Цифровая обработка сигналов

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

1. РАСЧЁТ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ (ДПФ)

2. РАСЧЁТ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА

Используемая литература



1. РАСЧЁТ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ (ДПФ)

Задание.

В соответствии с индивидуальным вариантом задания:

1. Построить график дискретного сигнала;

2. Рассчитать модуль и аргумент ДПФ;

3. Рассчитать частоты спектральных составляющих ДПФ;

4. Построить графики модуля и аргумента ДПФ;

5. Проверить правильность расчётов с помощью программы MatLab.

Исходные данные.

ФИО - Таскаев Александр Игоревич.

Дискретный сигнал s(n)= [3, 6, 8].

Значения дискретного сигнала при n= [0, 1, 2].

s(0)=3, s(1)=6, s(2)=8.

Количество точек ДПФ N=3

Диапазоны изменения индексов:

n= [0, … N-1], n= [0, 1, 2] - для входного сигнала.

m= [0, … N-1], m= [0, 1, 2] - для коэффициентов ДПФ.

Интервал дискретизации Дt=24 мс.

1. Построим график дискретного сигнала.

График дискретного сигнала показан на Рис. 1.



Рисунок 1 График дискретного сигнала

2. Рассчитаем модуль и аргумент ДПФ.

Прямое дискретное преобразование Фурье, согласно[1,(1)]:

, m=0,1,..N-1

Для нашего задания при N=3,

m=0,1,2

,

,

Вычислим комплексные частотные компоненты ДПФ,

При m=0:

При m=1:

С учётом формулы Эйлера [1,(2)]:

Определим по формулам [1,(3)] и [1,(4)] модуль и аргумент комплексного числа:



При вычислении аргумента, прибавляется р в связи с тем, что действительная часть комплексного числа отрицательная, а мнимая положительная.

При m=2:

С учётом формулы Эйлера [1,(2)]:

Определим по формулам [1,(3)] и [1,(4)] модуль и аргумент комплексного числа:

В этой формуле, при вычислении аргумента, вычитается р в связи с тем, что и действительная и мнимая части комплексного числа отрицательные.

3. Рассчитаем частоты спектральных составляющих ДПФ.

4. Определим частоты спектральных линий, соответствующие индексам

5. m= [0, 1, 2] по формуле [1,(5)]. Интервал дискретизации Дt=24 мс.

КГц,

КГц,

КГц

6. Построим графики модуля и аргумента ДПФ.

Рисунок 2 График модулей ДПФ

Рисунок 3 График аргументов ДПФ в градусах

7. Проверим правильность расчётов с помощью программы MatLab.

Составим алгоритм проверки для рассчитанных значений ДПФ см. Листинг. 1, запустим его на выполнение и посмотрим результаты вычислений см. рис. 4 и 5.

N=3; % число точек ДПФ

s=[3 6 8]; % Значения дискретного сигнала

S=fft(s); % расчёт ДПФ

% вывод графика модулей ДПФ

stem(0:N-1, abs(S),'LineWidth',3,'MarkerFaceColor','blue');

xlabel('m');ylabel('Модули ДПФ');

grid on;

% вывод в консоль коэффициентов, модулей и аргуметов ДПФ

display('Коэффициенты ДТП')

S

display('Модули ДТП')

abs(S)'

display('Аргументы ДТП (градусы)')

(angle(S)*180/pi)'

Листинг 1. Фрагмент кода для расчета ДПФ.

Рисунок 4 Результаты вычислений ДПФ в Matlab



Рисунок 5 График модулей ДПФ

Результаты вычислений ДПФ по формулам и в Matlab совпадают.

Расчёт выполнен правильно.

дискретный преобразователь сигнал фурье

2. РАСЧЁТ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА

Задание.

В соответствии с индивидуальным вариантом задания:

1. Рассчитать коэффициенты цифрового фильтра;

2. Построить график импульсной характеристики (ИХ) цифрового фильтра;

3. Построить график АЧХ цифрового фильтра;

4. Записать разностное уравнение цифрового фильтра;

5. Составить структурную схему цифрового фильтра

Исходные данные.

ФИО - Таскаев Александр Игоревич.

рассчитываем: ФНЧ,

частота среза f_ср=14 кГц,

частота дискретизации f_д=42 кГц,

порядок фильтра M=12.

1. Рассчитаем коэффициенты цифрового фильтра.

Рассчитаем коэффициенты с помощью Matlab, см. алгоритм вычислений, по формуле[1,(7)] Листинг. 2, и результаты вычисления Рис. 6

Fd = 42e+03; % частота дискретизации входного сигнала

Fs = 14e+03; % частота среза ФНЧ по уровню 6 дБ

Order=12; % порядок ФНЧ

m = [-Order/2: Order/2]; % вектор индексов

b=2*(Fs/Fd)*sinc(2*(Fs/Fd)*m); % расчёт коэффициентов ФНЧ

% вывод коэффициентов ФНЧ в консоль

display('Коэффициенты ФНВ');

b'

Листинг 2. Фрагмент кода для вычисления коэффициентов фильтра.

Рисунок 6 Результат вычисления коэффициентов фильтра

Перенесем в таблицу №1 результаты вычисления.

Таблица №1

m - исходные	m - положительные	Коэффициенты фильтра (bm)
-6	0	0.0000
-5	1	-0.0551
-4	2	0.0689
-3	3	0.0000
-2	4	-0.1378
-1	5	0.2757
0	6	0.6667
1	7	0.2757
2	8	-0.1378
3	9	0.0000
4	10	0.0689
5	11	-0.0551
6	12	0.0000

Начальный и конечный коэффициенты равны нулю. При по строении структурной схемы фильтра и разностного уравнения их можно не учитывать. Порядок фильтра уменьшится на 2.

Перепишем значения коэффициентов в таблицу №2, убрав начальный и конечный коэффициенты.

Таблица №2

m - исходные	m - положительные	Коэффициенты фильтра (bm)
-5	0	-0.0551
-4	1	0.0689
-3	2	0.0000
-2	3	-0.1378
-1	4	0.2757
0	5	0.6667
1	6	0.2757
2	7	-0.1378
3	8	0.0000
4	9	0.0689
5	10	-0.0551

В результате ФНЧ стал 10-го порядка.

2. Построим график импульсной (ИХ) характеристики цифрового фильтра.

Построим график ИХ с помощью Matlab, см. алгоритм вычислений Листинг. 3, и ИХ на Рис. 7

%вывод графика коэффициентов b,

%совпадающих с импульсной характеристикой.

impz(b);grid on;

Листинг 3. Фрагмент кода для построения графика ИХ

Рисунок 7 График импульсной характеристики

3. Построим график АЧХ цифрового фильтра.

Построим график АЧХ с помощью Matlab, см. алгоритм Листинг. 4, и график AЧХ на рис. 8

% расчёт АЧХ, a=1 и нормировке от 0 до 1 (2pi)

[h, w]=freqz(b, 1, [], 2);

figure;plot(w, 20*log10(abs(h))) % построение графика модуля АЧХ в дБ

grid on; % включение сетки графика

xlim([0 1]) % диапазон оси x

ylim([-45 5]) % диапазон оси y

% вывод размерностей осей

xlabel('Нормированная частота');

ylabel('Коэффициент передачи, дБ');

Листинг 4. Фрагмент кода для построения графика АЧХ

Рисунок 8 График АЧХ ФНЧ

Нормированная частота среза ФНЧ определяется по формуле:



Единица на оси x соответствует частоте Найквиста, равной половине частоты дискретизации. В нашем случае единица соответствует частоте 42/2=21 кГц.

4. Запишем разностное уравнение цифрового фильтра.

В соответствии с выражением [1,(6)] запишем разностное уравнение:

??(??) = ??0??(??) + ??1??(?? ? 1) + ??2??(?? ? 2) + ? + ??????(?? ? ??)

Подставляем значения рассчитанных коэффициентов из таблицы №2:

??(??) = -0.0551(??) +0.0689??(?? ? 1) ?0.1378 (?? ? 3) +0.2757??(?? ? 4) +

0.6667??(?? ? 5) +0.2757??(?? ? 6) ? 0.1378??(?? ? 7) +0.0689??(?? ? 9) ?

? 0.0551??(?? ? 10)

5. Составим структурную схему цифрового фильтра.



Рисунок 9 Структурная схема ФНЧ

На вход структурной схемы цифрового фильтра поступает дискретная последовательность сигналов x(k). Оператор z^-1 соответствует линии задержки на один такт частоты дискретизации. Усилители(K-) имеют коэффициенты усиления, соответствующие рассчитанным коэффициентам b_m. На выход y(k) поступает сумма задержанной и умноженной на коэффициенты b_m входной последовательности сигналов.



Используемая литература

1. Стафеев, А.В. Методические указания к курсовой работе «Алгоритмы цифровой обработки сигналов» Издательство ДВГУПС, г. Хабаровск, 2017г. 29 с.

2. Айфичер, Э. C. Цифровая обработка сигналов: практический подход: пер. с англ. / Э. C. Айфичер, Б.У Джервис. изд. 2-е. M.: Изд. дом Вильямс, 2004.

3. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов. 3-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2011. 768 с.: ил.

4. Куприянов М.С., Матюшкин Б.Д. Цифровая обработка сигналов. СПб: Политехника, 1998.

Размещено на Allbest.ru