Библиографический список

1. Методы получения оценок параметров

,

где а - оцениваемая амплитуда; c(t) - сигнал с единичной амплитудой. Тогда выборка содержит два слагаемых:

,

где, в свою очередь, - нормальный шум. Функционал правдоподобия представляет собой совместное распределение единичных измерений , полученных из в соответствии с теоремой Котельникова. Такие измерения будут независимы, и их совместное распределение равно произведению одномерных распределений:

Определим экстремум выражения (5), продифференцировав его по параметру a и приравняв полученный результат к нулю:

,

откуда

,

где - энергия единичного сигнала. Для случая непрерывной реализации при -

т.е. алгоритм сводится к взаимокорреляционной обработке входной реализации и копии единичного сигнала . Определим смещение и дисперсию полученной оценки. Математическое ожидание a* равно

,

следовательно, полученная оценка несмещенная при любом времени Т.

Квадрат среднеквадратического отклонения оценки относительно истинного значения оцениваемого параметра

.

Если оценка параметра производится на фоне белого шума со спектральной плотностью мощности G₀, то

.

Относительная среднеквадратическая ошибка оценки параметра a

где E - полная энергия сигнала.

Таким образом, погрешность измерения амплитуды сигнала не зависит от формы сигнала, а определяется только энергетическим отношением сигнал/шум Q, и чем больше Q, тем меньше погрешность.

Если кроме оцениваемых параметров есть неизмеряемые параметры («мешающие» процессу измерения), то усредняется по всем этим параметрам.

3. Оценка неэнергетических параметров

Сигнал зависит от какого-либо неэнергетического параметра а, которым может быть задержка сигнала или смещение частоты (эффект Доплера в радиолокации). Функционал правдоподобия равен

где - корреляционный интеграл по измеряемому параметру:

=

где - сигнальная функция или корреляционная функция сигнала по измеряемому параметру; - шумовая функция.

Сигнальная функция - четная относительно а. Ее максимальное значение равно , т.е. при а = а₀ параметры полученного сигнала и опорного совпадают и

Среднее значение равно нулю, так как , а среднее значение квадрата . Таким образом, - это взаимокорреляционная функция сигнала и помехи. Возможный вид представлен на рис. 1 для различных отношений сигнал/шум Q.

Рис. 1

Если Q >> 1, то - несмещенная оценка, ее дисперсия равна

где - нормированная корреляционная функция по оцениваемому параметру.

Перед формулой для поставлен минус, потому что сигнальная функция в точке a = a₀ имеет максимум, а следовательно, вторая производная отрицательная, в то время как дисперсия - величина положительная.

Если , то выполняется оценка времени прихода сигнала. Определить - значит найти максимум по оси , и чем острее при , тем выше точность оценки времени задержки (больше значение второй производной).

Можно также рассмотреть при измерении радиальной скорости движения объекта относительно наблюдателя (в соответствии с эффектом Доплера).

В соответствии с формулой (13.9) может быть определена точность оценки и :

и

где - эффективная ширина спектра сигнала;

- эффективная длительность сигнала.

Таким образом, чтобы увеличить точность измерения времени прихода сигнала, необходимо расширять спектр сигнала, а это приведет к уменьшению длительности (для простых сигналов с базой 1) и снижению точности измерения доплеровского приращения частоты (радиальной скорости). При увеличения отношения сигнал/шум точность измерения как , так и возрастает. При использовании простых сигналов имеется противоречие между разрешающей способностью и помехоустойчивостью. Это противоречие может быть существенно сглажено применением сложных сигналов с большой базой (произведение эффективной длительности на эффективную ширину спектра). В отличие от задачи обнаружения точность измерения неэнергетических параметров сигнала зависит не только от энергии, но и от формы сигнала.

4. Интервальные оценки параметров сигналов

Как известно, точечные оценки параметров сигналов не позволяют оценить степень близости полученной оценки к истинному значению оцениваемого параметра. Более содержательна процедура оценки параметра, связанная с построением интервала, который «перекрывает» оцениваемый параметр с известной степенью достоверности. Например, пусть оценка среднего значения вычислена с помощью метода среднего арифметического по n независимым наблюдениям случайной величины X. Представляет интерес оценить в пределах некоторого интервала , в который попадает с заданной степенью достоверности. Такие интервалы можно построить, если известны выборочные распределения ошибок рассматриваемой оценки , где .

Если плотность вероятности известна, то можно определить вероятность того, что погрешность будет заключена в некоторых границах , по формуле

Вероятность называется доверительной вероятностью и характеризует надежность оценки. Интервал от -а до +а называется доверительным интервалом и характеризует точность полученной оценки. Весьма часто производятся измерения, при которых достаточно хорошо описывается нормальным законом. В этом случае

где - смещение оценки m* (систематическая погрешность). Тогда

Приведем правую часть выражения (11) к виду

Для этого сделаем в (11) замену переменной

Теперь оно примет вид

Но формула

является табулированной функцией, называемой функцией Лапласа и обладающей, в частности, свойством

Обозначив пределы интегрирования в выражении

;

и учитывая формулы (12) и (13), получим

,

где ; .

Доверительная вероятность может быть определена путем интегрирования плотности вероятности оценки в пределах доверительного интервала.

Анализ зависимостей , приведенных на рис. 2 и построенных с помощью таблицы значений функции Лапласа, позволяет сделать следующие выводы. Доверительная вероятность для заданного q имеет максимальное значение при смещении оценки, равном нулю; при увеличении модуля смещения оценки доверительная вероятность уменьшается и не зависит от знака смещения оценки.

Следует отметить, что доверительная вероятность, определяемая по формулам (12) и (13), является, по существу, условной доверительной вероятностью , т.е. доверительной вероятностью, полученной при условии, что смещение оценки имеет определенное значение.

Если известен интервал возможных значений нормированного смещения оценки m, то по формуле (12) или по графикам, приведенным на рис. 2, можно определить интервал возможных значений доверительной вероятности при заданном нормированном доверительном интервале . Используя графики, приведенные на рис. 2, можно решать и обратную задачу, а именно определять пределы изменения ширины нормированного доверительного интервала при заданной доверительной вероятности.

Рис. 2

Если известно значение смещения оценки, то его следует исключить из величины оценки и определить доверительную вероятность (доверительный интервал), полагая смещение оценки равным нулю.

5. Критерии согласия

В предыдущих случаях при синтезе алгоритмов оценок параметров, алгоритмов обнаружения или различения сигналов предполагалось наличие априорной информации относительно распределения сигналов или помех. Однако в большинстве практических ситуаций при выполнении перечисленных операций плотность вероятности неизвестна. Можно лишь делать разного рода предположения. В такой ситуации необходимо, располагая выборочными значениями, сделать статистический вывод относительно вида функции распределения, из которого извлечена выборка. Представляет интерес ввести количественную меру соответствия гипотетического и эмпирического распределений, или, как говорят, критерий согласия. Этот критерий представляет число , которое является функционалом от эмпирического и гипотетического F₁ распределений.

Сформулированная задача решается в следующей последовательности. По выборочным значениям X строится эмпирическая функция распределения по формуле , где - единичный скачок. На основании этого эмпирического распределения, но, может быть, и из других соображений, выдвигается гипотеза о том, что выборка извлечена их совокупности с распределением F₁(x). По принятому заранее критерию согласия необходимо вычислить и вероятность того, что указанная величина превосходит некоторое пороговое значение . Для этого необходимо знать распределение величины . Определить такое распределение в простой форме удается, как правило, лишь при больших размерах выборки (точнее, определить лишь асимптотическое распределение при ). Если распределение величины известно, то, задаваясь вероятностью (уровнем значимости критерия) того, что , находим пороговое значение . При достаточно малом получаем приемлемое для практики правило проверки гипотезы об истинности гипотетического распределения F₁(x): если для данной выборки , то гипотеза отвергается, в противоположном случае - принимается. При этом вероятность отвергнуть правильную гипотезу будет равна уровню значимости .

Отметим, что распределение величины , определяемое при условии, что выборочные значения X, по которым построена , извлечены из совокупности с распределением F₁, зависит от F₁. Было бы желательно иметь такие критерии согласия, распределения которых не зависели бы от вида F₁. Такие критерии называются непараметрическими. Ниже рассмотрим критерии, которые при являются непараметрическими (асимптотически).

Следует также иметь в виду, что такие критерии согласия дают при достаточно малом достаточно эффективное решающее правило, позволяющее отвергнуть неверную гипотезу. При этом, однако, остается неизвестной вероятность ошибок второго рода - принятие неверной гипотезы. Если для данной выборки , то, хотя принятое правило предписывает утверждать истинность выдвинутой гипотезы, следует к такому утверждению отнестись более осторожно, так как с учетом заданного критерия согласия нет оснований считать, что выборка X не согласуется с гипотетическим распределением.

Недостатком критериев согласия является произвольность выбора самого критерия и уровня значимости , а также трудности, связанные с определением их распределений для малых n. Другой путь состоит в непосредственном построении неизвестной функции F₁ по выборочным значениям без выдвижения гипотезы о виде этой функции.

5.1. Критерий -Пирсона. Этот критерий является одним из самых распространенных в приложениях к теории статистических оценок.

Разобьем область, где определена гипотетическая функция распределения F₁(x) случайной величины X, на конечное число неперекрывающихся интервалов . Обозначим вероятность попадания единичного измерения в i-й интервал . Пусть в выборке X число выборочных значений, попадающих в интервал , равно . Ясно, что

.

Используем в качестве критерия согласия величину

.

Как доказал Пирсон, если проверяемая гипотеза об истинности распределения F₁(x) верна, то при распределение асимптотически приближается к -распределению с степенями свободы, не зависящему от вида гипотетического распределения F₁(x).

Итак, пусть - процентное отклонение случайной величины, имеющей -распределение с степенями свободы, т.е. . При достаточно малом и большом n величина , вычисленная согласно критерию -Пирсона, практически никогда не будет превосходить порогового значения , если только гипотеза о виде распределения верна. Таким образом, выбирается следующее правило проверки гипотезы: гипотеза отклоняется, если , и принимается, если . Вероятность отклонить верную гипотезу равна .

5.2. Критерий Колмогорова. Согласно этому критерию количественной мерой соответствия служит для заданного размера n выборки максимум по всем значениям x модуля отклонения эмпирического распределения от гипотетического, т.е. . Как доказал А.Н. Кол-могоров, если проверяемая гипотеза истинности F₁(x) верна, то при и дополнительном предположении непрерывности F₁(x) функция распределения величины асимптотически приближается к

.

Если - заданный уровень значимости, то можно записать после некоторых преобразований:

.

Этот ряд быстро сходится и в качестве первого приближения можно ограничиться только первым его членом, т.е.

или

Следовательно, правило проверки гипотезы таково: если для наблюдаемой выборки , то гипотеза о том, что выборка извлечена из совокупности, имеющей гипотетическое распределение, отвергается; если имеет место противоположное неравенство, то гипотеза принимается. Таблицы значений функции приведены в [1]. Как и критерий -Пирсона, критерий Колмогорова используется при очень больших размерах n выборки. Однако при использовании этого критерия нет необходимости в предварительном распределении выборочных значений на интервалы и группировании, как это делается при использовании критерия -Пирсона.

5.3. Критерий Мизеса. Согласно этому критерию количественной мерой соответствия гипотетического и эмпирического распределений для заданного размера n выборки служит среднее значение квадрата отклонения указанных распределений

,

где - гипотетическая плотность вероятности случайной величины X. Представив выражение для через сумму ступенчатых функций с весом, зависящим от n, и интегрируя полученное выражение, придем к следующей формуле:

Математическое ожидание такой случайной величины есть , второй центральный момент имеет вид . Выражение для точного распределения величины очень сложное, но при оно близко к предыдущему. Как и критерий Колмогорова, критерий Мизеса в отличие от -Пирсона не связан с группированием выборочных данных, и его распределение достаточно быстро при увеличении n стремится к предельному распределению. Процентные точки предельного распределения имеют значения, представленные в табл. 2.

Таблица 2

5.4. Оценка принадлежности двух выборок одному и тому же распределению. Пусть имеются выборки X и Y, полученные в результате независимых единичных измерений, каждая из которых принадлежит некоторому распределению. Необходимо проверить гипотезу о том, что обе эти выборки принадлежат одному и тому же распределению. Пусть и - эмпирические функции распределения, построенные по двум выборкам X и Y (размер выборки X есть n, а выборки Y - m). В качестве критерия согласия примем величину

Как доказал Н.В. Смирнов, при вероятность

,

где - функция, аналогичная функции , используемой в критерии Колмогорова. Если задан уровень значимости , то можно, как и в критерии Колмогорова, определить пороговое значение , с которым необходимо сравнивать рассчитанное :

.

Таким образом, если , то выборки X и Y принадлежат одному и тому же распределению.

Другой критерий, предложенный Вилкоксоном, основан на подсчете числа инверсий. Для этого обе выборки располагают в виде порядковой статистики по возрастанию значений, например, Если в этой последовательности заданному x предшествуют s элементов выборки Y, то имеет место s инверсий. Общее число инверсий U равно сумме инверсий, образуемых всеми первыми элементами с элементами второй. Правило проверки гипотезы по критерию Вилкоксоном состоит в сравнении общего числа инверсий с пороговым числом, определяемым уровнем значимости .

Доказано, что при и с хорошим приближением можно считать распределение общего числа инверсий нормальным с параметрами ; . Тогда пороговое значение U числа инверсий для заданного уровня значимости может быть определено по формуле

,

где - процентное отклонение нормальной случайной величины. Если вычисленное по заданным двум выборкам значение U превосходит U, то гипотеза о том, что эти выборки принадлежат одному и тому же распределению, отклоняются.

6. Оценка параметров многомерной функции распределения