Определение объемов древесных стволов и их частей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение объемов древесных стволов и их частей

Методы определения объемов стволов

При учете лесных богатств страны главное внимание уделяется определению запаса древесины. Запас древесины выражается в основном в объемных величинах - кубометрах. Общая кубатура древостоя складывается из объема отдельных деревьев. Поэтому первичная задача при таксации лесов - нахождение объемов отдельных деревьев или их частей.

Для начала рассмотрим методы нахождения объема срубленных стволов, т.к. в этом случае мы можем провести любые измерения, многие из которых сделать на растущем дереве затруднительно. На срубленном дереве достаточно просто измерить его длину (высоту) и диаметр в любом месте дерева. Из курса математики мы знаем, что есть много формул для определения объема различных тел вращения: шара, цилиндра, параболоидов разных степеней, конуса, нейлоида. Поэтому, казалось бы, что найти объем дерева не сложно.

На самом деле это не так. В отношении древесного ствола дело осложняется тем, что дерево не является каким-то одним определенным телом вращения, т.е. точное нахождение его объема с помощью элементарных формул невозможно. К тому же следует учитывать, что определение объема ствола не должно отнимать много труда и средств, т.е. быть рациональным и экономически обоснованным. Для определения объемов и массы любых тел есть надежные физические методы измерения - весовой и ксилометрический.

Ксилометрический способ основан на известном законе физики: тело, погруженное в жидкость, вытесняет ее в объеме, равном своему объему. Весовой способ основан на другом законе физики: тело, погружаемое в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Для взвешивания разных предметов существует много разновидностей весов - от очень точных, учитывающих доли грамма, до таких, где взвешивают машины и вагоны.

Прибор для измерения объема древесной массы первым способом называется ксилометром (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 Ксилометры

Ксилометр представляет собой металлический цилиндр или ёмкость иной формы. Ксилометр с переменным уровнем воды имеет сбоку цилиндра кран, в который выставлена стеклянная трубка. Позади трубки установлена шкала. Шкала может быть подвижной и неподвижной. Есть и другие конструкции этого прибора, имеющего меньший или больший объем.

Ксилометр наполняют водой до уровня, совпадающего с нулевым делением шкалы. Если шкала подвижная, совмещение уровня воды с нулевым делением достигается путем передвижения шкалы.совместив нуль шкалы с уровнем воды в трубке. Затем погружают в воду кусок древесины и, чтобы он не всплывал, давят на него металлическим сетчатым кругом. Круг снабжен стержнем, закрепленным вверху ксилометра.

При погружении куска древесины уровень воды повысится. Число делений на шкале, соответствующее этому уровню, и составляет объем куска в принятых для ксилометра объемных единицах. Отсчет нужно проводить возможно быстрее, чтобы часть воды не успела впитаться в погруженную древесину.

Ксилометр с постоянным уровнем на определенной высоте также имеет кран. При пользовании таким ксилометром его наполняют водой до уровня крана и погружают в цилиндр кусок древесины. По количеству воды, которое при этом выльется через края, определяют объем погруженного куска.

В США проф. Г. Янгом сконструирован горизонтальный ксилометр размерами 70х70х610 см. Он изготовлен из древесины, пропитанной креозотом. Между древесиной, погружаемой в воду, и жидкостью предусмотрена прокладка из полиэтиленовой пленки для предохранения испытываемой древесины от смачивания. Ксилометр имеет счетное устройство с варньером. Точность отсчета - 0,0001 куб. фут.

Ксилометрический способ точен, но трудоемок и дорог. Его применяют при научных исследованиях, когда нужно определить объем относительно небольшого количества древесины. В Беларуси объем вырубаемой древесины достигает 14 - 15 млн. м³, в России - 250 - 300 млн. м³, а во всем мире он исчисляет в 4 - 5 млрд. м³. Понятно, что медленный и дорогой ксилометрический способ для исчисления таких объемов древесины не годится.

Сравнительно прост и дешев весовой способ измерения массы тел. Он успешно применяется для учета многих миллионов тонн зерна, металла, удобрений и других материалов. По весу нетрудно замерить и древесину. Осложняющим обстоятельством, затрудняющим применение этого метода, является различие в весе древесины в зависимости от ее влажности. При потере влаги древесина становится легче, причем эта потеря может происходить с неодинаковой скоростью. Наряду с потерей древесина способна и впитывать влагу. Чтобы привести вес древесины к «общему знаменателю» нужно проводить трудоемкие анализы. Поэтому по весу учитывают лишь небольшое количество наиболее ценной древесины, например, березу карельскую. Ее древесина ценится в 20 - 30 раз дороже, чем у обычной березы повислой. В силу описанных обстоятельств учет древесины во всем мире выполняют в основном в объемных единицах.

Для учета объемов деревьев необходимо знать форму древесных стволов - поперечную и продольную. Учитывая недостатки описанных методов, в практике лесной таксации объёмы древесных стволов определяют с помощью различных математических формул. При этом проводят замеры диаметров дерева на различной высоте и измеряют высоту дерева. Эти замеры позволяют сделать математическое описание поперечной и продольной формы стволов.

Форма древесных столов. Образующая древесного ствола

Поперечная форма древесного ствола

Дерево состоит из корней, ствола, ветвей и сучьев, образующих крону. Наиболее ценной частью дерева, на долю которой приходится в среднем 60 - 85 % его объема, является ствол. Поэтому определение объема ствола составляет одну из главных задач лесной таксации.

Древесный ствол, как и отдельные его части, имеет некоторое сходство с правильными стереометрическими телами. Поэтому при определении объемов растущих и срубленных деревьев или частей ствола могут быть применимы законы и правила стереометрии.

Форма древесных стволов весьма разнообразна. У деревьев, выросших в густом лесу, стволы более правильной формы, у одиночно растущих деревьев - обычно неправильной, при этом у них сильно развита крона (рисунок 5.2).



Рисунок 5.2 Деревья, выросшие в насаждении (слева) и на свободе

Поперечные срезы древесных стволов, или, как принято их называть, поперечные сечения, по форме напоминают круги или эллипсы. Исследования показали, что у хвойных пород взаимно перпендикулярные диаметры в нижней трети ствола в среднем различаются на 3,7 %, а в средней части ствола - на 3,1 %.

Форму поперечных сечений древесных стволов уже более 100 лет назад детально изучали С.Е. Осетров и проф. В.Я. Добровлянский. С.Е. Осетров исследовал форму поперечных сечений (в коре), расположенных на высоте 1,3 м от шейки корня, у 27 еловых, 13 сосновых и 10 лиственных деревьев. Контуры срезов стволов были перенесены на бумагу и площади их исчислены геометрическим способом.

На рисунке 5.3 показан контур поперечного сечения ствола, разделенный на секторы поперечными линиями. Каждый сектор разбит в свою очередь на полоски одной шириной 2 см. посередине каждой полоски проведена пунктирная линия, обозначенная буквойК с соответствующим индексом.

Рисунок 5.3 Схема измерения площади поперечного сечения ствола

Площади полосок р определены по формуле Симпсона, применяемой в математике при приближенном решении интегралов:

, (5.1)

, (5.2)

. (5.3)

Площадь всего сектора Р₁ будет равна сумме площадей полосок:

(5.4)

Площадь поперечного сечения ствола будет равна сумме площадей трех секторов и четырех треугольников:

Р_общ=Р₁+Р₂+Р₃+4?. (5.5)

У исследованных деревьев обмерены были с точностью до 1 мм наибольший б, наименьший bи два взаимно перпендикулярных б1 и b1 диаметра. По этим диаметрам были вычислены площади поперечных сечений обмеренных стволов.

Площади поперечных сечений, найденные по формуле (5.4), требующей разделения срезов на полоски, приняты за истинные, а отклонения площадей сечений, вычисленных по формулам круга и эллипса, выраженные в процентах. Полученные результаты приведены в таблице 5.1.

На основании данных таблицы 5.1 можно заключить, что формы поперечных сечений древесных пород в коре не представляют правильных геометрических фигур, а лишь приближаются к ним. Формулы эллипса и круга преувеличивают площади поперечных сечений стволов. Наибольшее преувеличение (3,45 - 5,25%) оказалось у лиственницы, сосна занимает среднее положение (1,77 - 2,71 %), наименьшее преувеличение дала ель (0,81 - 1,07 %). Формулы эллипса и круга дают близкие результаты.

Таблица 5.1 - Отклонения площадей поперечных сечений, вычисленных по формулам эллипса и круга, от истинных (по данным С.Е. Осетрова)

Характер отклонения	Отклонения, % площадей, вычисленных по формуле
	эллипса	круга	эллипса	круга
1	2	3	4	5
Ель
Среднеарифметическое	+0,81	+0,94	+1,04	+1,07
Наибольшее положительное	+2,51	+2,68	+3,21	+3,23
Наибольшее отрицательное	-0,39	-0,28	-0,30	-0,26
Сосна
Среднеарифметическое	+1,77	+1,93	+2,66	+2,71
Наибольшее положительное	+5,35	5,46	+6,12	+6,13
Лиственница
Среднеарифметическое	+3,45	+3,55	+5,23	+5,25

Проф. В.Я. Добровлянский исследовал девять сосновых стволов, разрезав их на части длиной 2,13 м. Каждый срез в коре и без коры он переносил на кальку и площади их вычислял планиметром. Результаты его исследований, дополнительно обработанные проф. А.В. Тюриным, приведены в таблице 5.2.

Таблица 5.2 - Отклонения площадей поперечных сечений, вычисленных по формуле эллипса, от истинных

Характер отклонения	Отклонения, % площадей, вычисленных
	По формуле эллипса на высоте от пня, м	По формуле эллипса на высоте от пня, м
	2,13	10,65	21,3	2,13	10,65	21,3
В коре
Среднеарифметическое	+3,5	0,0	0,0	+3,5	+1,7	-0,2
Наибольшее положительное	+8,4	+2,7	+1,2	+6,4	+3,8	+4,2
Наибольшее отрицательное	-	-1,6	-2,4	-	-0,1	-5,2
Без коры
Среднеарифметическое	+0,2	-0,3	+0,8	+0,1	+1,3	+1,1
Наибольшее положительное	0,15	+1,4	+2,9	+1,9	+3,9	+4,3
Наибольшее отрицательное	-0,7	-1,4	-4,0	-0,7	-0,8	-2,1

Наиболее близкие к истинным получаются площади сечений, вычисленные по формуле эллипса, определяемой по наибольшему и наименьшему диаметрам. Менее точные результаты получаются при определении площадей эллипсов по двум взаимно перпендикулярным диаметрам. Наибольшее приближение площадей эллипсов наблюдается в средней (10,65 м) и верхней (21,3 м) частях стволов. Формула эллипса преувеличивает площадь сечения в коре нижней части ствола (2,13 м), что объясняется неровностями и трещинами коры в этой части ствола. Поперечные сечения стволов сосны без коры во всех частях ствола близки к площади эллипсов.

Сопоставление данных С.Е. Осетрова и В.Я. Добровлянского показывает, что при определении поперечных сечений нижней части ствола по формулам круга и эллипса погрешность исчисления возрастает с увеличением высоты измерения. В среднем она равна 1 %. У деревьев с толстой корой эта разница достигает 2 - 3 %, а с очень толстой - 4 - 5 %. При вычислении площадей поперечных сечений окоренных стволов формулы круга и эллипса дают для любого сечения по всей высоте ствола преувеличение на 0,5 - 1 %.

В широкой таксационной практике ошибки, не превышающие приведенных выше, считаются неизбежными. Поэтому площади поперечных сечений находят по формуле круга, обеспечивающей точность до 3 %.

Площади кругов по сравнению с эллипсами дают незначительное превышение, вытекающее из следующего теоретического расчета:

(5.6)

При равенстве б и b площади эллипса и круга равны. По мере увеличения разницы между величинами б и b расхождения в площадях увеличиваются.. Таким образом, мы видим, что определение площади поперечного сечения по формуле круга не приводит к значимым ошибкам.

Поэтому в практике поперечные площади сечений деревьев определяют как площадь круга. При проведении научных исследований, чаще всего, измеряют два противоположных диаметра дерева и выводят среднее значение. Еще более точные результаты получают, обмеряя окружность ствола рулеткой. Этот метод, как правило, используют при работе на постоянных пробных площадях, которые именуют стационарами.

Разница в диаметрах отдельных деревьев в древостое, которые измеряют в одном направлении, например, север-юг, носит случайный характер. Это значит, что отклонения от среднего значения, вычисленного по измерениям диаметров в двух взаимно перпендикулярных направлениях, со знаком (+) и (-) примерно равны и взаимно погашаются. Поэтому в практике диаметры деревьев измеряют в одном выбранном направлении, что удовлетворяет требования к точности определения объемов ствола.

Форма продольных сечений древесных стволов

Продольная образующая древесного ствола

Если древесный ствол разрезать по сердцевине вертикальной плоскостью, то в сечении получится фигура, ограниченная кривой, которая расположена симметрично по отношению к вертикальной оси. При таком положении можно древесный ствол рассматривать как тело вращения, ограничиваемое некоторой кривой. Зная уравнения этой кривой, можно определить объем ствола (рисунок 5.4).

Рисунок 5.4 Кривые, используемые для описания образующей древесного ствола

Многочисленные исследования кривых, описывающих форму ствола, показали, что они неправильны и непостоянны. Уравнения, точно определяющего характер этих кривых, до сих пор не найдено.

Определить объем ствола аналитически можно было бы в том случае, если бы для каждого ствола было известно уравнение его поверхности: F(x, y, z) = 0, т.е. вид функции F. Зная уравнения поверхности ствола, можно было бы вычисление его объема свести к интегрированию некоторой заданной функции.

Отсутствие общего уравнения поверхности ствола заставляет ограничиваться методом приближенном вычислений. Степень точности получающихся при этом результатов может быть очень высокой. Она зависит от погрешностей измерений, используемых в качестве основы при вычислении объемов.

Для упрощения исходят из предположения, что ствол есть тело вращения. В этом случае всякое сечение ствола плоскостью, перпендикулярной его продольной оси, есть круг. Однако изучение поперечного сечения ствола показало, что оно не является кругом. Поэтому, рассматривая древесный ствол как тело вращения, допускают определенную условность.

Ошибки в определении объема ствола, принятого за тело вращения, при таксации не превышают допустимых погрешностей. Если ствол считать телом вращения, задачу по определению его объема можно значительно упростить. В этом случае вопрос будет решаться не при помощи геометрии в пространстве, а посредством геометрии на плоскости и вместо изучения поверхности ствола будет изучаться его образующая.

Многочисленные исследования показали, что образующая древесного ствола слишком сложная кривая и на всем протяжении не может быть представлена одним аналитическим уравнением элементарной функции.. Правильнее ее рассматривать как сочетание разных кривых. Поэтому и древесный ствол ближе к телу, состоящему из различных тел вращения.

В нижней части ствола образующая обычно имеет вогнутую форму, на большей части протяжения ствола она выпуклая и лишь на сравнительно коротких участках приближается к прямой.

Отрезки образующей ствола со значительной степенью точности характеризуются уравнением:

y^a=cx^b, (5.7)

где y - радиус поперечного сечения ствола;

c - постоянный коэффициент;

x - расстояние этого сечения от вершины кривой.

Это уравнение характеризует обширный класс кривых, в аналитической геометрии называемых параболами. В числе этих парабол наиболее распространенная парабола второго порядка является частным случаем, когда показатель степени b равен 1, а показатель степени a равен 2:

y²=cx. (5.8)

Все такие кривые такого рода проходят через начало координат , в котором находится вершина кривой.

По соотношению показателей степеней левой и правой частей уравнения можно судить о характере кривой. Если a>b, кривая оказывается выпуклой, еслиа<b- вогнутой. Изменяя значение показателей степени а и b, можно построить такую кривую, которая будет очень мало отклонятся от кривой, построенной на основании фактических обмеров ствола. При вращении кривых вида y^a=cx^b вокруг оси абсцисс получаем параболоиды вращения различных порядков. Кривые, являющиеся образующими параболоидов, характеризуются уравнением:

у²=Ах^m, (5.9)

гдеА - параметр, определяющий размер кривой;

m - показатель степени, характеризующей форму кривой.

Способы определения объема ствола основываются на принятии вида образующей ствола, характеризующейся уравнением 5.9.

У отдельных древесных пород в разных условиях роста и в разных частях ствола показатель степени mизменяется от 0 до 3. В зависимости от значения m уравнение принимает следующий вид:

приm =0 y²=A (5.10)

приm =1y²=Ax (5.11)

приm =2y²=Ax² (5.12)

при m=3y²=Ax³ (5.13)

В первом случае формула (5.10) - это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс. При вращении ее вокруг оси абсцисс образуется цилиндр. Во втором случае - формула (5.11) - это уравнение параболы второго порядка. В третьем случае - формула (5.12) - две пересекающиеся прямые при вращении образуют обыкновенный прямобокий конус. И, наконец, в последнем случае - формула (5.13) - это уравнение носит название уравнения параболы Нейля, а при вращении кривой такого рода получается нейлоид.

Отдельные части ствола приближаются к этим четырем геометрическим формам: нижняя - к нейлоиду, срединная (отдельные короткие отрезки) - к цилиндру, вершинная - к конусу, а большая часть - к параболоиду второго порядка.

Д.И. Менделеев для определения объемов применил уравнение кубической параболы, характеризующее образующую древесного ствола. Исследования, проведенные лесоводом И. Белановским, подтвердили, что уравнения параболы могут быть использованы для изучения формы древесных стволов. Уравнение кубической параболы имеет следующий вид:

y=a+bx+cx²+dx³

где y - полудиаметры ствола на различной высоте;

x - расстояние от шейки корня до места измерения диаметров;

a,b,c,d- некоторые постоянные коэффициенты.

Если на древесном стволе измерить ряд полудиаметров y, отстоящих на разных расстояниях от шейки корня, и эти полудиаметры выразить в относительных числах по сравнению с полудиаметром на шейке корня, то в конечном счете, решая систему уравнений, можем найти неизвестные величины (a,b,c,d), т.е. некоторые постоянные для древесного ствола коэффициенты. Подставив их в вышеприведенную формулу, получим конкретное уравнение, характеризующее кривую данного древесного ствола. По этому уравнению можно определить диаметры ствола в промежуточных сечениях, непосредственно не обмерявшихся.

Допустим, что у ствола диаметр на 1/4 высоты (или на 1/4х) оказался равным 0,69, на 1/2 высоты (или на 1/2х) 0,55 и на 3/4 высоты (или на 3/4х) 0,35 диаметра нижнего сечения ствола. Приняв х, или полную высоту ствола, за единицу, а диаметр в вершине ствола равным нулю, можем написать следующие четыре уравнения:

;

;

;

0=a+b1+c1+d1=a+b+c+d.

Решив систему уравнения с четырьмя неизвестными, находим коэффициенты: a = 0,8; b = - 0,5; c= 0,3 и d = - 0,6. Величины этих коэффициентов подставим в уравнение:

y=a+bx+cx²+dx³ = 0,8 - 0,5x+ 0,3x² - 0,6x³.

Решение подобных задач показывает, что такие уравнения довольно хорошо характеризуют кривую, являющуюся образующей ствола на протяжении от 1/8 и примерно до 3/4 его длины, считая от комля. Нижняя, комлевая часть вследствие корневых наплывов имеет иной вид. Вершинная часть ствола по форме весьма изменчива, и ее образующая плохо характеризуется приведенным общим уравнением.

При исследовании несущих органов однолетних и многолетних растений ботаник С. Швенденер обнаружил, что форма их стеблей очень близка к форме бруса равного сопротивления. Такая форма стеблей позволяет растениям достигать наибольшей прочности при наименьшей затрате органического вещества.

К. Метцгер развил эту теорию дальше. Он исследовал стволы ели и вывел две формулы для определения их размеров. При этом К. Метцгер исключал из всех расчетов ветровую силу и переходил к определению относительных размеров ствола, используя какой-нибудь исходный диаметр. В качестве исходного значения он взял диаметр у начала кроны (рисунок 5.5).

На основе того, что у бруса равного сопротивления кубы диаметров любых сечений ствола равны расстоянию от этих диаметров до центра тяжести кроны, диаметры ствола до начала кроны К. Метцгер определял по следующей формуле:

, (5.14)

где d_x - любой диаметр ствола до начала кроны;

д - диаметр у начала кроны;

k- длина кроны;

s -расстояние от d_x до начала кроны.



Рисунок 5.5 - Схема, иллюстрирующая изменение толщины ствола как бруса равного сопротивления

К. Метцгер считает изменение ветрового давления, действующего на крону, прямо пропорциональным изменению квадрата ее базиса и высоты, если она имеет форму треугольника. На основании этого получим:

, (5.15)

где d_x - любой диаметр внутри кроны;

k- длина кроны;

k₁ -расстояние от вершины кроны до d_k.

По мнению русского таксатора-практика П.Д. Козицына, диаметры стволов у безядровых древесных пород, взятые на различном расстоянии от точки приложения силы, опрокидывающей ствол, находятся в следующем соотношении (рисунок 5.5):

::=1₁:1₂:1₃. (5.16)

В этой пропорции:

,, - диаметры ствола в соответствующих сечениях;

1₁, 1₂, 1₃ - расстояния от точки приложения силы до указанных диаметров.

Стволы ядровых древесных пород, по мнению П.Д. Козицына, построены по законам полного бруса равного сопротивления. Диаметры ядровых пород и соответствующие им расстояния от точки приложения силы находятся в следующем соотношении:

::=1₁:1₂:1₃. (5.17)

Сопоставление данных, полученных при измерении диаметров и вычислении их по приведенным формулам, показывает, что хотя полностью они и не совпадают, но близки между собой.

В. Гогенадль считает, что при формообразовании ствола решающее значение имеет собственный вес дерева. В. Гогенадль рассматривает собственный вес дерева как сжимающую силу. Для определения размеров той части ствола, которая расположена ниже начала кроны, В. Гогенадль дает довольно сложную формулу, учитывающую объемный вес древесины, ее прочность на сжатие и диаметр у начала кроны.

Л. Тирен, исследовавший этот вопрос с математической стороны, пришел к выводу, что теория В. Гогенадля не выдерживает критики. Нельзя признать верным, что форма ствола зависит, прежде всего, от воздействия незначительных сил собственного веса дерева и что намного больше силы (изгиб) не оказывают на нее никакого влияния.

Виндгиш отмечает, что теория В. Гогенадля противоречит процессу роста дерева. По его формуле должны расширяться годичные слои в нижней части ствола. На самом деле наблюдается обратное явление. Наиболее широкие годичные кольца находятся в подкронной части ствола.

А. Илинен считает, что на форму ствола влияют одновременно несколько сил: собственный вес дерева как сжимающая и изгибающая сила и изгибающие моменты, вызванные действием ветра на крону и на ствол. На основе детальных исследований кроны ствола (изучение ее сопротивляемости, изменения ветровой скорости в разных местах кроны) этот учёный строит «редуцированную ветровую площадь» кроны, имеющую форму трапеции. Он приходит к выводу, что укорочение и растяжение крайних древесных волокон по всей длине ствола постоянно, а это означает, что форма ствола зависит от модуля упругости. В разных местах ствола модуль упругости различен.

На основании этого А. Илинен приравнивает форму ствола к форме бруса равного сопротивления. Для комлевых наплывов он выдвигает гипотезу о нелинейном распределении напряжения по поперечному сечению, которое ведет к расширению нижней части ствола. Решение проблемы комлевых наплывов с точки зрения теоретической механики очень трудно. Поэтому А. Илинен находит весьма сложное, но хорошо отображающее форму комлевых наплывов, эмпирическое уравнение. Теоретическое объяснение А. Илиненом зависимости формы ствола от протяженности кроны, безусловно,заслуживает внимания.

В 1913 г. П. Жаккард выдвинул свою транспирационную теорию. В ней он рассматривает дерево как тело равной водопроводимости. Между транспирационной поверхностью кроны и водопроводящей площадью поперечного сечения ствола существует, по П. Жаккарду, такая зависимость:

, (5.18)

где TF- транспирационная поверхность кроны;

LF- водопроводящая площадь поперечного сечения ствола.

П. Жаккард считал, что различная интенсивность транспирации кроны, которая зависит не только от величины поверхности кроны, но и от температуры, движения воздуха и т.д., регулируется скоростью водоподачи в верхние части ствола. Поэтому он полагал, что и уравнение (5.18) остается верным при различной интенсивности транспирации.

Однако правильность этого еще не доказана. Кроме того, до сих пор точно не установлено, сколько годичных слоев и какая площадь внутри одного слоя принимают участие в водоподаче. Некоторые исследователи (например, Рубнер) отрицают постоянство водопроводящих площадей.

В Швеции образующую древесных стволов, противостоящих разрушительным действиям ветра, собственного веса и веса кроны, рассматривают как логарифмическую кривую. Шведский учёный Гойер при характеристике сбега древесных стволов и определении диаметров сортиментов образующую древесных стволов приравнивает к логарифмической кривой и характеризует следующим уравнением:

d:D=Clg [(c+L):c], (5.19)

где d - диаметр ствола на расстоянии L от вершины (L определяют в процентах от высоты ствола, уменьшенной на 1,3 м);

D - диаметр ствола у основания, но чаще всего он берется на высоте груди;

С и с - некоторые постоянные коэффициенты.

Для стволов осины это уравнение имеет следующие параметры:

.

Диаметры, исчисленные по этому уравнению, в средней части ствола наиболее близки к действительным.

Рассматривая формирование древесных стволов, происходящее под влиянием ветра и силы тяжести, и учитывая при этом законы механики, можно, хотя и с некоторым приближением, установить диаметры ствола в разных сечениях. Полного же совпадения теоретически найденных диаметров с фактическими не наблюдается, так как древесный ствол, являющийся составной частью живого организма, формируется не только под влиянием механических сил, но и под воздействием физиологических процессов.

Поэтому действительная форма стволов оказывается сложнее, чем брусьев равного сопротивления, изготовляемых по законам механики. Математические модели продольной формы ствола позволяют более адекватно описать образующую ствола, а с её помощью вычислить его объём.

Из всего вышеизложенного вытекают, что, если вывести уравнение образующей древесного ствола то, вращая ее вокруг центральной оси, несложно вычислить объем образованного тела вращения. Это соображение стало отправной точкой многих исследований по установлению уравнения продольной образующей древесного ствола, которую при дальнейшем изложении будем называть просто образующей.

Наиболее интенсивно эти работы проводились в последние 40 лет. В этот период универсальную образующую древесного ствола пытались вывести многие ученые: К.Е. Никитин, А.Г. Мошкалев, И.И. Гусев, Н.Г. Воинов, А.Н. Петровский, В.П. Машковский, И.В. Толкач и другие. Эти работы стали весьма актуальны в связи с потребностями лесопильного производства, где требовалось автоматизировать и оптимизировать раскряжевку стволов.

Наиболее простым решением представляется здесь использование уравнений полиномов высоких степеней. Действительно, повышая степень полинома до п-1, где п - число замеров, мы можем провести линию практически по всем точкам замеров. На практике оказывается достаточным и даже предпочтительным увеличением степени полинома до 6 - 8. В этом случае отклонения выровненных значений диаметра в точках замера практически отсутствуют, не превышая в редких случаях 1 - 3 мм. Учитывая условия проведения измерений, точность измерительных приборов и ошибки исполнителя, такую точность вычисления диаметров в точках замеров можно считать достаточной.

Но уравнения образующей, выраженные полиномами высоких степеней, имеют существенный недостаток. Хорошо отражая характеристики конкретного ствола, они не могут быть использованы в качестве общей модели из-за значительного варьирования формы стволов. Поэтому высокие степени полиномов для описания образующих применяют, когда надо получить данные лишь о конкретном стволе.

Этот метод взят на вооружение В.Ф. Багинским при нахождении промежуточных (лежащих между проведенными замерами) диаметров на конкретных модельных деревьях для вычисления диаметров сортиментов в их верхнем отрезе, который обычно не совпадал с точками замера, выполняемыми через 1 или 2м. При этом уравнение образующей вычислялось для каждого измеряемого ствола.

Для получения образующей ствола, которая может отражать общие закономерности, исследователи снижали степень полиномов, до 4 - 5: Н.Т. Воинов, А.Н. Петровский, И.И. Гусев. Но в этом случае величина ошибок, причем не всегда случайных, возрастала.

Названное обстоятельство вызвало к жизни исследования более сложных формул, описывающих образующую. Значительных успехов здесь достигли ученые кафедры лесоустройства и лесной таксации Белорусского государственного технологического университета: В.П. Машковский, И.В. Толкач, С.С. Цай и др. Предложенные ими формулы «работают» лучше вышеописанных, хотя тоже не лишены недостатков.

Плодотворным оказалось другое направление при описании образующей, которое почти 50 лет назад предложил К.Е. Никитин. Он применил для названных целей сплайн - функцию. Известно, что самая нижняя часть ствола, где имеются корневые наплывы, близка к нейлоиду. Затем на протяжении 4 - 6 м ствол уподобляется цилиндру. В своей средней части он близок к параболоиду. При этом этот отрезок можно разделить на 2 участка, где параболоиды будут иметь разную степень. Вершина дерева близка к конусу. Руководствуясь описанным подходом, К.Е. Никитин определял объемы стволов для составления украинских сортиментных таблиц, вышедших в 1985 году. При таком подходе высокая точность наблюдается при экономии трудовых затрат на обмер модельных деревьев, где измерения проводят в 5 - 8 точках. Это направление развивается и в БГТУ (Рябов и др.).

Формулы для определения объема ствола

По диаметрам, измеренным на разной высоте по стволу, определяемым по приведенным выше уравнениям, могут быть найдены площади поперечных сечений древесных стволов по следующей формуле:

g=A+Bx+Cx²+Dx³, (5.20)

где g - площадь поперечного сечения ствола;

х - расстояние от шейки корня до рассматриваемого сечения;

A,B,C,D - некоторые постоянные коэффициенты.

Определив площади поперечных сечений стволов, легко найти объем ствола или его части V. Этот объем можно рассматривать как сумму бесконечно тонких поперечных отрезков, имеющих высоту dxи площадь основания g.

Соответственно этому:

. (5.21)

Подставим вместо gего значение, вычисленное по формуле (5.21):

. (5.22)

Первообразная для xⁿбудет функция , отсюда

. (5.23)

Для определения объема ствола или его части сначала можно ограничиться двумя членами подынтегрального выражения. В этом случае:

g=A+Bx (5.24)

. (5.25)

Для нахождения коэффициентаА и В берут два конкретных сечения: g₀у основания ствола и g_L- на расстоянии Lот шейки корня (рисунок 5.6). Затем составляют два уравнения, определяющих площади этих сечений:

g₀=A+Bx₀иg_L=A+Bx_L. (5.26)

в этих уравнениях x₀ = 0, x_L = L. Поэтому можем написать:

g₀=A;g_L=A+BL. (5.27)

Решая последнее уравнение относительноВ, получим:

. (5.28)

Подставив в формулу (5.23) вместоА и В вычисленные значения этих коэффициентов и вместо х равную ему величину L, получим:

. (5.29)

Эта формула (5.29) в лесной таксации называется простой формулой Смалиана.

Рисунок 5.6 Схема определения объёма ствола по простым формулам

Возьмем одно поперечное сечение на половине целого ствола или его части, а второе в тонком конце. Местоположение первого сечения определяется величиной , а второго - на расстоянии Lот основного ствола. Обозначив первое сечение через , а второе g_Lможно написать:

; (5.30)

Обе части первого уравнения увеличим в 2 раза:

,

Из первого уравнения вычтем второе:

, (5.31)

Заменим во втором уравнении величинуА выражением , получим:

. (5.32)

Подставим найденные значенияА и Вв основную формулу (5.23):

,

Заменив х через L, получим:

. (5.33)

Обозначим поперечное сечение на половине ствола или его части греческой буквой г (гамма), тогда формула примет следующий вид:

. (5.34)

Эта формула (5.34) основная в лесной таксации. Она называется формулой срединного сечения, или формулой объема цилиндров. Впервые она была применена лесоводом Губером. В связи с этим ее называют простой формулой Губера.

Чтобы вывести следующую формулу, первое поперечное сечение возьмем на расстоянии от комля, равном 1/3 высоты ствола, а второе - в верхнем конце ствола или его отдельной части, обозначив первое сечение через и второе через.

Соответственно этим условиям составляем два уравнения:

;

Увеличим в 3 раза обе части первого уравнения, получим:

Из полученного уравнения вычтем второе:

Отсюда:

Заменив во втором уравненииА выражением , находим, что

.

Подставим в основную формулу (5.32) найденные значенияА и В и заменив х через L, получим

; (5.35)

Эта формула (5.35) называется формулой Госфельда.

Для целых стволов, у которых площадь поперечного сечения в верхнем конце равна нулю, формула Госфельда будет иметь такой вид:

. (5.36)

В рассмотренных трех формулах были использованы два члена подынтегрального выражения. Для получения более точного результата можно взять три члена подынтегрального выражения.

В этом случае:

g=A+Bx+Cx²,

а объем ствола или его части

.

Для нахождения коэффициентов A, Bи C составляют три уравнения, определяющие площади поперечных сечений: в комлевом конце, на середине и в верхнем конце ствола или его части.

; ; .

х₀ = 0, отсюда g₀ = А. Заменив А через g₀, будем иметь

, .

Обе части первого уравнения увеличим в 4 раза:

Из этого уравнения вычтем второе:

Следовательно,

.

Заменив во втором уравнении BLвыражением , получим:

.

При трех членах подынтегрального выражения объем ствола или его части равны

.

Заменив х через L, получим

. (5.37)

Подставив вместо A, Bи C ранее найденные величины, будем иметь:

Обозначив площадь сечения на середине длины через г, получим:

. (5.38)

Эта формула (5.38) пригодна для определения объемов всех тел вращения: цилиндра, параболоида, конуса и нейлоида. В математике она называется формулой Ньютона. В лесной таксации эту формулу первым применил немецкий лесовод Рикке. В связи с этим ее называют простой формулой Ньютона - Рикке.

Располагая поперечные сечения в иных точках, можно вывести другие формулы, определяющие объем ствола или его части. Кроме того, имеется ряд других эмпирических формул, но на практике они применяются редко.

При пользовании рассмотренными выше простыми формулами для определения объема древесный ствол или его часть уподобляют правильному геометрическому телу, в данном случае параболоиду, поскольку для образующей древесного ствола взято уравнение кубической параболы.

Обобщая изложенное, отметим, что для определения объемов ствола используют 3 наиболее распространенные формулы: Губера (5.34), Смалиана (5.29) и Ньютона - Рикке (5.38). Хотя формула Госфельда (5.35, 5.36) не уступает названным по точности, но ее в практике почти не используют из-за более сложной техники измерений, т.к. требуется находить диаметр на 1/3 длины ствола.

Простые стереометрические формулы не могут в полной мере отразить форму древесного ствола. Поэтому их точность, как будет показано ниже (в 5.4), невысока. Применение названных формул ограничено, и они используются лишь для ориентировочных оценок объемов стволов. Применение простых стереометрических формул (Губера, Смалиана) оправдано для коротких отрезков ствола (до 3 м, но лучше не более 2 м), которые обычно соответствуют правильным телам вращения.Для установления объемов стволов и более длинных его отрезков в науке, а при необходимости в практике применяют сложные (секционные) стереометрические формулы.

Сложные стереометрические формулы для определения объемов ствола

Наиболее точным способом вычисления объема ствола (V_ст) является расчленение его на некоторое количество отрезков и нахождение объема ствола как суммы объемов этих отрезков (УV_i), т.е. . Ствол, как правило, делится на отрезки длиной 2 м, если его высота равна 14 м и более. При меньшей высоте ствола отрезки берут длиной 1 или 0,5 м.(рисунок 5.7).

Здесь требуется, чтобы количество отрезков было не менее 7 - 10 штук. При научных исследованиях в молодых культурах 3-5 летнего возраста бывает деление ствола и на отрезки меньшей длины.

Есть несколько способов определения объема ствола путем деленияего длины (L) его на отрезки длиной l.

Допустим, мы разделим ствол на «n» равных частей. Площади сечений каждого отрезка обозначим как g₁, g₂ … g_n. Объем каждого отрезка определяем по простой формуле Смалиана, т.е. как . Общий объем выразится как

древесный ствол сечение погрешность

. (5.39)

Объем вершины(V_в) определяем как объем конуса, т.е.

V_в= . (5.40)

Формула (5.39) называется сложной формулой Смалиана.

Рисунок 5.7 Схема разделения ствола на отрезки для определения объёма

Наиболее часто в практике научных исследований применяют сложную формулу Губера или срединных сечений.

Обозначив площади сечений середины отрезков через г имеем

V = г₁1 +г₂l + г_nl = l (г₁ + г₂ + … + г_n). (5.40)

Известна также сложная формула Госфельда.

При определении объемов отдельных отрезков по формуле Госфельда, учитывающей сечение на 1/3 длины отрезка и в верхнем отрезке, общий объем ствола будет равен:

. (5.42)

В этой формуле сечения на одной трети отрезков обозначены через, , и т. д.

Преобразовав эту формулу, получим:

. (5.43)

При двухметровой длине отрезков для определения объема ствола по формуле Госфельда необходимо измерить диаметры в верхнем сечении каждого отрезка и на 0,67 м от их нижних сечений.

В результате решения интеграла Эйлера получена следующая формула:

. (5.44)

При определении объемов стволов или их частей по формуле Эйлера получаются меньшие ошибки, чем по формуле Ньютона -Рикке.

При определении объемов отдельных отрезков по сложной формуле Ньютона -Рикке общий объем ствола будет равен:

После соответствующего преобразования формула примет такой вид:

. (5.45)

Эта сложная формула (5.45) называется в математике формулой Симпсона, для приближенного вычисления площади интегралов. Обычно ее используют для нахождения площади, ограничиваемой параболой.

При исчислении объема по формуле (5.45) надо знать диаметры для каждого отрезка в нижнем, срединном и верхнем сечениях.

В Беларуси при нахождении объема ствола его часто делят на 10 частей. Это предложение проф. В.К.Захарова, о чем мы будем говорить ниже при изучении объемов растущих деревьев. В этом случае наилучшие результаты дает применение так называемой большой формулы Симпсона для приближенного решения интегралов.

(5.46)

где и - точки, ограничивающие ;

у₀, у₁, …, у_n - ординаты кривой;

b - а - это высота (длина) ствола (Н);

n - число отрезков (обязательно четное), на которые разбита кривая.

;

Учитывая, что у насn = 10, b - а = Н, то можем записать:

, (5.47)

где Н - высота ствола;

g₀, g₁, …, g₁₀ - площади сечения на 0,0; 0,1;, …; 1,0 высоты ствола,

Здесь d_i - диаметр ствола на соответствующей высоте.

При проведении обмеров модельных деревьев обычно применяют сложные формулы Губера (5.41) или Смалиана (5.39), а объем вершинки определяют по формуле конуса. Хорошие результаты дает использование формулы Симпсона (5.46). Ее применение ограничивается тем, что ствол необходимо разделить на четное число частей. Это не всегда удобно, т.к. надо каждый раз вырезать новую мерную палочку или пользоваться рулеткой, что менее технологично. По этой же причине деление ствола на 10 частей не нашло широкого применения и ограничивается в основном представителями белорусских научных школ. Технологический процесс измерений более рационален, если вырезать палочку длиной 1 или 2 м, и проводить разделение всех стволов на отрезки равной длины с ее помощью.

Точность определения объёмов стволов

Точность формул для определения объемов стволов

Применяя различные формулы для определения объемов ствола, надо знать их точность.

Определение объемов целых стволов при помощи простых формул дает не очень точные результаты. Простая формула Смалиана и формула Симпсона систематически преувеличивает объемы целых стволов. Причиной этого являются корневые наплывы, площадь сечения которых эти формулы учитывают. Вызвано это различной формой ствола и ее варьированием. Варьирование объемов отдельных стволов характеризуется средним квадратическим отклонением от истинного объема, равным примерно ± 12 %.

Как показали исследования коллектива кафедры таксации Воронежского лесохозяйственного института, простая формула Смалиана при таксации дубовых стволов дает систематическое преувеличение в среднем на 65 %, а простая формула Симпсона на 23 %. Вычисление объемов целых стволов при помощи простых формул Губера и Госфельда дает ошибки в ту или другую сторону.

Точность простой формулы срединного при таксации отрезков ствола длиной 6,5 и 8,5 м изучалась Н.П. Анучиным. Было найдено, что у отрезков ствола указанной длины объемы, вычисленные по простой формуле Губера, имеют отклонение от истинных до + 18 и до - 27 %.

Простая формула срединных сечений объемы отрезков ствола длиной до 2 - 3 м систематически преуменьшает в среднем на 1 %. По исследованиям Ф. Корсуня, среднеквадратические ошибки простой формулы Губера при определении объема ствола изменяются от ± 8,5 до ± 12,7 %. По данным А. Г. МошкалёвафомулаГубера занижает объёмы стволов на 1,5-2,5%, а в комлевой части и по тонкомерным деревьям -- значительно больше.

Сложные (секционные) формулы позволяют вычислить объемы стволов значительно точнее. В то же время по всем рассмотренным нами формулам объем древесных стволов или их частей определяется приближенно. При практической оценке этих формул надо знать погрешность, с которой определяются по ним объемы стволов.

Объемы, определяемые ксилометрическим способом, принято считать истинными. Объемы, находимые прочими способами, и выявленные расхождения выражают в процентах от объемов, найденных ксилометрическим способом.

Сопоставления объемов, вычисленных по сложным формулам и найденных ксилометрическим путем, были произведены более 100 лет назад в бывшей Петровской сельскохозяйственной академии, а ныне это Московская сельскохозяйственная академия им. К. А. Тимирязева. Результаты исследований приведены в таблице 5.3.

Таблица 5.3 - Отклонения в объемах, вычисленных по сложным формулам от истинных значений

Формула	Отклонение общих объемов, %	Формула	Отклонение общих объемов, %
	17 стволов березы	15 стволов сосны	3 ствола дуба		17 стволов березы	15 стволов сосны	3 ствола дуба
Губера	-0,9	-1,2	+1,9	Симпсона	+0,3	-0,2	+0,8
Смалиана	+0,8	-0,3	+0,2	Госфельда	-0,3	-0,6	-0,6

Как видно из таблицы 5.3, все четыре формулы дают близкие результаты. Формулы Симпсона и Смалиана имеют отклонения с положительным знаком.Формулы Губера и Госфельда- с отрицательным. Преувеличение объемов, получаемых по формулам Симпсона и Смалиана, следует отнести за счет преувеличенных площадей сечения, вычисляемых по формуле круга.

Погрешности в определении объемов 1 и 2 м отрезков ствола даны в таблице 5.4. Из таблиц 5.3 и5.4 следует, что объемы, вычисленные по формуле Госфельда и Губера, оказались преуменьшенными. Это преуменьшение не компенсируется преувеличенными площадями сечений, входящими множителями в эти формулы. Отсюда можно сделать вывод, что некоторое преуменьшение объемов является свойством этих двух формул.

Расхождения в результатах исчисления объемов по всем четырем формулам лежат в пределах 2 %. С практической точки зрения их следует признать несущественными и все четыре формулы равноценными.

Таблица 5.4 - Средние ошибки и среднеквадратические отклонения в объемах 1 2м отрезков ствола

Длина отруб-ков, мм	Число измеряемых диаметров	Средняя систематическая ошибка, %	Среднеквадра-тическое отклонение, %	Длина отрубков, мм	Число измеряемых диаметров	Средняя систематическая ошибка, %	Среднеквадра-тическое отклонение, %
2	2	-0,19	±l,78	1	2	-0,05	±0,96
2	4	-0,61	±1,43	1	4	-0,22	±0,49

Приведенные результаты проверки точности определения объемов по сложным формулам не показывают расхождений в объемах отдельных стволов, что является существенным недостатком.

По исследованиям Ф. Корсуня, проведенным в Чехословакии, ошибки сложной формулы Губера при 2-метровой длине отрезков колеблются в пределах от +4,13 до - 4,53 %.Если длину отрезков уменьшить до 1 м и в каждом сечении измерить диаметры в четырех направлениях, то предельные ошибки будут изменяться от +1,15 до - 1,85 %.Ф. Корсунь получил средние значения систематических ошибок и среднеквадратические отклонения (таблица 5.4).При установлении ошибок формулы Губера объемы, найденные по сложной формуле Симпсона, Ф. Корсунь принял за истинные.

Из всех сложных формул для практического применения наиболее удобна формула срединного сечения, предложенная Губером. Высокая точность полученных результатов дала основание Ф. Корсуню рекомендовать ее при самых точных исследованиях.

Следовательно, все сложные формулы дают почти одинаковую точность. Наиболее широкое применение имеет простейшая из них - формула срединных сечений.

Проф. Патроне многократно подчеркивает, что объем отрезков, вычисленный по формуле срединного сечения, имеет ошибку, зависящую от положения отрезка в стволе. Ссылаясь на Ф. Корсуня, он отмечает, что для отрезков, включающих комлевую часть, ошибка равна - 3,9 %, следующие затем отрезки имеют ошибку от - 0,8 до +4,9 %, а в вершинной части +0,4 %. По мнению проф. Патроне, формула срединного сечения дает удовлетворительные результаты для множества целых стволов.

В заключение анализа стереометрических формул проф. Патроне отмечает, что дендрометрия располагает рядом формул, определяющих объемы стволов и их частей. Однако каждая из них имеет ограниченное поле применения. Наиболее широко применяется формула срединного сечения. Она крайне проста, вычисления по ней производить легко, результаты получаются удовлетворительные. В обычных условиях, когда коэффициент абсолютной формы f_o близок к 0,50, объем множества стволов определяется с ошибкой меньшей ± 4%, с тенденцией к отрицательному ее значению (- 1 - 2 %).

В конечном выводе проф. Патроне указывает, что ошибка является отрицательной для комлевого отрезка, положительной для отрезков, выпиленных из середины ствола, и почти нулевой для вершинных сортиментов. Объемы отдельных стволов она определяет с ошибкой ±8 % и объем множества стволов с ошибкой ± 2 %.

Проф. М. Продан считает более целесообразным объемы нижнего отрезка вычислять не по сложной формуле срединного сечения, а по измененной, выведенной из формулы параболоида.

Погрешности измерений

При измерении диаметров и высоты деревьев неизбежны ошибки, обусловливающие погрешности в определении объемов деревьев. Чтобы установить влияние погрешностей измерений на точность определения объемов деревьев, проделаем ряд расчетов.

Вопрос об ошибках измерения диаметров, порождаемых непра-вильным положением вилки (непараллельностью при измерении ножек вилки) изучал румынский проф. Попеску-Зелетин.

Он установил, что после длительного применения наблюдается нарушение перпендикулярности подвижной ножки к линейке мерной вилки. Вследствие этого измеряемые диаметры оказываются меньше действительных. Таким образом, получаются систематические ошибки. Все эти систематические ошибки имеют отрицательный знак.

Когда подвижная ножка отклонена от перпендикулярного положения на 3 - 6%, погрешность в определении площади сечения и объема ствола оказывается в пределах от 5,2 до 10,5 %.

Поскольку рассматриваемые ошибки являются систематическими, имеющими всегда отрицательный знак, результаты измерений могут исправляться, если при этом нам известен угол.