Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования РФ

Хабаровский государственный технический университет

Кафедра "Электроника и электротехника"

Курсовая работа

по курсу

Требуется:

1. Составить уравнения состояния цепи для t ??0.

2. Найти точные решения уравнений состояния.

3. Найти решения уравнений состояния. Вид решаемых уравнений:

4. Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменных состояния

2.1 Составить уравнения состояния цепи для t і?0.

В первой части курсового проекта требуется провести анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях. Метод переменных состояния заключается в составлении и решении системы дифференциальных уравнений относительно переменных, определяющих энергетическое состояние цепи. В данной задаче ими являются напряжение на емкости и ток на индуктивности: u_c1, u_c2 и i_l. При этом переменные состояния образуют систему из наименьшего числа переменных, полностью определяющих реакции всех ветвей цепи при заданных начальных условиях и приложенных при t і?0 внешних воздействиях. Требуемая система уравнений может быть получена из системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа. При составлении уравнений целесообразно записывать напряжения и токи на емкости и индуктивности через переменные состояния, например, для емкости: и соответственно

Решение

Для составления уравнений воспользуемся 1-м и 2-м законом Кирхгофа. Произвольным образом выберем и обозначим на схеме (рис. 1.1.) направления токов и направления обхода контуров.

Определим количество уравнений, которое необходимо составить по 1-му и 2-му законам Кирхгофа:

Количество уравнений по 1-му закону Кирхгофа:

(Количество узлов в схеме минус один).

Количество уравнений по 2-му закону Кирхгофа:

(Количество ветвей в схеме минус количество уравнений, составленных по 1-му закону Кирхгофа минус один).

Закон токов Кирхгофа

a:

c:

d:

Закон напряжений Кирхгофа

Решение систем

Рассмотрим уравнение (1)

Выражаем из уравнения (4)

Из уравнения (5) выражаем

Подставим уравнение в уравнение

Из уравнения можно также выразить

Подставим значение тока в уравнение

Из уравнения выразим

Подставим значение тока в уравнение

В левой части уравнения вынесем за скобки общий множитель

Переходим к следующей стадии вычислений

Подставим уравнение (3) в уравнение (6)

Из (7) выразим

Подставим в

Подставим в

Находим выражение, для тока вычитая из уравнения (4) уравнение (6)

Получаем уравнение (4-6)

Подставим уравнение в

Подставим уравнение в (3)

Подставим ,и в (4-6)

Подставляем полученное выражение для тока в

Таким образом, выразили уравнения относительно одной переменной состояния

На следующем этапе выразим ток через

Из уравнения (1) разрешенного относительно вычитаем уравнение (2)

Из уравнения (4) следует:

т.е.

Из уравнения (5) следует:

т.е.

Подставим в

В этой части решения нам также пригодится уравнение

Теперь подставляем уравнения ,и в уравнение

Воспользуемся формулой

Полученное выражение для тока подставим в формулу

\

Итак, мы получили два финальных уравнения относительно переменных состояния

Приступаем к вычислению коэффициентов

(коэффициент при )

= 44.7

(коэффициент при )

(коэффициент при )

(коэффициент при )

Получаем для

--44.7+-

Ищем коэффициенты для второго уравнения

(коэффициент при )

=

(коэффициент при )

Следовательно, получаем для :

В матричной форме:

где ,

Заметим, что число элементов данной матрицы равно числу реактивных элементов в исследуемой электрической цепи,

матрица соединений, которая содержит элементы, связывающие i_L, U_C,

,

(из условия)

+;

+

2.2 Найти точные решение уравнений состояния

линейный электрический цепь вычислительный

Решение этой системы дифференциальных уравнений можно выразить через матрично-экспоненциальную функцию вида

Но так как F(t) при константа то решение приобретает вид

Таким образом, решение сводится к нахождению матрично-экспоненциальной функции и начальных условий.

Для нахождения вида матрично-экспоненциальной функции сперва найдем собственные значения матрицы A. Для этого решим уравнение вида:

Откуда получаем корни уравнения

Поскольку найденные собственные значения матрицы являются комплексно-сопряженным с отрицательной действительной частью, то исследуемый переходный процесс имеют затухающий колебательный характер, следовательно, решение уравнение имеет вид

Определяем начальные значения переменных состояния и и строим матрицу.Так как в схеме до коммутации существовал установившийся режим постоянного тока, то и определяем рассчитывая цепь

Для удобства расчета преобразуем в цепь вида:

рис.3.

Составляем уравнения по закону Кирхгофа

ЗТК

ЗНК

отсюда

или

Следовательно

Подставив, численные значения получаем

То есть ток на индуктивном элементе(катушке) до коммутации составлял

Напряжение равно напряжению между точками и

То есть напряжение на емкостном элементе(конденсаторе) до коммутации составляло

Получаем вектор начальных значений переменных состояния

=

Записываем решение для переменных состояния через экспоненциальную матричную функцию:

Так как, в нашем случае, матрица F = const, то вид уравнения упрощается:

где - матрица обратная матрице A

Разложим экспоненциальную матричную функцию в ряд Тейлора:

Число элементов разложения равно числу переменных состояния (=2).

Находим через найденные выше собственные значения:

Откуда

Решая систему, получаем:

Подставляя все данные в конечную формулу, получаем:

Следовательно

2.3 Найти решения уравнений состояния, используя по выбору студента один из численных методов. Вид решаемых уравнений

Для решения этих дифференциальных уравнений воспользуемся методом Эйлера.

,

где .

Результатом решения является таблица

Размещено на Allbest.ru