111-1133. - IDA [article ID]: 1191605079. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/05/pdf/79.pdf.

15. Трунев А.П. Закон Бэра и гипотезы Эйнштейна о вихрях / Трунев А.П. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2017. - № 09 (133). - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2017/09/pdf/48.pdf, - IDA [article ID]: 1331709048. http://dx.doi.org/10.21515/1990-4665-133-048.

16. Bjerknes J. On the Structure of Moving Cyclones//Monthly Weather Review, vol. 47, issue 2, p. 95, 1919.

17. Zehr R.M. Tropical cyclogenesis in the western North Pacific/ NOAA Technical Report NESDIS 61, U. S. Department of Commerce, Washington, DC 20233, 181 pp., 1992.

18. Velasco I., and Fritsch J.M. Mesoscale convective complexes in the Americas// J. Geophys. Res., 92, pp.9561-9613, 1987.

19. Chen S.A., and Frank W.M. A numerical study of the genesis of extratropical convective mesovortices. Part I: Evolution and dynamics// J. Atmos. Sci., 50, pp. 2401-2426, 1993.

20. Emanuel, K.A. The physics of tropical cyclogenesis over the Eastern Pacific/ Tropical Cyclone Disasters, Eds: J. Lighthill, Z. Zhemin, G.J. Holland, K. Emanuel, Peking University Press, Beijing, 136-142, 1993.

21. Volkert H. Components of the Norwegian Cyclone Model: Observations and Theoretical Ideas in Europe Prior to 1920/ In: Shapiro M.A., Grшnеs S. (eds) The Life Cycles of Extratropical Cyclones. American Meteorological Society, Boston, MA, 1999.

Размещено на Allbest.ru