Визначення похибок багатократних вимірювань елементів радіоелектронної апаратури

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний технічний університет України

«Київський політехнічний інститут»

Інститут телекомунікаційних систем

Дисципліна : «Основи метрології , взаємозамінностіта стандартизації»

Розрахункова робота

Визначення похибок багатократних вимірювань параметрів елементів радіоелектронної апаратури (РЕА)

Виконала : ст. гр. ТІ-91

Борис Т.В.

Захистила роботу «__»______2010р.

з оцінкою_____________________

_____________________________

(підпис викладача)

Київ-2010

1. Теоретичні відомості по темі: «Статистична обробка даних»

Саме у розробці методів реєстрації, опису й аналізу експериментальних даних, що отримані у результаті спостережень випадкових числових явищ полягає основна задача математичної статистики.

Всі задачі статистики стосуються питань обробки спостережень над масовими випадковими явищами, але залежно від характеру розв'язуваного практичного питання й від об'єму наявного матеріалу ці задачі можуть приймати ту або іншу форм. Основними завданнями є установлення закону розподілу випадкової величини за статистичним даними,установлення закономірності, що спостерігаються в масових випадкових явищах, проявляються виразніше при більшій кількості статистичного матеріалу.

На практиці маємо справу з обмеженою кількістю експериментальних даних; у зв'язку з цим результати наших спостережень та їх обробки завжди містить елемент випадковості(+перевірка вірогідності гіпотез, знаходження невідомих параметрів розподілу)

2. Етапи статистичної обробки даних

· Обробка даних з метою зведення до зручного вигляду для дослідження.

· Числові характеристики статистичного розподілу (математичне сподівання, дисперсія, СКВ)

· Встановлення закону розподілу статистичних даних

· Перевірка відповідності гіпотез

3. Термінологія

Гістограмма (от грец. histos, тут стовп + grаmma -- межа, буква, написання) -- спосіб графічного представлення табличних даних. Гістограма - це графік, що складається з прямокутників. Горизонтальні межі прямокутника - інтервал групування статистичного ряду. Нижня межа прямокутника розміщена на осі 0X, а висота задається формулою , де m_i - значення даного інтервалу статистичного ряду, n - кількість інтервалів, а h_i - його ширина.

При  гістограма прямує до графіка щільності.

Найчастіше, для зручності беруть рівномірне розбиття статистичного ряду, тобто однакові розміри інтервалів .

Таким чином, гістограма є графічним зображенням залежності частоти попадання елементів вибірки від відповідного інтервалу групування.

Статистичний ряд розподілу якої-небудь випадкової величини А - таблиця, що складається з інтервалів, на які розбитий весь діапазон значень А, і частот входження значень А в даний діапазон (р_i=m_i/n , де m_i - кількість значень А, які попадають в i-й проміжок).

Статистична функція розподілу - функція виду: F(x)=P(ax). Статистичною функцією розподілу випадкової величини X називається частота події X<x у даному статистичному матеріалі. Наближену функцію розподілу можна побудувати за допомогою статистичного ряду. Точки вибираються так, щоб вони збігалися із границями інтервалів і значення функції обчислюється: , де р_k - частота відповідна k-му інтервалу, отримані точки з'єднуються.

Математичним сподівання випадкової дискретної величини називається сума добутків окремих значень, що їх набуває на їх, відповідні ймовірності.

Математичне сподівання часто називають центром розподілу або центром розсіяння. Математичне сподівання випадкової величини дорівнює середній їй, значень зваженій за ймовірностями.

Математичне сподівання - чисельна характеристика, що визначає деяку середньостатистичну величину, визначається по формулі:

,

де a_i - значення випадкової величини в i-ому спостереженні,

n - число спостережень.

СКВ (Середньо квадратичне відхилення) - кількісна характеристика розподілу випадкової величини, що визначає певне середньо очікуване відхилення значень випадкової величини від її середнього статистичного.

,

де _i - відхилення вимірюваного значення від заданого.

Дисперсія - числова характеристика розподілу, що визначає ступінь розкиду випадкової величини біля її математичного очікування.

,

де a_i - значення випадкової величини в i-ому спостереженні,

n - число спостережень.

Говорячи про встановлення закону розподілу статистичних даних,маємо на увазі - підбір відповідно для отриманих даних математичної моделі, що буде найбільше точно описувати випадковий процес, характеристики якого визначаються в процесі даного дослідження.

Одним з найпоширеніших видів математичної моделі випадкових процесів - є функція розподілу щільності ймовірності.

Її визначають як похідну функції розподілу випадкової величини. Її зміст: установлення залежності розподілу площини ймовірності випадкової величини від значень цієї величини (функція, що описує ймовірність влучення значення випадкової величини в деяку околицю значення цієї величини, віднесену до довжини цієї околиці).

Процес вибору математичної моделі отримав назву «вирівнювання статистичних рядів». Його суть складається у виборі теоретичної кривої розподілу, що виражає тільки загальні риси статистичного матеріалу, відкидаючи випадкові, пов'язані з недостатнім об'ємом експериментальних даних.

Пошук відповідного закону є задачею, що не може вирішуватися математичними методами. Рішення приймається на основі результатів вивчення фізичного змісту досліджуваного процесу (у деяких випадках закон визначається у вигляді статистичного розподілу, отриманого в результаті обробки даних).

4. Основні закони розподілу випадкових величин, що використовуються при статистичній обробці даних

Закон нормального розподілу Гауса. Якщо число паралельних аналізів досить велике, то розподіл результатів аналізу по окремих значень можна описати одній і тій же плавній кривій щільності ймовірності ц (x). Крива характеризується симетрією відносно вертикальної лінії, що проходить через абсцису х = М (х) [тут і надалі символ м буде для стислості вживатися замість M (x)].

Графік функції щільності ймовірності називають нормальної кривої або кривої Гауса. Ця крива зображена на малюнку 2.



Рис. 2 - Крива щільності ймовірності нормально розподіленої випадкової величини.

В аналітичній формі функція щільності ймовірності має вигляд:

(2.1)

Характер кривої щільності імовірності повністю визначається двома параметрами: математичним очікуванням м і стандартним відхиленням, тому нормальний закон розподілу інакше називають двопараметричною моделлю розподілу.

Розподілу, що задовольняють співвідношенням (2.1) і зводяться до нього шляхом простих перетворень, називають нормальними, а закон розподілу - нормальним законом розподілу випадкових величин Гаусса. Якщо випадкова величина Х має нормальний розподіл з параметрами M (X) = м і, то цей факт коротко записують за допомогою символічної запису: СВ Х € N (a, у). 

Розподіл Гауса називається нормальним в силу того, що багато розподілу, що відображають найрізноманітніші явища випадкового характеру, що протікають в природі, підкоряються цьому закону. Так випадкові похибки кількісного хімічного аналізу і самі результати аналізу, як правило, розподілені за нормальним законом, хоча, строго кажучи, в кожному випадку потрібно експериментальне доказ цього положення. Крім того, нормальний розподіл є граничним, до якого наближаються інші розподілу при дотриманні деяких умов. 

Розглянемо основні властивості функції щільності ймовірності нормального розподілу.

1. ц (x) визначена при всіх х € X. 

2. Крива Гауса симетрична щодо прямої х = м, тобто ймовірності p1 і р2 рівних за величиною, але зворотних по знаку випадкових похибок, рівні.

3. dц / dx = 0 при х = м. Звідси випливає, що функція ц (х) має максимум для результатів аналізу, рівних середнього арифметичного. Це означає, що закон нормального розподілу припускає вірогідність випадкових помилок тим меншою, чим більше їх абсолютні значення. Максимальне значення функції:

4. Умові d2ц/dx2 = 0 відповідають рівності х1 = м + у і х2 = м - у, тобто крива ц (х) має дві симетричні щодо вертикальної осі х = м. точки перегину на відстанях від центру розсіювання м, рівних ± у (x1 = a - у і x2 = a + у).

5. Якщо змінювати математичне сподівання м при незмінному у, то крива Гауса зміщуватиметься вздовж осі абсцис, тобто параметр м характеризує становище кривий при незмінній формі (див. рис. 3). Іноді параметр м називають параметром зсуву.

6. При збільшенні (зменшенні) параметра у максимальна ордината зменшується (збільшується), див. рис. 4. Іншими словами, параметр у характеризує форму кривої, при незмінному положенні центру кривій; так як площа під кривою Гауса завжди дорівнює 1 , то, якщо у збільшується, то крива стає плосковершинною, у зменшується - крива Гауса витягується вгору (див. рис. 4). Параметр у іноді називають параметром масштабу.



Рис. 3 - Криві щільності ймовірності нормального розподілу при у = const; м1 <м2 <м3. 

7. У межах фігури, обмеженої кривою нормального розподілу, віссю абсцис і ординатою x = м, можна виділити особливі точки. Для наочності виберемо розподіл з м = 0 (рис. 4). Точці перегину, як було вже зазначено, відповідає значення абсциси, рівне стандартному відхиленню ± у. Площа, обмежена кривою, віссю абсцис і прямими х = 0 і х = у, для всіх випадків нормального розподілу становить 34% від загальної площі під всією кривою.Тому ймовірність того, що випадкова похибка окремого аналізу не перевищує за абсолютним значенням стандартне відхилення, дорівнює 0,68, імовірність того, що вимірювана величина лежить в інтервалі х ± 2у, дорівнює 0,95; в інтервалі х ± 3у - 0,997.

Рис. 4 - Криві щільності ймовірності нормального розподіллення при м = const; у1 = 0.5 <у2 = 1 <у3 = 2.

Між теоретичними і статистичними кривими розподілу неминучі деякі розбіжності. Для того щоб прийняти або спростувати гіпотезу Н, розглянемо деяку величину, яка характеризує ступінь розбіжності теоретичного і статистичного розподілу. Цю величину називають критерієм згоди, який має досить прості властивості й при достатньо великій кількості дослідів практично не залежить від теоретичної функції розподілу.

Найбільш часто застосовують критерій згоди - так званий „критерій ч² Пірсона”.

Для розподілу ч² складені спеціальні таблиці. Користуючись цими таблицями, можна для кожного значення ч² і числа степенем свободи r знайти імовірність р того, що величина, розподілена по закону ч², перевищить це значення. Розподіл ч² дає можливість оцінити ступінь відповідності теоретичного і статистичного розподілу. Якщо величина р відносно велика, можна визнати розбіжність між теоретичним і статистичним розподілом несуттєвими і віднести їх на рахунок випадкових причин.

5. Розрахунок на прикладі резистора

Елемент РЕА: резистор

Номінальне значення: 1200 Ом

Номер заміру	Значення параметру	?i	?i2	Vn(Абсолют.п/СКВ)
1	1285	105,80	11193,64	1,30765887
2	1124	-55,20	3047,04	0,6822568
3	1304	124,80	15575,04	1,54249364
4	1054	-125,20	15675,04	1,54743753
5	1149	-30,20	912,04	0,37326369
6	1105	-74,20	5505,64	0,91709157
7	1114	-65,20	4251,04	0,80585405
8	1196	16,80	282,24	0,20764337
9	1226	46,80	2190,24	0,57843512
10	1181	1,80	3,24	0,0222475
11	1185	5,80	33,64	0,0716864
12	1080	-99,20	9840,64	1,22608469
13	1203	23,80	566,44	0,29416145
14	1249	69,80	4872,04	0,86270878
15	1105	-74,20	5505,64	0,91709157
16	1224	44,80	2007,04	0,55371567
17	1128	-51,20	2621,44	0,6328179
18	1302	122,80	15079,84	1,51777419
19	1208	28,80	829,44	0,35596007
20	1049	-130,20	16952,04	1,60923615
21	1042	-137,20	18823,84	1,69575423
22	1235	55,80	3113,64	0,68967264
23	1157	-22,20	492,84	0,27438589
24	1307	127,80	16332,84	1,57957281
25	1181	1,80	3,24	0,0222475
26	1237	57,80	3340,84	0,71439209
27	1039	-140,20	19656,04	1,7328334
28	1246	66,80	4462,24	0,82562961
29	1204	24,80	615,04	0,30652117
30	1257	77,80	6052,84	0,96158658

Математичне очікування:

Абсолютна похибка окремого виміру (див. табл.):

СКВ :

СКВ середнього арифметичного

Сподівання	??i2	у	усер
1179,20	189836,8	80,9079511	14,7717033

Статистичний ряд вимірюваних значень опору:

min	-140,2
max	127,8
№ ІНТЕРВАЛУ	ВІД	ДО	mi	Pi
1	-140,2	-106,7	4	0,133333
2	-106,7	-73,2	3	0,1
3	-73,2	-39,7	3	0,1
4	-39,7	-6,2	2	0,066667
5	-6,2	27,3	6	0,2
6	27,3	60,8	5	0,166667
7	60,8	94,3	3	0,1
8	94,3	127,8	4	0,133333

m_i - частота попадання в інтервал.

p_i - густина (рос «плотность») ймовірності потрапляння в інтервал.

n =30 (к-сть вимірів)



Рис. 5 - Діаграма визначених значень

Рис. 6 - Гістограма визначених значень

Діаграма 1

На діаграмі 1 по осі OX відклали номер інтервалу (з табл. 2), по осі OY відклали p_i..



Рис. 7 - Графік функції щільності ймовірності розподілу похибок вимірювання:

Перевірили рад вимірювань на наявність грубих помилок (промахів):

Для знаходження табличного значення Vn (для 30 вимірів)

Діаграма 2

Та отримали значення V₃₀=3,1.

В табл. 1 знаходяться розраховані значення Vn



Порівнюючи розраховане та табличне значення для V_n отримали, що рад значень не має грубих помилок.

За допомогою таблиці розподілу Лапласа для заданної довірчої ймовірності знайдемо значение z.

.

Оскільки

то за формулою:

=z*

розрахуємо довірчий інтервал:

=1,96*12,85=25,19

Остаточний результат запишемо у вигляді:

C=979,425,19

Висновки

Виконуючи дану РГР , я визначила похибку багатократних вимірювань параметрів резистора. Дослідження було виконано поетапно, а саме:

1. Побудова статистичного ряду вимірюваних значень

2. Знаходження МС, відхилення вимірюваних значень від МС,СКВ,СКВ середнього арифметичного

3. Виконана перевірка на наявність грубих помилок(не виявлено)

4. Визначено довірчий інтервал при Р=0,95

C=979,425,19

МС	СКВ	СКВ сер
1179,20	80,9079511	14,7717033

По даним вимірювання було побудовано гістограму розподілу похибок.У загальному випадку щоб знайти закон розподілу, потрібно мати у своєму розпорядженні досить великий статистичний матеріал, порядку декількох сотень спостережень. На практиці ж, як і в цьому випадку, ми маємо справу зі статистичним матеріалом обмеженого обсягу - із двома-трьома десятками спостережень. Такий обмежений матеріал значно ускладнює знаходження закону розподілу, тому що вид функцій розподілу не проявляють явний характер того або іншого закону розподілу. Крім того, експериментальний матеріал у таких випадках містить у собі значний елемент випадковості; тому випадковими виявляються й всі параметри, обчислені на основі цих даних.

статистична обробка величина

Перелік використаної літератури

1. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуникационных системах: Учебник для вузов / В.И. Нефёдов, В.И. Хахин, Е.В. Федорова и др.; Под ред. В.И. Нефёдова. - М.: Высш. шк., 2001. - 383 с: ил.

2. Конспект лекцій Вульпе О.А.

3. Всесвітня мережа інтернет.

Размещено на Allbest.ru