Возмущенное движение космического аппарата

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возмущенное движение

Описание и изучение орбит КА на основе решения ограниченной задачи двух тел является лишь первым этапом при определении реальных движений тел любой природы. В реальном полете на КА, помимо силы тяготения Земли (при движении в сфере действия Земли) действует ряд других сил, которые нужно учитывать как возмущающие факторы. К этим возмущающим факторам относятся: гравитационные силы, связанные с нецентральностью гравитационного поля Земли; силы притяжения Луны, Солнца, других планет Солнечной системы; аэродинамические силы; давление солнечного света; силы от действия электромагнитного поля Земли и другие факторы.

Все отмеченные факторы приводят к отклонению траектории КА от кеплеровской (идеальной) орбиты. Правда, эти отклонения невелики ввиду относительной малости возмущающих сил. Движение КА с учетом возмущающих факторов будем называть возмущенным. Если рассматривать небольшие участки траектории КА, то возмущения орбиты, как правило, малы и их можно не учитывать. Однако ряд возмущений имеют тенденцию накапливаться во время полета, что постепенно приводит к значительному отклонению элементов орбиты от их первоначальных значений. Такие возмущения орбиты принято называть вековыми возмущениями орбиты. Вековые возмущения свойственны эллиптическим орбитам, так как полет по ним может продолжаться в течение длительного времени. Гиперболические орбиты возмущаются незначительно, если не считать участков полета, находящихся на больших удалениях от Земли, когда начинает сказываться притяжение со стороны Солнца.

Метод оскулирующих элементов

Метод оскулирующих элементов сводится к тому, что исследование возмущенной траектории КА может быть сведено к анализу совокупности невозмущенных траекторий, соответствующих каждому моменту времени. т.е., при анализе возмущенного движения мы можем считать, что в любой момент времени КА находится на дуге конического сечения с определенными значениями элементов орбиты, а коническое сечение при движении КА изменяется. При этом изменяются элементы орбиты:

p=p(t); e=e(t); щ=щ(t); Щ=Щ(t); i=i(t); u=u(t).

Элементы орбиты, рассматриваемые как функции времени, через которые координаты и составляющие скорости в возмущенном движении выражаются теми же формулами, что и в невозмущенном движении, называются оскулирующими элементами.

Рисунок 1 - Элементы возмущенного движения

Обозначения: p(t) - фокальный параметр, e(t) - эксцентриситет, щ(t) - агрумент широты перицентра, Щ(t) - долгота восходящего узла, i(t) - наклонение, u(t) - аргумент широты, A(t) - большая полуось, r(t) - радиус, f(t) - истинная аномалия, S(t), T(t), W(t) проекции возмущающих ускорений на оси орбитальной системы координат (по радиус-вектору, по нормали к нему в плоскости орбиты и по нормали к плоскости орбиты).

Задача нахождения оскулирующих элементов заключается в решении следующей системы дифференциальных уравнений:

Нецентральность гравитационного поля Земли

возмущенный движение гравитационный орбита

При решении ограниченной задачи двух тел Земля представляется шаром со сферическим распределением плотности. В действительности Земля представляет собой неоднородное тело вращения, имеющее сложную конфигурацию поверхности.

Потенциальная функция поля тяготения такого тела приближенно описывается формулой, рекомендованной Международным астрономическим союзом для практического использования, т.е. стандартной формой записи потенциала сил притяжения Земли:

Рисунок 2 - Карта гравитационного поля Земли

Рисунок 3 - Типы гармоник потенциала поля тяготения Земли и расположение на сфере оластей изменения их знаков

Если рассматривать фигуру Земли как сжатый сфероид, что оказывается достаточным для решения большинства практических задач, то можно использовать формулу:

Первое слагаемое в последнем выражении есть ньютоновский потенциал. Второе слагаемое учитывает сжатие Земли по полюсам.

Используя формулы сферической тригонометрии для геоцентрической широты ц' получаем выражение:

где u - аргумент широты, а i - наклонение орбиты. Обозначая, получаем для потенциала от эффекта сжатия земного сфероида следующее выражение:

Для того чтобы найти проекцию гравитационного ускорения от сжатия земного эллипсоида на какое-либо направление достаточно найти производную от потенциала по этому направлению. Нас в дальнейшем будут интересовать направления, задаваемые орбитальной системой координат S,T,W. Поэтому находим:

При необходимости можно найти проекции возмущающего ускорения на другие направления, воспользовавшись связью между соответствующими системами координат (таблицами направляющих косинусов).

Для исследования влияния возмущений, задаваемых в форме приведенной выше (S₁, T₁, W₁), используют систему дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов, где независимой переменной является u. Подстановка возмущающих ускорений S₁, T₁, W₁ в систему приводит к системе:

Для любых орбит множитель г никогда не отклоняется от единицы более чем на ?0,003. Такого же порядка ошибки могут произойти вследствие осреднения значений оскулирующих элементов Щ…ф. Поэтому не имеет смысла усложнять задачу учетом г, несмотря на то, что в первом приближении этот множитель нетрудно учесть. Примем г =1 за исключением случаев, оговоренных особо.

При интегрировании 1-го, 3-го, 5-го уравнений за один оборот ИСЗ (в пределах от «u₀» до u₀+2p ) получаем, что вековые уходы элементов p, i, e в первом приближении отсутствуют. Указанные элементы подвержены только периодическим возмущениям.

Таким образом, фокальный параметр орбиты спутника не имеет вековых возмущений из-за нецентральности гравитационного поля Земли, принимаемой сжатым сфероидом. В течение одного оборота вокруг Земли он (с точностью до эксцентриситета «е») испытывает два полных колебания с амплитудой:

Периодическое возмущение эксцентриситета (с точностью до «е») происходят с периодом, равным периоду обращения спутника вокруг Земли (две гармоники), и с периодом втрое меньшим. А вековые отклонения отсутствуют. Амплитуда колебаний зависит от i и от щ. Чем меньше значение эксцентриситета, тем относительно больше он колеблется.

Наклонение орбиты в первом приближении, как и параметр орбиты «p» не имеет вековых возмущений. За один оборот параметр «i» так же, как и «p», совершает (с точностью до «e») два полных колебания с амплитудой:

Возмущения долготы восходящего узла Щ и аргумента перигея щ кроме периодических имеют вековые уходы.

Периодические возмущения линии узлов имеют второй порядок малости по отношению к вековым возмущениям, поэтому график функции dW = f (u) (по крайней мере, за один виток) представляет собой почти прямую линию.

Для прямых спутников, имеющих узел двигается в сторону обратную возрастанию Щ (к западу), для обратных спутников - (сторону возрастания Щ (к востоку). Это движение определяет поворот плоскости орбиты вокруг оси Земли и называется прецессией узла орбиты.

Изменение оскулирующих элементов в возмущенном движении приводит к возмущению радиуса орбиты, следовательно, и высоты полета. Эти возмущения таковы, что происходит как бы частичное «отслеживание» поверхности Земли высотой полета, при этом аппарат «поднимается» над экваториальными областями и «проседает» над полюсами.

Пространственный поворот плоскости орбиты при возмущенном движении, связанный с изменениями элементов i и Щ, приводит к появлению бокового «ухода» возмущенной орбиты (по отношению к невозмущенной).

Таким образом, получены формулы учитывающие сжатие земного сфероида для элементов эллиптических орбит p, Щ, i, щ, e в зависимости от аргумента широты u.

В этих формулах в скобках - невозмущенные элементы орбиты, а значения dp,dе,dw,dЩ,di как функции «u» определены ниже:

Для данного значения u и соответствующих ему элементов орбиты, рассчитанных по этим формулам, можно вычислить координаты x, y, z и скорости.

Размещено на Allbest.ru