Анализ линейных электрических цепей методом комплексных амплитуд

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Работая инженером, постоянно в своей практике встречаю задачи связанные с необходимостью проведения анализа линейных электрических цепей и расчета их частотных характеристик, а так же экспериментального исследования процессов, проходящих в линейных цепях.

Цель расчетно-графической работы:

приобретение практических навыков численного анализа линейных электрических цепей методом комплексных амплитуд;

освоение методики аналитического и численного расчета частотных характеристик линейных электрических цепей;

выработка навыков имитационного и экспериментального исследования процессов в линейных цепях.

1 Расчет токов и напряжений в цепи при заданном гармоническом воздействии

Изобразим схему заданной цепи с подключенным к входу реальным источником напряжения (рисунок 1).

В цепях с одним источником сигнала токи и напряжения можно определить с помощью закона Ома.

Рисунок 1 - Схема цепи

Последовательно пронумеруем однотипные элементы цепи. Обозначим токи во всех ветвях и напряжения на всех элементах, зададим их условные положительные направления (рисунок 2).

Рисунок 2.

Затем перейдем к комплексной схеме замещения цепи, заменив все пассивные элементы комплексными сопротивлениями, все токи и напряжения их комплексными амплитудами (рисунок 3).

Рисунок 3 - Комплексная схема замещения цепи

Используя закон Ома в комплексной форме [2], произведем аналитический, а затем и численный расчет комплексных амплитуд искомых токов и напряжений.

Аналитический расчет предполагает вывод формул для комплексных амплитуд искомых колебаний, численный - непосредственный расчет по полученным формулам.

Так комплексную амплитуду полного тока в цепи найдем как

где - комплексная амплитуда ЭДС источника,

- эквивалентное комплексное сопротивление цепи равное:

Далее при заданной временной зависимости и с учетом приведенных в техническом задании исходных данных, находим комплексную амплитуду

В, а затем определяем комплексное сопротивление каждого из элементов:

получаем:

Отметим, что т.к. соединение элементов последовательное. Далее определяем по найденной комплексной амплитуде тока и известным комплексным сопротивлениям комплексные амплитуды напряжений :

Теперь, зная найдем комплексные амплитуды токов (комплексные амплитуды напряжений и равны, т.к. элементы соединены параллельно, заменив комплексные сопротивления эквивалентным сопротивлением определим и ):

Можно найти комплексные амплитуды напряжений и по известной комплексной амплитуде тока , которой, кроме того, будет равна и амплитуда , в связи с последовательным соединением элементов, они будут равны:

Проверку правильности результатов расчета проведем с использованием первого и второго законов Кирхгофа [2] :

Первый закон для токов в узле

Второй закон для напряжений в контурах

Далее рассчитаем амплитуды и начальные фазы токов и напряжений. Амплитуда будет равна модулю комплексного числа. В нашем случае комплексными числами будут являться найденные выше комплексные амплитуды токов и напряжений. Вычисления проведем, используя формулу известную из математики , где и соответственно действительная и мнимая части комплексного числа.

Амплитуды токов:

Амплитуды напряжений:

Начальные фазы токов и напряжений найдем как аргумент комплексного числа по формуле

и представим в градусах:

Начальные фазы токов

Начальные фазы напряжений

Результаты расчета сведем в таблицу 1.

Таблица 1. Результаты расчета гармонических токов и напряжений в цепи

2 Векторная диаграмма токов и напряжений в цепи. Проверка выполнения законов Кирхгофа

По данным таблицы 1 построим векторные диаграммы сначала для токов проходящих через узел (первый закон Кирхгофа), затем для ЭДС и падений напряжений в контуре (второй закон Кирхгофа).

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. Для нашей цепи имеем уравнение:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 4 - Векторная диаграмма выполнения первого закона Кирхгофа в узлах цепи

Проведем графическую проверку второго закона Кирхгофа, используя те же методы. В рассматриваемой цепи наибольший интерес представляют два контура. Топологические уравнения которых будут иметь вид:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 5 - Векторная диаграмма выполнения второго закона Кирхгофа в контурах цепи

3. Расчет частотных характеристик цепи

Первоочередная задача расчета частотных характеристик - получить аналитическое выражение для комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению, по которому в дальнейшем рассчитываются АЧХ и ФЧХ цепи.

Поскольку частотные свойства цепи не зависят от типа источника электрической энергии, подключенного к ее входу, а определяются лишь частотными свойствами элементов и топологией цепи, полагаем, что на входе по прежнему действует исходный источник напряжения, частота колебаний которого теперь может быть установлена любой (рисунок 6).

Рисунок 6 - Комплексная схема замещения цепи

Комплексный коэффициент передачи цепи рассчитывается по формуле:

где и - комплексные амплитуды входного и выходного напряжений в установившемся режиме.

Используя комплексную схему замещения цепи, выразим комплексные амплитуды и через комплексную амплитуду входного тока . Получаем согласно закона Ома:

где и можно связать соотношением характерным для делителя напряжения:

Тогда комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению:

C учетом:

Из дальнейшего преобразования получим:

Далее представим полученное выражение в показательной форме комплексного числа

Тогда модуль определяет АЧХ цепи [2]:

А аргумент определяет ФЧХ цепи:

Располагая формулами АЧХ и ФЧХ, рассчитаем частотные характеристики цепи в широком интервале частот [3]. Результаты отразим в таблице 2:

Таблица 2 - Выборочные значения АЧХ и ФЧХ цепи

По результатам вычислений построим графики зависимости АЧХ и ФЧХ от частоты в широком интервале частот от 1 до 300000 Гц (рисунок 7, 8).

Найдем по графику АЧХ полосу пропускания полосового фильтра, то есть диапазон частот, внутри которого АЧХ уменьшается не более чем в раз или на 3 дБ относительно максимального значения [2]. Определим граничные частоты полосы пропускания так называемые частоты среза.

По графику определим частоты среза

Тогда расчетная полоса пропускания равна:

Полоса пропускания характеризует частотный диапазон, в котором ФНЧ выполняет заданные функции передачи сигнала.

Рисунок 7 - График зависимости АЧХ цепи от частоты

Рисунок 8 - График зависимости ФЧХ цепи от частоты

4. Проверка основных расчетных результатов посредством имитационного моделирования

цепь напряжение ток имитационный

Для проведения проверки основных расчетных результатов посредством имитационного моделирования необходимо воспользоваться схемотехническим симулятором. Наиболее распространенным и простым в использовании является схемотехнический симулятор «Electronics Workbench» [4]. Кроме того, ранее этот симулятор использовался мной при выполнении лабораторных работ.

Изобразим схему цепи в симуляторе, задействовав идеализированные модели элементов. Ко входу подключим источник напряжения. Его параметр «Voltage» установим равным 0,707 В, что соответствует действующему значению требуемого напряжения (амплитуда колебаний при этом составит 1 В). Параметр Frequency = 47,746 кГц. Параметр Phase установим 90є (рисунок 9).

Измерения проведем посредством двухлучевого цифрового осциллографа, подключенного одним концом ко входу, а вторым к выходу цепи (рисунок 9).

Рисунок 9

Запустив симулятор, получим осциллограммы сигналов входного и выходного напряжений (рисунок 10). АЧХ и ФЧХ цепи можно рассчитать по измеренным значениям амплитуд напряжений или измерить по графикам в симуляторе.

Так АЧХ на установившейся частоте будет равно:

.

Найдем ФЧХ. Из рисунка 10 видно, что напряжение на выходе не запаздывает по фазе, значит абсолютное значение сдвига фаз на установившейся частоте будет равно нулю.

Рисунок 10

Далее измерим период колебаний мс (рисунок 10).

Абсолютное значение сдвига фаз на заданной частоте можно вычислить по формуле

Таким способом необходимо рассчитать значения АЧХ и ФЧХ в нескольких значениях частоты, достаточных для качественного построения графиков. Другой, более удобный способ, показан на рисунке 11, где посредством встроенных приложений симулятора «Electronics Workbench» автоматически строятся графики АЧХ и ФЧХ цепи, по которым с помощью подвижных меток снимаются значения АЧХ и ФЧХ в любых точках заданного диапазона частот.

Рисунок 11

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы был проведен численный расчет амплитуд и начальных фаз токов во всех ветвях цепи и напряжений на всех элементах методом комплексных амплитуд.

Результаты расчета представлены в таблице 1.

Построены векторная диаграмма токов в узле цепи и напряжений в контурах. Проведена проверка первого и второго законов Кирхгофа для всех узлов и контуров схемы цепи.

Получены аналитические выражения для комплексного коэффициента передачи цепи:

амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) цепи:

и фазо-частотной (ФЧХ) характеристики цепи:

Посредством пакета программ «MathCAD» рассчитаны численные значения АЧХ и ФЧХ цепи на большом интервале частот (0...300 кГц), выборочные результаты расчета отображены в таблице 2.

Построены и проанализированы их графики (рисунок 7,8). Определены граничные частоты полосы пропускания:

Список источников

Семенов Б. Ю. Силовая электроника для любителей и профессионалов. М.: СОЛОН-Р, 2001.

Байтурсуйнов В., Иванов В., Панфилов Д. Повышение КПД понижающих конверторов при синхронном выпрямлении. «Chip news», 1999, № 12.

Розанов Ю. К. Основы силовой электроники. - М.: Энергофтомиздат, 1992.-296с.

СТО-13-2011 Студенческие работы. Общие требования к оформлению. Липецк : ЛГТУ, 2011, 32 с.

Бессонов Л. Н. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1973. - 750 с.

Размещено на Allbest.ru