Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Проектирование цифрового рекурсивного фильтра по аналоговому фильтру-прототипу»

Введение

Подавляющее большинство сигналов, обрабатываемых современными техническими системами, так, или иначе, имеет цифровое представление.

Системы, выполняющие обработку дискретных сигналов, называются цифровыми фильтрами

В данной курсовой работе будем рассматривать линейные фильтры, то есть фильтры, реакция которых (выходной сигнал) на сумму двух входных может быть представлена как сумма его реакций на отдельные составляющие входного сигнала.

Важной для линейного инвариантного фильтра является импульсная характеристика, которая полностью его характеризует. Также важной, и свойственной только для этого типа фильтра, является передаточная функция. Как и для аналоговых фильтров, важную роль в дискретных, играет и частотная характеристика. Будем называть устойчивыми цифровыми фильтрами такие фильтры, выходной сигнал которых, при ограниченном входном сигнале, также является ограниченным.

Рассмотренный в работе цифровой фильтр относится к так называемым рекурсивным фильтрам. Своим названием они обязаны наличием «обратной связи» - выходной сигнал снова подается на вход системы. Как правило (но не всегда), рекурсивные цифровые фильтры обладают бесконечной импульсной характеристикой, то есть являются БИХ-фильтрами.

Цифровые фильтры можно реализовать в виде больших интегральных схем и микропроцессорных устройств. Недостатками цифровых фильтров является относительно низкая скорость обработки информации из-за элементов задержки, большая потребляемая мощность, использование на входе и выходе АЦП и ЦАП. Несмотря на них в работе часто используются именно цифровые фильтры.

Задание на курсовую работу

Требуется: синтезировать цифровой рекурсивный фильтр Чебышева (НЧ) n-порядка по аналоговому прототипу.

1. Исходные данные для расчета

Частота дискретизации f=6000 [Гц];

Частота среза АЧХ f=300 [Гц];

Неравномерность АЧХ в полосе пропускания б=2 [дБ];

Порядок фильтра n=4.

2. Расчет аналогового фильтра-прототипа

Требуется выполнить следующее:

Получить аналитическое выражение передаточной функции аналогового фильтра-прототипа, используя справочные данные.

Расчет:

Для нахождения передаточной функции аналогового ФНЧ Чебышева 4 порядка, воспользуемся передаточной функцией аналогового нормированного ФНЧ Чебышева 4 порядка, которая в общем случае имеет вид:

, (2.1)

где

, при четном n; (2.2)

, при четном n; (2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

n=4 - порядок фильтра

Найдём полюсы передаточной функции по формуле:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

(2.12)

;

;

;

;

;

; ; ; ;

; ; ; ;

; ;

; ;

; ;

; ;

аналоговый цифровой фильтр синтез

3. Расчет цифрового фильтра

Требуется выполнить следующее:

Применив билинейное преобразование, получить аналитическое выражение передаточной функции цифрового фильтра.

Расчет:

2-й этап - денормирование частоты в аналоговой области. В результате получают передаточную функцию H (p) аналогового фильтра, частоты среза которого соответствуют заданным. Операция денормирования соответствует отображению комплексной S-плоскости в комплексную P-плоскость.

Денормирование производится по следующей формуле:

; (3.1)

; (3.2)

Коэффициенты соответственно равны:

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ;

; ; ;

3-й этап - дискретизация - в результате выполнения которого получают передаточную функцию ЦФ H(z). Для этого воспользуемся билинейным преобразованием:

; (3.3)

Билинейное преобразование передаточной функции аналогового фильтра приводит к передаточной функции дискретного фильтра вида:

; (3.4)

Коэффициенты передаточной функции (3.4) сведены в таблице 1:

Таблица 1. Коэффициенты передаточной функции

Используя формулы для выражения коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра (таблица 1) и коэффициенты передаточной функции из формулы (3.1), получим:

;

; ;

; ;

;

; ;

; ;

Подставив значения коэффициентов в (3.4), получим выражение для передаточной функции цифрового фильтра:

(3.5)

4. Построение структурных схем фильтра

Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно построить различными способами. В любом реальном цифровом фильтре шумы и погрешности, появляющиеся при квантовании, существенно зависят от структуры фильтра. Прежде всего, все фильтры можно разделить на два больших класса: рекурсивные и нерекурсивные. Для рекурсивных фильтров соотношение между входной последовательностью и откликом может быть записано в виде:

; (4.1)

то есть текущий отсчет отклика определяется не только текущим и предшествующим значениями входной последовательности, но и предшествующими отсчетами отклика.

Как уже отмечалось, z-преобразование, соответствующее цифровому фильтру, можно выразить в виде дробно-рационального полинома от переменной z^-1, т.е.

; (4.2)

Чтобы обеспечить линейность и стационарность, производимые фильтром математические операции должны ограничиться сложением и умножением на константы. Этим требованием удовлетворяет так называемое разностное уравнение, которое записывается в виде:

; (4.3)

Применив z - преобразования к обеим частям разностного уравнения (4.2), получим:

; (4.4)

Отсюда легко получить вид функции передачи:

; (4.5)

Уравнение (4.3) реализует прямую форму. В ней для преобразования цепей, соответствующих числителю и знаменателю формулы (4.2), используются раздельные элементы задержки.

По передаточной функции цифрового фильтра (3.5) построим структурную схему его реализации прямым способом. Для построения структурной схемы по известной передаточной функции получим уравнение в конечных разностях:

(4.6)

Выразим из соотношения составляющую Y:

(4.7)

Введем переменные в таблице 2 и построим структурную схему фильтра методом прямой реализации (рис. 1):

Таблица 2.

а1	а2	а3	а4	а5
0,000086	0,000344	0,00052	0,000344	0,000086
	b2	b3	b4	b5
	-3,62	5,072	-3,25	0,805

Характерными чертами этой структуры являются ее простота и непосредственная связь с z-преобразованием. Однако, если полюсы H(z) расположены близко друг к другу или к единичной окружности, как это имеет место для частотно - избирательных фильтров, то при использовании фильтров данной структуры возникает трудноразрешимая проблема чувствительности характеристик фильтров к погрешностям коэффициентов.

По этой причине в большинстве практических случаев прямую форму стараются не применять.

Альтернативой первой прямой формы является вторая прямая форма, которая получается из структурной схемы перестановкой частей - первая часть фильтра имеет передаточную характеристику без нулей, а вторая - без полюсов.

Она может быть получена путем разделения сумматора в прямой реализации на две части - для рекурсивной и нерекурсивной частей фильтра. Т.к. в обе линии задержки подается один и тот же сигнал, то они будут содержать одинаковые наборы отсчетов. Это позволяет объединить линии задержки. В результате получаем два сумматора и одну линию задержки. Вторая прямая форма (каноническая форма) построения цифровых фильтров представлена на рис. 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 2. Структурная схема цифрового фильтра

Главным ее достоинством, как это видно из рисунка, является уменьшенное по сравнению с первой прямой формой количество элементов задержки.

Существуют также и другие формы реализации цифровых фильтров: каскадная (последовательная), параллельная, параллельно-последовательная, и т.д. Выбор наилучшей из этих многочисленных схем определяется экономическими соображениями. Они же зависят от свойств, структур или ограниченной точности представления переменных и коэффициентов фильтров.

5. Реализационные характеристики

Определим реализационные характеристики цифрового фильтра для двух способов построения. В их число входят:

1. L₀ - число ячеек оперативной памяти, необходимое для реализации фильтра. Равно числу элементов задержки.

2. L_n - число ячеек постоянной памяти. Оно определяется по числу различных постоянных множителей в схеме.

3. V_y - число операций умножения, которое должно быть выполнено за время Т для получения одного отсчета выходного сигнала. Определяется по числу множительных устройств.

4. V_s - число операций сложения. Определяется по суммарному числу входов сумматоров за вычетом числа сумматоров.

Реализационные характеристики фильтра при построении прямым способом:

; ; ; .

Реализационные характеристики фильтра при построении каноническим способом:

; ; ; .

6. Синтез фильтра в системе программирования MATLAB

Требуется выполнить следующее:

С помощью системы MATLAB произвести проверку коэффициентов передаточной функции цифрового фильтра полученных после выполнения первого и второго пунктов задания.

Расчет:

Для вычисления коэффициентов передаточной функции ФНЧ Чебышева порядка n, с частотой среза служит команда: [a b]=cheby1 (n, r, Wn). Частота задается в единицах нормированной частоты, т.е. значение этой частоты находится в интервале [0,1], где 1 соответствует частоте Найквиста. Частота Найквиста равна половине частоты дискретизации. В нашем случае:

(6.1)

Получим коэффициенты передаточной функции цифрового ФНЧ Чебышева четвертого порядка, написав М-файл следующего содержания:

n=4; fc=300; fs=6000;

Wn=2*fc/fs;

[a b]=cheby1 (n, r, Wn)

После расчета получаем следующие результаты:

a =

1.0e-003 *

0.0897 0.3586 0.5380 0.3586 0.0897

b =

1.0000 -3.6807 5.1761 -3.2923 0.7986

Сравним результаты, полученные в MATLAB и в пункте 3 (таблица 3).

Таблица 3. Коэффициенты передаточной функции цифрового фильтра

Коэффициенты	полученные по формулам	рассчитанные в MATLAB
а1	0,000086	0,0000897
а2	0,000344	0,0003586
а3	0,00052	0,000538
а4	0,000344	0,0003586
а5	0,000086	0,0000897
b1	1	1
b2	-3,62	-3,6807
b3	5,072	5,1761
b4	-3,25	-3,2923
b5	0,805	0,7986

Таким образом, сравнивая данные в таблице, видим, что они почти совпадают - что и требовалось доказать.

7. Частотные характеристики фильтра

Требуется выполнить следующее:

Построить АЧХ и ФЧХ синтезированного ЦФ

Расчет:

Для построения АЧХ и ФЧХ воспользуемся написанной ранее программой, добавив следующие строки:

figure(1)

freqz (a, b)

Графики изображены на рис. 3 и рис. 4:



Рис. 3 АЧХ цифрового фильтра

Рис. 4 ФЧХ цифрового фильтра

8. Импульсная характеристика

Требуется выполнить следующее:

Построить импульсную характеристику ЦФ для первых 50 отсчетов.

Расчет:

Для построения импульсной характеристики (рис. 5) добавим следующие строки:

figure(2)

impz (a, b, 50), grid on



Рис. 5 Импульсная характеристика

Заключение

В настоящей работе было проведено синтезирование цифрового фильтра Чебышева низких частот четвертого порядка по аналоговому фильтру-прототипу. Полученный фильтр удовлетворяет заданным требованиям, таким как частота среза, частота дискретизации и неравномерность в полосе пропускания. В результате работы были построены структурные схемы фильтра двумя способами: прямым и каноническим, определены реализационные характеристики. После анализа полученных структурных схем фильтра можно сделать следующий вывод:

- реализацию цифрового фильтра можно провести любым из рассмотренных методов, но при построении с помощью прямого способа уменьшается число требуемых сумматоров с одновременным увеличением числа элементов задержки, а с помощью канонического способа уменьшается число элементов задержки (ячеек оперативной памяти), с одновременным ростом числа сумматоров. Также был проведен синтез данного фильтра в системе MATLAB, построены графики амплитудно-частотной, фазочастотной и импульсной характеристик.

Список использованной литературы

1. Гадзиковский, В.И. Методы проектирования цифровых фильтров / В.И. Гадзиковский. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 416 с.

2. Гадзиковский В.И. Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие. / В.И. Гадзиковский. - Екатеринбург, 2006. - 53 с.

3. Дубровин В.С. Методические указания / В.С. Дубровин. - Саранск: МГУ, 2009. - 18 с.

4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. - Питер, 2005. - 604 с.

5. Белодедов М.В. Методы проектирования цифровых фильтров / М.В. Белодедов. - Волгоград, 2004. - 60 с.

Размещено на Allbest.ru