Косічні швидкості та закони Кеплера

Размещено на http://www.allbest.ru/

Зміст

1. Перша космічна швидкість

2. Друга космічна швидкість

3. Третя космічна швидкість

4. Закони Кеплера

1. Перша космічна швидкість

Перша космічна швидкість (кругова швидкість) - швидкість, яку необхідно надати об'єкту без двигуна, нехтуючи опором атмосфери і обертанням планети, щоб вивести його на кругову орбіту з радіусом, рівним радіусу планети. Іншими словами, перша космічна швидкість - це мінімальна швидкість, при якій тіло, що рухається горизонтально над поверхнею планети, не впаде на неї, а буде рухатися по круговій орбіті.

У інерційній системі відліку (щодо далеких зірок) на об'єкт, що рухається по круговій орбіті навколо Землі буде діяти тільки одна сила - сила тяжіння Землі. При цьому рух об'єкта не буде ні рівномірним, ані рівноприскореним. Відбувається це тому, що швидкість та прискорення (величини не скалярні, а векторні) в даному випадку не задовольняють умови рівномірності / рівноприскореного руху - тобто руху з постійною (за величиною і напрямком) швидкістю / прискоренням. Дійсно - вектор швидкості буде постійно спрямований по дотичній до поверхні Землі, а вектор прискорення - перпендикулярно йому до центру Землі, при цьому в міру руху по орбіті ці вектора постійно змінюватимуть свій напрямок. Тому в інерціальній системі звіту такий рух часто називають "рух по круговій орбіті з постійною за модулем швидкістю"

Часто для зручності обчислення першої космічної швидкості переходять до розгляду цього руху в неінерційній системі звіту - відносно Землі. У цьому випадку об'єкт на орбіті буде знаходитися в стані спокою, так як на нього будуть діяти вже дві сили: відцентрова сила і сила тяжіння. Відповідно, для обчислення першої космічної швидкості необхідно розглянути рівність цих сил.

де m - маса об'єкта, M - маса планети, G - гравітаційна постійна (6,67259 · 10-11 м і · кг-1 · с-2), v_1 \, \! - перша космічна швидкість, R - радіус планети. Підставляючи чисельні значення (для Землі M = 5,97 · 1024 кг, R = 6 378 км), знайдемо 7,9 км / с

Першу космічну швидкість можна визначити через прискорення вільного падіння - оскільки g = GM / R І, то

Космічні швидкості можуть бути обчислені і для поверхні інших космічних тіл. Наприклад на Місяці v1 = 1,680 км / с, v2 = 2,375 км / с

2. Друга космічна швидкість

Друга космічна швидкість (параболічна швидкість, швидкість звільнення, швидкість втечі) - найменша швидкість, яку необхідно надати об'єкту (наприклад, космічному апарату), маса якого пренебрежимо мала в порівнянні з масою небесного тіла (наприклад, планети), для подолання гравітаційного тяжіння цього небесного тіла. Передбачається, що після придбання тілом цієї швидкості воно не отримує негравітаційного прискорення (двигун вимкнений, атмосфера відсутня).

Друга космічна швидкість визначається радіусом і масою небесного тіла, тому вона своя для кожного небесного тіла (для кожної планети) і є його характеристикою. Для Землі друга космічна швидкість дорівнює 11,2 км / с. Тіло, що має близько Землі таку швидкість, залишає околиці Землі і стає супутником Сонця. Для Сонця друга космічна швидкість складає 617,7 км / с.

Параболічної друга космічна швидкість називається тому, що тіла, що мають другу космічну швидкість, рухаються по параболі щодо планети.

Для отримання формули другої космічної швидкості зручно звернути завдання - запитати, яку швидкість отримає тіло на поверхні планети, якщо буде падати на неї з нескінченності. Очевидно, що це саме та швидкість, яку треба надати тілу на поверхні планети, щоб вивести його за межі її гравітаційного впливу.

Запишемо закон збереження енергії

де зліва стоять кінетична і потенційна енергії на поверхні планети (потенціальна енергія негативна, так як точка відліку взята на безмежності), праворуч те саме, але на нескінченності (покоїться тіло на кордоні гравітаційного впливу - енергія дорівнює нулю). Тут m - маса пробного тіла, M - маса планети, R - радіус планети, G - гравітаційна постійна, v2 - друга космічна швидкість.

Вирішуючи це рівняння щодо v2, отримаємо

Між першою і другою космічними швидкостями існує просте співвідношення:

Квадрат швидкості втечі дорівнює подвоєному ньютонівському потенціалу в даній точці (наприклад, на поверхні планети):

Табл.1 Друга космічна швидкість на поверхні деяких небесних тіл

3. Третя космічна швидкість

Третьою космічною швидкістю називають мінімальну швидкість, яку потрібно набрати тілу (наприклад, космічному апарату) поблизу поверхні Землі, щоб воно могло, подолавши гравітаційне тяжіння Землі і Сонця, назавжди покинути Сонячну систему.

Третя космічна швидкість дорівнює приблизно 16,6 кілометра в секунду (при запуску на висоті 200 кілометрів над земною поверхнею), при цьому напрям швидкості тіла відносно Землі повинен співпадати з напрямом швидкості орбітального руху Землі.

Нагадаємо що друга космічна швидкість це мінімальна швидкість, яку потрібно набрати фізичному тілу (наприклад, космічному апарату), щоб воно могло подолати гравітаційне тяжіння небесного об'єкта (наприклад, планети або зірки) і назавжди покинути сферу його гравітаційної дії, називають параболічної швидкістю (тіло, що має таку швидкість, рухається по параболічної траєкторії).

Параболічна швидкість зменшується зі збільшенням відстані від небесного об'єкта. Параболічну швидкість біля поверхні небесного об'єкта називають другою космічною швидкістю. Для Землі друга космічна швидкість дорівнює 11,18 кілометра в секунду.

Параболічна швидкість на висоті 300 кілометрів над поверхнею Землі (рівнем моря) дорівнює 10,93 кілометра на секунду, на висоті 1000 кілометрів - 6,98 кілометра в секунду.

Для Сонця друга космічна швидкість дорівнює 617,7 кілометра в секунду, а параболічна швидкість на відстані 1 астрономічної одиниці від нашого світила (середній радіус земної орбіти) - 42,1 кілометра в секунду. Для найбільшої планети Сонячної системи (Юпітера) друга космічна швидкість дорівнює 59,5 кілометра в секунду, для найменшої (Меркурія) - 4,2 кілометра в секунду.

4. Закони Кеплера

космічна швидкість закон кеплер

Закони Кеплера описують рух планет навколо Сонця. Названі на честь німецького астронома Йоганеса Кеплера, який їх відкрив на підставі аналізу результатів спостережень отриманих датським астрономом Тихо Браге щодо руху Марса навколо Сонця.

Перший закон Кеплера

Всі планети обертаються навколо Сонця по еліптичних орбітах в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (всі орбіти планет і тіл Сонячної системи мають один спільний фокус, в якому, власне кажучи, і знаходиться Сонце).

Найближча до Сонця точка орбіти називається перигелієм, а найдальша від нього точка -- афелієм.

Ступінь витягнутості еліпса характеризується його ексцентриситетом. Ексцентриситет дорівнює відношенню відстані фокуса від центра до довжини великої півосі (середньої відстані планети до Сонця). Коли фокуси й центр збігаються, еліпс перетворюється в коло. Орбіти планет -- еліпси, які мало відрізняються від кіл; їхні ексцентриситети малі. Наприклад, ексцентриситет орбіти Землі е = 0,017.

Мал.1 Рух планети навколо Сонця

Другий закон Кеплера

Радіус-вектор планети (тіла Сонячної системи) описує за рівні проміжки часу рівновеликі площі.

Разом зі зміною відстані планети до Сонця міняється і швидкість її руху по орбіті, внаслідок чого площа, яку "замітає" радіус-вектор за певний проміжок часу, не залежить від того, в якій частині орбіти проводилося вимірювання. Площа, яку "замітає" радіус вектор за одиницю часу називається секторною (сегментною) швидкістю.

Лінійна швидкість руху планети неоднакова в різних точках її орбіти. Швидкість планети під час її руху по орбіті тим більша, чим ближче вона до Сонця. У перигелії швидкість планети найбільша, в афелії найменша. Таким чином, другий закон Кеплера кількісно визначає зміну швидкості руху планети по еліпсу.

З точки зору класичної механіки, другий закон Кеплера є проявом закону збереження моменту імпульсу.

Мал.2 Радіус-вектор планети

Третій закон Кеплера

Квадрат періоду обертання планети навколо Сонця прямо пропорційний кубу довжини великої півосі еліпса.

На відміну від двох перших законів Кеплера, що стосуються властивостей орбіти кожної окремо взятої планети, третій закон пов'язує властивості орбіт різних планет між собою. Якщо періоди обертання двох планет T1 та T2, а довжини великих півосей їхніх орбіт, відповідно, a1 та a2, то виконується таке співвідношення:

Цей закон Кеплера пов'язує середні відстані планет від Сонця з їхніми зоряними періодами і дає змогу встановити відносні відстані планет від Сонця, оскільки зоряні періоди планет уже були обчислені за синодичними періодами, інакше кажучи, дає змогу подати великі півосі всіх планетних орбіт в одиницях великої півосі земної орбіти.

Велику піввісь земної орбіти взято за астрономічну одиницю відстаней, але її значення визначили пізніше, лише у XVIII столітті.

Стале для всіх планет відношення кубу півосі до квадрату періодів є сталою для Сонячної системи і залежить лише від маси Сонця і гравітаційної сталої, як показав пізніше Ньютон:

Таким чином це співвідношення дає можливість «зважити» Сонце.

Відхилення від законів Кеплера

З погляду фізики, закони Кеплера описують рух матеріальної точки навколо нерухомого центра у межах ньютонівської теорії гравітації. Насправді на рух планети впливає сила тяжіння не лише з боку Сонця, а й з боку інших планет. Сонце має скінченну масу, а отже центр Сонця також рухається внаслідок тяжіння планет. Крім того, ньютонівська теорія не враховує ефекти, які можна розрахувати лише у рамках загальної теорії відносності. Перелічені фактори призводять до збурень -- незначних відхилень фактичного руху планет від законів Кеплера.

Размещено на Allbest.ru