Об одном методе оценки норм сингулярных интегральных операторов

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Об одном методе оценки норм сингулярных интегральных операторов

А. Р. Абдуллаев

В предлагаемой работе получены оценки норм некоторых операторов, являющихся обобщениями оператора Чезаро.

Ключевые слова: оператор Чезаро; сингулярные уравнения; функционально-дифференциальные уравнения.

Введение© Абдуллаев А. Р., Плаксина И. М., 2013

Пусть - пространство суммируемых со степенью , , вещественных скалярных функций, определенных на подмножестве действительной оси. Символ будем опускать при . Везде далее будем рассматривать , случай будет оговариваться отдельно. Итак, пусть , - сопряженный к индекс.

Оператор , определяемый равенством , называется оператором Чезаро.

Оператор Чезаро появился в связи с проблемой суммирования расходящихся рядов. Позднее оказалось, что он применяется при исследовании сингулярных дифференциальных уравнений, возникающих при изучении процессов, протекающих в ядре атома гелия [1], плотности распределения вещества звезды в некоторой области [2] и др. [3].

Основные свойства спектра оператора Чезаро, перечисленные в обзорной статье [4], приведены в работе [5].

Среди работ пермских математиков, изучавших свойства оператора Чезаро и его применение в теории функционально-дифференци-альных уравнений, отметим статьи [6-9].

Обобщения оператора Чезаро и их приложения в теории функционально-дифференциальных уравнений изучались в работах [10-12].

При исследовании условий разрешимости сингулярных функционально-дифференциальных уравнений актуальным является вопрос об оценке нормы некоторых вспомогательных интегральных операторов [13, с. 4].

Как известно, при оценке или вычислении нормы сингулярных интегральных операторов непосредственное применение классических методов оказывается затруднительным. Например, разработана специальная методика, так называемый "-метод", оценки нормы оператора Чезаро [4].

Предлагаемая работа посвящена одному методу получения оценок нормы интегрального оператора - методу Шура. Насколько известно авторам, этот достаточно эффективный метод не имеет широкого применения среди специалистов. Метод Шура существенно проще метода, применяемого в работе [4] для получения оценок нормы оператора Чезаро. С помощью предлагаемого метода будут построены оценки нормы некоторых обобщений оператора Чезаро.

1. Тест Шура

В предлагаемой работе рассматривается утверждение, известное для случая как тест Шура [14, с. 33]. Применение этого утверждения к сингулярным операторам типа Чезаро и различным обобщениям дает, на наш взгляд, неулучшаемые оценки нормы оператора. Тест Шура применяется в следующей формулировке.

Пусть существуют измеримые функции , , строго положительные на измеримых множествах и соответственно.

Пусть, далее существуют положительные числа , такие, что для почти всех выполняются неравенства

, (1)

(2)

соответственно.

Тогда оператор , определяемый равенством

,

ограничен и .

Здесь функция измерима на множестве , неотрицательна при почти всех и при почти всех .

Для удобства чтения приведем доказательство, повторяющее схему доказательства теоремы 5.2 из книги [14, с. 33].

Доказательство

Оценим сверху норму оператора на произвольном элементе :

.

Применим неравенство Гельдера:

.

оспользуемся тем, что :

.

Воспользуемся следствием из теоремы Фубини, позволяющим изменить порядок интегрирования:

.Поэтому .

2. Оценки норм некоторых сингулярных интегральных операторов

Искусство применения теста Шура состоит в удачном выборе функций и . В некоторых случаях (как в приведенных ниже примерах) удается получить такую оценку, которая совпадает с нормой оператора.

Определим обобщенный оператор Чезаро равенством

. (3)

Такой оператор появляется при изучении сингулярных функционально-дифференциальных уравнений, левая часть которых имеет вид .

Теорема 1

Оператор является ограниченным в пространстве , его норма не превосходит .

Определим обобщенный оператор Чезаро равенством

сингулярный интегральный оператор

(4)

при . Такой оператор появляется при изучении сингулярных дифференциальных уравнений, левая часть которых содержит слагаемое вида .

Теорема 2

Оператор является ограниченным в пространстве , его норма не превосходит .

Определим обобщенный оператор Чезаро равенством

(4)

при .

Оператор является обобщением оператора .

Теорема 3

Оператор является ограниченным в пространстве , его норма не превосходит .

Доказательство теорем 1-3 состоит в применении теста Шура с выбором функций , .

Рассмотрим задачу Коши для уравнения .

Это уравнение эквивалентно интегральному уравнению

.

Значит, интегральный оператор имеет вид

.

Поэтому из теоремы 2 следует теорема 4.

Теорема 4

Оператор является ограниченным в пространстве , его норма не превосходит .

При , получается оценка, приведенная в работе [12].

Отметим, что оценки, полученные в теоремах 1-4, являются точными значениями норм и совпадают со значениями спектральных радиусов операторов -.

Доказательство этих фактов может стать темой отдельной статьи.

Список литературы

Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1988. 304 с.

Emden R. Gaskugeln. Leipzig; Berlin, 1907.

Кигурадзе И.Т., Шехтер Б.Д. Сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы матем.: Новые достижения. 1987. Т. 30. С.105-201.

Muntean I. The spectrum of the Cesaro operator // Mathematica. Revue d'analyse numerique et de theorie de l'approximation. 1980. V.22(45), №1. P. 97-105.

Плаксина И.М. Об одной модельной сингулярной задаче // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2010. №1(1). С. 19-23.

Абдуллаев А.Р. О разрешимости задачи Коши для сингулярного уравнения второго порядка в критическом случае // Тр. института прикладной математики им. И.М.Ве-куа. 1990. №37. С. 5-12.

Азбелев Н.В., Алвеш М.Ж., Бравый Е.И. О сингулярной краевой задаче для линейного дифференциального уравнения второго порядка // Известия вузов. Математика. 1999. №2. С. 3-11.

Plaksina I. M. About one singular linear functional differential equation // Functional differential equations. 2011. V. 18. № 3-4. P.285-291.

Плаксина И.М. Об одном сингулярном линейном функционально-дифференциальном уравнении // Известия вузов. Математика. 2012. № 2. С. 92-96.

Кунгурцева А.В. Об одном классе краевых задач для сингулярных уравнений // Известия вузов. Математика. 1995. № 12. С. 30-36.

Абдуллаев А.Р., Плехова Э.В. О спектре оператора Чезаро // Научно-технический вестник Поволжья. 2011. № 4. С. 33-37.

Плехова Э.В. Разрешимость задачи Коши для сингулярного дифференциального уравнения // Вестник Пермского государственного технического университета. Прикладная математика и механика. 2011. № 9. С. 177-182.

Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 384 с.

Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2. М.: Наука, 1985. 159 с.

Размещено на Allbest.ru