Математическое моделирование движения небесных тел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В небесной механике для описания движений небесных тел в зависимости от конкретных условий используются различные физические модели - идеализированные космические объекты. Например, материальная точка - это тело, обладающее массой и скоростью, размеры, форма и внутреннее строение которого в условиях рассматриваемой задачи существенного значения не имеют. В частности, так как взаимные расстояния между Солнцем и большими планетами значительно превышают их линейные размеры, то приближенно их можно рассматривать как материальные точки. Именно благодаря этому обстоятельству Исаак Ньютон смог построить первую динамическую теорию планетных движений.

Положение материальной точки, изображающей конкретный небесный объект, всегда определяется по отношению к некоторому, произвольно выбранному небесному телу, называемому телом отсчета. Совокупность тела отсчета, системы координат и часов (в качестве устройства для отсчета времени) называется системой отсчета, к которой принято относить положение и скорость исследуемого объекта в рассматриваемый момент времени.

Траектория движения небесного тела (орбита) - это геометрическое место его положений на рассматриваемом временном интервале, то есть линия, описываемая материальной точкой в пространстве. Закон движения, как известная зависимость состояния движения исследуемого объекта от времени, задается ”кинематическими уравнениями движения”, представляющими собой не что иное как параметрические уравнения траектории.

С момента своего возникновения и до сих пор Небесная механика служит для естествознания научным полигоном, на котором испытываются новейшие средства математического анализа. Более того, подавляющее большинство всех наиболее эффективных средств и методов теоретического исследования ”генетически” связаны с задачами небесной механики. В качестве хрестоматийного примера можно сослаться на дифференциальное и интегральное исчисление (исчисление бесконечно малых), специально разработанное Исааком Ньютоном (1687г.) в качестве математического аппарата механики для решения, прежде всего, астрономических задач с целью создания теории движении тел Солнечной системы. Да и методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, входящие сейчас в число мощнейших средств компьютерного моделирования динамических систем, впервые были разработаны Леонардом Эйлером (первым методом численного интегрирования был метод ломаных Эйлера) в связи с практическими потребностями наблюдательной астрономии.

Небесная механика на протяжении всей истории ее становления была источником новых идей, методов и даже новых направлений в математике, традиционно являясь плодотворным полем приложения усилий для подавляющего большинства выдающихся ученых. Среди имен классиков точного естествознания (не только астрономов, но и математиков) практически отсутствуют такие, кто не отдал бы должную дань уважения небесной механике.

Цель курсовой работы: Рассмотреть уравнения движения небесных тел и проанализировать их. Оценить траекторию движения небесных тел и сравнить их между собой по различным характеристикам.

Объектом исследования являются уравнения движения.

Практическая значимость: Материал, представленный в работе может быть использован при проведении занятий по механике, в специальных курсах по небесной механике, в приложениях, использующих уравнения движения.

Глава 1. Моделирование траектории движения небесных тел

Орбиту можно получить как линию пересечения двух поверхностей. Уравнение одной поверхности - это уравнение плоскости орбиты. Уравнение второй поверхности выведем далее с помощью векторного интеграла Лапласа.

1.1 Уравнения орбиты в относительных координатах

Умножение интеграла Лапласа скалярно на вектор

(1.1)

позволяет получить соотношение, не содержащее скорость. Осуществляя циклическую перестановку в смешанном произведении векторов, уравнение (1.1) перепишем в виде

(1.2)

Это уравнение в трехмерном пространстве координат определяет некоторую поверхность. Учитывая, что уравнение (1.2) получено из интеграла Лапласа, указанную поверхность будем называть поверхностью Лапласа.

Траекторию движения тела тогда можно получить как пересечение поверхности Лапласа (1.2) с плоскостью орбиты и представить в виде системы двух уравнений

, (1.3)

В орбитальной системе координат , т.е. при ,

, , уравнения орбиты преобразуются к виду

, . (1.4)

Из первого уравнения в (1.4) видно, что поверхность Лапласа (1.3) является осесимметричной поверхностью второго порядка. Чтобы дать более точную характеристику этой поверхности, а вместе с ней и орбиты, осуществим переход к сферической системе координат при помощи преобразования:

,, , (1.5)

Рис. 1.1. Фрагмент поверхности Лапласа для .

Точка иллюстрирует текущую точку поверхности в системах координат и соответственно, где l - долгота, отсчитываемая в плоскости от оси з в положительном направлении, v - полярное расстояние, отсчитываемое от оси (т.е. от вектора л). В любой плоскости, проходящей через ось , величину v можно рассматривать как полярный угол, отсчитываемый от полярной оси . Общий вид части поверхности Лапласа (для ) показан на рис. 1.1.

Используя формулы (1.6), из (1.5) получим уравнения орбиты в сферической системе координат в виде

,

. (1.6)

Так как долгота l не входит в первое уравнение системы (1.7) (уравнение поверхности Лапласа), то можно заключить, что эта поверхность является поверхностью вращения вокруг оси .

Преобразуем первое уравнение системы (1.7) путем разрешения его относительно r, а, исключая из рассмотрения прямолинейное движение (т.е. полагая c=0, r=0, v=0), второе уравнение (плоскости орбиты) представим в виде равенства l=0. Тогда систему (1.7) можно записать в виде

, l=0, (1.7)

где введены обозначения

. (1.8)

Таким образом, траекторию в плоскости движения тела можно записать в виде фокального уравнения кривой второго порядка в полярных координатах (r, v) с полюсом M0, расположенным в одном из фокусов:

, (1.9)

где p - фокальный параметр кривой, e - ее эксцентриситет, а v - полярный угол, отсчитываемый от фокальной оси .

Кривая (1.10) может быть эллипсом, параболой, гиперболой и их вырождениями - отрезками и лучами прямых. Вращением этой кривой вокруг полярной оси получается поверхность, которая может оказаться эллипсоидом вращения, параболоидом вращения, двуполостным гиперболоидом вращения, отрезком или лучом прямой.

Полярный угол v в уравнении орбиты отсчитывается от направления на ближайшую к телу точку кривой, которое задается вектором л. Этот угол в астрономии называется истинной аномалией. Ближайшая точка орбиты называется перицентром, наиболее удаленная - апоцентром. Для реальных небесных тел используются конкретные названия: для Земли - перигей и апогей, для Солнца - перигелий и афелий, для Юпитера - перииовий и апоиовий, для Луны - периселений и апоселений, для звезды - периастр и апоастр, для Марса - перимарсий и апомарсий, для Венеры - перивенерий и аповенерий и т. п.

Фокальную ось называют также линией апсид орбиты, а точки ее пересечения с орбитой - апсидами. Апсиды совпадают с вершинами кривой второго порядка.

1.2 Орбитальная система координат

Орбитальная система координат вводится следующим образом. Ось направим по вектору Лапласа л, ось - по вектору c, а ось - перпендикулярно к этим осям и так, чтобы система была правой. Плоскость оз в орбитальной системе координат является плоскостью орбиты.

Орты орбитальной системы

,

,

(1.10)

полностью определяются компонентами векторов и :

. (1.11)

С помощью матрицы A направляющих косинусов осей орбитальной системы относительно системы

(1.12)

Рис. 1.2. Используемые ортонормированные базисы.

Можно выразить относительные координаты и скорости через орбитальные:

(1.13)

Обратный переход осуществляется с помощью транспонированной матрицы AT , совпадающей с обратной матрицей A?1:

. (1.14)

Все элементы матрицы A - постоянные величины.

В орбитальной системе координат векторы , , и имеют следующие компоненты:

= {л, 0, 0}, ={0,0,c}, ={,з, }, = {, , }, (1.15)

Радиус-вектор и векторы скорости в радиальном r и трансверсальном направлении будем записывать в виде

, (1.16)

где e и e ! - единичные взаимно ортогональные векторы радиального и трансверсального направлений:

. (1.17)

Направляющие косинусы б,в,г, являются переменными величинами. Верхний индекс (штрих) означает дифференцирование по угловой переменной u (или по v, учитывая, что u=v+щ и щ=const), зависящей от времени, что согласуется с правилом дифференцирования единичных векторов.

1.3 Кеплеровские элементы орбиты

Вместо произвольных постоянных c1,c2,c3,h,л1,л2,л3,ф в астрономии обычно используются более наглядные и более удобные постоянные интегрирования, называемые кеплеровскими элементами орбиты: p,e,i,?,щ,ф.

Два первых кеплеровских элемента, p - фокальный параметр и e - эксцентриситет, определяют размер и форму орбиты. Элемент ф означает момент прохождения телом перицентра орбиты. Его называют еще ”динамическим моментом”, так как это единственный кеплеровский элемент, характеризующий динамику движения по орбите, в отличие от остальных элементов, имеющих геометрический характер.

Все углы будем также изображать дугами на небесной сфере. Прямая, по которой плоскость орбиты пересекается с основной координатной плоскостью M0xy, называется линией узлов, а точки ее пересечение с небесной сферой - узлами орбиты. Узел, при прохождении которого тело перемещается из полупространства z<0 в полупространство z>0, называется восходящим узлом орбиты, а противоположный узел - нисходящим узлом.

Три угловых элемента ?, i и щ определяют положение орбиты в пространстве. Угол ? в астрономии называется долготой восходящего узла. Он отсчитывается в плоскости M0xy от положительного направления оси абсцисс M0x до направления на восходящий узел орбиты. Диапазон изменения угла: 0??<2р. Угол i называется наклонением орбиты или наклоном. Это - двугранный угол между плоскостью M0xy и плоскостью орбиты, изменяющийся в диапазоне 0 ? i ? р.

Угол щ между линией узлов и линией апсид называется угловым расстоянием перицентра от узла или аргументом широты перицентра орбиты. Он измеряется в плоскости орбиты от восходящего узла до направления на перицентр орбиты, 0 ? щ < 2р.

Углы ?,i и щ - это фактически хорошо известные из теоретической механики эйлеровы углы, прецессии, нутации и собственного вращения, определяющие ориентацию орбитальной системы координат M0озж относительно осей системы M0xyz.

В астрономии углом прецессии служит долгота восходящего узла орбиты ?, углом нутации - наклонение орбиты i, а углом собственного вращения - аргумент перицентра щ. Углы i и ? определяют положение плоскости орбиты в пространстве, а угол щ-ориентацию орбиты в этой плоскости.

Соотношения между произвольными постоянными интегрирования и кеплеровскими элементами ?,щ,i можно получить по формулам сферической тригонометрии из соответствующих сферических треугольников на небесной сфере. Вершины этих треугольников будем обозначать теми же буквами, что и соответствующие оси. Например, вершинами треугольника N xж являются точки небесной сферы, полученные ее пересечением с положительным направлением осей Ox и Oж , а также с направлением на восходящий узел орбиты O>N. Аналогично строятся другие треугольники, причем вершины соединяются дугами больших кругов.

Рассмотрим сначала упомянутый треугольник N xж . Угол при вершине N у этого треугольника равен 90? ? i. Сторона (дуга) N ж равна 90?, сторона xN равна ?, а сторона xж есть arccos(c1/c). По теореме косинусов тогда получим

. (1.18)

Аналогично, используя теорему косинусов, можно получить две формулы из треугольников N yж и N zж в виде

. (1.19)

Рассмотрим теперь треугольник N xо (см. рис. 1.3). Он характеризуется углом 180? ? i при вершине N и сторонами

и

.

По теореме косинусов из этого треугольника получим

(1.20)

Аналогичные формулы можно вывести из треугольников

N yо и N zо.

Рис. 1.3. Сферический треугольник N xо.

Вся совокупность формул, определяющих постоянные интегрирования через кеплеровские элементы, такова:

(1.21)

Последнее равенство в (1.21) означает, что постоянная интегрирования ф совпадает с моментом прохождения через перицентр.

С помощью формул (1.21) можно осуществить обратный переход от постоянных интегрирования c, л, h, ф к кеплеровским элементам p,e,i,?,щ,ф. Для этого сначала вычисляются p и e по формулам (1.8). Затем из равенства c3/c=cosi однозначно определяется наклонение i. Далее по двум направляющим косинусам c1/c и c2/c однозначно (с указанием четверти) определяется долгота восходящего узла ?. А по двум направляющим косинусам вектора л также однозначно определяется аргумент перицентра щ.

Уравнения (1.21) определяют выражения для направляющих косинусов осей Oо и Oж через угловые кеплеровские элементы орбиты ?, i, щ. Аналогичные выражения для направляющих косинусов оси Oз имеют вид

(1.22)

Глава 2.Общее решение

Общее решение задачи двух тел можно получить из общего интеграла, представляющего собой не что иное, как неявную форму задания общего решения.

2.1 Общее решение в орбитальных координатах

В этом разделе рассматривается движение тела M в орбитальных прямоугольной M0озж и цилиндрической M0rvж системах координат. Положение орбитальной системы координат в пространстве определяется тремя кеплеровскими элементами ?,i,щ. Долгота восходящего узла ? и

наклонение i определяют положение плоскости орбиты M0оз, а аргумент перицентра щ определяет положение оси M0о в плоскости орбиты. При переходе от относительной системы M0xyz к орбитальной системе M0озж кеплеровские элементы ?,i,щ считаются известными. Поэтому общее решение в орбитальной системе координат зависит только от трех оставшихся кеплеровских элементов p,e,ф, которые можно рассматривать как произвольные постоянные. Это отражено в последующей формуле, в которой фокальный параметр p, эксцентриситет e и время прохождения через перицентр ф входят в общее решение для орбитальной системы о, з, оя, зя, ж=0, жя=0, а элементы ?,i,щ появляются только при переходе к относительной системе координат посредством направляющих косинусов бф,вф,гф,б!,в',г`.

Задача определения общего решения в орбитальных координатах сводится к получению зависимостей:

о, з, оя, зя

r, v, rя, vя

t, p, e.ф ,- для прямоугольной системы M0озж ,

t, p, e, ф ,- для цилиндрической системы M0rvж , (1.23)

а аппликата ж и ее производная жя тождественно равны нулю.

Уравнение орбиты в полярных координатах связывает переменные r и v. Для вывода зависимости величин r и v от времени рассмотрим интеграл площадей в цилиндрической системе координат. Сначала при c1=c2=0 и c3=c с учетом ж=жя=0 запишем интеграл площадей в орбитальных декартовых координатах в виде

, (1.24)

а затем путем замены переменных

,

(1.25)

из (1.23) получим интеграл площадей в цилиндрической системе координат M0rvж

, (1.26)

где r определяется формулой (1.8).

Интегрируя это равенство, получим зависимость времени t от истинной аномалии v в виде

(1.27)

где произвольная постоянная ф (момент прохождения через перицентр) соответствует значению истинной аномалии v=0. Это уравнение мы будем использовать в дальнейшем вместо интеграла , зависящего явно от времени.

(1.28)

Подставляя полученные значения для vя и rя в выражения (1.25) для оя и зя и учитывая, что зависимость t от v задается формулой (1.27), получим общее решение в орбитальной цилиндрической системе координат

(1.29)

С учетом (1.29) общее решение в орбитальных прямоугольных координатах будет задаваться формулами (1.25) после обращения интеграла (1.27), т.е. получения зависимости истинной аномалии v от времени t.

Радиальная и трансверсальная компоненты скорости движения тела M представляются в виде

(1.30)

а сама скорость записывается в виде:

(1.31)

2.2 Общее решение уравнений относительного движения

Рассмотрим на небесной сфере сферический треугольник N M x, где M - проекция текущего положения тела M на небесную сферу. Сторонами этого треугольника являются дуги больших кругов Q,xN=?, N M=u=щ+v- аргумент широты тела M , xQ,M = arccos(x/r). Угол при вершине N равен 180? ? i. При v = 0 треугольник N M x преобразуется в треугольник N xо, изображенный на рис. 1.3. По теореме косинусов сферической тригонометрии из треугольников N M x, N M y и N M z получим

x = rб = r(cos ? cos u ? sin ? sin u cos i),

y = rв = r(sin ? cos u + cos ? sin u cos i),

z = rг = r sin u sin i. (1.32)

Направляющие косинусы б,в,г радиус-вектора r относительно осей системы M0xyz здесь можно получить из (1.21) заменой аргумента перицентра щ на аргумент широты u.

Вычисляя путем дифференцирования по времени t компоненты скоростей, получим общее решение уравнений относительного движения в виде

,

,

, (1.33)

где

а штрих означает производную по аргументу широты:

.

К этим соотношениям следует добавить уравнения (1.29).

Общее решение можно вывести другим путем, используя решение в орбитальных координатах. В этом случае направляющие косинусы будут постоянными величинами, что удобно при вычислении координат и скоростей для большого числа моментов времени.

Используя формулы (1.13), общее решение в этом случае можно представить в виде

(1.35)

где величины о, з, оя, зя определяют общее решение в орбитальной системе координат по формулам (1.25) и (1.29).

2.3 Уравнение Бине

Другой способ получения траектории движения в задаче двух тел связан с широко известным уравнением Бине. Это уравнение записывается в цилиндрической системе координат M0r?ж, получающейся из рассмотренной ранее системы M0rvж путем поворота вокруг оси M0ж на некоторый угол щ? согласно равенству:

. (1.36)

Это означает, что направление полярной оси в плоскости ж=0 в системе M0r?ж выбирается произвольным, в то время как в системе M0rvж полярная ось всегда направлена на перицентр орбиты.

Используя обозначения

(1.37)

и известные из теоретической механики проекции ускорения на радиальное, трансверсальное и бинормальное направления

, (1.38)

можно записать дифференциальные уравнения относительного движения тела M в скалярной форме

(1.39)

. (1.40)

Из второго уравнения (1.41) получаем интеграл площадей в виде

. (1.41)

Подставляя из этого уравнения в первое уравнение (1.41) и делая замену переменных по формулам



………………(1.42)

Уравнение Бине является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид

, (1.43)

где C1 и C2 - произвольные постоянные интегрирования.

Вместо постоянных C1 и C2 можно ввести величины e и щ? по формулам

(1.44)

и с учетом зависимости p = c2/µ записать общее решение в виде

(1.45)

Учитывая (1.36), отсюда получим уравнение орбиты в уже известной форме фокального уравнения конического сечения

, (1.46)

где v = ? щ? - истинная аномалия.

Глава 3. Типы невозмущенного движения

Результаты проведенного интегрирования позволяют сформулировать два первых обобщенных закона Кеплера. Первый закон: невозмущенной орбитой является кривая второго порядка, в одном из фокусов которой расположено притягивающее тело. Второй закон: площадь, ометаемая радиусом-вектором движущегося тела, изменяется пропорционально времени. Формулировку третьего закона рассмотрим далее для эллиптического движения.

3.1 Определение типа орбиты

Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение (1.9) в зависимости от эксцентриситета e и фокального параметра p определяет следующие типы орбит:

p = 0	e = 0,	окружность,
p = 0	0 < e < 1,	эллипс,
p = 0	e = 1,	парабола,
p = 0	1 < e < ?,	гипербола,
p = 0	e = 1,	прямая.

Тип орбиты можно также определить по начальным условиям V0, r0 и начальному углу д0 между векторами V0 и r0, учитывая, что h = V 2 ? 2µ/r0 и c = r0V0 sin д0:sin д0 = 1,V0 =,- окружность,r0

sin д0 = 0,V0 < sin д0 = 0,V0 = sin д0 = 0,V0 >2µ,- эллипс,r0

2µ,- парабола,r0;2µ,- гипербола,

r0sin д0 = 0,V0 ? любая,- прямая.

Скорость, определяемая по формуле V=(µ/r), называется первой космической или круговой скоростью.

Такой скоростью обладает тело M при движении по круговой орбите радиуса r. Скорость V=(2µ/r называется второй космической, параболической или скоростью освобождения. Тело, обладающее такой скоростью, при t > ? удаляется от центра притяжения на бесконечное расстояние (с нулевой скоростью на бесконечности).

Далее рассмотрим явный вид зависимости истинной аномалии от времени и, в конечном счете, алгоритм расчета координат и компонент скорости как функций времени для каждого типа движения.

3.2 Круговое движение

(p = 0, e = 0)

Круговое движение представляет собой наиболее простой случай движения в задаче двух тел. Только для кругового движения (и прямолинейного движения с нулевой энергией - см. далее) координаты и компоненты скорости движущегося тела выражаются явными функциями времени. Действительно, при движения по круговой орбите радиуса r=p=a орбитальные прямоугольные координаты и компоненты скоростей представляются в виде:

, ,

, , (1.47)

где M = n(t ? ф ), n = vµ/a(3/2) - постоянная угловая скорость движения по круговой орбите.

3.3 Эллиптическое движение

(p = 0, 0 < e < 1)

Каноническое уравнение эллипса в прямоугольных координатах Oо!з! с началом O в центре эллипса и фокальной осью Oо! имеет вид

, (1.48)

где a - большая, а b - малая полуоси эллипса. Полуфокусное расстояние c = ae связано с полуосями зависимостью

a2 = b2 + c2, откуда b = a,1 ? e2, (1.49)

а фокальный параметр орбиты выражается через большую полуось и эксцентриситет формулой

p = a(1 ? e2). (1.50)

Вместе с уравнением (1.124) будем рассматривать параметрические уравнения эллипса:

о' = a cos E ,з' = b sin E ,(1.51)

где E - угол с вершиной в центре эллипса, отсчитываемый от оси Oо! в положительном направлении, т.е. против хода стрелки часов. Этот угол называется эксцентрической аномалией. На рис. 1.4 проведено построение точки M на эллипсе по заданным значениям a,b и E. Уравнения (1.54) предоставляют удобную возможность геометрического построения эллипса по ряду таких точек.

Для получения зависимости между истинной и эксцентрической аномалиями воспользуемся формулами перехода от системы координат Oо!з! к орбитальной системе M0оз в плоскости орбиты ж=0:

о=о' ? ae,з=з'. (1.52)

Учитывая (1.39), (1.41) и (1.42), получим систему двух уравнений с тремя переменными величинами r, v и E :

Если из этих уравнений исключить эксцентрическую аномалию, то получим уравнение конического сечения (1.66). Исключая истинную аномалию путем возведения уравнений (1.129) в квадрат и последующего сложения, получим зависимость полярного радиуса r и величин r ± r cos v от эксцентрической аномалии E в виде

, (1.53)

(1.54)

Выражения для (r + о) и (r ? о) с учетом (1.129) и (1.130) имеют вид

,

, (1.55)

или, переходя к половинным углам и извлекая квадратный корень, приходим к равенствам:



(1.56)

Отсюда, делением второго соотношения в на первое получим искомую связь истинной аномалии с эксцентрической:

.(1.57)

Рис. 1.4. Построение точки эллипса M=(о!,з!)=(a cos E,b sin E) по значению эксцентрической аномалии E.

Штриховые прямые, параллельные осям координат, иллюстрируют построение точки M для заданного значения эксцентрической аномалии E . Точка П - перицентр орбиты, А - апоцентр.

Для вычисления интеграла J в его левой части сделаем замену переменной интегрирования.Подставляем выражения

(1.58)

и учитываем, что E = 0 при v = 0, для интеграла J получим

(1.59)

После интегрирования получим окончательное уравнение в виде:

, (1.60)

где введены обозначения

(1.61)

Уравнение называется уравнением Кеплера, величина M в астрономии называется средней аномалией, а величина n - средним движением.

Среднее движение n есть средняя угловая скорость движения по эллипсу. При движении тела по эллиптической орбите истинная, эксцентрическая и средняя аномалии изменяются так, что половины этих углов всегда находятся в одной четверти. Таким образом, эксцентрическую аномалию E можно рассматривать как обратную функцию средней аномалии M =M (E ).

По заданному значению эксцентрической аномалии E средняя аномалия M , а вместе с ней и время t, определяются непосредственно из уравнения Кеплера. Но для вычисления траектории движения по заданным кеплеровским элементам необходимо решить уравнение в обратном направлении: определить E для заданного момента времени t, т.е. приходится иметь дело с трансцендентным уравнением, решить которое в конечном виде невозможно. Для решения уравнения Кеплера можно воспользоваться известными численными методами решения нелинейных уравнений.

Рассмотрим классическую схему метода итераций. В качестве нулевого приближения возьмем E0=M. Тогда первое, второе и последующие приближения получим по формулам:

(1.62)

Ввиду тождественного выполнения условия

(1.63)

итерационный процесс всегда сходится к истинному значению эксцентрической аномалии E . При этом чем меньше эксцентриситет, тем быстрее сходимость итерационного процесса.

Линейные размеры и форму эллиптической орбиты определяют большая полуось a и эксцентриситет e.

Постоянную энергии в эллиптическом движении можно выразить через большую полуось орбиты с помощью формул (1.49) и (1.65):

, (1.64)

где учтено, что c2/µ=p и л/µ=e.

Период обращения по орбите определяется равенством

(1.65)

Отсюда получается третий обобщенный закон Кеплера в виде

(1.66)

В отличие от формулировки закона, данной Кеплером (T 2/T 2= a3/a3), в левой части уравнения присутствует в качестве множителя сумма масс. Третий закон планетных движений в оригинальной формулировке И.Кеплера можно получить из задачи Кеплера (1.31), для которой m<m0, так что µ=f m0, в то время как в относительном движении µ = f (m0 + m).

С помощью обобщенного закона Кеплера можно определять массы планет, обладающих спутниками. Пусть m0 - масса Солнца, mp - масса планеты, ms - масса спутника планеты, причем m0>mp>ms.

или

(1.67)

где Tp и Ts - периоды обращения планеты и спутника по своим орбитам. С помощью этой формулы можно определить отношение массы планеты к массе Солнца, так как большие полуоси и периоды обращения планеты и спутника весьма точно определяются из наблюдений.

Таблица 1.1. Таблица некоторых кеплеровских элементов

p	e	i

Наряду с введенными ранее кеплеровскими элементами орбиты для эллиптического движения используются также другие элементы, например, представленные в таблице 1.1.

В этой таблице введены некоторые новые элементы: ? - угол эксцентриситета, р - долгота перицентра (измеряется двумя углами, расположенными в разных плоскостях), M0 - средняя аномалия в эпоху t0, е - средняя долгота в эпоху t0, ? + 180? - долгота нисходящего узла орбиты.

В заключение запишем алгоритм вычисления координат и скоростей в эллиптическом движении на заданный момент времени t при известных кеплеровских элементах орбиты a,e,i,?,щ и средней аномалии M0 в эпоху t0. Алгоритм задается нижеследующей сводкой формул:

В этом алгоритме направляющие косинусы б, в , г , б!, в!, г! зависят от времени, так как функцией времени является аргумент широты u. Для вычисления координат и скоростей можно применить другой алгоритм, в котором используются не зависящие от времени направляющие косинусы орбитальной фокальной системы координат. Сводка формул алгоритма:

3.4 Гиперболическое движение

(p=0,e>1)

Каноническое уравнение гиперболы в центральных прямоугольных координатах Oо!з! представляется в виде

(1.68)

где a - действительная, а b - мнимая полуоси гиперболы. Полуфокусное расстояние c=ae связано с полуосями зависимостью

,откуда , (1.69)

а фокальный параметр выражается через действительную полуось и эксцентриситет формулой

. (1.70)

Движение тела M всегда происходит только по одной ветви гиперболы: ближайшей к фокусу, в котором расположено гравитирующее тело M0, в случае притяжения тел, и удаленной от фокуса в случае их отталкивания. Мы ограничимся рассмотрением только притяжения тел.

Параметрические уравнения гиперболы:

, (1.71)

где F - угол с вершиной в центре гиперболы, отсчитываемый от направления оси Oо!. Угол F является аналогом эксцентрической аномалии, а величина H - его выражением через гиперболические функции

(1.72)

Знание величины аналога эксцентрической аномалии F дает возможность геометрического построения точки гиперболы M, (рис. 1.5). Связь между орбитальными фокальными координатами о, з и центральными координатами о!, з! имеет вид.(1.153) Аналогично эллиптическому движению можно получить два соотношения, связывающие переменные величины r, v и F:

(1.72)

Направление отсчета углов v с вершиной в фокусе гиперболы и F с вершиной в центре гиперболы взаимно противоположны, т.е. при v > 0 будет F < 0 и наоборот. Путем возведения в квадрат и последующего сложения из этих уравнений можно исключить истинную аномалию v и получить зависимость r от F:

. (1.73)

Исключение r из равенств (1.72) приводит к следующей зависимости между v и F:

(1.74)

Убедиться в справедливости такой зависимости можно путем вычисления тангенса половинного угла:

(1.75)

Зависимость между аналогом эксцентрической аномалии и временем получим после вычисления интеграла J в (1.84). Для этого в интеграле J сделаем замену переменной v на F

Рис. 1.5. Построение точки гиперболы M=(о!,з!)=(a/ cos F, b tg F ) по значению аналога эксцентрической аномалии F . Точка П - перицентр орбиты.

Учитывая

 (1.76)

для интеграла J получим

(1.77)

Проводя интегрирование и упрощение, представим результат в виде

(1.78)

Это уравнение своего имени не имеет. Его обычно называют аналогом уравнения Кеплера для гиперболического движения.

Если использовать гиперболические функции, то это уравнение принимает более простой вид. Действительно, если учесть, что

то уравнение запишется в виде

(1.79)

где , a - действительная полуось гиперболы.

Алгоритм вычисления координат и скоростей в гиперболическом движении на заданный момент времени t при известных кеплеровских элементах a,e,i,?,щ и M0 в эпоху t0

3.5 Параболическое движение

(p = 0, e = 1)

Уравнение параболической орбиты записывают в видеp r = 1 + cos v

(1.80)

где величина определяет расстояние от центра притяжения M0 до вершины параболы. Величину q называют перицентрическим расстоянием для параболы. Ее обычно используют в качестве кеплеровского элемента вместо фокального параметра орбиты p.

Для вычисления интеграла

сделаем замену переменной интегрирования по формуле

(1.81)

Учитывая, что у =0 при v = 0, а также

(1.82)

получим:

(1.83)

Вычисление определенного интеграла приводит к уравнению Баркера:

(1.84)

где введено обозначение

Определение величины у из этого уравнения по заданному времени t обычно проводят численно, так как известная формула Кардано мало пригодна для вычислений.

3.6 Прямолинейное движение

(p = 0, e = 1)

Попытка интегрирования уравнения

для прямолинейного движения не приводит к получению недостающего первого интеграла, содержащего явно время, а лишь определяет уравнение прямой в полярных координатах:

и v=const. Это уравнение показывает, что прямолинейная траектория всегда проходит через начало координат M0.

Для получения недостающего интеграла используем интеграл энергии. Модуль скорости в случае прямолинейного движения не содержит трансверсальной составляющей, т.е., а интеграл энергии (1.40) для прямолинейного движения запишется в виде

(1.85)

Разделяя переменные, приходим к квадратуре

где ф - время прохождения через перицентр, совпадающее (в прямолинейном движении) с моментом соударения тел.

Левая часть уравнения (1.174) легко вычисляется, но результат зависит от знака постоянной интеграла энергии h.

Возможны следующие три случая:

,

, (1.86)

Для заданного момента времени t в случае h=0 величины r и rя легко вычисляются в конечном виде:

 (1.87)

Для случаев h=0 при определении r приходится иметь дело с трансцендентными уравнениями, решать которые можно лишь приближенно с помощью численных методов.

Полагая, e=1, из формул эллиптического движения для определения значений r и rя получим систему уравнений:

(1.88)

определяющих прямолинейно-эллиптическое движение.

Аналогично из формул гиперболического движения получим

(1.89)

т.е. уравнения для прямолинейно-гиперболических движений.

Кеплеровскими элементами прямолинейной орбиты кроме уже использованных a, e =1 и ф являются также два угла, характеризующих направление прямой в пространстве.

Ориентация прямолинейной траектории в пространстве определяется вектором л, исходящим из начала координат M0. Направление вектора л можно задать двумя углами, например, долготой и широтой. Но чтобы для прямолинейной орбиты сохранить прежние кеплеровские элементы, необходимо из трех элементов ?, щ и i выбрать два, играющих роль долготы и широты, а третий элемент положить равным некоторому значению, сохраняющему зависимости (1.90) и (1.91). Это можно осуществить, полагая, например, i = 90?, а элементы ? и щ тогда будут определять ориентацию прямой в пространстве. Возможны и другие способы выбора угловых элементов. Общее число независимых кеплеровских элементов прямолинейной орбиты равно четырем: a,ф,? и щ.

Для случая h=0 прямолинейно-параболическая орбита будет характеризоваться тремя независимыми элементами, так как величина a из элементов исключается (a >? при h >0). Наряду с круговым движением для прямолинейно-параболической орбиты определение координат и скоростей осуществляется по конечным формулам без использования приближенных методов решения нелинейных уравнений.

,

,

,

,

,

, (1.90)

где наклонение i положено равным 90?.

Орбитальные координаты для прямолинейного движения не определены, так как не определена плоскость орбиты.

небесный орбита координата бине

Заключение

Небесная механика на протяжении всей истории ее становления была источником новых идей, методов и даже новых направлений в математике, традиционно являясь плодотворным полем приложения усилий для подавляющего большинства выдающихся ученых. Среди имен классиков точного естествознания (не только астрономов, но и математиков) практически отсутствуют такие, кто не отдал бы должную дань уважения небесной механике.

Не только в методы решения ее задач, но и в методику преподавания существенный вклад внесли и знаменитые деятели Российской науки (Л. Эйлер, М.В. Остроградский, А.М. Ляпунов, А.Н. Крылов, В.В. Степанов, И.В. Мещерский, Н.Д. Моисеев, М.Ф. Субботин, Г.Н. Дубошин).

С началом космической эры и бурным развитием космических исследований во второй половине ХХ века возникла новая научная дисциплина Астродинамика, изучающая движения искусственных небесных тел методами небесной механики. В отличие от классической небесной механики в астродинамике учитываются силы искусственного происхождения, а также различные силы негравитационной природы.

Прежде всего, это силы тяги ракетных двигателей, аэродинамические силы сопротивления среды, а также силы, возникающие от нецентральности гравитационных полей естественных тел Солнечной системы. Некоторые старые задачи небесной механики получили вторую жизнь в рамках астродинамики, где за короткое время было получено много выдающихся и даже удивительных результатов.

В курсовой работе изложены основы классической небесной механики. В главе 1 рассматриваются основы теории невозмущенного движения небесных тел, в главе 2 - основы классической теории возмущений. Глава 3 посвящена ”ограниченной задаче трех тел.

Список используемой литературы:

1. Е.П. Аксенов. Теория движения искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1977.

2. Е.А. Гребеников, А. Козак-Сковородкина, М. Якубян. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. М. Изд-во Рос. ун-та дружбы народов. 2007.

3. Е.А. Гребеников, Ю.А. Рябов. Новые качественные методы в небесной механике. М.: Наука, 1971.

4. В.Г. Голубев, Е.А. Гребеников. Проблема трех тел в небесной механике. М. Изд-во. Моск. ун-та, 1985.

5. Г.Н. Дубошин. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975.

6. Г.Н. Дубошин. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964.

7. А.П. Маркеев. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978.

8. К. Маршал. Задача трех тел. М.-Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2004.

9. В. Себехей, Теория орбит. М.: Наука, 1982.

10. М.Ф. Субботин. Введение в теоретическую астрономию. М.: Наука, 1968.

11. А. Уинтнер. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967.

12. К.В. Холшевников, В.Е. Титов. Задача двух тел. Санкт- Петербург: Изд-во СПбГУ, 2007.

13. К. Шарлье. Небесная механика. М.: Наука, 1966.

14. Е. Штифель, Г. Шейфеле. Линейная и регулярная небесная механика. М.: Наука, 1975.

15. П.Е. Эльясберг. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965.

Размещено на Allbest.ru