Функции Уолша и их применение

1. Функции Уолша. Основные определения. Способы упорядочения функций Уолша

Функции Уолща являются естественным расширением системы функций Радемахера, получены Уолшем в 1923 г. и представляют полную систему ортонормированных прямоугольных функций.

Множество функций Уолша, упорядоченных по частости, обычно обозначают следующим образом:

N=2n, n=1,2,3,... нижний индекс w показывает, что упорядочение осуществляется по Уолшу (по частости). Индекс функции i соответствует i-му элементу множества Sw. Обозначим через i частость функции walw(i,t). Для определения частости воспользуемся соотношением:

Функции Уолша, упорядоченные по частости, аналогично тригонометрическим функциям можно подразделить на четные cal(i,t) и нечетные sal(i,t)

На рисунке 17.1 показаны первые восемь функций walw(i,t).

При этом видно, что частость каждой последующей функции Уолша больше или равняется частости предыдущей функции Уолша и имеет на одно пересечение нулевого уровня больше в открытом интервале t[0,1]. Отсюда и следует название «упорядочение по частости».

Дискретизация функций Уолша, показанных на рисунке 17.1а, в восьми равноотстоящих точках приводит к матрице (8х8), показанной на рисунке 17.1б. Эту матрицу обозначают Hw(n) где n=log2N и матрица будет иметь размер NxN.

Функции Уолша при упорядочении по частости в общем случае можно получать из функций Радемахера rk(x) по формуле:

где w номер функции Уолша; k - номер функции Радемахера; показатель степени функции Радемахера, который принимает значение 0 или 1 в результате суммирования по модулю два, т.е. по правилу: 11=00=0; 10=01=1 разрядов двоичного числа w. Например для шестой функции Уолша (w=6), входящей в систему размером N=23=8 произведение (17.4) состоит из трех сомножителей вида: при k=1 при k=2 при k=3 . Число в двоичной системе записывается совокупностью нулей и единиц. В нашем случае значение w и его разрядов показаны в таблице 17.1

Таблица

w0 - старший разряд числа, w3 - младший разряд числа w.

Показатели степени функций Радемахера получаются равными: ; ; и следовательно,

wal(6,x)=r11(x)r20(x)r31(x)=r1(x)r3(x)

Правило получения показателей степеней для функции Радемахера схематически показано в таблице 17.1, где стрелками указаны суммируемые разряды числа w и функции Радемахера, к которым относится полученный показатель степени. Из рисунка 17.1 видно, что четные номера функций Уолша относятся к четным функциям, а нечетные к нечетным функциям. Другим способом упорядочения являются упорядочение по Пэли. При упорядочении по Пэли, аналитическая запись функции Уолша имеет вид:

где p - двоичный номер функции, имеющий представление в двоичной форме:

p1 - младший разряд двоичного числа, рn - старший разряд двоичного числа. При упорядочении по Пэли для формирования функций Уолша необходимо взять произведение возведенных в степень функций Радемахера, номера которых совпадают с номерами соответствующих разрядов двоихного представления числа р, а показатель степени каждой функции равен содержимому соответствующего разряда, т.е. 0 или 1. Причем младшей функции Радемахера соответствует младший разряд двоичной комбинации числа р. В соответствии с этим правилом в таблице 17.2 приведены значения функций Уолша упорядоченных по Пэли.

Таблица

Функции Радемахера в таблице показаны в форме: . Сравнение произведений и степеней функций Радемахера, записанных в таблицах 17.1 и 17.2 показывает., что между функциями Уолша, упорядоченными по Пэли и по Уолшу существует соответствие, которое отражено в последнем столбце таблицы 17.2. В соответсвии с функциями Уолша упорядоченными по Пэли также может быть построена матрица отсчетов Hp(n), аналогичная показанной на рисунке 17.1б.

Следующим распространенным способом упорядочения является упорядочение по Адамару. Функции Адамара har(h,x) формируют с помощью матриц Адамара. Матрицей Адамара HN порядка N=2n называется квадратная матрица с размерами NxN и элементами 1, обладающая свойством. функция частость электрический сигнал

где I - единичная матрица; - транспонированная матрица. Матрицы Адамара можно строить Используя рекурсивное соотношение:

Например начиная с Н1=1 находим:

Сравнивая полученную матрицу Н8 с матрицей отсчетов для функции Уолша, Упорядоченных по Уолшу (рисунок 17.1б) видим, что между первыми восемью функциями упорядоченными по Уолшу и Адамару существует следующее соответствие:

walh(0,x)=walw(0,x);

walh(2,x)=walw(3,x);

walh(4,x)=walw(1,x);

walh(6,x)=walw(2,x);

walh(1,x)=walw(7,x);

walh(3,x)=walw(4,x);

walh(5,x)=walw(6,x);

walh(7,x)=walw(5,x).

2. Основные свойстваи применение функций Уолша

Система функций Уолша является полной ортонормированной системой на интервале [0,1], т.е. справедливо соотношение:

и может служить базисом для спектрального представления сигналов. Любую интегрируемую на интервале 0х1 функцию являющуюся математической моделью электрического сигнала, можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша

где коэффициенты А(i) находятся по формулам

где - безразмерное время, нормированное к произвольному интервалу Т.

Функции Уолша, как и функции Радемахера, принимают только два значения: -1 и 1. Для любого m - wal2(m,x)=wal(0,x)=1.

Функции Уолша являются периодическими функциями с периодом равным 1.

Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, перемножение любых двух функций Уолша является также функцией Уолша:

причем это свойство справедливо и относительно параметра т.е.

Среднее значение функции Уолша wal(i,x), при i0 равно нулю.

Система функций Уолша является составной системой и сотоит из четных и нечетных функций, обозначаемых соответственно:

cal(j,x) и sal(j,x)

Относительная погрешность аппроксимации сигнала f(x) конечным числом функций Уолша определяется по формуле

где - энергия сигнала на единичном нормированном интервале.

Вопросы для самостоятельной подготовки