Теория идентификации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление:

• 1. Основные понятия теории идентификации
• 2. Общая характеристика методов идентификации

3. Особенности идентификации как оптимизационной задачи

• 4. Основные задачи идентификации
• 5. Идентификация параметров объекта спектральным методом
• 6. Параметрическая идентификация
• 7. Особенности идентификации в замкнутых системах
• Список использованной литературы

1. Основные понятия теории идентификации

При изучении любых объектов (технических систем, процессов, явлений) основной задачей является построение их моделей. Как результат познания модель представляет собой отображение в той или иной форме свойств, закономерностей, физических и других характеристик, присущих исследуемому объекту. Характер модели определяется поставленными целями и может быть различным в зависимости от ее назначения. Модели разделяют на два основных класса: символические (словесные описания, схемы, чертежи, математические уравнения и т. д.) и вещественные (макеты, разного рода физические аналоги и электронные моделирующие устройства, имитирующие процессы в объектах).

При исследовании объектов, предназначенных для управления, применяют математические модели, входящие в класс символических, и вещественные. К математическим моделям относится такое математическое описание, которое адекватно отражает как статические, так и динамические связи между входными и выходными переменными объекта. Математическая модель может быть получена и аналитически (закономерности протекающих в объекте процессов полностью известны), и по результатам экспериментального исследования входных и выходных переменных объекта без изучения его физической сущности. Последний подход особенно широко используется на практике, так как позволяет обойтись минимумом априорных сведений об объекте при построении его модели.

Для управления объектом необходимо иметь модель в виде математического описания, устанавливающего связь между входными и выходными переменными в форме, на основе которой может быть выбран закон управления, обеспечивающий заданное функционирование объекта. Получаемое описание должно давать правило преобразования воздействия на объект u в реакцию объекта у. Переменные u и y могут представлять собой функции одинаковых или разных аргументов. Преобразование одной функции в другую производится оператором, который определяет совокупность математических или логических операций, устанавливающих соответствие между ними:

y(t) = A{u(t)}.

В качестве примера можно назвать операторы дифференцирования, интегрирования и т. п. Для стационарных линейных одномерных объектов оператор может быть задан в виде дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений первого порядка, интегральной свертки, частотной характеристики (передаточной функции) объекта.

На практике объекты стремятся описывать линейными стационарными моделями, хотя в действительности все объекты в той или иной мере обладают свойствами нелинейности, нестационарности, распределейности, стохастичности. Использование более простых операторов следует рассматривать как попытку аппроксимации характеристик сложного объекта упрощенным приближенным описанием, но удобным для дальнейших расчетов. Описания могут быть заданы различным образом: аналитически, таблично, в виде разложения по какой-либо системе функций и т. д.

После формулировки целей управления необходимо выделить объект управления из среды, т. е. определить границы объекта и установить его взаимодействие со средой. Последнее характеризуется моделью возмущений. Далее строится структура и проводится идентификация параметров модели объекта. В процедуре синтеза управления, являющейся оптимизационной задачей, модель объекта выступает как ограничения. С помощью же модели возмущений можно оценить некоторые качественные показатели управления.

Когда решается задача управления сложным объектом, часто не удается получить описание, имеющее приемлемую точность. В этом случае используется ансамбль моделей, в котором каждая из них описывает отдельные стороны процесса. С упрощением моделей ослабляются и цели управления (например, в неопределенной ситуации ставится задача нахождения разумной стратегии управления без жестких качественных показателей). Часто такие модели реализуются как совокупность программ, имитирующих работу объекта и ориентированных на использование ЭВМ.

идентификация объект оптимизационная задача

2. Общая характеристика методов идентификации

Наиболее достоверную математическую модель объекта можно найти аналитическим путем. Для этого необходимо располагать всесторонними сведениями об объекте (о конструкции, о законах, описывающих протекающие в нем процессы, об условиях функционирования и взаимодействия со средой). Однако часто из-за отсутствия достаточных данных получить решение задачи таким путем не удается. Трудности применения аналитических методов возникают и при описании реальных объектов, процессы в которых имеют сложный характер. Поэтому в подобных случаях эти методы дополняются экспериментальными исследованиями. Преимуществом моделей, полученных теоретическим путем, как правило, является их достаточно общий вид, позволяющий рассматривать поведение объектов в различных возможных режимах.

С практической точки зрения, более привлекательны экспериментальные методы, позволяющие находить модели объектов по результатам измерения их входных и выходных переменных. Хотя эти методы также предполагают наличие априорных сведений об изучаемом объекте, но их характер может быть не столь обстоятельным. Как правило, уровень априорных сведений должен быть достаточным лишь для выбора структуры модели и условий проведения эксперимента. Построение моделей объектов на основе такого подхода обычно и называют идентификацией.

В общем случае под идентификацией понимают определение структуры и параметров математической модели, которые обеспечивают наилучшую близость значений выходных переменных модели и объекта в смысле заданного критерия при одних и тех же входных воздействиях.

К выбору метода идентификации нельзя подойти однозначно, поскольку в самой постановке задачи заранее предполагается неопределенность (неполнота знаний об объекте, ограничения в наблюдениях объекта во времени, неточность измерения сигналов на входе и на выходе объекта и т. п.).

Комплекс задач при идентификации модели объекта обычно разделяется на три этапа:

- на первом этапе выбирается структура модели по результатам изучения объекта или по имеющимся априорным сведениям,

- на втором этапе - критерий близости (подобия) модели и объекта,

- на третьем этапе по экспериментальным данным определяются параметры модели исходя из выбранного критерия.

Следует заметить, что вследствие значительной сложности этап структурной идентификации часто сводят в значительной мере к эвристическому заданию структуры модели, опираясь на априорные данные об объекте. Очевидно, что в таких случаях эффективность последующей параметрической идентификации во многом определяется тем, насколько удачно была выбрана структура модели.

Для решения задач параметрической идентификации разработано большое число методов, учитывающих особенности объектов, условия их функционирования, способ тестирования и математическую основу анализа экспериментальных данных, вид получаемых моделей и т. п.

Методы параметрической идентификации можно характеризовать различными признаками. По способу тестирования исследуемого объекта методы идентификации делятся на активные и пассивные.

Применение активных методов предполагает подачу на вход объекта специально сформированных воздействий - детерминированных или случайного характера. Среди активных методов идентификации широкое распространение получили частотные методы, основанные на измерении установившихся выходных сигналов исследуемого объекта, вызванных гармоническим входным воздействием. Для идентификации линейных объектов используют и другие периодические воздействия (прямоугольные, треугольные), а также апериодические воздействия в виде ступенчатых, импульсных и других сигналов. В качестве случайных тестовых сигналов особенно широко применяют псевдослучайные двоичные последовательности, что объясняется простотой их получения и удобством обработки с помощью средств вычислительной техники. Достоинство активной идентификации заключается в нежесткости требований к априорным данным об объекте. Основываясь на методах планирования эксперимента, такую идентификацию можно осуществлять целенаправленно, что позволяет ускорять выявление закономерностей в зависимостях между переменными объекта и сокращать тем самым временные и материальные затраты на его испытания.

При использовании пассивных методов идентификации объект находится в условиях нормального функционирования. При этом параметры его модели ищутся по результатам статистической обработки наблюдений естественных изменений величин на его входе и выходе. При пассивной идентификации применяют статистические принципы обработки данных измерений (методы корреляционного и регрессионного анализов, стохастической 319 аппроксимации и др.). Преимущество пассивных методов состоит в том, что для их применения достаточна регистрация переменных только в режимах рабочего функционирования объекта. Это особенно важно при идентификации реальных промышленных процессов с непрерывным производством дорогостоящего продукта. С другой стороны, пассивные методы идентификации сопряжены со значительными затратами времени на накопление и обработку информации. Кроме того, их применение возможно лишь в том случае, если воздействие на входе объекта обладает достаточно широким частотным спектром (по крайней мере, не меньше, чем полоса частот, в пределах которой необходимо оценить динамическую характеристику объекта). Снижение точности идентификации, обусловленное последней причиной, можно существенно уменьшить, если добавить к естественному входному воздействию объекта специального случайного сигнала небольшого уровня с заданными статистическими характеристиками. В этом случае ослабляется также и влияние обычно действующих на объект неконтролируемых помех.

При идентификации объектов применяют как детерминированные, так и статистические методы обработки данных наблюдений, что определяется характером анализируемых сигналов. Детерминированные методы могут быть использованы только при активной идентификации в случае, когда сигналы на входе и выходе объекта имеют детерминированную форму. Однако в реальных условиях из-за сильного влияния помех такие сигналы зачастую сильно зашумлены. Требуемая точность анализа здесь может быть достигнута дополнением детерминированных алгоритмов обработки статистическим усреднением (сглаживанием) получаемых результатов. Очевидно, что для этого необходимы более длительные испытания объекта с целью накопления данных.

По признаку временных затрат методы идентификации разделяются на оперативные и ретроспективные. При оперативной идентификации обеспечивается отслеживание меняющихся параметров объекта. С этой целью применяют рекуррентные алгоритмы обработки данных, которые удается реализовать аппаратными средствами в темпе, близком к скорости протекания процессов в изучаемом объекте. При ретроспективной идентификации значительно упрощают условия решения задачи идентификации. В этом случае можно многократно обращаться к накопленным экспериментальным данным и подбирать наиболее эффективные алгоритмы их анализа.

Методы идентификации часто различают также по признаку, указывающему на их приспособленность к исследованию динамических объектов того или иного класса. Важной особенностью при идентификации является наличие или отсутствие процедур сравнения получаемой модели с объектом. Это определяет соответственно две возможные структуры построения систем идентификации: по разомкнутой и замкнутой схемам.

Результатом решения задачи идентификации является математическая модель, представленная во временной или частотной области. При этом полученная модель адекватна объекту по поведению, т. е. по динамическим свойствам, в соответствии с выбранным при идентификации критерием подобия.

3. Особенности идентификации как оптимизационной задачи

Широкий спектр задач идентификации обусловливает, соответственно, большое разнообразие приемов и алгоритмов, применяемых для их решения. Однако практически все эти алгоритмы и их использование в процедурах идентификации имеют некоторую общую специфику, на которую важно обратить внимание.

Во-первых, при исследовании объектов с целью поиска их математического описания, как правило, применяют стандартные алгоритмы. Их необходимо хорошо понимать, чтобы правильно поставить задачу, подготовить исходные данные, выбрать параметры. Необходимость понимания существам алгоритма связана с тем, что необходимо хотя бы на качественном уровне прогнозировать результат и после вычислений либо принять его, либо повторить обработку, проведя необходимую коррекцию.

При использовании алгоритмов идентификации объектов необходимо иметь в виду, что в большинстве случаев они построены на основе принципа учета начальных представлений об исследуемом объекте. Однако начальные представления могут быть частично и даже полностью ошибочными, что может при очередном шаге реализации алгоритма не только улучшить, а даже ухудшить положение.

Начальные представления называют априорной (доопытной) информацией, в противоположность апостериорной (послеопытной) информации. Обычно апостериорная информация - это выборка ( массивы, составленные из значений сигналов, измеренных на входе и выходе объекта); характер априорной информации может быть более разнообразен - представление о структуре оператора изучаемого объекта, частотной характеристике сигналов и объекта, функции распределения случайных величин и т.п.

В настоящее время проблемы, связанные с созданием математических моделей объектов технологических процессов, экономики и живой природы, формируют одно из основных направлений науки и техники - моделирование.

Это объясняется тем, что математические модели объектов широко применяются как при создании систем управления этими объектами, так и при их эксплуатации.

В данном работе рассматриваются только модели технических объектов и систем. Объекты и системы представляют собой совокупность материальных тел, находящихся в непрерывном взаимодействии друг c другом и с окружающей средой.

Построение математической модели объекта может производиться несколькими методами: аналитическим, экспериментальным и экспериментально-аналитическим.

Аналитический метод предусматривает получение математического описания объекта на основе законов физики, механики, химии и т. д. Такой подход дает положительный результат, если рассматриваемый объект достаточно прост по структуре и хорошо изучен. Если же объект изучен недостаточно или же настолько сложен, что аналитическое описание его математической моделью практически невозможно, прибегают к экспериментальным методам, суть которых сводится к статистической обработке технологических данных. При экспериментально-аналитическом методе априорная модель, полученная аналитическим путем, уточняется в соответствующих экспериментах.

Взаимодействие объекта с окружающей средой поясним с помощью простейшей схемы (рис.1). Воздействия внешней среды на объект в обобщенном виде изображены стрелками, направленными к объекту и обозначенными через x и v. Объект, в свою очередь, воздействует на f окружающую среду. Это воздействие показано стрелкой, направленной от объекта и обозначенной через y. Величину y принято называть выходным воздействием или выходной величиной объекта.

Рассмотрим более подробно воздействие среды на объект. Совокупность таких воздействий окружающего мира на объект можно разделить на две группы в соответствии с характером влияния среды на переменные состояния (фазовые координаты) объекта. В первую группу входят те воздействия, которые в точке приложения изменяют переменные состояния аддитивно. Это означает, что сигналы, пропорциональные этим воздействиям, суммируются с сигналами, пропорциональными соответствующим переменным состояния.

Эти воздействия называют «входными», или «внешними», воздействиями. В дальнейшем будем называть эти воздействия «входными».

Входные воздействия могут быть полезными (управляющими сигналами u) и помехами (возмущающими воздействиями f). Вторая группа воздействий внешней среды изменяет переменные состояния объекта косвенно, обычно не аддитивно. Эти воздействия приводят к изменению оператора объекта (системы) А, под которым понимают закон преобразования входных воздействий в выходные переменные объекта. Вторую группу воздействий будем называть операторной, а воздействия - операторными.

Так, например, повышение температуры электродвигателя приводит к падению мощности и даже выходу его из строя.

В общем случае входные и выходные воздействия могут описываться определенными функциями (обычно функциями времени). Математически соответствие между входной и выходной функциями можно записать в виде выражения:

y(t)=A(f)u(t) (1.1)

где A(f) - оператор, зависящий от возмущений (операторных воздействий); y(t) - вектор выходных координат объекта; u(t) - вектор управления (входа).

Оператор объекта является его математической характеристикой, т. е. математической моделью объекта.

Примерами операторов могут быть:

-оператор дифференцирования p: (1.2)

-дифференциальный оператор D(y): (1.3)

Математически операторы определяются в соответствующих пространствах, т.е. на множествах элементов, над которыми совершаются преобразования. Примерами таких пространств являются пространства: непрерывных функций; непрерывных функций, имеющих непрерывные производные до n-го порядка (n > 0); функций с суммируемым квадратом и т.д. Множества входных и выходных сигналов объектов и систем могут рассматриваться как те или иные метрические пространства.

Формально оператор характеризуется структурой и параметрами. Так, структура дифференциального оператора (1.3) определяется его порядком n.

4. Основные задачи идентификации

Рассмотрим различные постановки задачи идентификации. Как уже отмечалось выше, в общем виде задача идентификации заключается в определении оператора объекта, преобразующего входные воздействия в выходные. В связи с этим выделят задачи структурной и параметрической идентификации.

При структурной идентификации определяют структуру и вид оператора объекта, или другими словами вид математической модели объекта.

После того как математическая модель объекта определена, проводят параметрическую идентификацию, заключающуюся в определении числовых параметров математической модели.

Задачей структурной идентификации является представление реального объекта управления в виде математической модели. Конкретный выбор математической модели зависит от типа объекта.

Для описания больших систем и объектов, таких как социальные, производственные, финансово-экономические, используются семиотические (знаковые) и лингвистические модели, базирующиеся на теории множеств и абстрактной алгебры.

В качестве математических моделей технических систем применяются дифференциальные уравнения в обыкновенных и частных производных.

Причем при решении задач управления предпочтение отдается моделям в пространстве состояний и структурированным моделям, описываемым дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. Задачу параметрической идентификации можно сформулировать следующим образом. Пусть имеется полностью наблюдаемый и полностью управляемый объект, задаваемый уравнениями состояния:

где B - n-мерный вектор - столбец, а C - n-мерный вектор - строка, А - квадратная матрица размером n Ч n. Элементы этих векторов АВ и С неизвестные числа. Целью идентификации является определение этих чисел.

Под идентификацией в дальнейшем будем понимать нахождение параметров моделей объектов, предполагая, что уравнения моделей заранее известны и задаются с помощью обобщенной структурной схемы объекта (рис. 2), т.е. будем рассматривать вопросы параметрической идентификации.

На схеме приняты следующие обозначения:

u и y - наблюдаемые входной и выходной сигналы;

x - ненаблюдаемая (скрытая) переменная, оцениваемая косвенно по сигналам u и y , получаемым в результате преобразования в системе операторами А В и H;

е₁ и е₂ - ненаблюдаемые помехи (случайные процессы типа белого шума);

f и v - ненаблюдаемые помехи (коррелированные во времени случайные сигналы, в некоторых случаях содержащие детерминированные составляющие);

A, B, C, E, G, H - операторы, вид которых известен, но неизвестны параметры.

Основными постановками задач идентификации являются:

- идентификация, или определение характеристик объекта (по значениям u и y определить операторы А, В и C);

- генерация случайных сигналов с заданными характеристиками, или определение характеристик сигналов (по значениям f или v определить оператор E или G, H);

- наблюдение за скрытыми переменными, или определение переменных состояния (по наблюдаемым u и y, известным операторам A, B, C, E, G, H определить x).

Решение вышеназванных задач идентификации осуществляется методами параметрической и непараметрической идентификации. При использовании методов параметрической идентификации сразу определяются коэффициенты передаточной функции или уравнения объекта. Вторая группа методов используется для определения временных или частотных характеристик объектов, а также характеристик случайных процессов генерируемых объектами. По полученным характеристикам затем определяются передаточная функция или уравнения объекта. В настоящее время более широкое распространение получили методы параметрической идентификации.

5. Идентификация параметров объекта спектральным методом

Спектральные методы идентификации основаны на использовании аппарата матричных операторов. Эти методы являются дальнейшим развитием частотных методов и основываются на разложении сигналов объекта по ортонормированным функциям, не обязательно гармоническим. Результатом идентификации является определение ядра интегрально уравнения объекта, которое в простейшем случае линейных одномерных систем совпадает с функцией веса.

Поэтому эти методы также можно отнести к непараметрическим методам идентификации. Спектральные методы могут применяться для идентификации нестационарных систем, параметры которых, и в частности ядро интегрального уравнения, изменяются во времени.

6. Параметрическая идентификация

Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен.

Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС - модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС - модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний.

В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями - и структурой. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,C и D по результатам измерений входа u(t)и выхода y(t). Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.

Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации.

7. Особенности идентификации в замкнутых системах

Для систем управления характерна ситуация, когда часть входных переменных u (управляющие воздействия) изменяются в зависимости от наблюдаемых переменных на входе у, т.е. имеет место обратная связь и управление осуществляется в замкнутом контуре. В этом случае входные переменные u коррелированны с шумами на выходе системы, и оценки параметров объекта могут быть смещены.

Идентификации параметров объекта в замкнутых системах может проводиться при естественных шумах объекта управления и создании дополнительных широкополосных шумов, вносимых в замкнутый контур.

В первом случае через контур обратной связи возникает корреляция между входными и выходными данными объекта, что может приводить к смещению оценок его параметров. Поэтому для устранения этого смещения необходимо выполнение двух условий идентифицируемости.

Первое условие отвечает требованию априорной известности структуры и порядка модели объекта управления.

Второе условие задается неравенствами:

где m_R, m_o и n_R, n_o - порядки полиномов числителей и знаменателей передаточных функций регулятора и объекта соответственно, d - дискретное запаздывание в системе.

Если структура регулятора не отвечает второму условию идентифицируемости, то для получения сходящихся оценок рекомендуется:

- попеременное включение двух регуляторов с различными параметрами настройки;

- введение запаздывания в контур обратной связи, где p - число кратных корней в полиномах знаменателей A и D моделей объекта и формирующего фильтра шума;

- использование нелинейных или нестационарных регуляторов.

Следует отметить, что непараметрические методы идентификации, замкнутых системах при естественных шумах объекта управления неэффективны, так как в лучшем случае позволяют оценить параметры замкнутой системы управления.

Для улучшения сходимости оценок при проведении идентификации рекомендуется подача дополнительных измеряемых широкополосных шумов вносимых в замкнутый контур и некоррелированных с естественными шумами объекта управления.

Для анализа замкнутых систем, находящихся под воздействием наблюдаемых, коррелированных во времени шумов, удобно разделить их на два класса. Первый - замкнутые системы с шумами в объекте и в обратной связи, второй - замкнутые системы без шума в обратной связи.

Условия идентифицируемости объекта в замкнутой системе первого класса практически совпадают с условием идентифицируемости разомкнутых систем. Но наличие ОС может повлиять на дисперсию оценок на конечной выборке.

В системах второго класса может возникнуть структурная неидентифицируемость из-за линейной зависимости регрессоров уравнения объекта.

Для устранения структурной неидентифицируемости используют специальные приемы, нарушающие линейность зависимости регрессоров (введение шума в цепь ОС, введение нелинейности в контур ОС, получение реализаций при нескольких настройках регулятора).

Список использованной литературы:

1. Семенов А. Д., Артамонов Д.В., Брюхачев А.В. Идентификация объектов управления: Учебн. пособие. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003.

2. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управения: Учебн. пособ. - М.: Наука.

3. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и тт.; 2-е изд., перераб. и доп. Т.1: Математиеские модели, динамические характеристики и анализ ситсем автоматического управления/ Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. - М.: Изд. МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004.

4. Алексеев А.А., Григорян В.Г., Солодовников А.И. Математические модели объектов и методы их идентификации/ ЛЭТИ. - Л., 1978.

5. http://spimash.ru

Размещено на Allbest.ru