Расчет и исследование динамики непрерывных и цифровых систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Содержание

Введение

1. Теоретические основы

1.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

1.2 Расчет каскадной системы автоматического управления

1.3 Цифровые системы автоматического регулирования

2. Практическая часть

2.1 Расчет настроек регуляторов методом расширенных частотных характеристик

2.2 Расчет каскадной системы автоматического регулирования

2.3 Расчет цифровой системы регулирования

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Для передаточных функций

рассчитать :

1. настройки П, ПИ, ПИД регуляторов методом расширенных частотных характеристик.

2. каскадную систему автоматического управления.

3. цифровую систему автоматического управления.

Управление - это процесс формирования и реализации управляющих воздействий, направленных на достижение некоторой цели. Такой целью может быть поддержание некоторой физической величины на заданном уровне, изменение некоторого параметра по определенному алгоритму, получение желаемого вида переходных процессов и т.д.

Системой автоматического управления называется совокупность объекта управления и управляющего устройства, взаимодействие которых обеспечивает процесс управления без участия человека. Частным случаем системы автоматического управления является система автоматического регулирования, в которой в качестве управляющего устройства используется регулятор.

Пример автоматической системы регулирования приведен на рис.1:

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис.1. Структурная схема автоматической системы регулирования.

Регулируемой величиной y(t) является параметр, характеризующий работу объекта и который необходимо изменять в соответствии с целью управления (например, поддерживать на заданном уровне).

Регулирующее воздействие u(t) представляет собой изменение материальных или энергетических потоков (расходы теплоносителей, хладагентов и т.д.), с помощью которых регулятор влияет на состояние объекта управления для достижения цели управления.

Входным сигналом системы является задающее воздействие (задание) y₀(t), соответствующее желаемому значению регулируемого параметра.

Разность между заданным и измеренным значением регулируемой величины называется рассогласованием е(t):

Принцип работы замкнутой системы автоматического регулирования следующий. Текущее значение регулируемой величины измеряется датчиком. Сигнал с выхода датчика подается в регулятор, где сравнивается с заданным значением. При наличии разности (сигнала рассогласования) регулятор вырабатывает регулирующее воздействие, направленное на уменьшение сигнала рассогласования.

В качестве примера рассмотрим систему автоматического регулирования температуры технологического потока на выходе из теплообменного аппарата (рис. 2).

Текущее значение температуры t измеряется датчиком 1. Сигнал с выхода датчика, соответствующий измеренному значению температуры t_изм, подается в управляющее устройство (регулятор) 2, где сравнивается с заданным значением температуры t_зд. При наличии разности температур управляющее устройство вырабатывает управляющее (регулирующее) воздействие (изменение расхода греющего пара F_п), направленное на уменьшение сигнала рассогласования. Это воздействие стремится устранить отклонение независимо от причин, вызвавших это отклонение, будь то возмущающее воздействие, изменение свойств систему управления или несоответствие между рассчитанным и фактическим управляющим воздействием.

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис. 2. Пример регулирования температуры в теплообменнике.

1 - датчик температуры; 2 - управляющее устройство; 3 - исполнительное устройство.

1. Теоретические основы

1.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

Практическое требование к АСР, диктуемое свойствами реальных объектов, заключается в том, что автоматическая система регулирования должна обладать определенным запасом устойчивости. Запас устойчивости гарантирует работоспособность системы при отклонениях в некоторых пределах ее параметров и изменении ее характеристик со временем или при изменении режима работы. Требование запаса устойчивости вводит ограничение на область расположения корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Условие устойчивости линейной САУ формулируется следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми (т.е. находились в левой комплексной полуплоскости). Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю, а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости. Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости.

Границей устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования является мнимая ось комплексной плоскости. Если в качестве меры запаса устойчивости выбирают степень колебательности m, то границей расположения корней становятся два луча ОА и ОВ, расположенные под углом arctg m к мнимой оси (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис. 3. Иллюстрация к введению запаса устойчивости.

Обычно в расчетах в качестве граничных принимают значения степени колебательности m = 0.221 или m = 0.366.

Расчет АСР на заданный запас устойчивости по степени колебательности производится по расширенной амплитудно-фазовой характеристике (РАФХ) разомкнутой системы.

В этом случае критерий запаса устойчивости можно сформулировать следующим образом: если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы W_р.с(m,iщ) при изменении частоты от 0 до ? проходит через точку с координатами [-1, i0], не охватывая ее на более низких частотах (рис. 4), то пара комплексно-сопряженных корней будет расположена на лучах, проведенных под углом arctg m к мнимой оси в левой полуплоскости, а все остальные корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены левее этих лучей.

Рис. 4. Пример годографов АФХ и РАФХ разомкнутой системы.

Этому условию соответствует выражение:

, где W_р.с(m,iщ), W_об(m,iщ), W_рег(m,iщ)

- РАФХ разомкнутой системы, объекта и регулятора.

Выполнение этого условия обеспечивается при определенных значениях параметров настройки регуляторов.

Поэтому на основании последнего выражения получаются уравнения для определения значений параметров настройки регулятора, при которых обеспечивается заданное ограничение на расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы и, следовательно, заданный запас устойчивости для АСР:

П - регулятор. П - регулятор имеет один параметр настройки С₁. Его расширенные частотные характеристики совпадают с обычными, т.е.

В этом случае уравнения (*) принимают вид:

Рабочая частота щ_р определяется из второго уравнения системы, а затем из первого находится оптимальная настройка С₁.

ПИ - регулятор. ПИ - регулятор - регулятор с двумя параметрами настроек С₁ и С₀. Его расширенные частотные характеристики выводятся из передаточной функции подстановкой :

(с учетом того, что ).

После подстановки полученных выражений в уравнения (*) выводятся формулы для настроек регуляторов в следующем виде:

.

Поскольку в формулы для настроек входит неизвестная переменная щ, то, следовательно, существует бесчисленное множество настроек С₁ и С₀, обеспечивающих заданную степень колебательности в данной АСР, причем каждой паре настроек соответствует своя рабочая частота.

Если в плоскости параметров С₁, С₀ построить геометрическое место точек, соответствующих определенной степени колебательности m, получим кривую, называемую кривой равной колебательности (рис. 5)

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис. 5. Плоскость параметров настроек ПИ-регулятора.

Принимая различные значения m, можно построить семейство кривых равной колебательности, каждая из которых разбивает плоскость параметров на две области: настройки, лежащие под кривой m* = сonst, обеспечивает себе степень колебательности, больше m*; область, расположенная под этой кривой, соответствует степени колебательности, меньшей, чем m*. Очевидно, что кривая m = 0 разбивает плоскость параметров настроек регулятора на области устойчивой и неустойчивой работы АСР.

На практике рекомендуется выбирать рабочую частоту из соотношения: , где щ_п - частота, соответствующая П - регулятору (точка 1); щ* - частота, соответствующая вершине кривой равной колебательности.

Таким образом, методика расчета оптимальных настроек ПИ - регулятора сводится к следующему:

- расчет расширенных частотных характеристик объекта для заданной степени колебательности m*;

- расчет и построение кривой равной колебательности m = m* в плоскости параметров С₁ и С₀ по формулам;

- выбор рабочей частоты щ_р и соответствующих ей оптимальных настроек.

ПИД - регулятор. ПИД - регулятор имеет три параметра настроек С₁, С₀, С₂ и поэтому его расчет по методу расширенных частотных характеристик несколько сложнее, чем расчет регуляторов с двумя параметрами.

Расширенные частотные характеристики ПИД - регулятора:

;

; ;

где .

Решение системы уравнений с учетом последних формул дает выражения для расчета двух настроек как функции третьей настройки, например:

;

,

где .

Для ПИД - регулятора вместо плоскости параметров настроек мы имеем трехмерное пространство. В этом случае определение оптимальных настроек производится в следующем порядке.

Задаваясь различными значениями настройки С₂, по последним формулам рассчитываются кривые равной колебательности в плоскости С₁, С₀ (рис. 6). Характер этих кривых аналогичен рассмотренной ранее кривой для ПИ - регулятора, который получается как частный случай из ПИД - регулятора при С₂ = 0. Условно оптимальные настройки находятся также как и для ПИ - регулятора.

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис. 6. Плоскость параметров настроек ПИД - регулятора.

Сравнение между собой оптимальных процессов регулирования для разных значений С₂ показывает, что введение дифференциальной составляющей в закон регулирования (по сравнению с ПИ - регулятором) существенно улучшает качество переходных процессов.

Однако, начиная с некоторых значений С₂, дальнейшее его увеличение малоэффективно, поэтому окончательный выбор оптимального значения С₂* и соответствующих ему С₁* и С₀* должен производиться на основе непосредственного сравнения качества процессов регулирования по интегральному квадратичному критерию.

1.2 Расчет какскадных систем автоматического управления

Каскадная АСР включает в себя два регулятора - основной регулятор, служащий для стабилизации основного выхода объекта y, и вспомогательный регулятор, предназначенный для регулирования вспомогательной координаты y₁. Заданием для вспомогательного регулятора служит выходной сигнал основного регулятора (рис. 7).

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис.7. Структурная схема каскадной АСР.

Расчет каскадной АСР проводится по эквивалентным объектам. Для этого исходную структурную схему (рис.7) преобразовывают таким образом, чтобы один из регуляторов условно относился к эквивалентному объекту.

Как видно из рис. 8а, эквивалентный объект для основного регулятора представляет собой последовательное соединение замкнутого вспомогательного контура и основного канала регулирования.

Передаточная функция его равна:

. (1)

Эквивалентный объект для вспомогательного регулятора является параллельным соединением вспомогательного канала и основной разомкнутой системы. Его передаточная функция равна:

. (2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

а) б)

Рис.8. Структурные схемы эквивалентной одноконтурной системы регулирования

а - с основным регулятором; б - со вспомогательным регулятором.

Для приближенного расчета настроек основного регулятора принимают допущение о том, что рабочая частота основного контура (щ_р) намного меньше, чем вспомогательного (_р1), и при щ = щ_р

.

. (3)

Таким образом, в случае приближенных расчетов, настройки основного регулятора не зависят от вспомогательного и находятся по передаточным функциям объекта.

Для приближенного расчета вспомогательного регулятора предполагают, что внешний регулятор отключен, т.е.

. (4)

Таким образом, приближенные настройки вспомогательного регулятора находят по одноконтурной АСР для вспомогательного канала регулирования.

регулятор теплообменный управление

1.3 Цифровые системы автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

41

Рис. 9. Одноконтурная цифровая система управления

Поскольку выходной сигнал АЦП представляет собой последовательность импульсов с амплитудами y(kT), то его можно описать выражением:

,

где предполагается, что сигнал y(t) существует для t > 0.

Преобразовав это выражение по Лапласу, получим:

.

Если ввести переменную

,

можно определить новое преобразование, называемое z - преобразованием:

.

Для простых случаев изображение Y(z) легко найти по определению. Пусть

y[k]=д[k] = 1 - единичный дискретный импульс, тогда

.

Далее в качестве примера рассмотрим дискретный единичный ступенчатый сигнал (рис. 27):

Рис. 27. Единичная ступенчатая функция.

При , соответствующий ряд сходится и представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая вычисляется в замкнутом виде:

.

В теории дискретных систем используются также операторы обратного и прямого сдвига на один такт.

Оператор обратного сдвига (z^-1) позволяет получить предыдущий элемент последовательности {e[k]}:

z^-1e[k] = e[k-1], или .

Этот оператор соответствует запаздыванию на один такт и является физически реализуемым в том смысле, что его применение не дает будущих значений сигнала. Для того, чтобы найти остальные предшествующие элементы последовательности, надо применить оператор обратного сдвига несколько раз:

z^-me[k] = e[k-m].

Если найти z - преобразование для входного Y(z) и выходного U(z) сигналов системы, то можно найти передаточную функцию системы в z - области:

.

Реализация цифровых регуляторов

Рассмотрим непрерывный ПИД-регулятор с передаточной функцией:

.

Цифровую реализацию этого регулятора можно получить, если использовать дискретную аппроксимацию операций дифференцирования и интегрирования.

Для производной по времени используется правило обратной разности:

.

Применив к этому выражению z - преобразование, получим:

.

Операцию интегрирования можно аппроксимировать с помощью формулы прямоугольников:

,

где u(kT) - выходной сигнал интегрирующего звена в момент времени t = kT.

Применив к этому выражению z - преобразование, получим:

,

откуда передаточная функция интегрирующего звена:

.

Таким образом, передаточная функция цифрового ПИД-регулятора имеет вид:

.

Или для регулятора со взаимозависимыми настройками:

.

Поскольку в большинстве случаев объект является устройством непрерывного типа, то для того, чтобы смоделировать переходные процессы в исследуемой системе необходимо либо объект представить в цифровой форме, либо получить эквивалентную передаточную функцию регулятора, отвечающую цифровой реализации его алгоритма. Для этого проводится замена и добавляется передаточная функция демодулятора.

Поскольку в качестве демодулятора используется фиксирующая цепь нулевого порядка с передаточной функцией:

,

то передаточные функции регуляторов со взаимозависимыми настройками при цифровой реализации алгоритмов определяются по формулам: П-регулятор:

;

ПИ-регулятор:

; (*)

ПИД-регулятор:

.

Расчет настроечных параметров цифрового регулятора можно проводить аналогично расчету настроек аналогового регулятора. Расчет значений параметров методом расширенных частотных характеристик также проводится по расширенным амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам объекта регулирования. Линия m = const строится в области положительных значений настроек С₁ и С₀, где

, .

При цифровой реализации ПИ-алгоритма расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) в соответствии с выражением (*) определяется выражением:

.

После замены , получаем следующую зависимость:

.

После преобразований, аналогичных выполненным для аналогового ПИ-регулятора, получаются формулы для расчета линий m = const в плоскости параметров настройки цифрового регулятора при в заданном интервале квантования сигналов по времени Т:

;

Линии заданного запаса устойчивости, рассчитанные по приведенным формулам, подобны линиям m = const для аналогового регулятора. При этом следует учитывать, что чем больше значение интервала квантования Т, тем меньше по сравнению с непрерывным алгоритмом область заданного запаса устойчивости и тем ниже динамическая точность АСР.

2. Практическая часть

2.1 Расчет настроек регулятора методом расширенных характеристик

Расчет настроек П-регулятора.

Найдем расширенные амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики:

Найдем рабочую частоту и оптимальную настройку регулятора.

>> [num,den]=pade(9,2)

>> z=tf([num],[den])

>> w1=tf([0.8],[1,1])

>> w2=tf([1],[5,1])

>> w=w1*w2*z

>> wp=1,1497

>> step(feedback(w*wp,1))

Показатели качества:

1) у_ст=1-0.47=0.33

2) у_дин=0.779-0.478=0.301

3) Тпп=67,1 с

4)

5)

Расчет настроек ПИ - регулятора

Построим плоскость с1, с0 и найдем оптимальные настройки ПИ-регулятора.

.



>> wpi=tf([0.924,0.139],[1,0])

>> step(feedback(w*wpi,1));

Показатели качества:

1) у_ст=1-1=0

2) у_дин=1.6-1=0.6

3) Т_ПП=111 с

4)

5)

Расчет настроек ПИД - регулятора

Для того, чтобы найти с2, мы найдем АЧХ и ФЧХ методом незатухающих колебаний:

; ;

;

;

=1,7125; ; =0,152

=6,85; ; =0,173

Таким образом получаем три набора настроек ПИД-регулятора. Строим переходные процессы.

>> wp1=tf([0.7013,0.967,0.75],[1,0])

>> w1=feedback(w*wp1,1)

>> wp2=tf([0.5,0.874,0.551],[1,0])

>> w2=feedback(w*wp2,1)

>> wp3=tf([1,1.115,1.1435],[1,0])

>> w3=feedback(w*wp3,1)

>> step(w1,w2,w3)

Показатели качества:

1) у_ст=1-1=0

2) у_дин=1.46-1=0.46

3) Т_ПП=47,6 с

4)

5)

Как видно из графиков переходных процессов, оптимальным набором настроек для ПИД - регулятора являются настройки, при с2=3.425.

2.2 Расчет каскадной системы автоматического регулирования

Передаточные функции объекта по основному и вспомогательному каналам равны:

.

Для расчета одноконтурных АСР используем метод Циглера-Никольса.

Сначала определим приближенные настройки основного ПИ-регулятора регулятора. Находим передаточную функцию эквивалентного объекта:

;

и его частотные характеристики:

;

;

.

Критическую настройку регулятора и критическую частоту находим из системы уравнений:

.

Рабочие настройки ПИ-регулятора принимаем равными:

; = 5,443; = 0,45*= 0,45*5,443 = 2,449; = 0,08** =0,08*5,443*0,288 = 0,1254.

Проводим расчет приближенных настроек вспомогательного П-регулятора.

=;

его частотные характеристики:

;

;

.

; = 1,167; = 0,5*= 0,5*1,167 = 0,5835.

Проводим уточнение настроек регуляторов. Для этого создаем LTI-объект с передаточной функцией

, где W_p1(p) =

>> [num,den]=pade(9,2)

>> e=tf([num],[den])

>> Wob=tf([0.8],[5,6,1])*e

>> [num,den]=pade(1,2)

>> e2=tf([num],[den])

>> Wob1=tf([2.6],[1.5,1])*e2

>> Wekv=(0.5835/(1-Wob1*0.5835))*Wob

Частотные характеристики эквивалентного объекта находим графическим способом. Для этого с помощью команды nyquist строим годограф АФХ и определяем критическую частоту и соответствующее ей значение АЧХ

Критическая частота соответствует точке пересечения годографа с отрицательной действительной полуосью. После чего уточняем настроечные параметры ПИ-регулятора.

Уточненные настройки ПИ-регулятора: = 1,4625; = 0,075

Теперь создаем LTI-объект с передаточной функцией

, где

>> Wpi=tf([2.449,0.1254],[1,0])

>> Wekv1=Wob1-Wob*Wpi

>> nyquist(Wekv1)

Аналогично получаем уточненные настройки П-регулятора: =0,5944

Строим переходные процессы в одноконтурной АСР:

>> Wpi=tf([1.4625,0.075],[1,0])

>> W=Wob*Wpi

>> step(feedback(W,1))



в каскадной АСР:

>> Wpi=tf([1.4625,0.075],[1,0])

>> WW=feedback(0.5944,Wob1)

>> Wkaskad=feedback(Wpi*WW*Wob,1)

>> step(Wkaskad)

Сравнительная переходная характеристика одноконтурной и каскадной АСР:

2.3 Расчет цифровой АСР

Расчет цифрового П-регулятора, адаптированного для аналоговых расчетов

Расчет значений параметров методом расширенных частотных характеристик также проводится по расширенным амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам объекта регулирования, где .

При цифровой реализации П-алгоритма расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) в соответствии с выражением (*) определяется выражением:

.

После замены , получаем следующую зависимость:

;

;

.

>> [num,den]=pade(1,2) C1=1.101

>> e=tf([num],[den])

>> W1=1-e

>> W2=tf([1.101],[1,0])

>> W3=W1*W2

>> Wcif=W3*Wob

>> Wcifp=feedback(Wcif,1)

>> step(Wcifp)

Расчет цифрового ПИ-регулятора, адаптированного для аналоговых расчетов

Рассчитаем цифровой ПИ-регулятор вручную:

Проведем замену и добавим передаточную функция демодулятора.

Поскольку в качестве демодулятора используется фиксирующая цепь нулевого порядка с передаточной функцией:

то передаточные функции ПИ-регулятора со взаимозависимыми настройками при цифровой реализации алгоритмов определяются по формулам:

Расчет значений параметров методом расширенных частотных характеристик также проводится по расширенным амплитудно-частотной и фазово-частотной характеристикам объекта регулирования. Линия m = const строится в области положительных значений настроек С1 и С0, где

,.

При цифровой реализации ПИ-алгоритма расширенная амплитудно-фазовая характеристика (РАФХ) в соответствии с выражением определяется выражением:

.

После замены , получаем следующую зависимость:

.

После преобразований, аналогичных выполненным для аналогового ПИ-регулятора, получаются формулы для расчета линий m = const в плоскости параметров настройки цифрового регулятора при в заданном интервале квантования сигналов по времени Т:

С1=0,693; С0=0,136

>> Ti=C1/C0

>> w11=0.5/Ti+W1

>> w22=tf([C1],[0.5,0])

>> Wcifpi=w11*w22

>> Wcifpiz=feedback(Wcifpi,1)

>> step(Wcifpiz)



Получение цифрового П-регулятора с помощью встроенной функции MatLab

>> Wp=tf([1.1497],[1])

>> Wdp=c2d(Wp,0.5,'tustin')

Sampling time: 0,5



Sampling time: 2

Получение цифрового ПИ-регулятора с помощью встроенной функции MatLab

>> Wpi=tf([0.924,0.139],[1,0])

>> Wdpi=c2d(Wpi,2,'tustin')

Transfer function: Sampling time: 2

1.063 z - 0.785

---------------

z - 1

Получение цифрового ПИД-регулятора с помощью встроенной функции MatLab

Wpid=tf([3.425,1.345,0.159],[1,0])

Wdpid=c2d(Wpid,2,'tustin')

Transfer function: Sampling time: 2

4.929 z^2 - 6.532 z + 2.239

---------------------------

z^2 - 1

Получение цифровой каскадной ситемы автоматического регулирования с помощью встроенной функции MatLab

Wpi=tf([1.4625,0.075],[1,0])

Wdpi=c2d(Wpi,2,'tustin')

Transfer function: Sampling time: 2

1.537 z - 1.387

---------------

z - 1



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В 1-й части курсового проекта мы рассмотрели П, ПИ и ПИД регуляторы. Сравнив полученные характеристики, можно заметить, что П регулятор имеет статическую ошибку, которая отсутствует в ПИ и ПИД регуляторах. Динамическая ошибка минимальна в ПИ регуляторе, максимальна в ПИД. Наиболее оптимальным по показателям качества регулирования является ПИД-регулятор, но его следует выбирать в случае крайней необходимости, так как он наиболее сложный по конструкции и дороже в эксплуатации.

Каскадная система управления обеспечивает лучшее качество переходного процесса, так как в такой значительно сокращается время регулирования.

Цифровая система отличается от аналоговой тем, что функции регулятора в ней выполняет цифровой компьютер. Линии заданного запаса устойчивости подобны линиям m = const для аналогового регулятора. При этом следует учитывать, что чем больше значение интервала квантования Т, тем меньше по сравнению с непрерывным алгоритмом область заданного запаса устойчивости и тем ниже динамическая точность АСР.

ЛИТЕРАТУРА

1. В.В. Гетман. Лекции по ТОАУ.

2. Методические указания к курсовому и дипломному проектированию по теории автоматического управления.

3. В.В. Гетман, Н.В. Лежнева. Анализ и синтез линейных систем автоматического управления.

Размещено на Allbest.ru