Размещено на http://www.allbest.ru/

Вычисление множителя ослабления над импедансным цилиндрическим сегментом методом интегрального уравнения

Введение

Метод интегральных уравнений (ИУ) является наиболее общим подходом к численному решению задачи дифракции радиоволн на неровностях рельефа земной поверхности. В УКВ диапазоне можно считать, что на границе раздела земля-атмосфера выполняется условие Дирихле [1, 2] и в этом случае задача сводится к решению стандартного ИУ Фредгольма 1-го или 2-го рода относительно неизвестной плотности поверхностного тока.

Алгоритмы численного решения ИУ являются достаточно затратными в вычислительном отношении, однако эти затраты окупаются точностью вычислений, которой невозможно достичь на реальных трассах без привлечения численных методов. Очень хорошей альтернативой методу ИУ в УКВ диапазоне является алгоритм, основанный на численном решении параболического уравнения (ПУ). Для граничной задачи с условием Дирихле метод ПУ позволяет реализовать эффективный вычислительный алгоритм, основанный на вычислении быстрого преобразования Фурье (БПФ) по вертикальной координате на каждом шаге численного решения [3, 4, 5].

Однако, при увеличении длины волны электродинамическая постановка задачи меняется: в диапазоне коротких, средних и длинных волн граничные условия следует считать импедансными. В этом случае алгоритм решения параболического уравнения теряет свою вычислительную эффективность, т.к. вместо БПФ требуется вычислять комбинированное преобразование Фурье (англ. «Mixed Fourier Transform»), которое требует существенных вычислительных затрат [6]. Для задачи с импедансными граничными условиями хорошей альтернативой методу ПУ является алгоритм, основанный на численном решении интегрального уравнения. В данной работе известное ИУ для импедансной плоской поверхности [7] обобщается на случай произвольной геометрии рельефа.

1. Вывод интегрального уравнения для произвольной трассы распространения радиоволн

интегральный радиоволна дифракция

Пусть вертикальный электрический диполь поднят на высоту z0 над земной поверхностью (в частном случае z0 = 0). Требуется определить множитель ослабления с учетом электрических свойств и геометрии трассы распространения радиоволн. Считаем, что приемник находится на земной поверхности, зависимость поля от времени выбрана в виде .

Определим вертикальную компоненту вектора Герца на идеально-проводящей плоской поверхности так, чтобы она соответствовала функции Грина для свободного пространства:

,

где .

Тогда в случае конечной электропроводности:

,

где - множитель ослабления.

Задача вычисления множителя ослабления над плоской поверхностью с импедансными граничными условиями методом интегрального уравнения рассмотрена в [7]. В данной работе эта задача решается в более общей постановке с учетом геометрии рельефа и неоднородности электрических свойств на трассе распространения.

Для определения множителя ослабления воспользуемся выражением:

,

где (см. рис.1), , , область интегрирования S имеет форму эллипса, в фокусах которого находятся источник и приемник излучения. Отметим, что в соответствии с геометрией задачи отношение малой оси эллипсоида Френеля к длине трассы удовлетворяет условию

,

где - расстояние между источником и приемником.

Поверхностный интеграл в (3) показывает, насколько конечная электропроводность и рельеф трассы ослабляют поле по сравнению с идеально-проводящей плоской поверхностью. Подстановка (2) в (3) приводит к интегральному уравнению (ИУ) [7]:

где , а показатель экспоненты определяет дополнительный набег фазы, связанный со сферичностью волнового фронта.

Рис.1. Геометрия задачи.

интегральный радиоволна дифракция

Разложение R и в ряд по с последующей подстановкой первых двух членов в (4) и вычисление интеграла в поперечном направлении () приводит к интегральному уравнению:

где .

Отметим, что уравнение (5) получено с использованием приближения и отличается от ИУ для плоской земли [1] только экспоненциальным множителем.

Если считать, что вертикальный электрический диполь находится на плоской поверхности (,), ИУ (5) существенно упрощается:

В [7] представлено аналитическое решение ИУ(6), которое соответствует решению Зоммерфельда для плоской Земли:

откуда следует

Отметим, что формулу (8) Зоммерфельд получил со знаком «-» перед вторым слагаемым и это решение на протяжении длительного времени связывалось с поверхностной волной Ценника, которая при определенных условиях (смещение фазы поверхностного импеданса в сильно-индуктивную область) может существовать вблизи источника [10].

Поставить точку в научной дискуссии о волне Ценнека совсем не сложно: достаточно вычислить несобственный интеграл в формуле (7). На рис.2 представлены результаты соответствующих расчетов для длины волны и плоской подстилающей поверхности с параметрами , . Видно, что расчеты по формулам (7) и (8) совпадают, а ошибочное решение приводит к завышенным значениям множителя ослабления вблизи источника. Впрочем, при выбранных исходных данных, начиная с расстояния 15 км, все три кривые совпадают с графической точностью, так что дискуссии о знаменитой «ошибке Зоммерфельда» в настоящее время имеют лишь исторический интерес.

Рис.2. Дистанционная зависимость множитель ослабления для плоской земли.

интегральный радиоволна дифракция

Сплошная линия - формула (7), пунктир - (8), штриховая линия - ошибка Зоммерфельда.

2. Алгоритм численного решения и результаты расчетов

Для численного решения интегральные уравнения (5) и (6) следует представить в виде системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

,

где - искомый вектор-столбец значений множителя ослабления, - единичный вектор-столбец, а элементы матрицы для ИУ (5) вычисляются следующим образом:

В (10) использованы обозначения: - шаг численного решения, и - узлы сетки, соответствующие точкам наблюдения и интегрирования. Поскольку матрица СЛАУ является нижней треугольной, что позволяет для решения (9) использовать простой вычислительный алгоритм [1]:

Для ИУ (6) в формуле (10) следует считать , и .

На рис.3 представлены результаты расчетов множителя ослабления при длине волны и высоте источника на поверхности цилиндрического сегмента радиуса 6370 км с относительной диэлектрической проницаемостью и различными значениями электропроводности. Для сравнения на том же рисунке представлены результаты расчетов по дифракционной формуле В.А. Фока для сферической модели земли с теми же параметрами [8, 9]. Наблюдаемые расхождения дифракционных кривых можно объяснить двумя причинами:

- в первом случае задача решалась для цилиндрического, а во втором - для сферического сегмента;

- шаг интегрирования для численного расчета был выбран . При уменьшении следует ожидать лучшего соответствия аналитического и численного решений. На рис.4 приведены результаты, полученные при для различных значений в диапазоне расстояний 20…40 км, где расхождение аналитического и численного решений наиболее существенно.

Видно, что при отличие между методом ИУ и формулой В.А. Фока составляет 3 дБ и оно уменьшается до 1…1,2 дБ при . Это свидетельствует о хорошем соответствии аналитического и численного решений даже при условии разной постановки задачи (дифракция на цилиндрическом и сферическом сегменте).

Рис.3. Множитель ослабления при различных .

Рис.4. Множитель ослабления при различных .

На рис.5 показаны результаты расчетов при наличии на трассе препятствия в форме клина с шириной основания 100 км и высотой 300 км при различных значениях . Исходные данные: , и - те же, что и в предыдущем случае. На рис.6 представлены результаты расчетов для аналогичной задачи при высоте клина 1500 м, , и различных длинах волн.

Рис.5. Множитель ослабления при различных

Рис.6. Множитель ослабления при различных

Представленные на рис.5 результаты свидетельствуют о том, что увеличение электропроводности приводит к уменьшению влияния дифракционного поля от ребра клина на множитель ослабления. При постоянной электропроводности трассы и увеличении длины волны (см. рис.6), влияние дифракции также уменьшается, поскольку в этом случае становится меньше отношение высоты клина к длине волны.

Заключение

В работе получено интегральное уравнение для импедансного цилиндрического сегмента с произвольным профилем образующей и приведены результаты расчетов для двух модельных задач. Цилиндрическим сегментом представлена выпуклость земного шара, клин выбран в качестве модели пологого холма.

Полученные результаты свидетельствуют о пригодности метода ИУ для расчета множителя ослабления на трассе с произвольной геометрией рельефа в диапазоне коротких, средних и длинных волн. В ходе дальнейших исследований планируется рассмотреть численное решение задачи последовательной дифракции и сравнить результаты расчетов с аналитическим решением [11]. Отметим, что ИУ (5) можно использовать для кусочно-однородных трасс (суша-море и т.д.), в этом случае величина s становится функцией продольной координаты и поэтому ее необходимо внести под знак интеграла. Алгоритм численного решения ИУ остается прежним, однако при вычислении элементов матрицы необходимо выполнить замену . Кроме того, рассмотренный алгоритм можно использовать для решения задачи дифракции на морском волнении (моделирование брэгговского рассеяния в КВ-диапазоне). Для этого следует реализовать ансамбль случайных поверхностей и найти статистические характеристики рассеянного поля аналогично тому, как это было сделано в [12, 13].

Литература

1.Ахияров В.В. Методы численного решения задачи дифракции радиоволн над земной поверхностью // Электромагнитные волны и электронные системы, 2010, Т. 15, № 3. - С. 39-46.

2.Ахияров В.В. Метод параболического уравнения в теории дифракции // Успехи современной радиоэлектроники, 2010, № 9. - C. 72-80.

3.Akhiyarov V.V. Integral and parabolic equation solution for field prediction over the terrain // 22nd International Crimean Conference Microwave and Telecommunication Technology, Conference Proceedings, 2012. - C. 1045-1046.

4.Ахияров В.В. Результаты решения скалярных задач излучения и дифракции методом параболического уравнения // Электромагнитные волны и электронные системы, 2014, Т. 19, № 2. - С. 12-18.

5.Ахияров В.В. Использование численных методов для изучения условий распространения радиоволн / Ахияров В.В., Чернавский С.В. // Радиотехника, 2011, № 10. - С. 100-110.

6.Ахияров В.В. Вычисление множителя ослабления над земной поверхностью с неоднородными электрическими свойствами методом параболического уравнения / Ахияров В.В., Мудрик Д.С., Осеков С.С. // Сборник трудов XXIII Международной научно-технической конференции Радиолокация, навигация, связь, 2017. - С. 752-759.

7.Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М.: Радио и связь, 1961. - 436 с.

Размещено на Allbest.ru