Теория дискретных систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційних університет

Курсова робота

З дисципліни

«Основи системного аналізу об'єктів і процесів комп'ютерізації»

На тему

«Теория дискретных систем»

Варіант №5

Виконала студентка ФКН 304

Дигодюк О. В.

Перевірила Колісник О. В.

Київ 2011р.



Дискретная система (или цифровой фильтр) - системы обработки цифрового сигнала заданного вектором x, называемого воздействием, преобразующая его в выходной вектор y, называемый реакцией или откликом системы (рисунок 1) в соответствии с преобразованием F.

Рисунок 1

Y = F(x) (1)

В общем случае дискретная система обладает памятью, в которой могут сохраняться комбинации входных и выходных отсчетов. Начальные условия дискретной системы могут быть нулевыми и ненулевыми. Признак нулевых начальных условий - отсутствие реакции при отсутствии воздействия. Это означает, что все значения отсчетов воздействия и реакции, которые может помнить система, в моменты времени, предшествующие начальному, равны нулю. При ненулевых начальных условиях при отсутствие воздействия, на выходе дискретной системы наблюдаются отсчеты, значения которых отличны от нуля.

Дискретная система называется линейной, если она обладает следующими свойствами:

- принцип суперпозиция или свойство аддитивности, которое означает, что реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий по отдельности:

F(x1+ x2 +…xn) = F(x1)+ F(x2) +… F(xn) (2)

- свойство однородности, означающее, что реакция на воздействие умноженное на коэффициент K равна произведению реакции на воздействие (без умножения на K) и коэффициента:

F(K·x) = K·F(x) (3)

Таким образом, оператор F для дискретной линейной системы является линейным, и такая система описывается линейным уравнением.

Дискретная система называется стационарной, если задержка воздействия приводит лишь к такой же задержке отклика системы, т.е. параметры системы неизменны во времени - система обладает свойством инвариантности по отношению к началу отсчета времени. Т.е. если

x(k) = x1(k - m);

y(k) = F[x(k)];

y1(k) = F[x1(k)];

то

y(k) = y1(k-m) (4)

Дискретная система называется физически реализуемой, если при нулевых начальных условиях реакция системы не может возникнуть раньше воздействия, т.е. реакция системы зависит только от текущего и предыдущих значений воздействия и не зависит от последующих значений воздействий.

Условимся, что под дискретной системой и цифровым фильтром, если это не оговорено отдельно, мы будем подразумевать линейную стационарную физически реализуемую дискретную систему.

Дискретная система может быть описана во временной области линейным уравнением: сверткой или разностным уравнением, представляющим собой линейную комбинацию входных и выходных отсчетов; в частотной области - передаточной функцией (или комплексным коэффициентом передачи).



Классификация дискретных систем

Рассмотрим системы автоматического управления, в которых передача, обработка и преобразование информации осуществляются только в определенные моменты времени, то есть дискретно. В этом случае в системах действуют сигналы, являющиеся некоторой последовательностью импульсов, и такие системы называются дискретными. Создание дискретных систем может быть вызвано многими причинами.

Во-первых, принцип действия некоторых элементов, входящих в систему, может быть дискретным. К примеру, в системе управления ракетой имеется импульсная радиолокационная станция (РЛС), измеряющая координаты цели и ракеты (рис. 1.1). По своему принципу действия она выдает информацию дискретно с частотой следования импульсов станции, поэтому и вся система управления будет дискретной. В качестве другого примера можно указать на САУ, имеющие в своем составе цифровые вычислительные машины (ЦВМ), являющиеся дискретными устройствами.

Рис. 1.1 Блок - схема системы автоматического управления

Во-вторых, в дискретных системах проще реализовать сложные алгоритмы управления. Так, при использовании ЦВМ алгоритм задается в виде программы, сложность которой практически не влияет на конструкцию системы. Смена программы, то есть алгоритма управления, производится без больших затрат времени. В непрерывных же САУ повышение сложности алгоритма управления требует включения в состав системы новых элементов, а замена алгоритма связана с существенным усложнением конструкции.

В-третьих, точность решения алгоритмов управления с помощью дискретных устройств (например, ЦВМ) обычно выше, чем с помощью непрерывных. Это положение требует более подробного объяснения. Дискретная обработка информации за счет импульсного характера сигналов неизбежно приводит к ее потере, так как на интервалах, где импульсы отсутствуют, полезная информация не используется. Поэтому, если для решения одного и того же алгоритма использовать дискретные и непрерывные устройства, то точность последних в идеальном случае будет выше. За счет потери части информации дискретные устройства обладают методической погрешностью, то есть такой, которая зависит от метода обработки. Однако как дискретные, так и непрерывные устройства имеют и другие погрешности - инструментальные, зависящие от неточностей изготовления отдельных элементов, нестабильностей параметров, внутренних шумов и помех. Оказывается, что инструментальные погрешности непрерывных устройств значительно больше, чем устройств дискретных, и сильно растут с усложнением алгоритма обработки. В итоге суммарная погрешность дискретных устройств оказывается меньше инструментальной погрешности непрерывных, что и позволяет говорить о более высокой точности работы дискретных систем.

Перечисленные преимущества привели к широкому использованию дискретных систем. Особенно большое распространение получили системы с ЦВМ. Классификация дискретных систем базируется на признаках, определяющих особенности протекания процессов управления и методики исследования. По этим признакам дискретные системы можно разделить на линейные и нелинейные (в зависимости от применимости к ним принципа суперпозиции) и на стационарные и нестационарные (по степени изменения параметров во времени). Кроме них имеются и другие признаки, характерные только для дискретных систем. Перечислим их и дадим дополнительную классификацию дискретных САУ.

При изучении теории дискретных систем следует четко различать такие понятия, как процесс и сигнал. Процесс отображает ту информацию, которая преобразуется системой, а сигнал является физическим носителем этой информации. В непрерывных системах оба эти понятия отождествляются, так как значения сигнала в любой момент времени пропорциональны значениям процесса. В теории дискретных систем указанные понятия надо различать. Благодаря наличию импульсных сигналов информация в системе передается отдельными частями, квантами. Процессы, описывающие преобразование этой информации, называются дискретными, а преобразование непрерывных процессов в дискретные называется квантованием. Существует три вида квантования: по времени, по уровню и по времени и уровню одновременно. При квантовании по времени исходная непрерывная функция x(t) преобразуется в последовательность дискретных значений x(ti), где ti-это дискретные моменты времени на временной оси. Расстояние между значениями tiможет быть произвольным, однако на практике чаще всего имеет место случай периодического квантования с постоянным периодом повторения Тn, показанный на рис.1.2, а. При этом ti =iTn, где число i может принимать все целые значения от -? до +?. При квантовании по уровню вся область возможных х разбивается на отдельные дискретные уровни и дискретный процесс может принимать только те значения, которые совпадают с выбранными уровнями. На рис.1.2, б показано квантование по уровню процесса x(t) в случае постоянного шага квантования Д. Комбинированный случай квантования по времени и уровню при постоянном периоде Tn и шаге Д показан на рис.1.2, в. Информация о значениях дискретного процесса передается с помощью импульсных сигналов путем модуляции их параметров: амплитуды, длительности, фазы, частоты. Отсюда различают системы с амплитудной, широтной, фазовой и частотной модуляциями. Особую группу составляют системы с кодовой модуляцией, когда значения процесса передаются путем выбора числа импульсов и их местоположения в группе. Сразу заметим, что такой вид модуляции применяется в цифровых вычислительных машинах. В некоторых дискретных системах вид модуляции и форма используемых импульсов могут влиять на качество обработки информации, что усложняет методику исследования. Одним из достоинств кодовой модуляции является то, что форма импульсов и тип кода практически не влияют на работу системы.

Рис. 1.2 Квантование сигналов по времени (а); уровню (б); по времени и по уровню (в)

Если каждый квант информации дискретного процесса, квантованного только по времени, передается с помощью импульса при определенном виде модуляции его параметров, то дискретные системы называются импульсными. В итоге различают импульсные системы с амплитудной (АИМ), широтной (ШИМ), фазовой (ФИМ), частотной (ЧИМ) видами модуляции. Кроме того, бывают системы с комбинированными видами модуляции. Если в системах с АИМ амплитуда импульсов пропорциональна значениям квантованного процесса, то такие импульсные системы могут быть линейными. При всех других видах модуляции они относятся к классу нелинейных систем.

Если в дискретных САУ преобразуются процессы, квантованные по уровню, то они называются релейными. Системы с квантованием процессов по времени и уровню называются цифровыми. Как релейные, так и цифровые системы являются нелинейными. Если все сигналы в системе являются дискретными, то она называется чисто дискретной, если же часть сигналов остается непрерывными, то дискретно-непрерывной. Так как в чисто дискретной системе все сигналы и, следовательно, процессы имеют одинаковую дискретную структуру, то теория таких систем сравнительно проще. Дискретно-непрерывные системы являются промежуточным случаем между непрерывными и чисто дискретными, поэтому методика их исследования сложнее, так как она должна включать в себя элементы теории как непрерывных, так и чисто дискретных систем. Исходя из этого, целесообразно теорию дискретных систем начинать с изучения систем чисто дискретных, распространив затем полученные результаты на дискретно-непрерывные. Чтобы не усложнять терминологию, чисто дискретные системы в дальнейшем будем называть просто дискретными. Там, где это необходимо по ходу описания, будет применяться полный термин "чисто дискретная система". В развитие теории дискретных систем большой вклад внесли советские ученые Я. 3. Ципкин [16], Л. Т. Кузин [10] и целый ряд других.

В процессе изложения дальнейшего материала мы не будем касаться вопросов теории релейных систем, а также импульсных систем с ШИМ, ФИМ и ЧИМ. Основные сведения по этим системам можно найти в указанной выше литературе. Таким образом, мы сосредоточим наше внимание на цифровых системах и импульсных с амплитудно-импульсной модуляцией. С точки зрения видов квантования, показанных на рис. 1.2, будем рассматривать только процессы с квантованием по времени и по времени и уровню одновременно (рис. 1.2, а и б).

Особенности процессов в дискретных системах

В дискретных системах осуществляется преобразование информации, заданной в виде дискретных процессов, квантованных по времени или по времени и уровню одновременно. Введем специальные обозначения для этих процессов. Исходные непрерывные процессы, из которых получаются дискретные, называются огибающими и обозначаются обычными символами, например x(t).

Соответствующие им дискретные процессы с квантованием по времени (рис. 1.2, а) и постоянным периодом Tn, обозначают через x(iTn), имея в виду, что i может быть любым целым числом. Чтобы получить дискретный процесс, квантованный по времени, по заданной огибающей достаточно в функции x(t) положить значение t = iTn, то есть

x(iTn) = x(t = iTn)

Дискретный процесс, квантованный по времени с постоянным периодом Tn и по уровню с постоянным шагом Д, будем обозначать символом х(iTn) (рис. 1.2, б). Получить его по заданной функции огибающей можно по формуле

где F обозначает операцию нахождения ближайшего к значению х(iТn) числа с шагом квантования по уровню Д. Операция F является нелинейной, поэтому цифровые системы с квантованием процессов по времени и уровню относятся к классу нелинейных. Их особенности мы будем рассматривать отдельно в дальнейшем, а сейчас остановимся на линейных дискретных системах с процессами х(iТn), квантованными по времени.

Рис. 1.3 Изображение дискретной системы



Рис. 1.4 Неоднозначность дискретной функции

Работа дискретной системы сводится к преобразованию входных процессов x(iTn) в выходные у(iТn) с некоторыми заданными условиями. Схематически это отображено на рис. 1.3. По характеру желаемого преобразования дискретные системы подразделяются на те же классы, что и непрерывные, то есть на следящие, стабилизирующие, интегрирующие и др., однако возможности преобразования процессов в них имеют свои характерные особенности, которые мы и рассмотрим. Главной особенностью дискретных процессов x(iTn) является их неоднозначность. Заключается она в том, что одним и тем же дискретным процессам может соответствовать множество различных огибающих. Для примера на рис. 1.4 показаны две функции x1(t) и x2(t), которым соответствует один и тот же процесс х(iТn). Неоднозначность дискретных функций, в частности выходного процесса у(iТn) системы (рис. 1.3), может привести к неправильным выводам по результатам работы системы, поэтому предварительно должны быть изучены те условия, при которых возникающая неоднозначность была бы сведена к минимуму. Возникновение неоднозначности является следствием потери информации на интервалах между моментами квантования. Рассмотрим подробнее, как это происходит. Пусть квантованию с периодом Tn и частотой Щ = 2рTn подвергается гармонический процесс х(t) = a cos щt.

Найдем зависимость между частотой исходного процесса и частотой огибающей щ0 квантованного процесса х(iTn). Первоначально положим, что частота щ << Щ. Квантованный сигнал для этого случая показан на рис. 1.5, а. Так как в полупериод исходного процесса x(t) укладывается большое число дискретных значений x(iTn), то по ним наблюдателю легко получить значение частоты огибающей, которая будет совпадать с частотой исходного процесса. Таким образом, при малой частоте неоднозначности в ее оценке по дискретным данным не будет. Если построить зависимость щ0 от щ (рис. 1.6), то при щ << Щ она будет линейной.

Рис. 1.5 Квантование гармонического сигнала

Рис. 1.6 Стробоскопический эффект

Предельным случаем для правильной оценки частоты щ будет тот, когда на каждом полупериоде окажется одно значение x(iTn). Этот случай изображен на рис. 1.5, б, и он соответствует частотещ = Щ 2.

При щ > на каждый полупериод будет приходиться меньше одного значения x(iTn), что приведет к неоднозначности в определении щ. Так, если взять щ = Щ, то частота огибающей выходного процесса, как это видно из рис. 1.5, в, будет равна щ0 = 0, это и показано на рис. 1.6.

При щ = 3Щ/2 (рис. 1.5, г) мы получим дискретный процесс, совпадающий с x(iTn) при щ = (рис. 1.5, б). Подобные рассуждения можно продолжить и показать, что оценка частоты щ исходного процесса по частоте огибающей щ0 дискретного процесса будет неоднозначной. График этой зависимости изображен на рис. 1.6. Однозначность сохраняется лишь в диапазоне 0 < щ < Щ 2.

Описанное свойство называется стробоскопическим эффектом и является важнейшей особенностью дискретных систем. Из него следует важный для практики создания дискретных систем вывод: чтобы дискретная система была работоспособной и ее выходные данные имели однозначную интерпретацию, частоту квантования следует выбирать из условия Щ > 2щгр, где щгр - максимальная частота спектра входного сообщения. Впервые это условие в более широкой постановке в виде теоремы было получено в 1933 году академиком В. А. Котельниковым. Теорема Котельникова устанавливает минимальное допустимое значение частоты квантования Щ или максимальный период дискретности Tn, обеспечивающие преобразование информации без больших потерь при квантовании по времени.

Типовые дискретные звенья

Сложную передаточную функцию дискретной системы удобно представлять в виде произведения передаточных функций типовых звеньев не выше второго порядка, как это делалось для непрерывных систем. Так как передаточная функция К*(z), записанная формулой (1.23), по своей структуре аналогична передаточной функции непрерывной системы

Kyx(p) = y(p)

x(p) = b0 + b1 p + ... + bm pm

c0 + c1 p + ... + cn pn = P(p)

D(p)

где роль р играет разностный оператор (1-z-1), то выражения типовых дискретных звеньев остаются похожими на соответствующие выражения непрерывных. Классификация типовых дискретных звеньев и некоторые их характеристики даются в табл. П. 4. Аналогия между дискретными и непрерывными звеньями имеет не только внешний, но и существенный характер. Особенно наглядно это видно на примере частотных характеристик, которые для дискретных звеньев получаются заменой z = e jщTn в передаточной функции К*(z). Особенность этих выражений состоит в том, что параметр ф в них является безразмерной величиной, поскольку оператор (1 - z-1) также не имеет размерности. Называть поэтому параметр ф постоянной времени можно лишь условно. Несмотря на указанное отличие, между типовыми дискретными и непрерывными звеньями существует глубокая аналогия, которая наглядно видна при сравнении частотных характеристик. Напомним, что для получения частотной характеристики дискретной системы надо в передаточной функции К*(z) заменить

z = e jщTn

или вместо разностного оператора (1 - z-1) взять

(1 - e -jщTn).

Если щTn << 1, что соответствует низким частотам щ << Щ, то оператор

1 - e -jщTn > jщTn,

а это приводит к практически полному совпадению с частотными характеристиками типовых непрерывных звеньев с постоянной времени

T = ф Tn,

Таким образом, в области щ, близких к нулю, частотные характеристики дискретных совпадают с характеристиками соответствующих непрерывных звеньев. Так, например, при щ = 0 частотная характеристика суммирующего (дискретного интегрирующего) звена равна K*(jщ) = ?, а апериодического и колебательного звеньев - единице. С ростом частоты щ от 0 до амплитудно-частотные характеристики этих звеньев уменьшаются. В дальнейшем они меняются периодически вдоль оси щ с периодом . На рисунке 1.14 показаны АЧХ: а-суммирующего, б-апериодического, в-колебательного звена при различных значениях параметра о. Идеальное разностное (дискретное дифференцирующее) звено при щ = 0 имеет K*(jщ) = 0, а разностные первого и второго порядка -1. То же самое имеет место и у соответствующих непрерывных звеньев. С ростом частоты щ от 0 до АЧХ разностных звеньев возрастает, что и показано на рис. 1.15 для идеального разностного звена (а), разностного звена первого порядка (б) и разностного звена второго порядка (в). Зная характер поведения частотных характеристик типовых дискретных звеньев, можно судить о желаемой структуре дискретной следящей системы и, следовательно, о ее желаемой передаточной функции.



Рис. 1.15 Амплитудно-частотные характеристики разностных дискретных звеньев

Частотные характеристики и структурная схема дискретной следящей системы

Дискретная следящая система (рис. 1.16) предназначена для воспроизведения задающего воздействия х(iТn), и в идеальном случае выходной процесс в ней должен равняться входному, то есть

y(iTn) = x(iTn)

Выполнению этого равенства препятствуют два фактора: наличие возмущающих воздействий и инерционность системы. Оба эти фактора существенно влияют на выбор формы частотной характеристики замкнутой системы.

Рис. 1.16 Линейная дискретная следящая система

Частотный спектр задающего воздействия х*(jщ) расположен в области низких частот и имеет граничную частоту щгр ( рис. 1.17). В соответствии с теоремой Котельникова, частота квантования сигнала должна удовлетворять условию Щ > щгр.

Рис. 1.17 Амплитудно-частотная характеристика дискретной следящей системы

Для достаточно полного воспроизведения спектра задающего воздействия на фоне широкополосных помех частотная характеристика замкнутой следящей системы K*yx(jщ) должна быть близка к 1 в диапазоне 0 ? щ ? щгр и к нулю - в диапазоне щгр < щ ? . Этому условию, в частности, удовлетворяет кривая амплитудно-частотной характеристики |K*yx(jщ)| на рис. 1.17. Стремлению K*yx(jщ) > 0 при щ > соответствуют и условия естественной инерционности элементов САУ. В итоге, если рассматривать всю область частот, АЧХ замкнутой дискретной следящей системы должна иметь вид, показанный на рис. 1.18, то есть соответствовать характеристике гребенчатого фильтра.

дискретный система функция



Рис. 1.18Амплитудно-частотная характеристика гребенчатого фильтра

Чтобы получить заданную K*yx(jщ), надо сформировать вполне определенную частотную характеристику разомкнутой системы (рис. 1.16) K*(jщ). Очевидно, что требования к последней аналогичны тем требованиям, которые предъявляются к частотным характеристикам разомкнутых непрерывных следящих систем.

Так, чтобы обеспечить равенствоK*yx(jщ) ? 1 на частотах щ = 0 и щ, кратных Щ (см. рис. 1.18), необходимо иметь K*(jщ) > 0, что достигается включением в состав системы суммирующих (дискретных интегрирующих) звеньев или усилительных звеньев с очень большим коэффициентом усиления. Чтобы обеспечить условие K*yx(jщ) > 0 при щ > в состав разомкнутой системы надо включать инерционные (апериодические или колебательные) звенья. Согласование хода частотных характеристик в указанных областях может быть обеспечено разностными (дискретными дифференцирующими) звеньями.

Анализ частотных характеристик показывает, что структура дискретной следящей системы, определяемая звеньями, входящими в состав разомкнутой системы, аналогична структуре непрерывных следящих систем и соответственно аналогичны и передаточные функции сравниваемых систем. Передаточная функция дискретной разомкнутой следящей системы (рис. 1.16), например, может быть получена из разностного уравнения, записанного в конечно-разностной форме

^a0 y(iTn) +^a1

Д1 y(iTn) + ... +^

An Дn y(iTn) =^

b0 r(iTn) +^

b1 Д1 r(iTn) + ... +^

bm Дm r(iTn) (1.28)

в виде

K*(z) = ^

b0 + ^

b1 (1 - z-1) + ... + ^

bm (1 - z-1)m = P*(z) (1.29)

^a0 + ^

a1 (1 - z-1) + ... ^

an (1 - z-1) Q*(z)

В выражениях (1.28) и (1.29) коэффициенты и определяются параметрами дискретной системы. Порядок астатизма н определяется количеством коэффициентов 0 = 1 = ... = н - 1= 0 или, что одно и то же, количеством суммирующих звеньев.

Уравнение замкнутой следящей системы получается из выражения (1.28) путем замены r(iTn) = x(iTn) - y(iTn) и после группировки слагаемых принимает вид

^c0 y(iTn) + ^

c1 Д1 y(iTn) + ... + ^

cn Дn y(iTn) = ^ b0y(iTn) +^

b1 Д1 y(iTn) + ... +^

bm Дm y(iTn) (1.30)

где коэффициенты

= + .

Передаточная функция замкнутой системы, получаемая из формулы (1.30) или по рис. 1.16, оказывается равной

K*yx(z) = K*(z) = ^

b0 + ^b1 (1 - z-1) + ... + ^ bm(1 - z-1)m = P*(z.) (1.31)

1 + K*(z) ^ c0 + ^

c1 (1 - z-1) + ... + ^ cn (1 - z-1)n D*(z)

где полином знаменателя

D*(z) = P*(z) + Q*(z).

В следящих системах ошибка e(iTn) совпадает с рассогласованием r(iTn) и, следовательно, передаточная функция ошибки по задающему воздействию согласно рис. 1.16 равна

K*ex(z) = 1 - K*yx(z) = 1 = ^

a0 + ^ a1(1 - z-1) + ... + ^ an(1 - z-1)n = Q*(z) (1.32)

1 + K*(z) ^ c0 + ^

c1 (1 - z-1) + ... + ^

cn (1 - z-1)n D*(z)

Передаточная функция ошибки по возмущающему воздействию, как и в непрерывных системах, равна

K*ev(z) = - K*yv(z),

то есть с точностью до знака совпадает с передаточной функцией системы по этому воздействию и согласно рис. 1.16 равна

K*ev(z) = - K*yv(z) = K*v(z)

1 + K*(z) (1.33)

где K*v(z) - передаточная функция по возмущающему воздействию разомкнутой системы.

Таким образом, соотношения (1.28) - (1.33) для дискретных следящих систем имеют ту же структуру, что и соответствующие им соотношения для непрерывных следящих систем.

Отметим, что если исходное уравнение разомкнутой следящей системы (1.28) записывается в рекуррентной форме (см. п. 1.3)

a0 y(iTn) + a1 y[(i-1)Tn] + ... + an y[(i-n)Tn] =

= b0 r(iTn) + b1 r[(i-1)Tn] + ... + bm r[(i-m)Tn],

то уравнение замкнутой примет вид

c0 y(iTn) + c1 y[(i-1)Tn] + ... + cn y[(i-n)Tn] =

= b0 x(iTn) + b1 x[(i-1)Tn] + ... + bm x[(i-m)Tn] (1.34)

При этом полиномы P*(z), Q*(z) и D*(z) меняют свою структуру и передаточные функции дискретной следящей системы записываются в следующем виде

K(z) = b0 + b1 z-1 + ... + bm z-m

a0 + a1 z-1 + ... + an z-n =P*(z)

Q*(z) (1.35)

K^yx(z) = b0 + b1 z-1 + ... + bm z-m

c0 + c1 z-1 + ... + cn z-n = P*(z)

D*(z) (1.36)



K^ex(z) = a0 + a1 z-1 + ... + an z-n

c0 + c1 z-1 + ... + cn z-n = Q*(z)

D*(z) (1.37)

Использование передаточных функций следящих систем в виде соотношений (1.29), (1.31) и (1.32) или соотношений (1.35) - (1.37) определяется характером решаемой задачи.

Тестовые сигналы (test signal). В качестве тестовых сигналов, которые применяются при моделировании и исследовании систем обработки данных, обычно используются сигналы простейшего типа: гармонические синус-косинусные функции, дельта-функция и функция единичного скачка.

Дельта-функция или функция Дирака. По определению, дельта-функция описывается следующими математическими выражениями (в совокупности):

?(t-?) = 0 при t ? ?,

?(t-?) dt = 1.

Функция ?(t-?) не является дифференцируемой, и имеет размерность, обратную размерности ее аргумента, что следует из безразмерности результата интегрирования. Значение дельта-функции равно нулю везде за исключением точки ?, где она представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечно большой амплитудой, при этом площадь импульса равна 1.

Дельта-функция является полезной математической абстракцией. На практике такие функции не могут быть реализованы с абсолютной точностью, так как невозможно реализовать значение, равное бесконечности, в точке t = ? на аналоговой временной шкале. Но во всех случаях, когда площадь импульса равна 1, длительность импульса достаточно мала, а за время его действия на входе системы сигнал на ее выходе практически не изменяется (реакция системы на импульс во много раз больше длительности самого импульса), входной сигнал можно считать единичной импульсной функцией со свойствами дельта - функции.

При своей абстрактности дельта - функция имеет вполне определенный физический смысл. Представим себе импульсный сигнал прямоугольной формы П(t-) длительностью , амплитуда которого равна 1/, а площадь соответственно равна 1. При уменьшении значения длительности импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, равную 1, и возрастает по амплитуде. Предел такой операции при 0 и носит название дельта - импульса. Этот сигнал ?(t-?) сосредоточен в одной координатной точке t = ?, конкретное амплитудное значение сигнала не определено, но площадь (интеграл) остается равной 1. Это не мгновенное значение функции в точке t = ?, а именно импульс (импульс силы в механике, импульс тока в электротехнике и т.п.) - математическая модель короткого действия, значение которого равно 1.

Дельта-функция обладает фильтрующим свойством. Суть его заключается в том, что если дельта-функция ?(t-?) входит под интеграл какой-либо функции в качестве множителя, то результат интегрирования равен значению подынтегральной функции в точке ? расположения дельта-импульса, т.е.:

s(t) ?(t-?) dt = s(?).

Интегрирование в выражении может ограничиваться ближними окрестностями точки ?.

Функция единичного скачка или функция Хевисайда иногда называется также функцией включения. Полное математическое выражение функции:



При моделировании сигналов и систем значение функции скачка в точке t=0 очень часто принимают равным 1, если это не имеет принципиального значения.

Функция единичного скачка используется при создании математических моделей сигналов конечной длительности. При умножении любой произвольной функции, в том числе периодической, на прямоугольный импульс, сформированный из двух последовательных функций единичного скачка

s(t) = (t) - (t-T)

из нее вырезается участок на интервале 0-Т, и обнуляются значения функции за пределами этого интервала.

Рис. 1.2.2 Дискретный сигнал

Дискретный сигнал (discrete signal) по своим значениям также является непрерывной функцией, но определенной только по дискретным значениям аргумента. По множеству своих значений он является конечным (счетным) и описывается дискретной последовательностью отсчетов (samples) y(n?t), где y1 ?y y2, ?t - интервал между отсчетами (интервал или шаг дискретизации, sample time), n = 0, 1, 2,...,N. Величина, обратная шагу дискретизации: f = 1/?t, называется частотой дискретизации (sampling frequency). Если дискретный сигнал получен дискретизацией (sampling) аналогового сигнала, то он представляет собой последовательность отсчетов, значения которых в точности равны значениям исходного сигнала по координатам n?t.

Пример дискретизации аналогового сигнала (рис. 1.2.1) представлен на рис. 1.2.2. При ?t = const (равномерная дискретизация данных) дискретный сигнал можно описывать сокращенным обозначением y(n). В технической литературе в обозначениях дискретизированных функций иногда оставляют прежние индексы аргументов аналоговых функций, заключая их в квадратные скобки - y[t]. При неравномерной дискретизации сигнала обозначения дискретных последовательностей обычно заключаются в фигурные скобки - {s(ti)}, а значения отсчетов приводятся в виде таблиц с указанием значений координат ti. Для числовых последовательностей (равномерных и неравномерных) применяется и следующее числовое описание: s(ti) = {a1, a2, ..., aN}, t = t1, t2, ...,tN. Примеры дискретных геофизических сигналов - результаты вертикального электрического зондирования (дискретная величина разноса токовых электродов), профили геохимического опробования, и т.п.

Операция дискретизации (discretization) осуществляет преобразование аналоговых сигналов (функций), непрерывных по аргументу, в функции мгновенных значений сигналов по дискретному аргументу. Дискретизация обычно производится с постоянным шагом по аргументу (равномерная дискретизация), при этом s(t) ??s(n?t), где значения s(n?t) представляют собой отсчеты функции s(t) в моменты времени t = n?t, n = 0, 1, 2,..., N. Частота, с которой выполняются замеры аналогового сигнала, называется частотой дискретизации. В общем случае, сетка отсчетов по аргументу может быть произвольной, как, например, s(t)???s(tk), k=1, 2, …, K, или задаваться по определенному закону.

В результате дискретизации непрерывный (аналоговый) сигнал переводится в последовательность чисел.



Литература

1. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.

2. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. - М.: Мир, 1982. - 238 с.

3. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.Л. Введение в системный анализ - М.: Высшая школа, 1989.

4. Реклейтис Г., Рейвиндрон А., Рэгсдел К. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 1. Пер. С англ. - М.: Мир, 1986 с. - 349 с.

5. А.И.Солонина, Д.А.Улахович, С.М.Арбузов, Е.Б.Соловьев. «Основы цифровой обработки сигналов» 2-е издание: БВХ Петербург - 2005

6. Сергиенко А.Б. "Цифровая обработка сигналов": СПб:Питер - 2003

Размещено на Allbest.ru