Використання еквігравітуючих фігур для опису гравітаційного поля небесних тіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ГОЛОВНА АСТРОНОМІЧНА ОБСЕРВАТОРІЯ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ВИКОРИСТАННЯ ЕКВІГРАВІТУЮЧИХ ФІГУР ДЛЯ ОПИСУ ГРАВІТАЦІЙНОГО ПОЛЯ НЕБЕСНИХ ТІЛ

Спеціальність: Астрономія і небесна механіка

Завізіон Олег Вячеславович

Київ, 2007 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена вивченню властивостей еквігравітуючих фігур як ефективного методу опису гравітаційних полів небесних тіл. У формуванні та еволюції небесних тіл значну роль відіграють гравітаційні поля. Завдяки гравітації у Всесвіті виникають самогравітуючі утворення: галактики, зорі, планети. Гравітація безпосередньо впливає на форму та розміри небесних тіл, фізичні властивості їх супутників та динаміку космічних апаратів.

Визначення гравітаційного потенціалу небесних тіл передбачає, що відомі форма та закон розподілу речовини в надрах самогравітуючої конфігурації. В процесі динамічної еволюції небесні тіла прагнуть набути форму, близьку до рівноважних фігур. Залежно від швидкості обертання рівноважними конфігураціями можуть бути: куля (фігура без власного обертання), сфероїд, тривісний еліпсоїд, грушоподібні фігури та тороїдальні утворення. Небесні тіла неоднорідні і мають форму, відмінну від кулі. При описанні гравітаційного потенціалу небесних тіл рядом Лапласа постає проблема розбіжності ряду поблизу фігури та зростання складності його загального члена розкладу.

Одним із засобів опису гравітаційних полів небесних тіл є еквігравітуючі фігури. Еквігравітуючі фігури - це аналітичні моделі, потенціали яких є еквівалентними зовнішнім потенціалам досліджуваних небесних тіл. Еквігравітуючі фігури можуть бути одно- та двовимірними. Стержні можуть бути прямими та викривленими, нахиленими до вісі, диски - еліптичними, круговими та більш складнішої форми. Моделі еквігравітуючих стержнів і дисків дозволяють спростити вираз зовнішнього гравітаційного потенціалу та подальше визначення потенціальної енергії небесних тіл. Використання еквігравітуючих фігур дозволяє замінити гравітаційні властивості тривимірних тіл гравітаційними властивостями одно- або двовимірних тіл, що значно спрощує дослідження гравітаційних полів небесних тіл. Застосування еквігравітуючих фігур допомагає описати зовнішній гравітаційний потенціал самогравітуючої конфігурації поблизу поверхні та визначити радіус збіжності ряду Лапласа, оскільки розміри еквігравітуючих фігур менші за розміри відповідних їм небесних тіл. Отриманий гравітаційний потенціал на поверхні планети дозволяє знайти місця зосередження гравітаційних аномалій, які є джерелами запасів корисних копалин у надрах небесного тіла. Опис гравітаційного потенціалу поблизу планети дозволяє дослідити орбіти природних супутників та космічних апаратів у гравітаційному полі планети та визначити траєкторії руху балістичних ракет.

Параметри еквігравітуючих фігур, що описують гравітаційні поля небесних тіл, є джерелом інформації про фігуру та функцію розподілу речовини самогравітуючої конфігурації.

Вивчення внутрішньої будови, фігури, гравітаційного поля небесних тіл та відповідних їм еквігравітуючих фігур має практичне значення для небесної механіки та астрономічної геодезії: побудова аналітичних моделей внутрішньої будови планет, оптимізації динаміки космічних апаратів, визначення локальних та глобальних гравітаційних аномалій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основна частина дисертаційної роботи виконана в межах науково-дослідної тематики “Гравітаційні поля небесних тіл” лабораторії теоретичної астрофізики і гравітації Уманського державного педагогічного університету імені Павла Тичини (№2 ФТ - 01.03.02 від 01.01.2000 р.), “Методи гравітаційного зондування космічними апаратами небесних тіл” науково-технічної лабораторії дистанційних аерокосмічних досліджень Національного авіаційного університету (№9 Ф/К 31 від 01.09.2002 р.).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи було визначення параметрів еквігравітуючих фігур та побудова адекватних еквігравітуючих фігур, що описують гравітаційні поля планет. Визначення параметрів еквігравітуючих фігур полягає в розв'язанні специфічної оберненої гравітаційної задачі, що має математичні особливості і зводиться до знаходження розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма першого роду. В досліджуваному рівнянні невідомими є функція розподілу густини та форма еквігравітуючої фігури.

Об'єкт дослідження: гравітаційні поля небесних тіл.

Предмет дослідження: методи опису гравітаційних полів небесних тіл, засновані на використанні еквігравітуючих фігур.

Методи досліджень: теорія інтегральних рівнянь, математичний апарат аналітичної механіки, небесної механіки, комп'ютерне моделювання.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дослідження можуть бути використані для опису зовнішніх гравітаційних полів небесних тіл, що дозволить визначити внутрішню будову та фігуру самогравітуючих утворень, для розрахунку руху космічних апаратів у гравітаційних полях.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в тринадцяти статтях: п'ять статей у наукових фахових журналах, вісім - у матеріалах наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох основних розділів, висновків, списку використаних джерел і додатків. Загальний обсяг дисертації складає 112 сторінок основного тексту, 21 сторінку списку використаних джерел та 3 сторінки додатків.

Дисертація містить 8 рисунків та 5 таблиць. Список використаних джерел нараховує 224 найменувань.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, визначено предмет, мету та завдання дослідження.

Вказано наукову новизну отриманих результатів та практичну цінність проведених досліджень, наведено дані про особистий внесок автора у наукових роботах та апробацію одержаних результатів.

Перший розділ присвячений огляду сучасного стану методів опису гравітаційного потенціалу небесних тіл. Розглянуто методи визначення зовнішніх гравітаційних потенціалів небесних тіл із даних астрономічних спостережень, основними з яких є геометричний, фізичний та астрономічний методи. Указано особливості та методи визначення гравітаційного потенціалу, задачі теорії потенціалу.

Представлено аналітичні вирази зовнішніх гравітаційних потенціалів деяких простих тіл, а саме, матеріального гауссового кільця, однорідного стержня, однорідного кругового диска, сферично-симетричного тіла, стисненого та видовженого еліпсоїдів обертання, деяких осесиметричних тіл на осі обертання. Особливу увагу приділено оберненим гравітаційним задачам та їх математичним особливостям. Загальною (або мішаною) оберненою задачею теорії потенціалу є знаходження форми і функції густини небесного тіла при умові, що гравітаційний потенціал вважається заданим в деякій частині простору. Якщо, крім потенціалу, відомою є також форма тіла, то отримаємо гравіметричну обернену задачу, в якій шукається функція розподілу густини небесного тіла с, це (x, y, z). Коли заданими є гравітаційний потенціал і функція розподілу густини самогравітуючої конфігурації, маємо обернену задачу астрономічної геодезії, в якій необхідно знайти форму поверхні S, що охоплює небесне тіло.

Обернені задачі теорії потенціалу є некоректними за Ж. Адамаром, тобто не задовольняють вимогам існування, однозначності та стійкості розв'язку. Хоча при певних умовах їх розглядають як умовно коректні, чи коректні за А.М. Тихоновим, коли не виконується лише умова стійкості розв'язку. Поки що загальної теорії розв'язку обернених гравітаційних задач не існує. При дослідженні і розв'язуванні конкретної оберненої задачі, в існуванні розв'язку якої немає сумніву, з математичної точки зору спочатку необхідно за рахунок введення певних додаткових умов досягти однозначності розв'язку у встановленій сім'ї функцій і стійкості відносно малих змін початкових даних і лише потім побудувати алгоритм розв'язку.

Приведено загальну характеристику методів опису зовнішнього гравітаційного потенціалу. Основні вимоги, що ставляться до методів опису гравітаційних полів, - це точність, простота, наочність, універсальність, легкість використання в гравіметрії і небесній механіці. При порівнянні моделей за описаними вище вимогами можна виділити деякі особливості: простотою дій відзначаються системи точкових мас та вибіркові функції, швидкістю розрахунків - системи точкових мас, наочністю - еквігравітуючі фігури, точністю - об'ємний інтеграл, сферичні функції та еліпсоїдальні гармоніки, легкістю побудови теорії руху космічних апаратів - еліпсоїдальні гармоніки, системи точкових мас, сферичні функції.

Якщо стискати фігуру небесного тіла вздовж вісі обертання, то можливо отримати неоднорідний дійсний екваторіальний тонкий диск, який буде мати ззовні певної сфери потенціал, рівний зовнішньому гравітаційному потенціалу небесного тіла. Г.О. Мещеряков запропонував для опису зовнішнього гравітаційного потенціалу планети використовувати два простих шари: перший - екваторіальний еліптичний неоднорідний тонкий диск, який буде описувати парну частину гравітаційного потенціалу, другий - набір гравітуючих дисків (або простий сферичний шар) певних радіусів, центри яких є точками зосередження аномальних мас, що розташовані в надрах планети, вони будуть описувати непарну частину гравітаційного потенціалу планети. Якщо стискати фігуру небесного тіла до вісі обертання, то можливо отримати неоднорідний уявний стержень, який буде мати ззовні певної сфери потенціал, рівний зовнішньому гравітаційному потенціалу небесного тіла. Вказані стержні і диски є еквігравітуючими фігурами суцільної структури багатоточкових моделей. Визначення параметрів еквігравітуючих фігур зводиться до розв'язку обернених потенціалографічних задач, де необхідно розв'язати специфічні однорідні інтегральні рівняння Фредгольма першого роду. Для їх аналітичного розв'язку ефективним є вираз потенціалу через комплексну змінну. Це дозволяє надалі скористатись інтегралом Коші і визначити точно параметри еквігравітуючих фігур. Для визначення параметрів еквігравітуючих фігур також застосовують наближені методи, серед яких можна виділити метод моментів, що полягає у рівності перших членів розкладу в ряд Лапласа.

Для визначення параметрів моделей еквігравітуючих фігур планет можливі два підходи:

- обчислення значень параметрів безпосередньо згідно даних спостережень за рухом космічних апаратів;

- використання відомої моделі гравітаційного поля планети (моделі розкладання зовнішнього гравітаційного потенціалу в ряд за шаровими функціям).

Метод використання еквігравітуючих фігур спрощує опис зовнішніх гравітаційних полів самогравітуючих тіл, що є важливим для практичного використання теорії потенціалу в астрономії, небесній механіці та геофізиці, і має переваги порівняно з іншими методами опису зовнішнього гравітаційного потенціалу небесних тіл.

Розміри еквігравітуючих фігур менші за розміри небесного тіла, тому їх використання дозволяє визначити радіус збігу ряду Лапласа та визначити потенціальну енергію небесних тіл.

У другому розділі указано постановку задачі та основне рівняння для визначення параметрів еквігравітуючих фігур.

Задача є специфічною оберненою гравітаційною задачею, розв'язок якої зводиться до знаходження розв'язку особливого інтегрального рівняння Фредгольма першого роду.

Ефективність метода опису гравітаційного потенціалу визначається в порівнянні з іншими методами. В роботі представлено основні положення методів, з якими проведено порівняння:

- метод Лапласа - Лежандра, який полягає в розкладанні в нескінченний ряд за сферичними функціями зовнішнього гравітаційного потенціалу небесних тіл:

Ряд Лапласа збігається ззовні деякої сфери, яка охоплює небесне тіло. Поблизу фігури небесного тіла ряд є розбіжним і зростає складність розрахунку його загального члена.

Стоксові сталі нижчих порядків мають механічний зміст:

- стала нульового порядку виражає масу тіла;

- сталі першого порядку визначають положення центра мас (центра інерції) тіла відносно застосованої системи відліку;

- сталі другого порядку описують еліпсоїд інерції тіла (визначають комбінації моментів інерції тіла відносно осей інерції).

Симетрія будови тіла спрощує визначення гравітаційного потенціалу.

В роботі наведено приклади точного визначення сталих Стокса для деяких простих тіл, а саме, для точки, що знаходиться на полярній осі, прямолінійного матеріального відрізку, плоского кругового диска, однорідних еліпсоїда обертання та тривісного еліпсоїда.

- метод Максвелла, в якому пропонується інше відображення сферичних функцій:

Точки перетину осей функції з одиничною сферою називають полюсами цієї сферичної функції. Полюси функції на сфері визначають положення осей функції в просторі.

Сферичну функцію можна також представити за допомогою косинусів визначених кутів, які розкривають аналітичний зміст поняття полюса. У загальному випадку мультиполь n-го порядку - це точковий об'єкт, отриманий у результаті граничного переходу, через який зазнають впливу два мультиполі (n - 1) порядку за описаною вище схемою і потенціал якого дорівнює:

Основний недолік - велика кількість точок N-n. Тому мультипольний підхід застосовують лише для невеликих значень 8-10.

- багатоточкова модель:

Де:

mi - точкові маси в середині планети;

i - відстані від них до зовнішньої точки Р.

Цей метод дозволяє використовувати тривимірні моделі розподілу густини надр небесного тіла.

Це дозволяє виділити регіони з аномаліями густини в середині тіла і знайти їх величини.

Недолік вказаного метода - можливість “вистрибування” точок, тобто точки можуть знаходитися ззовні небесного тіла.

Врахування надходження нової інформації про гравітаційне поле самогравітуючої конфігурації здійснюється в багатоточковій моделі введенням нових точок, які проявляють себе лише в окремих локальних областях, не вносячи глобальних змін.

В той же час в методі Лапласа - Лежандра необхідно кожного разу перераховувати всі гармонічні коефіцієнти ряду. В багатоточкових моделях використовують тривимірні моделі розподілу густини надр небесного тіла, що дозволяє виділити регіони з аномаліями густини в середині тіла і знайти їх величини. Для осесиметричних фігур потенціал в усьому зовнішньому просторі визначається однозначно за заданим потенціалом на осі обертання.

Відображення гравітаційного потенціалу у формі ньютонівського інтегралу або у вигляді нескінченного ряду не завжди є зручним.

Про можливість використання одновимірної еквігравітуючої фігури (стержня) вказав В.А. Антонов.

Для однорідного еліпсоїда обертання знайдено еквігравітуючий стержень довжиною L та з параболічним законом розподілу густини:

Для стисненого еліпсоїда обертання отримаємо уявний стержень, для видовженого - дійсний.

Потенціал тороїдальної фігури з меридіональним розрізом на осі симетрії дорівнює:

Рис. 1. - Лемніскатичний однорідний тор:

У випадку інших осесиметричних самогравітуючих фігур замість еквігравітуючого уявного прямого стержня отримуються більш складні розгалужені утворення: викривлений стержень, нахилений до осі стержень, несиметричний відносно площини екватора стержень, система викривлених стержнів, певним чином розташованих відносно осі обертання небесного тіла та його екваторіальної площини.

Розв'язком буде еквігравітуючий стержень густиною:

Більш складною фігурою є еквігравітуючий диск. Вперше еквігравітуючий диск для опису зовнішнього гравітаційного потенціалу однорідного тривісного еліпсоїда отримав Б. Ріман.

Для осесиметричних тіл характерним є рівність нулю тесеральних та секторіальних гармонік розкладу Лапласа, тобто зберігаються лише зональні гармоніки Jn. Якщо до цього додати ще і симетрію відносно площини екватора, то залишаться парні гравітаційні моменти J2n.

В цьому випадку система рівнянь для визначення параметрів еквігравітуючого диска має вигляд:

- точний розв'язок можливий лише тоді, коли поверхня еліпсоїда є еквіпотенціальною поверхнею, тобто розподіл мас у еліпсоїда повинен зберігати гомологічну стратифікацію.

Таким розподілом густини може бути закон:

Вперше нами для вказаного розподілу густини еліпсоїда обертання отримано однозначний розв'язок системи (2) у вигляді еквігравітуючого кругового диска радіуса:

Для неосесиметричних небесних тіл, які мають симетрію відносно площини екватора, можна побудувати дійсний або уявний екваторіальний еквігравітуючий диск певної форми: не тільки кривою другого порядку, а й складнішими кривими та обводами.

У третьому розділі на основі даних астрономічних спостережень про характеристики гравітаційного поля та моделей внутрішньої будови планет-велетнів, запропонованих В.Н. Жарковим і його колективом, побудовані багатошарові еліпсоїдальні моделі внутрішньої будови планет-велетнів. Вперше нами знайдено параметри систем еквігравітуючих дисків і стержнів, що описують зовнішні гравітаційні поля планет-велетнів.

Проведено аналіз моделей небесних тіл. Оскільки небесні тіла в процесі динамічної еволюції намагаються набути рівноважної конфігурації, то висвітлено основні властивості рівноважних самогравітуючих фігур. Описано методи гравітаційного зондування небесних тіл та особливості внутрішньої будови тіл Сонячної системи. Розглянуто найбільш ефективні моделі розподілу густини, серед яких сферично-симетрична, еліпсоїдальна, моделі Лежандра - Лапласа, Дарвіна. Важливою характеристикою побудови моделей внутрішньої будови небесних тіл є безрозмірний середній момент інерції. Поставлені умови для функцій розподілу густини виконуються. В основу побудови моделей небесних тіл Сонячної системи покладено виражені особливості та розповсюдженість елементів в надрах планет, а також космогонічний аспект утворення небесних тіл. В роботі розглянуто сучасні сферично-симетричні моделі планет. Для планет-велетнів характерною є наступна структуризація: газовий компонент, льодяний компонент та важкий компонент, для планет земної групи - кора, мантія, ядро. Для побудови моделей внутрішньої будови планет-велетнів був прийнятий за форму моделі еліпсоїд обертання. Враховуючи, що внутрішня будова планет Сонячної системи досить неоднорідна, було розбито планету на декілька еліпсоїдальних шарів з власними густиною сi та стисненням fi, для кожного з них згідно теорії потенціалу знайдено еквігравітуючу фігуру. Густина k k-го шару визначалася як середня за умови рівності мас моделі та планети. Стиснення кожного з шарів є розв'язком рівняння Клеро та відповідає граничним умовам на поверхні.

Представивши фігуру планети у вигляді вкладених одного в інший еліпсоїдів обертання з густиною l-го еліпсоїда:

Де:

m і m+1 - відповідно густина нижнього і верхнього шарів фігури, n - кількість шарів, побудовано моделі внутрішньої будови планет-велетнів та розраховано параметри неоднорідних еквігравітуючих фігур (дисків і стержнів).

Критерієм оцінки точності опису зовнішнього гравітаційного потенціалу рівноважної планети взято рівність парних гравітаційних моментів еквігравітуючих фігур даним астрономічних спостережень J2n.

При порівнянні гравітаційних моментів побудованої нами моделі системи еквігравітуючих фігур з середніми значеннями перших гравітаційних моментів даних астрономічних спостережень відносна похибка склала менше 1%, що вказує на ефективність опису зовнішніх гравітаційних полів планет-велетнів еквігравітуючими дисками та стержнями. На відміну від планет-велетнів планети земної групи відхиляються від стану гідростатичної рівноваги і мають фігури, які відрізняються від сфероїдів. Приведені відхилення можна поділити на дві групи:

- асиметрія відносно вісі обертання;

- асиметрія відносно екваторіальної площини.

Неоднорідність гравітаційного поля може бути викликана магнітним полем, диференціальним обертанням шарів, термодинамічними процесами в надрах планет.

Тому в розкладі гравітаційного потенціалу в ряд сферичних функцій для планет земної групи є і зональні, і секторіальні, і тесеральні гармоніки. В роботі нами запропоновано методику знаходження еквігравітуючих фігур для планет земної групи як суперпозицію неоднорідних еліптичного екваторіального диска та асиметричного стержня.

Чим складніший профіль екваторіального диска, тим його потенціал охоплює більшу частину гармонічних коефіцієнтів розкладу ряда Лапласа - Лежандра. Але використання кривих третього, четвертого і більш високих порядків викликає математичні труднощі в обчисленнях їх гравітаційних потенціалів, навіть для однорідних вище вказаних фігур не обчислюються аналітично, але їх можна знайти з заданою точністю числовими методами. Для врахування асиметрії відносно площини екватора ефективним є використання еквігравітуючих тонких прямолінійних стержнів, що розташовані на осі обертання несиметрично відносно початку координат. Іншими шляхами опису гравітаційного потенціалу довільного тіла є:

- метод Г.О. Мещерякова, який полягає у використанні трьох шарів: фокального кругового масового диска, безмасового екваторіального диска, дипольного диска;

- використання неоднорідних дійсних або уявних прямолінійних стержнів, розташованих під певними кутами до осі обертання;

- використання кривих матеріальних ліній, дійсних або уявних.

В роботі побудовані двоточкові моделі планет-велетнів, параметри яких були визначені згідно даних про масу планети та перші зональні гравітаційні моменти J2, J4.

Відносна різниця між потенціалами, отриманими методом застосування еквігравітуючих фігур та двоточковою моделлю, складає:

Розбіжність гравітаційних потенціалів еквігравітуючих дисків і стержнів та багатоточкових моделей, побудованих для опису зовнішніх гравітаційних полів планет-велетнів, при точності 10^-6 виникає на відстанях від поверхні: для Юпітера і Урана - менше 1.85 величини їх великої екваторіальної півосі, Сатурна - відповідно менше 5.25 величини великої його екваторіальної півосі (рис. 2).

Рис. 2. - Порівняння гравітаційних потенціалів двоточкової моделі і моделі системи неоднорідних дисків (1 - Юпітер, 2 - Сатурн, 3 - Уран):

ВИСНОВКИ

У висновках сформульовано основні результати дисертаційної роботи.

Еквігравітуючі фігури - важливий математичний апарат теорії потенціалу. Вони спрощують опис зовнішнього гравітаційного потенціалу небесних тіл, що має практичне застосування в задачах небесної механіки, астрофізики та астрономічної геодезії.

В дисертації проведено теоретичне дослідження еквігравітуючих фігур і отримано наступні нові наукові результати:

1. Зовнішнє гравітаційне поле осесиметричної фігури можна однозначно описати неоднорідним еквігравітуючим стержнем;

2. Вперше знайдено еквігравітуючий стержень для двозв'язної конфігурації (однорідний лемніскатичний тор);

3. Для рівноважної фігури зовнішнє гравітаційне поле можна представити еквігравітуючим неоднорідним диском;

4. Знайдено еквігравітуючий диск для еліпсоїдів обертання з голономною стратифікацією;

5. Вперше побудовано взаємоузгоджені моделі гравітаційного поля планет-велетнів на основі теорії еквігравітуючих фігур;

6. За допомогою суперпозиції різного роду еквігравітуючих фігур запропоновано методику опису зовнішнього гравітаційного поля нерівноважних самогравітуючих конфігурацій.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Антонов В.А., Железняк О.А., Завизион О.В. Описание гравитационного потенциала тел вращения // Вісник Астрон.школи. - 2000. - Т. 1, №1. - С. 44-50.

2. Завізіон О.В. Самогравітуючі диски як засоби описання зовнішніх гравітаційних полів небесних тіл // Кинемат. и физ. небес. тел. - 2000. - Т. 16, №5. - С. 477-480.

3. Завізіон О.В. Про визначення густини еквігравітуючих стержнів, за допомогою яких описується зовнішнє гравітаційне поле планет-гигантів // Кинемат. и физ. небес. тел. - 2001. - Т. 17, №1. - С. 89-92.

4. Завізіон О. В. Порівняння різних методів описання зовнішнього гравітаційного потенціалу планет-гігантів // Кинемат. и физ. небес. тел. - 2001. - Т. 17, №2. - С. 189-192.

5. Завизион О.В. Сравнение методов описания внешних гравитационных потенциалов небесных тел // Радиофизика и радиоастрономия. - 2001. - Т. 6, №2. - С. 101-104. астрономічний еквігравітуючий планета

6. Zavizion O.V. External gravitational potential of giant planets with the potential of the system of inhomogeneous self-gravitating disks // Kinematics and Physics of Celestial Bodies. Suppl. Ser. - 2000. - №3. - P. 242-244.

7. Завізіон О.В. Про густину самогравітуючих дисків, зовнішні потенціали яких співпадають з гравітаційними потенціалами еліпсоїдів обертання // Вісник Астрон. школи. - 2000. - Т. 1, №1. - С. 82-85.

8. Завізіон О.В. Методи описання гравітаційних полів тіл сонячної системи // Труди Першої міжнародної конференції КАММАК 99: комети, астероїди, метеори, метеорити, астроблеми, кратери. - Вінниця, 2000. - С. 409-417.

9. Завізіон О.В., Терещенко А.О. Особливості дослідження зовнішнього гравітаційного поля планет космічними апаратами // ІІ Всеукраїнська молодіжна науково-практична конференція з міжнародною участю “Людина і космос”: Збірник тез. - Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2000. - С. 13.

10. Завізіон О.В. Вивчення внутрішньої будови планет методом гравітаційного зондування // ІІІ Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”: Збірник тез. - Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2001. - С. 7.

11. Завізіон О.В. Про густину самогравітуючих дисків, потенціали яких співпадають з потенціалами однорідних об'ємних тіл // Наукова конференція “Астрономічна школа молодих вчених”: Тези доповідей. - Умань, 1999. - С. 14.

12. Завізіон О.В. Описання зовнішнього гравітаційного потенціалу планет потенціалом системи неоднорідних самогравітуючих дисків // Наукова конференція “Астрономічна школа молодих вчених”: Тези доповідей. - Умань, 2000. - С. 20.

13. Завізіон О.В. Застосування еквігравітуючих фігур для описання зовнішнього гравітаційного поля асиметричних небесних тіл // Наукова конференція “Астрономічна школа молодих вчених”: Тези доповідей. - Умань, 2001. - С. 11.

Размещено на Allbest.ru