Устойчивость работы систем автоматического управления

Устойчивость как важная качественная оценка динамических свойств системы автоматического регулирования (САР). Применение алгебраического критерия Гурвица при анализе САР. Построение годографа на комплексной плоскости с помощью критерия Михайлова.

Рубрика Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Вид лекция
Язык русский
Дата добавления 22.07.2015
Размер файла 299,6 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Устойчивость работы систем автоматического управления

1. Понятие устойчивости САУ

Понятие устойчивости является важнейшей качественной оценкой динамических свойств САР. Устойчивость САР связана с характером её поведения после прекращения внешнего воздействия, которое может быть оценено решением дифференциального уравнения, описывающего работу системы. Общая теория устойчивости разработана А.М. Ляпуновым. Линейная система называется устойчивой, если ее выходная координата остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях. Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.В общем случае решение уравнения имеет вид:

y(t )= yB(t) + yn(t)

где yB(t) - решение однородного уравнения (переходная или свободная составляющая); yn(t) - установившееся значение регулируемой величины (вынужденная составляющая) - решение уравнения с правой частью.

Устойчивость работы системы определяется переходной составляющей. Если переходная составляющая процесса управления после прекращения внешнего воздействия стремится к нулю, то такая система является устойчивой. Другими словами устойчивость системы - это есть затухание ее переходных процессов. Если свободная составляющая стремится к конечному значению или имеет вид гармонических колебаний с постоянной амплитудой, то система считается нейтральной. В том случае, если свободная составляющая неограниченно возрастает или имеет вид гармонических колебаний с возрастающей амплитудой, то система считается неустойчивой. Оценка устойчивости производится на основе результатов исследования свободной составляющей, которая представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (характеристического уравнения):

D(p) = a0pn + a1pn-1 + ... + an = 0 (4.1)

Переходная составляющая решения уравнения в общем виде

yni(t) = Aieбit * sin(вit + цi),

где бi ± jвi- корни характеристического уравнения;

Ai,Цi - постоянные.

При этом переходная составляющая с ростом времени стремится к нулю, если вещественные части корней бi отрицательны, в противном случае амплитуда колебаний переходной составляющей возрастает (рис.1).

Рис.1. Графики переходных составляющих

Пара мнимых корней (бi=0 ) характеристического уравнения позволяет получить переходную составляющую в виде автоколебаний с постоянной амплитудой:

Полученные корни характеристического уравнения могут быть представлены в виде точек на комплексной плоскости (рис. 2.).

Рис.2. Расположение корней САУ на комплексной плоскости корней

Для устойчивых систем необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси комплексной плоскости корней. Если хотя бы один вещественный корень или пара комплексных сопряженных корней находится справа от мнимый оси, то система является неустойчивой. Если имеется нулевой корень или пара чисто мнимых корней, то система считается нейтральной (находящейся на границе устойчивости и неустойчивости). Таким образом, мнимая ось комплексной плоскости является границей устойчивости.С целью упрощения анализа устойчивости систем разработаны ряд специальных методов, которые получили название критерии устойчивости. Критерии устойчивости делятся на две разновидности: алгебраические (критерий Гурвица) и частотные (критерии Михайлова и Найквиста). Алгебраические критерии являются аналитическими, а частотные - графоаналитическими. Критерии устойчивости позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость.

2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Алгебраический критерий Гурвица находит широкое применение при анализе САР. Первоначально, из коэффициентов уравнения (4.1) составляется матрица главного определителя:

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения (4.1.), начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при а0>0 все угловые определители (миноры) были также положительными, т.е.

и т.д.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен Дn=ann-1. Поэтому его положительность сводится при Дn-1>0 к условию an>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai. Если определитель Дn=0, то система находится на границе устойчивости. Из условия Дn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ Ккр.

3. Частотный критерий устойчивости Михайлова

Критерий Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы (4.1) путем подстановки p=jщ получают аналитическое выражение вектора M (jщ):

M(jщ)=a0(jщ)n+a1(jщ)n-1+...+an (4.2)

Уравнение (4.2) является комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора M(jщ) при изменении часты от 0 до +. Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<щ<, т.е. по приращению Д аргумента M (jщ)

, (4.3)

где m - число правых корней характеристического полинома; n - порядок характеристического уравнения системы. Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(jщ) при изменении от 0 до + равнялось n , так как m=0 для обеспечения устойчивости системы.Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(jщ) при изменении от 0 до + , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в . Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае P(щ) = 0 и Q(щ) = 0. Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис.3 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.

Рис.3. Годографы Михайлова

Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений P(щ) = 0 и Q(щ) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению (4.3) можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.

4. Частотный критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста - частотный критерий, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется по-разному, в зависимости от того, устойчива разомкнутая система или нет. Если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -I, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -I, j0, то система будет нейтральной. На рис.4 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.

Рис.4. АФЧХ разомкнутых САУ

АФЧХ астатической системы, начинаясь на вещественной положительной полуоси, при щ->0 дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол, равный -н, где н - порядок астатизма. На рис.5 изображена АФЧХ устойчивой в замкнутом состоянии астатической системы первого порядка.

Рис.5. АФЧХ астатической САУ первого порядка

Если разомкнутая система неустойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами (-1, j0) и при изменении частоты от 0 до оборачивалась вокруг нее против часовой стрелки m раз, где m - число правых полюсов разомкнутой системы. Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления. Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза щср, на которой A(щср)=1. Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной 1/а (рис.6), которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.

Рис.6. АФЧХ абсолютно устойчивой системы

Запас устойчивости по фазе задается некоторым углом ц (рис.4.6). В хорошо демпфированных системах запас устойчивости по амплитуде составляет примерно 6-20 дБ, что составляет 2ч10 в линейном масштабе, а запас по фазе от 30 до 60°. Наиболее удобно для исследования устойчивости использовать построенные л.а.х. и л.ф.х., располагая их друг под другом так, чтобы оси ординат совмещались и выбирая одинаковые масштабы оси абсцисс (рис.7).

Рис.7. ЛЧХ абсолютно устойчивой системы

По ЛЧХ разомкнутой системы можно определить запасы устойчивости: запас по фазе цзап отсчитывается по л.ф.х. на частоте среза щср и равен цзап=р - ц(щср), а запас по амплитуде Lзап соответствует значению л.а.х. на частоте, при которой л.ф.х. равна -р (рис.7). Если ц(щср)=-&pi, то система находится на границе устойчивости. Критический коэффициент усиления разомкнутой системы Kкр определяется из выражения

20*lg(Kкр)=20*lg(Kраз) + Lзап.

Критерием Найквиста удобно пользоваться для исследования устойчивости систем с запаздыванием. В этом случае строятся ЛЧХ разомкнутой САУ с запаздыванием

Wф(jщ) = W(jщ) * e-jщф.

Логарифмическая частотная характеристика не изменяется, а л.ф.х. сдвигается вниз на величину -щiф, где щi - значение частоты в конкретной точке. Критическое значение времени чистого запаздывания фкр, при котором САУ будет на границе устойчивости, находится по формуле:

.

Чтобы спроектировать систему с заданными показателями качества, строят запретную область вокруг точки с координатами (-1, j0), в которую не должна заходить АФЧХ разомкнутой системы, как показано на рис.8.

5. Логарифмический частотный критерий

автоматический алгебраический гурвиц годограф

Логарифмический критерий - это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы. Этот критерий основан на однозначной связи ЛФЧХ и АФЧХ систем автоматического управления. При этом рассматриваются САУ, базирующиеся на использовании устойчивых разомкнутых систем. Кроме того, рассматриваются системы с астатизмом не выше второго порядка.

Как следует из критерия устойчивости Найквиста в устойчивых САУ фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях комплексной передаточной функции, меньшем чем единица. Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Формулировка критерия: для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы больше нуля число переходов фазовой характеристики прямой снизу верх превышало на число переходов сверху вниз, где а - число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

В частном случае для устойчивой разомкнутой системы (а=0) необходимым и достаточным условием замкнутой системы является необходимость выполнения следующего условия. В диапазоне частот, где , фазовая частотная характеристика не должна пересекать прямой , или пересекать ее одинаковое число раз снизу вверх и сверху вниз.

Рис. 6. ЛФЧХ устойчивой и неустойчивой САУ

Критическим значением коэффициента преобразования называется такое его значение, при котором АФЧХ проходит через точку (-1, j0) и система находится на границе устойчивости.

Запасом по модулю называется величина в децибеллах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования САУ, чтобы привести ее к границе устойчивости.

,

где -- частота, при которой фазовая характеристика равна .

Запасом устойчивости по фазе называется угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая САУ оказалась на границе устойчивости.

,

где - значение ФЧХ на частоте среза системы, для которой выполняется условие .

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Оценка устойчивости системы автоматического регулирования по критериям устойчивости Найквиста, Михайлова, Гурвица (Рауса-Гурвица). Составление матрицы главного определителя для определения устойчивости системы. Листинг программы и анализ результатов.

    лабораторная работа [844,0 K], добавлен 06.06.2016

  • Проведение анализа замкнутой системы на устойчивость. Определение передаточной функции разомкнутой системы и амплитудно-фазовой частотной характеристики системы автоматического управления. Применение для анализа критериев Гурвица, Михайлова и Найквиста.

    контрольная работа [367,4 K], добавлен 17.07.2013

  • Устойчивость как свойство системы возвращаться в исходное состояние после вывода ее из состояния равновесия. Характер решения при различных значениях корней уравнения. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица, Найквиста, Михайлова, определение его областей.

    реферат [100,6 K], добавлен 15.08.2009

  • Построение переходных процессов в системах автоматического регулирования. Исследование ее устойчивости по критериям Михайлова и Найквиста. Построение кривой D-разбиения в плоскости двух действительных параметров. Прямые показатели качества регулирования.

    контрольная работа [348,6 K], добавлен 09.11.2013

  • Анализ структурной схемы заданной системы автоматического управления. Основные условия устойчивости критерия Гурвица и Найквиста. Синтез как выбор структуры и параметров системы для удовлетворения заранее поставленных требований. Понятие устойчивости.

    курсовая работа [976,0 K], добавлен 10.01.2013

  • Системы автоматического регулирования (САР), их виды и элементарные звенья. Алгебраические и графические критерии устойчивости систем. Частотные характеристики динамических звеньев и САР. Оценка качества регулирования, коррекция автоматических систем.

    курсовая работа [1,5 M], добавлен 16.02.2013

  • Возможности математического пакета MathCad. Использование алгебраического критерия Рауса-Гурвица для анализа устойчивости систем. Построение годографов Найквиста по передаточной функции разомкнутой системы заданной в виде полинома, использование ЛАХЧ.

    практическая работа [320,6 K], добавлен 05.12.2009

  • Определение передаточной функции автоматической системы регулирования. Исследование системы на устойчивость с помощью критерия Михайлова. Построение кривой переходного процесса при единичном ступенчатом входном воздействии методом частотных характеристик.

    контрольная работа [885,0 K], добавлен 20.12.2011

  • Преобразование исходной структурной схемы линейной системы автоматического регулирования. Определение с использованием критерия Найквиста устойчивости замкнутой системы. Построение амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы.

    контрольная работа [795,6 K], добавлен 27.03.2016

  • Решение задач расчёта устойчивости систем автоматического управления для обеспечения работоспособности промышленного робота и манипулятора. Критерий устойчивости Михайлова по передаточной функции и характеристическому вектору, построение годографа.

    контрольная работа [243,0 K], добавлен 10.08.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.