Комплексный метод расчета электрических цепей переменного тока

4

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА»

Калужский филиал

Комплексный метод расчета электрических цепей переменного тока

«Общая электротехника и электроника».

Содержание.

1. Общие сведения……………………………………………..….4

2. Пример расчета………………………………………...…….....6

3. Литература……………………………………………..………11

1. Общие сведения.

В комплексном методе расчета электрических цепей переменного тока ЭДС, напряжения, токи, сопротивления, проводимости и мощности представляют в виде комплексов. Комплексные значения величин, изменяющихся по гармоническому закону, обозначают соответствующими прописными буквами, над которыми ставят точку: . Для обозначения модулей этих величин применяют те же буквы, но без точек над ними: E, U, I.

Комплекс полного сопротивления обозначают прописной буквой Z (без точки), комплекс полной проводимости - буквой Y (без точки). Модули этих величин обозначают соответствующими строчными буквами z и у. Комплексные числа записываются в одной из следующих форм:

= a + jb - алгебраическая форма;

= А (cos+ j sin) - тригонометрическая форма;

= А - показательная форма,

где А = - модуль комплексного числа;

- аргумент комплексного числа;

- мнимая единица.

Если напряжение и ток изменяются по закону синуса

u=Umsin(щt + шu);

i = Imsin(щt + шi);

то эти величины в комплексной форме запишутся так:

и ,

где и .

Комплекс полного сопротивления цепи, состоящей из последовательно включенных r, L и С.

,

где,

Для расчета цепей синусоидального переменного тока комплексным методом применяются все методы, известные из теории электрических цепей постоянного тока. Всё отличие состоит в том, что вместо действительных чисел, соответствующим токам, напряжениям и сопротивлениям в цепях постоянного тока, при расчете цепей переменного тока используется комплексные числа. При умножении и делении комплексных чисел необходимо использовать показательную форму записи, а при сложении и вычитании - алгебраическую форму.

2. Пример расчета.

Для электрической цепи (рис.1) найти действующие значения токов и напряжений на всех участках цепи, активные, реактивные и полные мощности всей цепи и отдельных участков с проверкой баланса мощностей; построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Рис. 1

Дано:

U = 380 В; r1 = 6 Ом; хL1 = 12 Ом; хC1 = 4 Ом;

хC2 = 6 Ом; r3=10 Ом; хL3=8 Ом.

Решение: Записываем комплексы сопротивлений.

Ом;

Ом;

Ом.

Найдем комплекс полного сопротивления цепи

Приняв = U, найдем токи отдельных участков

Напряжения отдельных участков

Комплекс полной мощности

где - комплексно-сопряженный ток.

Откуда Р = 14,85 кВт; Q=2,04 квар.

Аналогично находят S1, S2, S3, при этом

Для построения топографической диаграммы вычислим напряжения на всех элементах цепи:

Задавшись масштабом, отложим на комплексной плоскости векторы токов (рис.2). Сумма токов

равна вектору тока . Примем потенциал точки 1

равным нулю и определим комплексные потенциалы остальных точек, обходя схему навстречу положительному направлению токов.

Комплексный потенциал .

Построив из точки 1 вектор напряжения на сопротивлении (совпадает по фазе с током ), получим на диаграмме точку 2.

Комплексный потенциал . Построив из точки 2 вектор индуктивного напряжения (по фазе опережает ток на 90°), получим точку 3.

Комплексный потенциал . Построив из точки 3 вектор емкостного напряжения (по фазе отстает от тока на 90°), получим на диаграмме точку 4.

Аналогично определяем комплексные потенциалы точек 5 и 6.

Вектор, соединяющий точку 1 с точкой 6 и направленный из точки 1 к точке 6, изображает напряжение на зажимах цепи. Вектор, проведенный из начала координат в какую-либо точку диаграммы, изображает комплексный потенциал соответствующей точки цепи.

Рис. 2

3. Литература

1. Левинзон С.В., Методы расчета и принципы конструирования вторичных источников электропитания радиоэлектронной аппаратуры. - Калуга, 1995.

2. Гершунский Б.С, Расчет основных электронных и полупроводниковых схем. - Киев, Издательство Киевского Университета. 1968.

3. Исаков Ю.А. и др., Основы промышленной электроники. Киев, Техника1976.

4 .Игумнов Д.В. и др., Основы микроэлектроники. - Москва, В.Ш., 1991