Методы расчета систем автоматического управления

Размещено на http://allbest.ru

Содержание

Введение

1. Взаимосвязь ЛАЧХ разомкнутой системы с оценками качества переходного процесса

2. Частотные показатели качества переходных процессов

3. Метод корневого годографа

Заключение

Список литературы



Введение

Устойчивость является необходимым, но недостаточным условием работоспособной системы, поскольку она (САР) должна отвечать дополнительным требованиям в статике и динамике для обеспечения хорошего функционирования, т.е. качественной работы. Под качеством САР понимают совокупность требований, прямо или косвенно характеризующих точность ее работы. Требования в статике ориентированы на точность работы САР в установившихся режимах. При этом обычно необходимо, чтобы установившаяся ошибка САР не превышала заданных допустимых значений. Для оценки качества переходного процесса может быть использована связь между характером переходного процесса и формой ЛАЧХ. Низкочастотная часть ЛАЧХ связана с работой САР в установившихся режимах (при больших временах наблюдения) и характеризует точность работы системы. Высокочастотный участок ЛАЧХ определяет начальный участок переходного процесса. Среднечастотная часть ЛАЧХ определяет качество работы системы в переходных режимах.

В этой области находится частота среза wС, определяющая быстродействие системы; по значению ЛФЧХ при частоте среза можно определить запас устойчивости по фазе. О качестве процесса регулирования можно судить по расположению корней характеристического уравнения (т. е. полюсов передаточной функции замкнутой системы), учитывая также еще и операторный многочлен в правой части дифференциального уравнения (т. е. нули передаточной функции замкнутой системы). Вкратце об этом шла речь выше. Корневым годографом называется совокупность траекторий перемещения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой системы (например, общего коэффициента усиления К разомкнутой цепи данной системы).



1. Взаимосвязь ЛАЧХ разомкнутой системы с оценками качества переходного процесса

Для оценки качества переходного процесса может быть использована связь между характером переходного процесса и формой ЛАЧХ.

Низкочастотная часть ЛАЧХ связана с работой САР в установившихся режимах (при больших временах наблюдения) и характеризует точность работы системы.

Высокочастотный участок ЛАЧХ определяет начальный участок переходного процесса.

Среднечастотная часть ЛАЧХ определяет качество работы системы в переходных режимах. В этой области находится частота среза ?С, определяющая быстродействие системы; по значению ЛФЧХ при частоте среза можно определить запас устойчивости по фазе. По значению частоты среза с помощью эмпирических зависимостей можно определить время первого согласования tc, время достижения максимального значения tm и время регулирования tp, т.е. основные параметры переходного процесса. Эти эмпирические зависимости носят название номограмм Честната и Майера [4], и будут использоваться нами в дальнейшем. Любая работоспособная система имеет среднечастотный участок ЛАЧХ в области частоты среза wС с наклоном -1. Только при этом условии можно получить качественную САР, причем чем больше длина среднечастотного участка с наклоном -1, тем больше вероятность получения качественной системы, с приемлемыми колебательностью и перерегулированием.

Некоторые следствия из анализа номограмм Честната и Майера: Смещение ЛАЧХ вдоль оси частот влево или вправо влияет только на быстродействие САР. Чем больше частота среза wС, тем система более быстродействующая:

.

Если в области высоких частот имеется наклон ЛАЧХ -2, -3, -4 и т.д., то высокочастотный хвост этой ЛАЧХ можно заменить добавлением ЛАЧХ апериодического звена с постоянной времени TS, равной сумме постоянных времени всех апериодических звеньев, частоты сопряжения которых находятся правее частоты среза (рис.8.8).



Другими словами, все непрерывные звенья, постоянные времени которых малы (частоты сопряжения выше частоты среза), могут быть заменены апериодическим звеном с передаточной функцией

,

где

2. Частотные показатели качества переходных процессов

Исходя из того, что качественная САР должна быть прежде всего устойчивой, в качестве частотных показателей качества рассматриваются уже известные нам запас устойчивости по амплитуде А и запас устойчивости по фазе y, а также резонансный максимум АЧХ замкнутой системы Мр и полоса пропускания (рис.8.9).



Запасы устойчивости по амплитуде и по фазе характеризуют близость системы к границе устойчивости и определяются по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой САР. Чем дальше система от границы устойчивости, тем она лучше.

В качественных системах запасы устойчивости должны составлять:

А=6…20 дБy=30…60°.

Резонансный максимум является показателем колебательности САР, и, как будет показано ниже, позволяет более удобно оценивать запас устойчивости САР. Резонансный максимум равен отношению максимального значения Amax АЧХ замкнутой системы, которое имеет место при резонансной частоте wр, к ее начальному значению A(0).

Другими словами, показатель колебательности есть максимальное отношение амплитуд выходного xmax и входного gmax воздействий, имеющее место при частоте задающего воздействия w=wр, определяемой экспериментальным или расчетным путем:

.

Обычно в качественных системах показатель колебательности не должен превосходить значений 1,1…1,5.

Для оценки величины резонансного максимума можно пользоваться эмпирическими формулами связи между запасом устойчивости по фазе и резонансным максимумом:

,

а также связи между резонансным максимумом и перерегулированием (? в долях):

.

Зная время достижения переходной функцией максимального значения

,



можно приближенно с помощью зависимости рис.8.10 [3] определить время первого согласования tc. автоматический регулирование контур

Если переходный процесс в САР завершается после 1 - 2 колебаний, то время переходного процесса может быть определено по приближенной зависимости:

.

Оценка качества работы САР по резонансному максимуму АЧХ замкнутой системы. Определение резонансного максимума по ЧХ разомкнутой САР

Пусть имеется САР, изображенная на рис.8.11. Частотная (или, как ее еще называют, амплитудно-фазовая) характеристика замкнутой системы:



Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ):

(1)

Примерный вид нормированной АЧХ представлен на рис.8.12.

Чем выше резонансный максимум Mp, тем меньше запас устойчивости, и тем больше склонность системы к колебаниям. В реальных САР величина Mp находится в пределах 1,0…1,8. Возьмем на АЧХ некоторую точку а (рис.8.12), значение АЧХ в ней обозначим через М. Отобразим точку а на комплексную плоскость частотной характеристики разомкнутой САР. Для этого в формуле (1) подставим :

(2)



Частотная характеристика разомкнутой САР в точке а может быть определена в виде:

,

и тогда

.(3)

Решая уравнение (3) относительно u и v, можно прийти к выводу, что линия равных значений М отображается на плоскость ЧХ разомкнутой САР в окружность, уравнение которой:

,(4)

где - радиус окружности;

- смещение центра окружности по оси абсцисс.

Построив семейство таких окружностей (рис.8.13) для разных значений 1<М<Ґ, замечаем, что при M®Ґ радиус окружности R®0 и окружность вырождается в точку с координатами (-1; j0).

С другой стороны, при М®1 радиус R®Ґ, и окружность вырождается в линию, параллельную оси ординат и отстоящую от нее на 0,5.



Можно отметить, что для значений 0<M<1 получится семейство окружностей, расположенный справа от прямой М=1 симметрично с первым семейством.

При М=0 окружность вырождается в точку, совпадающую с началом координат.

Величина резонансного максимума может быть определена путем нахождения окружности, которой касается ЧХ разомкнутой САР (совпадает только в одной точке). Например, САР, ЧХ которой в разомкнутом состоянии имеет вид W(jw) (рис.8.13) будет иметь резонансный максимум Мр=1.5.

Проектирование САР с заданным уровнем Мр



На практике очень часто ставят задачу: спроектировать систему, для которой Мр будет не больше некоторого заданного значения Mзад.

Очевидно, что в общем случае задача будет решена, если обеспечить такой вид ЧХ разомкнутой системы, чтобы ее кривая не заходила внутрь окружности М=Мзад (рис.8.14).

Таким образом, окружность М=Мзад ограничивает запретную зону для амплитудно-фазовой характеристики (заштрихована).

Рассмотрим частный случай. Пусть Мзад=2.

Решение. По заданной величине Мзад определяем координаты радиуса и центра окружности:

;.

Строим окружность с центром в точке (-1,33; 0) радиуса 0,67 (рис.8.15).

Чтобы реальное значение резонансного максимума было меньше заданного, необходимо, чтобы ЧХ разомкнутой САР не заходила в запретную зону, т.е. внутрь окружности.



Пусть точка b принадлежит ЧХ разомкнутой САР. Обозначим угол, который образует вектор А, проведенный из начала координат в точку b, с отрицательным направлением оси u, через m. Очевидно, что угол ? равен запасу устойчивости САР по фазе.

Из рис.8.15 следует, что запретная зона может иметь место при значении модуля АЧХ А разомкнутой системы

или

.(5)

Очевидно также, что для любого модуля А существует такой угол m, при котором ЧХ разомкнутой системы не заходит в запретную зону.

Из треугольника ObO1 можно найти выражение для запаса по фазе, при котором ЧХ может попасть в запретную зону:



.(6)

Используя (6), можно построить называемые m-кривые (рис.8.16) [1], пользуясь которыми, для любого значения модуля А можно найти то значение величины m, при котором обеспечивается требуемое значение резонансного максимума.

Для зависимости (6) можно определить, что максимум будет иметь место при , а само значение максимума:

.(7)

Если имеются логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы, то по имеющимся m-кривым и при заданном значении М можно построить требуемое значение запаса по фазе для каждого значения модуля А, удовлетворяющего условию (5), которое для ЛАЧХ принимает вид:

.(8)

В результате можно получить запретную зону для ЛФЧХ. Чтобы показатель колебательности Мр не был больше заданного значения, ЛФЧХ не должна заходить в эту область.



Определим условия, при которых ЛФЧХ гарантированно не заходит в запретную область, на примере типовой ЛАЧХ типа "-2-1-2".

Пусть передаточная функция разомкнутой САР равна

,(9)

причем .

Логарифмические частотные характеристики такой разомкнутой САР представлены на рис.8.17. Выражение для ЛФЧХ для (9) имеет вид:



где - запас по фазе, который запишем следующим образом:

(10)

Для зависимости (10) можно определить, что ее максимум будет иметь место при , а само значение максимума:

.(11)

Таким образом, максимальный запас по фазе определяется только постоянными времени, определяющими участок с наклоном "-1".



В [1] доказано, что значение максимального запаса по фазе (11) будет не меньше предельно допустимого запаса по фазе (7) при условии:

(12)

В граничном случае (равенство) ЛФЧХ будет касаться запретной зоны в точке ?=?max. В этом случае будет иметь место максимальное быстродействие системы при заданном уровне Мр.

Таким образом, при выполнении условий (12) для ЛАЧХ разомкнутой системы вида "-2-1-2" требования по величине Мр будут выполнены.

В случае, когда ЛАЧХ разомкнутой системы имеет вид "-2-1-2-3-4…", также можно пользоваться представленными зависимостями, предварительно заменив все апериодические звенья с частотами сопряжения правее частоты среза одним апериодическим звеном с постоянной времени T?, равной сумме постоянных времени этих звеньев.

В этом случае второе условие принимает вид:

.

3. Метод корневого годографа

О качестве процесса регулирования можно судить по расположению корней характеристического уравнения (т. е. полюсов передаточной функции замкнутой системы), учитывая также еще и операторный многочлен в правой части дифференциального уравнения (т. е. нули передаточной функции замкнутой системы). Вкратце об этом шла речь выше.

Корневым годографом называется совокупность траекторий перемещения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой системы (например, общего коэффициента усиления К разомкнутой цепи данной системы).

Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи системы автоматического регулирования. Запишем ее в виде

где К. -- общий коэффициент усиления разомкнутой цепи, а многочлены N(s) и L(s) имеют единичные коэффициенты при младших членах.

Главная передаточная функция замкнутой системы для регулируемой величины по задающему воздействию g(s), как известно, имеет вид

Характеристическое уравнение замкнутой системы запишется соответственно в форме

Его можно записать и иначе:

Эта форма записи характеристического уравнения замкнутой системы и используется в дальнейшем. Выражение (6.26) является основным уравнением метода корневого годографа.

Обозначим корни характеристического уравнения замкнутой системы:

полюса передаточной функции разомкнутой цепи [корни L(s)]:

нули передаточной функции разомкнутой цепи [корпи N(s)]:

Очевидно, величины Р_i и N_q не зависят от К. Задача состоит в том, чтобы, зная расположение нулей N₁ , ..., N_m и полюсов P₁, ..., Р_n передаточной функции разомкнутой цепи KW(s), найти корни характеристического уравнения s₁, ..., s_m как функции параметра К. Графически это и будет корневой годограф данной системы.

Корни характеристического уравнения являются полюсами передаточной функции замкнутой системы. Что же касается нулей этой функции, то согласно (6.25) пули замкнутой системы совпадают с заданными нулями разомкнутой цепи этой системы (6.24).

Преобразуем основное уравнение метода корневого годографа. Уравнение (6.26) распадается на два: уравнение модулей



где С -- отношение коэффициентов при старших членах многочленов N(s) и L(s).

Подставим вместо s один из искомых корней характеристического уравнения s_k. На плоскости s = у + jщ (рис. 6.24) этот корень изобразится вектором s_k .

Построим также векторы P_i (i = 1, 2, ..., n) и N_q (q = 1, 2, ..., т) полюсов и нулей функции KW(s). Полюса Р_i будем обозначать крестиками, нули N_q -- кружочками, а корни s_k -- треугольниками.

На рис. 6.24 показаны также векторы величин s_k -- N_q и s_k -- Р_i. Обозначим их аргументы соответственно через и , а модули: и l_i.

Тогда уравнение фаз (6.28) с учетом выражения (6.29) можно переписать в виде



а уравнение модулей (6.27) с учетом (6.29) -- в виде

Уравнение фаз (6.30) не зависит от К. Поэтому путь решения задачи может быть такой. Сначала следует подобрать на плоскости s такое положение s_k , которое бы удовлетворяло уравнению фаз (6.30) при всех заданных P_i и N_q . Потом по уравнению модулей (6.31) нужно подсчитать, какой величине параметра К это соответствует. Таким путем постепенно можно построить весь корневой годограф.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Дано

Согласно (6.29) можно написать

где

Изобразим данные нули и полюса (рис. 6.25). Заметим, что согласно (6.25) и (6.24) при К=0 все корни s_k совпадают с полюсами P_i Далее же легко проверить, что уравнение фаз

будет удовлетворяться для корня s₁, если он находится на оси между точками P₁ и N₁; для корня s₄ -- если он лежит на оси левее точки Р₄. С увеличением К эти корни движутся как показано на рис. 6.25 стрелками.

Что же касается корней s₂ и s₃, то уравнение фаз удовлетворяется, когда они оба находятся на оси между точками P₂ и P₃ . С увеличением К они движутся навстречу друг другу. При некотором значении К они сливаются, а затем с увеличением К становятся комплексными (сопряженными) и движутся по некоторым кривым, точки которых определяются так, чтобы удовлетворялось уравнение фаз. Кривые эти симметричны, поскольку корпи сопряженные (рис. 6.25).



Величина К, отвечающая каждому конкретному положению корней, находится по уравнению модулей

Итак, траектории корней строятся только по уравнению фаз, а уравнение модулей используется затем для определения соответствующих значений К.

В указанном виде процесс построения будет довольно громоздким. Однако он очень упрощается при использовании общих свойств корневого годографа изложенных, например в [27].

Пример 2. На основе аналогичных рассуждений можем построить корневой годограф для системы с передаточной функцией разомкнутой цепи

в виде, изображенном па рис. 6.26 при ж > 1 и на рис. 6.27 при ж < 1.



Проиллюстрируем на примерах некоторые элементы синтеза корректирующих устройств с помощью метода корневого годографа.

Для системы, схема которой изображена на рис. 6.28 задана передаточная функция

Требуется выбрать коэффициент усиления К и параметры последовательного корректирующего устройства

Рассмотрим два варианта: а) в = 0,1 --устройство близко к дифференцирующему; б) в=10 -- устройство близко к интегрирующему.

Изобразим сначала корневой годограф системы без коррекции. В передаточной функции (6.32) имеем полюса:



Корневой годограф показан на рис. 6.29. В случае с коррекцией (6.33) получаем

где добавляется еще один полюс и появляется один нуль:

В первом случае (в=0,1) выберем ф так, чтобы нуль N₁ расположился вблизи доминирующих корней (рис. 6.30). Полюс P₄ расположится на десятикратном расстоянии влево, т. е. будет несущественным.

Получаем новый корневой годограф (рис. 6.30). Видно, что «опасные» комплексные корни значительно отодвинуты от мнимой оси, а влияние нового вещественного корня s₁ уменьшается наличием близко расположенного нуля N₁.



Во втором случае (в = 10) новый полюс P₄ согласно (6.34) будет в десять раз ближе к началу координат, чем нуль N₁. Следовательно, Р₄ близок к нулю, а система становится близкой к дважды астатической, что увеличивает ее точность.

Рассмотрим теперь включение интегро-дифференцирующего устройства с передаточной функцией

при значениях в₁ = 10, в₁ = 0,1. В этом случае имеем два добавочных полюса и два нуля:

Первый из них очень мал (почти нулевой), а второй расположен далеко влево (рис. 6.32). Корни s₁ и s₂, имевшие неудовлетворительное расположение ранее (рис. 6.31), теперь (рис. 6.32), выходя от начала координат, вливаются в нули N₁ и N₂. Эти корни s₁ и s₂ ближе других к мнимой оси.

Но, во-первых, они уже не могут вызвать неустойчивости и, во-вторых, их влияние нейтрализуется близко расположенными нулями. Корни же s₃ и s₄, стремящиеся с увеличением К вправо, располагаются достаточно далеко от мнимой оси.

В книге [27] приведены другие примеры коррекции (неединичная обратная связь и регулирование по внешнему воздействию).



Заключение

Для оценки качества переходного процесса может быть использована связь между характером переходного процесса и формой ЛАЧХ.

Низкочастотная часть ЛАЧХ связана с работой САР в установившихся режимах (при больших временах наблюдения) и характеризует точность работы системы.

Высокочастотный участок ЛАЧХ определяет начальный участок переходного процесса.

Среднечастотная часть ЛАЧХ определяет качество работы системы в переходных режимах. В этой области находится частота среза ?С, определяющая быстродействие системы; по значению ЛФЧХ при частоте среза можно определить запас устойчивости по фазе.

О качестве процесса регулирования можно судить по расположению корней характеристического уравнения (т. е. полюсов передаточной функции замкнутой системы), учитывая также еще и операторный многочлен в правой части дифференциального уравнения (т. е. нули передаточной функции замкнутой системы). Вкратце об этом шла речь выше.

Корневым годографом называется совокупность траекторий перемещения всех корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-либо параметра этой системы (например, общего коэффициента усиления К разомкнутой цепи данной системы).



Список литературы

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования.-- М.: Наука, 1975.

2. Бесекерский В. А. Цифровые автоматические системы.-- М.: Наука, 1976.

3. Болнокин В. Е., Чинаев П. И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ.-- М.: Радио и связь,

1986.

4. Вавилов А. А., Имаев Д. X. Машинные методы расчета систем управления.--Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.

5. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем.-- М.: Энергия, 1980.

6. Воронов А. А. Основы теории автоматического управления. Особые линейные и нелинейные системы.-- М.: Энергия, 1981.

7. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость.-- М.: Наука, 1979.

8. Динамика систем управления ракет с бортовыми вычислительными машинами/Под ред. М. С. Хитрика, С. М. Федорова.-- М.: Машиностроение, 1976.

9. Задачник по теории автоматического управления/Под ред. А. С. Шаталова.-- М.: Энергия, 1979.

10. Иващенко Н. Н. Автоматическое регулирование.-- М.: Машиностроение, 1978.

Размещено на Allbest.ru