Обнаружение сигналов при априорной неопределенности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ПРИ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Введение

Параметры и характеристики помех и сигналов могут изменяться в широких пределах по различным причинам. Например, изменяются параметры пассивных помех при различных условиях отражения и различных атмосферных условиях; параметры организованных помех могут изменяться искусственно на постановщике помех. Даже параметры шума приемных устройств не остаются постоянными, а изменяются в процессе приема и обработки сигналов, например, из-за изменений температуры окружающей среды, изменения напряжения источников питания и т.д. Изменение параметров сильно влияет на качественные показатели устройств обнаружения, синтезированных при известных параметрах. Например, пороговый уровень в пороговых устройствах обнаружителей устанавливается по известной дисперсии помехи или шума. При увеличении дисперсии помехи возрастает вероятность P_F, а следовательно, ухудшается обнаружение полезных сигналов (рис. 1).

Таким образом, в реальных условиях появляется априорная параметрическая неопределенность, обусловленная незнанием параметров исходных распределений помех и сигналов.

Рис. 1

Часто и сам вид распределения неизвестен и меняется в процессе работы обнаружителя. Например, для пассивной помехи, обусловленной отражениями от подстилающей поверхности, вид распределения зависит от типа облучаемой поверхности (отражения от земли и поверхности моря имеют различные плотности вероятности).

Пути преодоления подобных априорных неопределенностей различны и зависят от вида самой неопределенности. Возможные ситуации и пути их преодоления показаны в табл. 1.

Таблица 1

1. Задачи с мешающими параметрами

Модель случайного явления в таких задачах известна не полностью, задано лишь качественное описание наблюдаемого явления - пространство выборок и априорная информация о неизвестном законе распределения выборок. Делается только предположение, что это распределение принадлежит к некоторому семейству распределений , , где - некоторый обобщенный параметр. В данном случае проверяется гипотеза относительно параметров (q < s), которая может иметь вид () ₀, где ₀ - некоторое подмножество множества параметров. Параметры определяющие гипотезу, называются полезными параметрами. Относительно оставшихся параметров не делается никаких предположений, однако так как эти параметры входят в плотность вероятности , то они будут участвовать во всех расчетах распределений статистик, применяющихся в данных задачах, и их необходимо принимать во внимание. Параметры при этом называют мешающими параметрами в рассматриваемых задачах.

Альтернатива в этом случае будет приниматься при попадании параметров во множество, дополнительное к ₀. Вспомним, что называется статистикой, понятие которой является одним из важных в теории проверки статистических гипотез. Если измеримое пространство рассматривается как выборочное (пространство наблюдений), то измеримое отображение (редукция) пространства в называется статистикой. Таким образом, статистика является функцией результатов наблюдений для каждой вероятностной меры . В этом случае на пространстве можно определить семейство распределений вероятности статистик, которое можно получить из с использованием замены переменных в теории вероятностей. Новое распределение будет называться распределением статистики. При переходе к статистикам происходит уменьшение мерности пространства.

2. Достаточные и свободные статистики

Редукция (уменьшение мерности) исходных измерений к достаточным статистикам состоит в отбрасывании той части данных, которая не содержит информации относительно неизвестного распределения параметра и, следовательно, бесполезна для любой проблемы решения, касающейся .

Статистика называется достаточной для семейства , если условное распределение X при условии T = t (частное) не зависит от . Основную роль в отыскании достаточных статистик играет теорема факторизации, согласно которой статистика достаточна для тогда и только тогда, когда семейство распределений допускает следующее представление для всех

,

где первый сомножитель может зависеть только от , а от X зависит только через , в то время как второй сомножитель не зависит от и не несет никакой информации о .

ПРИМЕР 1. Дана выборка , каждое одиночное измерение которой имеет одномерную плотность вероятности

.

Выборочные данные независимы, и совместное распределение равно произведению одномерных плотностей вероятности

Последнее выражение содержит сомножители, один из которых зависит только от выборочных данных, а другой - от математического ожидания m и . Сравнение этого выражения с формулой (1) показывает, что статистика является достаточной относительно математического ожидания (т.е. содержит всю информацию нем).

В общем случае теорема факторизации не дает метода для поиска достаточных статистик, с ее помощью можно только проверить, является ли избранная статистика достаточной для данного семейства распределений или нет.

С точки зрения информационных свойств противоположной достаточной статистике является свободная статистика относительно какого-либо параметра. Если переход к достаточной статистике осуществляется с сохранением информации о каком-либо параметре, то переход к свободной статистике приводит к исключению информации относительно параметра, т.е. распределение статистики не зависит от этого параметра.

Очевидно, что если ₁ является мешающим параметром, то переход к статистике, свободной относительно ₁, позволяет исключить зависимость от этого параметра и найти решающее правило, вероятность правильного обнаружения для которого не зависит от данного мешающего параметра. Это правило будет основано на свободной относительно ₁ статистике.

Для нахождения свободных статистик может быть использован метод, основанный на свойствах инвариантности, который, в свою очередь, непосредственно связан с теорией групп. Кратко сформулируем понятие группы. Множество , наделенное внутренним законом композиции, называется группой, если закон композиции обладает следующими свойствами:

- ассоциативность ;

- имеет нейтральный элемент ;

- всякий элемент имеет симметричный обратный .

Таким образом, чтобы найти свободную статистику, необходимо отыскать такую группу преобразований, которая в параметрическом пространстве вызывала бы изменение мешающих параметров. Рассмотрение свойств инвариантности возможно лишь при наличии естественной симметрии выборочного и параметрического пространств и заключается в инвариантности семейств распределений относительно некоторых групп преобразований, так как именно семейство распределений связывает выборочное и параметрические пространства.

Семейство распределений инвариантно относительно группы , если для каждого и каждого существует единственный элемент , обозначаемый , такой, что при любом X.

Преобразование , действующее в параметрическом пространстве, образует группу, которая является образом группы (g), действующей в выборочном пространстве (индуцированная группа).

Наиболее конструктивным методом отыскания статистик, свободных относительно мешающих параметров, является метод, основанный на применении принципа редукции по инвариантности. Этот метод непосредственно связан с отысканием максимально инвариантных статистик (МИС). При заданной группе преобразований , если выполняется условие для любого . МИС относительно будет инвариантной статистикой, для которой выполняется дополнительное условие: если , то . Согласно принципу редукции по инвариантности распределение МИС зависит только от максимально инвариантной функции (МИФ) параметров относительно индуцированной группы, действующей в параметрическом пространстве. Если МИФ относительно индуцированной группы не зависит от мешающих параметров, то, следовательно, МИС является свободной статистикой относительно этих мешающих параметров, а распределение МИС зависит только от МИФ параметра .

3. Оптимальные решающие правила

Наиболее сложным в задачах проверки гипотез при наличии мешающих параметров является вопрос отыскания оптимальных решающих правил.

Функция , принимающая значение вероятности при (принятие гипотезы) и значение при , дополнительное к (отвержение гипотезы и принятие альтернативы), называется семейством кривых обнаружения. Очевидно, при расчете необходимо знать не только значения полезных, но и мешающих параметров. В этих условиях несомненный интерес представляет отыскание решающих правил, у которых не зависело бы от мешающих параметров, а определялось бы только значениями полезных параметров, которые характеризуют гипотезу () и альтернативу (). Это будут решающие правила с инвариантными кривыми обнаружения. Если же характеристики решающих правил не зависят как от мешающих, так и от полезных параметров, то они являются бесполезными для рассматриваемой задачи (их называют тривиальными).

Решающие правила с инвариантными встречаются крайне редко, и класс задач, для которых такие решающие правила существуют, чрезвычайно узок. Исключением является лишь решающее правило обнаружения сигнала с неизвестной фазой, основанное на огибающей входного случайного процесса. Часто ослабляют требования к инвариантности качественных характеристик, допуская, чтобы эти характеристики не зависели от мешающих параметров только в области гипотезы , и тогда не будет зависеть от этих параметров. В связи с расширением класса решающих правил возникает важный вопрос сравнения их между собой и выбора среди них наилучшего. В основе определения относительной эффективности лежит сравнение качественных характеристик решающих правил в области альтернативы (). Вероятность в этом случае является функцией нескольких аргументов: , объема выборочных данных, расстояния между распределениями при и . Сравнение эффективности различных алгоритмов можно провести различными способами: фиксируя уровни одних аргументов и устремляя к необходимым пределам другие и т.д.

При прочих равных условиях наилучшими решающими правилами являются равномерно наиболее мощные (РНМ) правила, имеющие среди всех правил наибольшее (при ) почти всюду на области , т.е. кривые обнаружения РНМ правила имеют наибольшие ординаты среди всех прочих правил при любых в области H₁.

Доказано, что если решающее правило основано на МИС и распределение этой МИС обладает монотонным относительно своего аргумента отношением правдоподобия при любых значениях МИФ, то решающее правило будет РНМ в классе инвариантных правил. При этом кривые обнаружения будут иметь наибольшие значения при и прочих равных условиях. Однако такие решающие правила могут и не существовать для решаемых задач. Так, не существует РНМ инвариантных правил для задач, в которых не удается найти группу, сводящую многомерную параметрическую область к одномерной; среди решающих правил, основанных на ранговых статистиках, не существует РНМ правил для широкого класса исходных распределений.

В ряде задач, где РНМ решающих правил не существует, тем не менее существуют РНМ несмещенные правила, для которых принятие или отклонение происходит сравнением с пороговой величиной, определенной в области для фиксированных значений статистик относительно мешающих параметров (пороговый уровень зависит от мешающего параметра). В этом случае решающее правило максимизирует условную при каждом значении H(X), а следовательно, максимизирует и безусловную .

Для определения РНМ несмещенного правила достаточно доказать, что распределение имеет монотонное отношение правдоподобия относительно T при любых значениях мешающего параметра в заданных пределах.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим определение РНМ несмещенного правила. На вход решающего устройства после первичной обработки, заключающейся в квантовании единичных измерений выборки на два уровня («нуль» и «единица»), поступают сигналы в различные моменты времени с вероятностями

,

где l - число моментов времени, в которых может присутствовать сигнал.

Помеховые сигналы поступают на вход с одинаковой вероятностью, но неизвестной априорно; вероятность появления полезного сигнала отличается от вероятности помехового и также неизвестна. Необходимо синтезировать оптимальную процедуру обнаружения полезного сигнала среди помеховых.

Вероятность того, что на вход решающего устройства поступит K импульсов из N, определится из биноминального распределения

.

Гипотеза в данном случае может быть сформулирована так:

(во все l моментов времени присутствует помеха).

Положение полезного сигнала относительно сигналов помехи априорно неизвестно, поэтому переформулируем гипотезу в противовес альтернативе . Задача, таким образом, сведена к l двухальтернативным гипотезам, в которых сравнивается со средней вероятностью для всех l сигналов. Объем j-й выборки - N, а объединенной - lN, т.к. при H₀ и H₁ неизвестны, то это задача с мешающими параметрами. Пусть Y - число единиц для j-го сигнала из N; X - число всех единиц из lN. Совместное распределение этих случайных величин будет

,

где M = lN; q = 1 - p; q_j = 1 - p_j.

Это распределение может быть сведено к экспоненциальному виду:

,

и гипотеза может быть преобразована относительно параметра

,

который является полезным, а мешающим - .

В соответствии с теоремой факторизации достаточной статистикой для полезного сигнала является Y, а для мешающего - t = X + Y. Для определения РНМ несмещенного критерия необходимо найти условное распределение Y при фиксированной t:

,

,

а отношение правдоподобия (условное) -

является монотонно возрастающей функцией относительно Y при любых t, тогда критерий является РНМ несмещенным. Пороговое значение c(t) определяется для области H₀ при фиксированной по выражению

,

так как .

4. Ранговые критерии

априорный неопределенность сигнал обнаружение

Пусть - значение i-й по величине координаты вектора , причем - наименьшее значение и - наибольшее значение в выборке X. Полагая , имеем

.

Эта статистика называется порядковой. Пусть также у вектора X, у которого никакие две координаты не совпадают, - число координат, не превысивших x_i, т.е. номер x_i - в последовательности (2), . Статистика называется рангом x_i, и R - вектор рангов (). Обозначим пространство всех перестановок числами , и R содержит N! Точек. Так как X можно восстановить по порядковой статистике и R, то пара представляет собой достаточную статистику для любой системы распределений (непрерывных).

Ранговым критерием называют критерий, основанный на ранговой статистике (функции рангового вектора). Поскольку сформулировать критерий, основанный непосредственно на ранговом векторе нельзя, то используют ранговую статистику и сравнивают ее с пороговой величиной. При переходе к ранговой статистике происходит потеря информации, новая статистика уже не является достаточной для широкого класса распределений, и поэтому не существует ранговых РНМ критериев. В некоторых случаях говорят о локально наиболее мощных (ЛНМ) критериях (в ограниченном пространстве параметров). Например, для слабых сигналов - ЛНМ критерий находится около границы критериальной зоны.

Ранговые критерии применимы, если пространство испытаний задается только через порядковые статистики и вектор R.

ПРИМЕР 3. На грядках имеются тюльпаны желтого цвета. Опылили пыльцой тюльпанов красного цвета k грядок при разных условиях. Определить условия (грядку), которые приводят к наибольшей густоте красного цвета, т.е. наиболее благоприятные условия опыления для передачи красного цвета.

Составляем порядковую статистику (объединенную) по возрастанию красного цвета, но запомним, с какой грядки каждый тюльпан. Переходим к вектору рангов, затем суммируем ранги тюльпанов каждой грядки и там, где наибольшая сумма рангов, там и большее воздействие красного цвета, а следовательно, наиболее благоприятные условия для опыления.

Ранговые критерии бывают двухальтернативные и многоальтернативные. При этом проверяется гипотеза H₀ об идентичности плотностей вероятностей этих выборок, в остальном плотности вероятности и их параметры произвольны. В качестве альтернативных могут рассматриваться следующие отличия от гипотезы:

1. Различия в «сдвиге»

.

Гипотеза H₀: ; альтернатива H₁: . Если , то присутствует сдвиг вправо, и тогда критерий односторонний. Примером может служить критерий Вилкоксона (1945 г.)

,

где - сумма рангов в проверяемой выборке, составленной из рангов объединенной выборки; с - пороговое число, определяемое для заданной P_F в области гипотезы H₀.

2. Критерий масштаба

,

где В - коэффициент масштаба.

3. Критерий симметрии (критерий знаков): проверяется гипотеза о симметрии распределения. Для этого пересчитывается число положительных измерений в выборке и отрицательных. Если эти числа отличаются, то принимается решение о несимметричности, а следовательно, о наличии сигнального распределения.

4. Критерии зависимости, например, основаны на коэффициенте ранговой корреляции Спирмена. В этом случае проверяется гипотеза о независимости двух выборок равного объема - N

,

где R_i и Q_i - одноименные ранги проверяемых выборок; с₁ - пороговое число, определяемое для заданной P_F в области гипотезы H₀.

Библиографический список

1. Жовинский В.Н. Инженерный экспресс-анализ случайных процессов [Текст] / А.Н. Жовинский, В.Н. Жовинский. - М.: Энергия, 2009. - 112 с.

2. Царьков Н.М. Многоканальные радиолокационные измерители [Текст] / Н.М. Царьков. - М.: Сов. радио, 2010. - 192 с.

3. Гнеденко Б.Н. Курс теории вероятности [Текст] / Б.Н. Гнеденко. - М.: Физматгиз, 2011. - 203 с.

4. Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. - М.: Сов. радио, 2009. - 208 с.

5. Федосов В.П. Статистическая радиотехника [Текст]: конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. - Таганрог: Изд-во ТРТИ, 2008. - 76 с.

Размещено на Allbest.ru