Нагрузка пашни на трактор и урожайность картофеля по сельскохозяйственным предприятиям

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 10

Нагрузка пашни на трактор и урожайность картофеля по сельскохозяйственным предприятиям

урожайность линейный регрессия труд

Таблица 1

Исходные данные

Нагрузка пашни на условный эталонный трактор, га, х	11	10	8	4	10	13	10	9	11	11	12	10
Средняя урожайность картофеля, т/га, y	12	13	25	22	13	7	11	18	19	18	16	17

урожайность линейный регрессия труд

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости прибыли от производительности труда.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при а=0,05.

6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при а=0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

8. Изобразить графически линию регрессии

Решение

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:



= a + bx,

где - прибыль на одного среднегодового работника, тыс.руб.;

х - производство валовой продукции на одного среднегодового работника, тыс.руб.;

а, b - параметры уравнения.

Для определения параметров a и b необходимо составить и решить систему нормальных уравнений:

na +b?x = ?y

a?x + b?x² = ?xy

где n - число единиц совокупности.

Таблица 1.1

Расчетная таблица

	х	y	ху				у-	А=
1	11	12	132	121	144	14,4	-2,4	20,0
2	10	13	130	100	169	15,8	-2,8	21,5
3	8	25	200	64	625	18,6	6,4	25,6
4	4	22	88	16	484	24,2	-2,2	10,0
5	10	13	130	100	169	15,8	-2,8	21,5
6	13	7	91	169	49	11,6	-4,6	65,7
7	10	11	110	100	121	15,8	-4,8	43,6
8	9	18	162	81	324	17,2	0,8	4,4
9	11	19	209	121	361	14,4	4,6	24,2
10	11	18	198	121	324	14,4	3,6	20,0
11	12	16	192	144	256	13	3	18,8
12	10	17	170	100	289	15,8	1,2	7,1
Сумма	119	191	1812	1237	3315	191	0	282,4
В среднем	9,92	15,92	151	103,08	276,25	15,92	Х	Х
Ф	2,25	4,8
Ф2	5,06	23,04

Подставим данные их таблицы в систему уравнений:

12а + 119b = 191

119а + 1237b = 1812

Разделим каждый член уравнения на коэффициент при а:

а +9,9b = 15,9

а + 10,4b= 15,2

Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:

0,5b = -0,7, b= - 1,4.

Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение а:

а = 15,9 + 9,9 *( - 1,4)= 29,8

Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Коэффициент регрессии b = -1,4 показывает, что при росте нагрузки на трактор на 1 га средняя урожайность картофеля снижается на 1,4 т/га.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:



,

где % - ошибка аппроксимации.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения (таблица 1.1). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы таблицы 1.1. Отсюда:

В среднем расчетные значения средней урожайности картофеля отклоняются от фактических на 23,5%. Качество уравнения регрессии можно оценить как низкое, так как средняя ошибка аппроксимации превышает допустимый предел (8-10%) более чем в 2 раза.

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

где и - средние значения признаков.

Отсюда:

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте нагрузки на пашню на 1% средняя урожайность картофеля уменьшается на 0,87 % от своей средней величины. Следовательно, изменение урожайности картофеля не эластично т.к. коэффициент эластичности меньше 1.

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

где - средняя сумма произведения признака;

- средние квадратические отклонения по х и у.

Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в таблице 1.1.

Отсюда:

Так как коэффициент b = -1,4 (имеет отрицательное значение), следовательно, можно говорить об обратной связи.

Так как <0 и равно 0,6, то согласно таблицы Чеддока можноговорить о заметной силы связи. Коэффициент детерминации показывает, что 36% изменений объясняется различием в уровне урожайности картофеля, а 64% изменений обусловлено влиянием неучтенных факторов.

5. Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитываем t-критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное сравним с табличным (критическим) значением при принятом уровне значимости а=0,05 и числе степеней свободы v=n-2=10-2=8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равное 2,306.

Фактическое значение критерия меньше табличного, что свидетельствует о несущественной связи нагрузки на пашню и средней урожайностью.

6. Оценим значимость уравнения регрессии и показатели тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение Fфакт с табличным (критическим) значением Fтабл.

Фактическое значение Fфакт по формуле:

Табличное значение Fтабл по таблице значения F-критерия Фишера - при а=0,05,к1=m=1 и к2=n-m-1=10-1-1=8 равно 5,32 (m-число параметров при переменной х).

Фактическое значение критерия меньше табличного, что говорит о незначительности уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи, то есть они сформировались под воздействием случайных факторов.

7. Рассчитаем прогнозное значение средней урожайности картофеля при среднем росте нагрузки на пашню на 10%.

Прогнозное значение нагрузки на пашню:



Прогнозное значение средней урожайности картофеля:

Прогноз не является реальным, так как уравнение регрессии является незначительным, а связь между нагрузки на пашню и средней урожайностью картофеля является несущественной.

8. Графическое изображении линии регрессии



Задача 21

По 40 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности картофеля, количестве внесенных органических удобрений и доли посадок картофеля после лучших предшественников, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками.

Таблица 2

Исходные данные

Показатель	Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение (у)	Линейные коэффициенты парной корреляции
Урожайность картофеля с 1 га, ц	у	13,5	1,92	-
Внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т	х1	26,7	5,0
Доля посадок картофеля по лучшим предшественникам, %	х2	58	9,5

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном и естественной форме. Пояснить экономический смысл параметров.

2. Рассчитать частные коэффициенты эластичности, и сравнить их и, пояснить различия между ними

3. Определить линейный коэффициент множественной корреляции (по двум формулам), линейные коэффициенты частой корреляции, множественный и частные коэффициенты корреляции, множественный и частный коэффициенты детерминации.

4. Рассчитать с помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии.

5. С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение регрессии фактора х₁ после х₂ и фактора х₂ после х_1.

Решение

1. Уравнение множественной линейной регрессии имеет вид:

где - урожайность картофеля с 1 га, ц;

х1 - внесено органических удобрений на 1 га посадки картофеля, т

х2 - доля посадок картофеля по лучшим предшественникам, %;

a, b1, b2 - параметры уравнения.

Для расчета его параметров сначала построим уравнение множественной регрессии в стандартизированном масштабе:

где , и - стандартизированные переменные;

и - стандартизированные коэффициенты регрессии.

Стандартизированные коэффициенты регрессии определим по формулам:



где .

Уравнение множественной регрессии в стандартизированной форме имеет вид:

Стандартизированные коэффициенты регрессии позволяют сделать заключение о сравнительной силе влияния каждого фактора на урожайность картофеля. Таким образом, наиболее значительное влияние оказывает внесение органических удобрений.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b1 и b2, используя формулы перехода от к :

где и - среднее квадратическое отклонение.

Параметр а определим из соотношения:

Получим уравнение:



Так, при увеличении (или снижении) количества внесенных органических удобрений на 1т повышается (или снижается) урожайность картофеля на 0.21 (b1=0.21) ц. При увеличении (или снижении) доли высадки картофеля по лучшим предшественникам на 1% повышается (или снижается) урожайность картофеля на 0.058 (b2=0,058) ц.

Каждый из коэффициентов уравнения регрессии определяет среднее изменение урожайности картофеля за счет изменения соответствующего фактора при фиксированном уровне другого

2. Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х_{2 на} у рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

=0,413%

0,058*=0,25%

С увеличением количества внесенных органических удобрений на 1% от его среднего уровня урожайность картофеля возрастет на 0,413% от своего среднего уровня; при повышении доли посадок по лучшим предшественникам на 1% от среднего уровня урожайность возрастает на 0, 25% от среднего значения. Очевидно, что сила влияния органических удобрений на урожайность овощей оказалась большей, чем сила влияния доли посадок по лучшим предшественникам. К аналогичным выводам о силе влияния доли приходим при сравнении модулей значений коэффициентов : .

Различие в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении и , объясняется тем, что коэффициент эластичности из соотношения средних:

,

а

3. Для определения линейного коэффициента множественной корреляции используем формулу:

Коэффициент множественной корреляции показывает среднюю тесноту связи между анализируемыми признаками - внесение органических удобрений и доля посадки по лучшим предшественникам.

Этот же показатель можно определить только с использованием парных коэффициентов корреляции:

Зависимость y от х1 и х2 характеризуется как заметная

Коэффициент множественной детерминации свидетельствует, что 49% изменения урожайности картофеля определяется вариацией учтенных в модели факторов: количества внесенных органических удобрений и доли посадок по лучшим предшественникам на 49 %. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 51 % от общей вариации результативного признака y.

4. Общий F-критерий проверяет гипотезу Н ₀ о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи (R²=0): оценим с помощью общего F-критерия Фишера по формуле:

где n - число единиц совокупности; m - число факторов в уравнении линейной регрессии.

В нашем случае:

Табличное значение по таблице значений F-критерия Фишера при а=0,05, k1=m=2 и k2=n-m-1=40-2-1=37 равно 3,35.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи, которые сформировались по неслучайным воздействием факторов х1 и х2.

5. Частные критерии F - критерии Fx1 и Fx2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х1 и х2 в уравнении множественной регресиии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. Fx1 оценивает целесообразность включения вв уравнение фактора х1 после того, как в него был включен фактор х2. Соответственно Fх2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1:

Табличное значение Fтабл по таблице значений F-критерия Фишера при а = 0,05, к1 = 1, к2 = 40-2-1=37, равно 4,12

Сравнивая Fфакт и Fтабл можно сделать вывод о целесообразности включения в модель фактора х1 после фактора х2, т.к. Fх1факт = 23,9 и это больше Fтабл = 4,12.

Целесообразность включения в модель фактора х2 после фактора х1 проверяет критерий Fх2 факт

Табличное значение Fтабл. по таблице значений F-критерия Фишера при а = 0,05, к1 = 1, к2 = 40-2-1=37, равно 4,12

Т.к. Fх2факт = 6,5, что больше табличного значения, следовательно, включение в модель фактора х2 после введение в нее фактора х1 весьма значимо. Коэффициент регрессии в модели статистически значим.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Бычкова Е.Г. Эконометрика. Учебно-методическое пособие по изучению дисциплины. Издательство: ДальГАУ, 2014 - 41с.

 2. Валентинов В.А. Эконометрика: Практикум. 3-е издание. Издательство: Дашков и К, 2010.- 436с. Электронно-библиотечная система «Лань»

3.   Елисеева И. И. Эконометрика. Учебник. М.: Финансы и статистика, 2003. -344с.

4. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. Учебник, 8-е изд. испр. - М.: Дело, 2007.-504с.

5. Новиков А.И.Эконометрика: Учебное пособие для бакалавров Издательство: Дашков и К, 2013. - 224 с. Электронно-библиотечная система «Лань».

6. Яковлев В.П.Эконометрика: Учебник для бакалавров. Издательство: Дашков и К, 2016.- 384 с. Электронно-библиотечная система «Лань»

Размещено на Allbest.ru