Изотонная звездная сходимость

Данная работа продолжает систематическое изучение свойств звездных сходимостей, проводившееся в работах [1-3]. Наряду с конфинальными, муровскими, квазиподсетями есть еще один класс подсетей - изотонные [4]. Применив его к общей концепции звездных сходимостей в пространствах абстрактной сходимости, получаем еще один тип звездной сходимости - изотонную звездную сходимость.

Пусть - пространство -сходимости. Будем говорить, что сеть изотонно звездно сходится к точке , если каждая ее изотонная подсеть имеет свою изотонную подсеть , которая -сходится к точке . Запись: или .

Первый, возникающий после введения данного понятия, вопрос - это, в каком отношении эта сходимость находится с ранее введенными [1-3] типами звездных сходимостей? Из соотношений основных классов подсетей [4] получается:

Теорема 1

.

Для дальнейшего нам понадобится следующий результат.

Лемма. Отношение "быть изотонной подсетью сети…" транзитивно на множестве всех сетей данного пространства абстрактной сходимости.

Доказательство. Пусть сеть есть изотонная подсеть сети , а сеть есть изотонная подсеть сети . Покажем, что сеть есть изотонная подсеть сети . По условию существуют отображения и такие, что выполнены условия:

1.1 , т.е. .

1.2 .

1.3 изотонно.

2.1 , т.е. .

2.2 .

2.3 изотонно.

Построим функцию по правилу . Тогда для каждого будет , значит , т.е. . Таким образом, и первое условие изотонной подсети выполнено. Далее, зададим любое , по условию (1.2) найдем соответствующее ему такое, что . По условию (2.2) для найдем такое, что . Тогда при будет , далее , следовательно, . Итак, при будет , т.е. и выполнено второе условие изотонной подсети. Наконец, проверим изотонность отображения . Пусть . По (2.3) . По (1.3) , т.е. и - изотонно. В итоге, сеть есть изотонная подсеть сети .

Лемма доказана.

Обратимся теперь к изучению свойств изотонной звездной сходимости. В частности, нас будут интересовать свойства, связанные с аксиомами Дж. Келли класса сходимости.

Теорема 2 -сходимость имеет свойство NA2.

Доказательство. Пусть сеть изотонно звездно сходится к , - любая ее изотонная подсеть. Рассмотрим любую ее изотонную подсеть . В силу леммы - изотонная подсеть . Из -сходимости к получаем, что имеет изотонную подсеть , которая -сходится к . В силу леммы есть изотонная подсеть сети . Таким образом, каждая изотонная подсеть сети имеет изотонную подсеть, -сходящуюся к . Это и означает -сходимость сети к точке .

Теорема доказана.

Теорема 3 -сходимость имеет свойство NA3.

Доказательство. Пусть сеть не сходится изотонно звездно к . Допустим, что каждая ее изотонная подсеть имеет изотонную подсеть , -сходящуюся к . Тогда каждая изотонная подсеть сети имеет изотонную подсеть , -сходящуюся к . В силу леммы сеть есть изотонная подсеть сети . Это означает изотонную звездную сходимость к . Противоречие.

Теорема доказана.

Теорема 4 Если -сходимость удовлетворяет условию NA1, то ему удовлетворяет и -сходимость.

Доказательство. Пусть NA1 выполнено для . Рассмотрим любую изотонную подсеть сети и далее любую изотонную подсеть сети . В силу леммы - изотонная подсеть сети . Таким образом, существует отображение :

1 .

2 .

3 - изотонно.

Из условия (1) следует, что . Тогда -сходится к , а это означает -сходимость сети к .

Теорема доказана.

Исследуем соотношение сходимостей и .

Теорема 5 Если -сходимость удовлетворяет условию NA2, то

.

Доказательство. Пусть NA2 для выполнено, сеть -сходится к , - любая ее изотонная подсеть, - любая изотонная подсеть сети . В силу леммы есть изотонная подсеть . В силу NA2 -сходится к . Это означает -сходимость сети к .

Теорема доказана.

Теорема 6 Если -сходимость удовлетворяет NA3, то .

Доказательство. Пусть условие NA3 выполнено для , сеть -сходится к . Допустим, что не сходится к . В силу NA3 имеет такую изотонную подсеть , у которой все изотонные подсети не сходятся к . Но тогда не может -сходится к . Противоречие.

Теорема доказана.

Теорема 7 Данная сходимость совпадает с изотонно звездной к ней тогда и только тогда, когда удовлетворяет NA2 и NA3.

Этот результат вытекает из теорем 5 и 6.

Теорема 8

.

Вытекает из теорем 2,3,7.

Теорема 9 Если на заданы сходимости и и , то

.

Доказательство. Пусть сеть -сходится к . Тогда любая ее изотонная подсеть имеет изотонную подсеть , -сходящуюся к . В силу условия теоремы -сходится к , что и дает -сходимость к .

Теорема доказана.

Если в формулировках аксиом класса сходимости использовать изотонные подсети, то можно провести модификацию третьей аксиомы.

Теорема 10 Аксиома эквивалентна аксиоме NA3.1. .

Доказательство.

1 При выполнении для в силу теоремы 6 NA3.1 выполнено.

2 При выполнении NA3.1 допустим существование сети , для которой NA3 не выполнена. Тогда каждая изотонная ее подсеть имеет свою изотонную подсеть , которая -сходится к . Это дает -сходимость к . В силу NA3.1 получаем , что невозможно.

Теорема доказана.