Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

УДК 531.55: 521.1

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЕВОЛЮЦІЯ ШВИДКИХ ОБЕРТАНЬ СУПУТНИКА ВІДНОСНО ЦЕНТРУ МАС ПІД ДІЄЮ ЗБУРЮЮЧИХ МОМЕНТІВ

01.02.01 теоретична механіка

РАЧИНСЬКА АЛЛА ЛЕОНІДІВНА

Донецьк - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Одеській державній академії будівництва та архітектури.

Науковий керівник:

Лещенко Дмитро Давидович, доктор фізико-математичних наук, професор, Одеська державна академія будівництва та архітектури, завідуючий кафедрою теоретичної механіки.

Офіційні опоненти:

Пузирьов Володимир Євгенович, доктор фізико-математичних наук, доцент, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, провідний науковий співробітник відділу технічної механіки;

Щетініна Олена Костянтинівна, кандидат фізико-математичних наук, доцент, Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського, доцент кафедри вищої і прикладної математики.

Захист відбудеться "17" грудня 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 в Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий "12" листопада 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача про збурений рух твердого тіла відносно нерухомої точки є однією з найвідоміших проблем механіки. Інтерес до неї визначається її практичним значенням для динаміки обертального руху космічних апаратів і прикладної теорії гіроскопів. Ця проблема має також і самостійний теоретичний інтерес як розділ класичної динаміки, що отримав в останні десятиліття швидкий розвиток.

У роботі досліджуються збурені обертальні рухи супутника відносно центру мас під дією моментів сил різної фізичної природи. Розглядаються рухи супутника (твердого тіла), близькі до випадку ЕйлераПуансо, за наявності малих збурюючих моментів, обумовлених впливом: а) гравітаційного тяжіння; б) середовища з опором; в) світлового тиску; г) порожнини, заповненою в'язкою рідиною, і деяких поєднань вказаних збурюючих факторів.

Такі задачі виникають в питаннях орієнтації і стабілізації космічних апаратів, при дослідженні обертального руху планети з рідким ядром. Зростаючі вимоги до точності розрахунків рухів штучних супутників відносно центру мас, гіроскопічних систем ставлять питання про розв'язання задач за допомогою сучасних методів теорії нелінійних диференціальних рівнянь. Найбільш раціональним і строго обґрунтованим методом аналізу нелінійної механіки є асимптотичний метод усереднення. Реалізація цього методу в динаміці твердого тіла є насущною, тому що аналіз розв'язків усереднених рівнянь дає значну інформацію про еволюційні властивості твердого тіла, що обертається.

Дослідження у вказаних напрямах ведуться протягом багатьох років. Задачам еволюції обертальних рухів супутників (твердих тіл) присвячені роботи В.В. Белецького, В.Г. Дьоміна, В.М. Кошлякова, В.В. Румянцева, В.А. Саричева, Ф.Л. Черноуська, Л.Д. Акуленка, А.І. Кобріна, Ю.Г. Мартиненка, В.В. Сазонова, В.В. Сидоренка, В.А. Самсонова, Д.Д. Лещенка, Kane T.R., Hitzl D.L., Breakwell T.V. та інших.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації включена до плану бюджетних науково-дослідних робіт кафедри теоретичної механіки Одеської державної академії будівництва та архітектури на 20062010 роки. "Еволюція обертань твердого тіла під дією збурюючих моментів" (номер держ. реєстрації 0104U007341).

Мета і задачі дослідження. Об'єкт дослідження дисертації - супутник, предмет дослідження - збурені обертальні рухи супутника відносно центру мас. Основна мета роботи полягає в тому, щоб оцінити вплив моментів сил різної фізичної природи на збурені рухи твердого тіла, які близькі до випадку Ейлера-Пуансо.

Метод дослідження. Для аналізу нелінійної системи рівнянь руху супутника спочатку застосовується метод усереднення. Систему рівнянь руху твердого тіла необхідно привести до стандартного вигляду систем з повільними і швидкими змінними. Потім, при необхідності, застосовується модифікований метод усереднення. Подальший аналіз усередненої системи проводиться за допомогою якісних і аналітичних методів теорії диференціальних рівнянь і чисельного інтегрування.

Наукова новизна отриманих результатів визначається наступними положеннями:

1. Вперше розв'язана задача про швидкі обертальні рухи відносно центру мас динамічно несиметричного супутника під дією гравітаційного моменту в середовищі з опором. Як окремий випадок розглянуто рух динамічно симетричного супутника.

2. Здобуто нові результати з проблем руху супутника відносно центру мас під дією моментів сил світлового тиску і опору. Тіло вважається несиметричним або симетричним, а його поверхня є поверхнею обертання.

3. Запропоновано новий підхід до розв'язання задачі про швидкі рухи відносно центру мас динамічно несиметричного або симетричного супутника з сферичною порожниною, цілком заповненою рідиною великої в'язкості, під дією гравітаційного моменту.

4. Вперше досліджена еволюція обертань супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, під дією моменту сил світлового тиску. Розглянуті рухи динамічно несиметричного або симетричного тіла.

Практичне значення отриманих результатів дисертації полягає в тому, що в ній дано якісний і кількісний аналіз руху твердого тіла під дією ряду збурюючих моментів, які зустрічаються на практиці у динаміці супутників.

Особистий внесок здобувача. В опублікованих роботах досить повно відбиваються результати дисертації. У спільних роботах авторові належить розв'язання поставлених перед ним завдань, аналітичні і чисельні розрахунки, аналіз отриманих результатів, співавторам - визначення напряму досліджень, постановка задач, участь в аналізі отриманих результатів.

Апробація результатів роботи. Основні результати роботи дисертації доповідалися на наступних конференціях та семінарах:

· IV Міжнародній школі-семінарі молодих учених Росії і України "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Орел 2005 р.);

· Міжнародній науковій конференції з механіки "Четвертые Поляховские чтения" (Санкт-Петербург 2006 р.);

· IX Міжнародному семінарі "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва 2006 р.);

· Дев'ятій Міжнародній науково-технічній конференції "Моделирование, идентификация, синтез систем управления" (п. Канака 2006 р.);

· Міжнародній конференції "Классические задачи динамики твердого тела" (Донецьк 2007 р.);

· VI Міжнародній науково-технічній конференції "Гіротехнології, навігація, керування рухом і конструювання авіаційно-космічної техніки" (Київ 2007 р.);

· IX Міжнародній Четаєвській конференції "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Іркутськ 2007 р.);

· XXXII академічних читаннях по космонавтиці (Москва 2008 р.);

· 10 Міжнародній конференції "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (Донецьк - 2008 р.);

· 6^th EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference (ENOC2008) (Saint Petersburg - 2008);

· Семінарі відділів прикладної механіки і технічної механіки ІПММ НАН України (керівник - чл. -кор. НАН України О.М. Ковальов, 2008 р.);

· Наукових семінарах кафедри теоретичної механіки ОДАБА під керівництвом професора Д.Д. Лещенко (Одеса, 2005-2008 рр.).

У повному об'ємі дисертаційна робота доповідалася і обговорювалася на спільному засіданні семінару кафедр теоретичної механіки, опору матеріалів, прикладної математики, обчислювальної техніки та САПР Одеської державної академії будівництва та архітектури (м. Одеса, 2008 р.), на семінарі відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівник - чл.кор. НАНУ О.М. Ковальов, м. Донецьк, 2008 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 4 статтях, серед яких 3 статті в збірках наукових робіт, 1 стаття в науковому журналі, а також 4 роботи в працях Міжнародних конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційну роботу викладено на 164 сторінках, вона складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаної літератури. Бібліографія містить 111 джерел і розташована на 13 сторінках.

Дисертант висловлює щиру подяку за підтримку, цінні поради та допомогу доктору фізико-математичних наук, головному науковому співробітнику Акуленку Леоніду Денисовичу і науковому керівникові доктору фізико-математичних наук, професору Лещенку Дмитру Давидовичу.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність досліджень, сформульовано мету та задачі дослідження, вказано наукову новизну та практичне значення результатів, надано інформацію щодо апробації результатів та публікацій за темою дисертації.

У першому розділі дано огляд літератури за темою дисертації. Він складається з огляду робіт, що стосуються обертань твердого тіла відносно нерухомої точки під дією збурюючих моментів різної фізичної природи. Також охарактеризовано стан проблеми, яка розглядається у дисертаційній роботі, відмічено основні напрямки досліджень.

У другому розділі дисертації досліджуються збурені рухи супутника відносно центру мас під дією моментів сил гравітаційного тяжіння і опору середовища. Рівняння руху тіла відносно центру мас записані у формі:

, , ,

, (1)

,

.

Тут ц, ш, и кути Ейлера, моменти прикладених сил відносно осей Oy_i (система координат Oy_i (i=1,2,3) зв'язана з вектором кінетичного моменту G), G - величина кінетичного моменту, A_i(i=1,2,3) - головні центральні моменти інерції відносно осей Oz_i (осі системи координат Oz_i(i=1,2,3) зв'язані з головними центральними осями інерції твердого тіла).

Центр мас супутника рухається за кеплерівським еліпсом з ексцентриситетом e. Залежність дійсної аномалії н від часу t дається співвідношенням:

, , (2)

де щ₀ - кутова швидкість орбітального руху, e-ексцентриситет орбіти.

Проекції моменту прикладених сил складаються з гравітаційного моменту і моменту сил зовнішнього опору . У роботі вважається, що момент сил опору L^r може бути представлений у вигляді , де тензор I має постійні компоненти в системі Oz_i, пов'язаній з тілом. Опір середовища передбачаємо слабким порядку мализни е²:

,

де норма матриці коефіцієнтів опору, G₀ - кінетичний момент супутника в початковий момент часу.

У підрозділі 2.1 розглядається динамічно несиметричний супутник, моменти інерції якого для визначеності задовольняють нерівності A₁>A₂>A₃ в припущенні, що кутова швидкість щ руху супутника відносно центру мас істотно більше кутової швидкості орбітального руху , тобто:

.

У цьому випадку кінетична енергія обертання тіла велика в порівнянні з моментами збурюючих сил.

Вивчається задача дослідження еволюції основних характеристик обертального руху супутника відносно центру мас: кінетичної енергії T, модуля кінетичного моменту G і його кутів орієнтації д, л у просторі при малому е на великому проміжку часу . Для розв'язання задачі застосовується метод усереднення.

При цьому на зміну кінетичній енергії і модуля кінетичного моменту завдає впливу лише сила опору, причому в рівняння входять лише діагональні коефіцієнти I_ii матриці моменту тертя. Встановлені ефекти спадання цих величин, існування квазістаціонарних режимів руху (по полодіях).

При дослідженні руху супутника основним етапом є аналіз рівняння зміни модуля еліптичних функцій k² (3).

Тут t_* постійна. Рівняння описує усереднений рух кінця вектора кінетичного моменту G на сфері радіусу G.

Отримана система спеціального вигляду, для розв'язування якої застосовується модифікований метод усереднення. Використання цього методу допустиме, оскільки кути орієнтації д, л є повільними змінними, а дійсна аномалія н напівповільною (2).

Після використання модифікованого методу усереднення визначено, що відхилення вектора кінетичного моменту G від вертикалі до плоскості орбіти є постійним, а його кутова швидкість обертання навколо вертикалі залежить, як від моменту сил опору, так і від моменту гравітаційних сил.

Чисельний розрахунок виконувався для різних видів орбіт з ексцентриситетом: e=0 кругова орбіта; e=0.004473 1-й радянський супутник; e=0.0487 3-й радянський супутник; e=0.421 сильно еліптична орбіта.

У підрозділі 2.2 проведено аналітичне дослідження в граничних випадках: а) обертання навколо осі найбільшого моменту інерції; б) малих діагональних коефіцієнтів опору; в) обертання навколо осі найбільшого моменту інерції і малих діагональних коефіцієнтів опору.

Обертання супутника навколо осі найбільшого моменту інерції відповідає малим k² "1. В цьому випадку рівняння (3) інтегрується і асимптотичне розв'язання записується в експоненціальному вигляді. Отримані аналітичні асимптотичні вирази для величини кінетичного моменту і кінетичної енергії. Після використання модифікованого методу усереднення отримано закон зміни кута л в аналітичному вигляді через неповні гамма функції.

Дослідження руху супутника при малих діагональних коефіцієнтах опору відповідає припущенню: , , , .

В цьому випадку функції G(t) і T(t) є спадними функціями, як і в загальному випадку руху супутника відносно центру мас. Зміна кута л=л(t) має вигляд квадратичної функції від t в якій вільний член і коефіцієнт при першому ступені t виражаються через постійні позитивні величини.

Підрозділ 2.3 присвячений дослідженню стійкості квазістаціонарних рухів, знайдених в пп. 2.1, 2.2. Встановлено, що квазістаціонарний рух при k²=0 для о>0 (3) асимптотично стійкий при ч>-3 і нестійкий при ч<-3. У дійсному часі для цей рух може бути як стійким, так і нестійким залежно від величини ч (ч>-3 або ч<-3) і знаку параметра N (3). Число квазістаціонарних режимів руху та їх стійкість залежать від відносної величини коефіцієнтів загасання обертань (i=1,2,3) навколо головних осей інерції.

Швидкий обертальний рух динамічно симетричного супутника (A₁=A₂) під дією гравітаційного моменту в середовищі з опором вивчається в 2.4. Система рівнянь руху супутника має вигляд:

, , ,

, (4)

,

.

До системи рівнянь руху супутника відносно центру мас під дією заданих зовнішніх моментів застосована процедура усереднення. Воно проводиться для повільних змінних G, д, л, и по швидких змінних: спочатку по ш, а потім по ц. Отримано аналітичні рішення для кута нутації і модуля кінетичного моменту супутника. Закони зміни мають експоненціальний характер. Для визначення орієнтації вектора кінетичного моменту застосовується модифікований метод усереднення. Отримано, що відхилення вектора кінетичного моменту G від вертикалі до плоскості орбіти є постійним, а його кутова швидкість обертання навколо цієї вертикалі змінна. Напрям обертання кінця вектора G залежить від початкового значення кута нутації.

У третьому розділі вивчається еволюція обертальних рухів супутника відносно центру мас під дією моментів сил світлового тиску і опору середовища. Вважається, що поверхнею космічного апарату є поверхня обертання і опір середовища малий. Супутник здійснює швидке обертання відносно центру мас, при цьому сам центр мас переміщується по еліптичній орбіті з довільним ексцентриситетом. Рівняння руху супутника відносно центру мас мають вигляд (1).

Проекції L_i моменту прикладених сил, складаються з моменту сил світлового тиску і моменту сил зовнішнього опору . Момент сил світлового тиску визначається формулою:

,

, . (5)

Тут e_r одиничний вектор по напряму радіус-вектора орбіти; е_s кут між напрямами e_r і k так, що ; R поточна відстань від центру Сонця до центру мас супутника; R₀ фіксоване значення R, наприклад, в початковий момент часу; коефіцієнт моменту сил світлового тиску, що визначається властивостями поверхні; S площа "тіні" на плоскості, нормальній до потоку; відстань від центру мас до центру тиску; p_c величина світлового тиску на відстані R від центру Сонця; c швидкість світла; E₀ величина потоку енергії світлового тиску на відстані R₀ від центру Сонця.

Вважаємо:

і наближуємо цю функцію поліномами по ступіням . Представимо у вигляді:

(6)

Розглядається лише другий член розкладу в припущенні a₁ ~е.

У 3.1 досліджується збурений рух динамічно несиметричного супутника (A₁>A₂>A₃). Проведена процедура усереднення рівнянь руху супутника за схемою, запропонованою Ф.Л. Черноусько. У даному наближенні збурений рух тіла складається з швидкого руху Ейлера-Пуансо навколо вектора кінетичного моменту G і з повільної еволюції параметрів цього руху. Встановлено, що величини кінетичного моменту і кінетичної енергії спадають, їх зміна залежить лише від моменту сил опору середовища.

Після використання модифікованого методу усереднення одержуємо, що відхилення вектора G від вертикалі до плоскості орбіти залишається постійним. Проведений чисельний аналіз при двох можливих значеннях величини ч (3). У першому випадку вона була негативною , а в другому позитивною і рівною . Швидкість обертання вектора G навколо вертикалі до плоскості орбіти змінна. У разі обертання супутника навколо осі A₁ обертання кінця вектора кінетичного моменту відбувається проти ходу годинникової стрілки. При обертанні супутника навколо осі A₃ вектор G спочатку повертається проти ходу годинникової стрілки, а потім по ходу.

Підрозділ 3.2 вивчає граничні випадки швидкого обертального руху твердого тіла відносно центру мас. Аналізується обертання супутника навколо осі найменшого моменту інерції. Досліджується рух супутника при малих діагональних коефіцієнтах опору. Розглядається окремий випадок обертання в околиці осі найбільшого моменту інерції і малих коефіцієнтів опору. У всіх граничних випадках отримані аналітичні асимптотичні вирази для величини кінетичного моменту і кінетичної енергії. Після використання модифікованого методу усереднення отримано закон зміни кута .

Дослідженню еволюції обертання динамічно симетричного супутника (A₁=A₂) відносно центру мас присвячений п. 3.3. Вважається, що рух супутника є швидким. Центр мас тіла рухається по кеплерівському еліпсу з довільним ексцентриситетом. Момент зовнішніх сил, складається з суми моментів сил світлового тиску і зовнішнього опору. Рівняння руху мають вигляд (4). Після використання методу усереднення отримано аналітичний розв'язок для кута нутації і модуля кінетичного моменту супутника. Закони зміни мають експоненціальний характер. Чисельний розрахунок двічі усереднених рівнянь руху виконувався для різних видів орбіт: а) кругової орбіти; б) орбіти 1-го радянського супутника; в) орбіти 3-го радянського супутника; г) сильно еліптичної орбіти. Кутова швидкість обертання кінця вектора G навколо перпендикуляра до плоскості орбіти залежить від початкового значення кута нутації, при цьому відхилення вектора кінетичного моменту від цієї вертикалі постійно.

Четвертий розділ дисертаційної роботи присвячений дослідженню збурених обертальних рухів супутника відносно центру мас. Тіло містить сферичну порожнину, цілком заповнену сильно в'язкою однорідною рідиною. Обертальні рухи розглядаються в рамках моделі динаміки квазітвердого тіла, центр мас якого рухається по еліптичній орбіті.

У 4.1 вивчається обертальний рух динамічно несиметричного супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, в гравітаційному полі. Рівняння руху супутника відносно центру мас записуються у формі (1). Проекції L_i моменту прикладених сил складаються з гравітаційного моменту і моменту сил в'язкої рідини в порожнині . У роботі вважається, що в порожнині знаходиться рідина великої в'язкості, тобто:

(),

форма порожнини сферична, тоді:

, .

Тут с, густина і кінематичний коефіцієнт в'язкості рідини в порожнині відповідно, a радіус порожнини. Величина тензор, залежний лише від форми порожнини, характеризує дисипативний момент сил в квазістатичному наближенні, обумовлений в'язкою рідиною в порожнині. Для простоти розглянуто так званий скалярний тензор, визначений однією скалярною величиною P>0.

З точністю до малих першого порядку мализни (P~е) проекції моменту сил в'язкої рідини в порожнині мають вигляд:

(7)

.

Тут направляючі косинуси між системами координат Oy_i (i=1,2,3) і Oz_i (i=1,2,3), p, q, r проекції на осі Oz_i (i=1,2,3) вектора абсолютної кутової швидкості щ супутника відносно системи координат Ox₁ x₂ x₃.

Отримано рівняння зміни модуля еліптичних функцій, яке збігається з рівнянням (3), але має інші вирази для величини ч і безрозмірного часу о:

,

, .

Дослідження еволюції обертань супутника проводиться на асимптотично великому інтервалі часу. Отримана система рівнянь руху, що містить повільні і швидкі змінні. Застосовується процедура усереднення по руху Ейлера-Пуансо і модифікований метод усереднення. Встановлено, що під впливом моменту сил в'язкої рідини в порожнині відбувається еволюція кінетичної енергії тіла T. Зміни кутів л, д залежать як від дії сили гравітаційного тяжіння, так і від моменту сил в'язкої рідини в порожнині. Отримано, що вектор кінетичного моменту G залишається сталим за величиною і напрямлений під постійним кутом д до вертикалі плоскості орбіти. При цьому кінець вектора G рухається по сфері радіусу G₀, спочатку проти ходу годинникової стрілки, за рахунок наявної початкової кінетичної енергії, а потім по ходу годинникової стрілки, при цьому кінетична енергія спадає до значення 1, що відповідає стійкому обертанню супутника навколо найбільшої осі A₁. обертальний супутник збурюючий момент

Проведено аналіз обертального руху супутника в околиці найбільшого моменту інерції. Отримано аналітичні асимптотичні вирази для модуля еліптичних функцій і кінетичної енергії. Після використання модифікованого методу усереднення отримано закон зміни кута л в аналітичному вигляді.

Підрозділ 4.2 присвячений дослідженню еволюції обертань динамічно симетричного супутника (A₁=A₂) з рідиною в гравітаційному полі. Рівняння руху динамічно симетричного супутника відносно центру мас записуються у формі (4). Проекції моменту прикладених сил складаються з гравітаційного моменту і моменту сил в'язкої рідини в порожнині. Аналіз рівнянь руху проводиться з урахуванням малих першого порядку у формулі моменту сил в'язкої рідини в порожнині. Для збуреного руху кути прецесії і власного обертання є швидкими змінними, а кут нутації, величини кінетичного моменту і кути орієнтації вектора кінетичного моменту повільними. Отримано аналітичні закони зміни кута нутації супутника і модуля вектора кінетичного моменту. Встановлено, що при русі динамічно симетричного супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, під дією гравітаційного моменту вектор кінетичного моменту G залишається величиною сталою, напрямленою під постійним кутом д до вертикалі плоскості орбіти. При початкових значеннях кута нутації , 0.955 рад кінець вектора G рухається по сфері радіусу G₀ спочатку проти ходу годинникової стрілки, а потім за ходом годинникової стрілки. При початкових значеннях кута нутації и> кінець вектора G рухається по сфері радіусу G₀ по ходу годинникової стрілки.

У підрозділі 4.3 досліджується обертання супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, під дією моменту сил світлового тиску. Рівняння руху супутника відносно центру мас записуються у формі (1). Проекції моменту прикладених сил складаються з моменту сил світлового тиску і моменту сил в'язкої рідини в порожнині. Вважається, що в порожнині знаходиться рідина великої в'язкості, тобто

().

З точністю до малих другого порядку мализни (P~е²) проекції моменту сил в'язкої рідини в порожнині мають вигляд (7). У формулі моменту сил світлового тиску (5) розглядався лише другий член розкладання (6) в припущенні .

Вивчається рух динамічно несиметричного супутника в припущенні, що кінетична енергія обертання тіла велика в порівнянні з моментами збурюючих сил. Розглядається задача дослідження еволюції обертань супутника на асимптотично великому проміжку часу, на якому відбувається істотна зміна параметрів руху. Для розв'язання отриманої системи рівнянь руху супутника застосовується усереднення по руху ЕйлераПуансо і модифікований метод усереднення. Встановлений ефект спадання кінетичної енергії обертальних рухів супутника. Визначена орієнтація вектора кінетичного моменту в просторі. Згідно з чисельним розрахунком показано, що для несиметричного супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, рухомого під дією моменту сил світлового тиску вектор кінетичного моменту G залишається величиною сталою, напрямленою під постійним кутом д до вертикалі плоскості орбіти. При цьому кінець вектора G рухається по сфері радіусу G₀ за ходом годинникової стрілки і кінетична енергія спадає до значення 1, відповідного стійкому руху супутника навколо осі A₁.

Крім того, в підрозділі 4.3 розглядається граничний випадок обертання, близький до осьового обертання, що відповідає k²"1. Після використання модифікованого методу усереднення отримано закон зміни кута л в аналітичному вигляді. Побудовані графіки зміни кута л в безрозмірному часі

,

Щ₀ величина кутової швидкості щ руху супутника відносно центру мас в початковий момент часу, характер кривих аналогічний функціям л = л(ф) для довільних k².

Вивчається обертальний рух динамічно симетричного супутника (A₁=A₂) з порожниною, цілком заповненою в'язкою рідиною, відносно центру мас під дією моменту сил світлового тиску. Рівняння руху супутника відносно центру мас записуються у формі (4).

У роботі вважається, що в порожнині знаходиться рідина великої в'язкості, тому скалярна величина P~е². З точністю до малих другого порядку мализни проекції моменту сил в'язкої рідини в порожнині мають вигляд:

.

Для розв'язання задачі застосовуються метод усереднення і модифікований метод усереднення. Досліджується еволюція основних характеристик руху при малому е на проміжку часу . Встановлено, що кінетичний момент є величиною сталою. Вектор G знаходиться на постійному відхиленні від вертикалі до плоскості орбіти супутника. Знайдено аналітичний закон зміни кута нутації супутника. Отримано, що для супутника "сплющеного" по осі інерції A₃ (A₁ >A₃) кут нутації и>р/2 рад, а для супутника "витягнутого" по осі інерції A₃ (A₁ <A₃) и>0 рад. Встановлено, що чім більше "витягнуто" тіло по осі A₃, то тим швидше супутник прагне до положення стійкого обертання навколо цієї осі.

ВИСНОВКИ

В дисертації отримано наступні результати, які виносяться на захист:

1. Досліджено обертальні рухи динамічно несиметричного і симетричного супутника відносно центру мас під дією моментів сил гравітаційного тяжіння і опору середовища. Встановлено ефект існування квазістаціонарних режимів руху (по полодіях). Після використання модифікованого методу усереднення досліджено еволюцію основних характеристик руху. Проведено якісне дослідження стійкості квазістаціонарних рухів динамічно несиметричного супутника в загальних і окремих випадках.

2. Вивчено еволюцію швидких обертальних рухів динамічно несиметричного і симетричного супутника відносно центру мас під дією малих збурюючих моментів сил світлового тиску і сил опору середовища. Після використання модифікованого методу усереднення проведено чисельний розрахунок рівнянь руху для різних видів орбіт центру мас супутника.

3. Проведено дослідження швидкого обертального руху відносно центру мас динамічно несиметричного супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, під дією гравітаційного моменту. Проведено чисельний аналіз в загальному випадку і аналітичне дослідження в околиці осьового обертання. Розглянуто еволюцію обертань динамічно симетричного супутника з рідиною в гравітаційному полі. Отримано аналітичні закони зміни кута нутації супутника і модуля вектора кінетичного моменту. Знайдено орієнтацію вектора кінетичного моменту в просторі.

4. Розглянуто еволюцію обертань динамічно симетричного супутника з рідиною в гравітаційному полі. Отримано аналітичні закони зміни кута нутації супутника і модуля вектора кінетичного моменту. Встановлено орієнтацію вектора кінетичного моменту в просторі.

5. Досліджено обертальні рухи динамічно несиметричного і симетричного супутника з порожниною, заповненою в'язкою рідиною, під дією моменту сил світлового тиску. Після використання модифікованого методу усереднення досліджено еволюцію основних характеристик руху. Проведено чисельний аналіз в загальному випадку і аналітичне дослідження в околиці осьового обертання.

СПИСОК ОСНОВНИХ ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Акуленко Л.Д. Эволюция быстрого вращения динамически симметричного спутника под действием гравитационного момента в сопротивляющейся среде / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела. 2006. Вып. 36. С. 5863.

2. Акуленко Л.Д. Эволюция вращений спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Механика твердого тела. 2007. Вып. 37. С. 126139.

3. Акуленко Л.Д. Эволюция быстрого вращения спутника под действием гравитационного момента в среде с сопротивлением / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. №2. - С. 1326.

4. Лещенко Д.Д. Движение спутника относительно центра масс под действием момента сил светового давления в сопротивляющейся среде / Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Вісник Одеськ. нац. ун-ту. 2007. Т. 12, вип. 7. Матем. і мех. С. 94107.

5. Акуленко Л.Д. Эволюция вращений спутника относительно центра масс под действием гравитационного момента и момента сил сопротивления. / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Четвертые Поляховские чтения: Избранные труды. С. -Пб: Издво "ВВМ". 2006. С. 222231.

6. Лещенко Д.Д. Эволюция быстрого вращения спутника под действием момента сил светового давления в среде с сопротивлением / Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Труды IX Международной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением". Иркутск. 2007. Т. 5. С. 3346.

7. Лещенко Д.Д. Быстрое движение динамически симметричного спутника под действием момента сил светового давления в сопротивляющейся среде. / Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // VI міжнародна науково-технічна конференція "Гіротехнології, навігація, керування рухом та конструювання авіаційно-космічної техніки": Збірка доповідей. Частина 1. Київ. 2007. С. 103109.

8. Рачинская А.Л. Эволюция вращений спутника относительно центра масс под действием гравитационного момента и момента сил сопротивления. / А.Л. Рачинская // Труды Международных школ-семинаров "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики", Орел, 2005, Вып.4, С. 106111.

9. Лещенко Д.Д. Эволюция вращений твердого тела под действием возмущающих моментов / Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская, С.Г. Суксова // Моделирование, идентификация, синтез систем управления: девятая междун. научн. -техн. конф., 1623 сентября 2006 г.: тезисы докл. Донецк: ИПММ НАН Украины, 2006. С. 67.

10. Лещенко Д.Д. Эволюция быстрых вращений спутника под действием моментов сил гравитационного притяжения и сопротивления / Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: IX междун. семин. им. Е.С. Пятницкого, 31 мая 2 июня 2006 г.: тезисы докл. М.: ИПУ РАН, 2006. С. 153154.

11. Лещенко Д.Д. Эволюция вращений спутника относительно центра масс под действием возмущающих моментов / Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Четвертые Поляховские чтения: междун. научн. конф. по механике, 710 февраля 2006 г.: тезисы докл. С. -Пб.: ВВМ, 2006. С. 109.

12. Акуленко Л.Д. Эволюция быстрого вращения динамически симметричного спутника под действием гравитационного момента в сопротивляющейся среде / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Классические задачи динамики твердого тела: междунар. конф., 913 июня 2007 г.: тезисы докл. Донецк: ИПММ НАН Украины, 2007. С. 7.

13. Акуленко Л.Д. Эволюция быстрых вращений спутника с полостью, заполненной вязкой жидкостью / Л.Д. Акуленко, Д.Д. Лещенко, А.Л. Рачинская // Актуальные проблемы российской космонавтики: XXXII акад. чтен. по космонавтике, 29 января 1 февраля 2008 г.: труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства, 2008. С. 132.

14. Leshchenko D.D. Evolution of rotation of a satellite with cavity filled with a viscous fluid relative to the centre of mass of the light pressure torque / D.D. Leshchenko, L.D. Akulenko, A.L. Rachinskaya // Устойчивость, управление и динамика твердого тела: 10 междун. конф., 510 июня 2008 г.: тезисы докл. Донецк: ИПММ НАН Украины, 2008. С. 134.

15. Akulenko L. Evolution of rotation of a satellite with cavity filled with a viscous fluid relative to the centre of mass in the gravitational field / L. Akulenko, D. Leshchenko, A. Rachinskaya // ENOC2008: 6^th European nonlinear dynamics conference, 30 июня4 июля 2008 г.: тезисы докл. С. -Пб., 2008. С. 114.

АНОТАЦІЇ

Рачинська А.Л. Еволюція швидких обертань супутника відносно центру мас під дією збурюючих моментів. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за фахом 01.02.01 теоретична механіка. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

Дисертаційна робота присвячена вивченню швидких обертальних рухів супутника відносно центру мас під дією збурюючих моментів. Досліджується дія збурюючих моментів на еволюцію основних характеристик обертального руху супутника відносно його центру мас. Розглядаються збурюючі моменти різної фізичної природи: а) гравітаційний момент; б) момент сил світлового тиску; в) момент сил опору; г) момент сил в'язкої рідини, що знаходиться в порожнині супутника; д) комбінації вищеперелічених силових факторів.

Дослідження проводяться для супутника в припущенні, що кутова швидкість руху твердого тіла відносно центру мас істотно більше його кутової швидкості орбітального руху. Породжуючим незбуреним рухом супутника відносно центру мас є рух Ейлера-Пуансо.

Для аналізу нелінійної системи рівнянь руху застосовується асимптотичний метод усереднення в першому наближенні. Потім до усередненої системи, у разі потреби, застосовується модифікований метод усереднення.

Вивчено швидкі обертальні рухи супутника відносно центру мас в окремих випадках: а) обертання тіла в околиці осі найменшого і найбільшого моментів інерції; б) випадку малих діагональних коефіцієнтів опору середовища; в) випадку динамічно симетричного супутника.

Проведено дослідження стійкості знайдених квазістаціонарних рухів супутника в середовищі з опором.

Ключові слова: супутник, рух Ейлера-Пуансо, збурюючі моменти, метод усереднення, модифікований метод усереднення.

Рачинская А.Л. Эволюция быстрых вращений спутника относительно центра масс под действием возмущающих моментов. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 теоретическая механика. Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008.

Диссертационная работа посвящена изучению быстрых вращательных движений спутника относительно центра масс под действием возмущающих моментов. Исследуется действие возмущающих моментов на эволюцию основных характеристик вращательного движения спутника относительно его центра масс. Рассматриваются воздействия возмущающих моментов различной физической природы: а) гравитационного момента; б) момента сил светового давления; в) момента сил сопротивления; г) момента сил вязкой жидкости, находящейся в полости спутника; д) комбинации вышеперечисленных силовых факторов.

Исследования проводятся для спутника в предположении, что угловая скорость движения твердого тела относительно центра масс существенно больше его угловой скорости орбитального движения. Порождающим невозмущенным движением спутника относительно центра масс является движение Эйлера-Пуансо.

Для анализа нелинейной системы уравнений движения применяется асимптотический метод усреднения в первом приближении. Затем к усредненной системе, в случае необходимости, применяется модифицированный метод усреднения.

Анализируется система, полученная после усреднения по движению Эйлера-Пуансо. Установлены эффекты убывания модуля кинетического момента и кинетической энергии, существования квазистационарных режимов движения (по полодиям) для движения спутника в сопротивляющейся среде. Определена ориентация вектора кинетического момента в орбитальной системе координат.

Проведены численный анализ в общем случае и аналитическое исследование в частных случаях: а) вращения тела в окрестности оси наименьшего и наибольшего моментов инерции; б) малых диагональных коэффициентов сопротивления среды; в) динамически симметричного спутника.

Исследуется воздействие момента сил светового давления на быстрое вращение спутника в среде с сопротивлением относительно центра масс. Проведены численные расчеты для изучения характера изменения вектора кинетического момента и кинетической энергии для динамически несимметричного спутника. В случае движения динамически симметричного спутника получены аналитические законы изменения угла нутации и модуля вектора кинетического момента.

Рассматривается возмущенное движение спутника со сферической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью. Изучается характер изменения основных характеристик движения твердого тела в указанном приближении под действием гравитационного момента или момента сил светового давления. Численно получен закон изменения кинетической энергии при вращении спутника вокруг оси наибольшего и наименьшего моментов инерции. Изучено также движение динамически симметричного спутника со сферической полостью, целиком заполненной вязкой жидкостью.

Ключевые слова: спутник, движение Эйлера-Пуансо, возмущающие моменты, метод усреднения, модифицированный метод усреднения.

Rachinskaya A.L. Evolution of fast rotations of a satellite relative to the center of mass under the action of perturbation torques. - Manuscript.

The thesis for obtaining a candidate degree (physical and mathematical sciences) by specialty 01.02.01 - theoretical mechanics. - Institute of Applied Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2008.

The subject of the thesis is devoted to the study of fast rotational motions of a satellite relative to the center of mass under the action of perturbation torques. Perturbation torques are assumed to be depending on: a) the gravitational torque; b) the light pressure torque; c) the torque of the resistive forces; d) the torques of forces of a cavity filled with a viscous fluid and joint action of some of these factors.

We assume that the angular velocity of motion of a satellite relative to the center of mass much bigger than angular velocity of orbital motion. It makes possible to investigate the stated problems in two aspects. We use averaging method with the respect to Euler-Poinsot motion at the initial stage. Then in some cases we apply the modified averaging method in order to solve the averaging system.

We study the fast rotational motions of a satellite relative to the center of mass in the particular cases such as: a) rotation of the body in the neighborhood of the axes of the minimal and maximal moments of inertia; b) small diagonal coefficients of the matrix of the moment of friction; c) dynamically symmetric body.

We analyze the stability of the found quasi-steady motions of a satellite in a resistive medium.

Key words: satellite, motion of Euler-Poinsot, perturbation torques, averaging method, modified method of averaging.

Размещено на Allbest.ru