Позиционная и непозиционная системы счисления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Системы счисления. Позиционная и непозиционная системы счисления. Системы счисления, используемые в компьютере

Оглавление

Введение

Система счисления - совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Способов записи чисел цифровыми знаками существует множество. Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

а) возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;

б) единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);

в) простоту оперирования с числами.

Наиболее известная система счисления, которой пользуются практически во всём мире для записи чисел это десятичная система счисления. В ней используются цифры 0, 1, ..., 9. Однако существует много других систем счисления.

В данном реферате будет описана история возникновения различных систем счисления на примерах наиболее известных систем счисления. В данном реферате не рассматриваются смешанные системы счисления, но подробно рассмотрены современные системы счисления, используемые в вычислительных машинах: двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

2. История возникновения систем счисления

Двенадцатеричная система счисления.

В разные исторические периоды многие народы использовали другие системы счисления. Широкое распространение имела двенадцатеричная система счисления. Её происхождение связано со счетом на пальцах, так как четыре пальца руки без большого пальца, имеют в совокупности двенадцать фаланг. Перебирая фаланги по очереди, ведут счет от 1 до 12. Затем 12 принимается за единицу следующего разряда и т.д. Двенадцать называют дюжиной, а единицу третьего разряда называют гросс. /л. 2/

Остатки двенадцатеричной системы счисления имеются у англичан, например, 1 фут =12 дюймам, 1 шиллинг = 12 пенсам.

У нас встречается слово дюжина в устной речи. Дюжинами мы считаем многие предметы: тарелки, вилки, ножи и т.п. Сервиз бывает на 12 персон или на 6 персон. Шестидесятеричная система счисления.

В Древнем Вавилоне существовала шестидесятеричная система счисления. Эта система в какой-то степени сохранилась до наших дней (например, в делении часа на 60 минут, а минуты - на 60 секунд). В целом эта система громоздка и менее удобная, чем десятичная. /л. 2/

Пятеричная и двадцатеричная системы счисления.

Известный исследователь Африки Стенли обнаружил, что у ряда африканских племён была распространена пятеричная система счисления. Связь этой системы со строением человеческой руки достаточна очевидна.

У ацтеков и майя в 16-17 вв., была принята двадцатеричная система счисления. Двадцатеричная система счисления была принята и у кельтов, населяющих Западную Европу, начиная со второго тысячелетия до нашей эры. Некоторые следы двадцатеричной системы счисления сохранилось у французов: основная денежная единица - франк делится на 20 су. /л. 2/

3. Непозиционные системы счисления

Непозиционная система счисления - система, для которой значение символа не зависит от его положения в числе. Принципы построения таких систем не сложны. Для их образования используют в основном операции сложения и вычитания.

Единичная система счисления

Система с единым символом - палочкой или точкой или каким-то символом - встречалась у многих народов. Для изображения какого-то числа в этой системе нужно записать количество палочек, равное данному числу. Эта система не эффективна, так как запись числа получается длинной.

Римская система счисления.

римская система использует набор следующих символов: I, X, V, L, C, D, M и т.д. Эти символы называются римскими цифрами.

В математической практике эта система не используется.

Римские цифры встречаются сейчас для обозначения веков (XV век и т.д.), обозначения дат, на циферблатах часов и тому подобное.

Например, запись ХХХVII означает число 37. Символ Х в числе означает 10 независимо от расположения.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, стоящая перед большей, вычитается из неё. цифровой знак счисление число

В числах LX и XL символ X принимает два различных значения : +10 - в первом случае и -10 - во втором, то есть LX=60, XL=40

В числах VI и IV символ I принимает два значения: +1 - в первом случае и -1 во втором, то есть VI=6, IV =4.

Существовали и другие непозиционные системы счисления.

4. Позиционные системы счисления

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число. В этих системах удобно производить сложение, вычитание, умножение, деление и другие арифметические действия.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления -- количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

За основание системы можно принять любое натуральное число -- два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

an-1 qn-1 + an-2 qn-2 + ... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 + ... + a-m q-m, /л.3/

где ai -- цифры системы счисления; n и m -- число целых и дробных разрядов, соответственно.

Например:

- для двоичной системы счисления (используются цифры 0,1):

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 1 0 1, 12 = 1*23+1*22+0*21+1*20+1*2-1

- для восьмеричной системы счисления (используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7):

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 2 5 7 1, 28 = 2*83+5*82+7*81+1*80 +2*8-1

Десятичная система счисления.

Великий математик Лаплас П.С. сказал «Мысль выражать числа десятью знаками… настолько простая, что… трудно понять, насколько она удивительна». /л.1/

Причины, по которым десятичная система оказалась общепринятой не математического характера. Десять пальцев рук это первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до 10 естественно принять само число 10 за новую крупную единицу (единицу следующего разряда-десятки). Десять десятков составляют единицу третьего разряда - сотни, десять сотен составляют единицу четвертого разряда - тысячи и т.д.

Пример записи числа в десятичной системе счисления (используются цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9):

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 2 5 9 7, 410 = 2*103+5*102+9*101+7*100+4*10-1

Двоичная система счисления.

На первом месте справа записывается число единиц 0 или 1; на втором - число двоек - 0 или 1; на третьем - число четверок - 0 или 1; на четвертом - число восьмерок - 0 или 1 и т.д.

Одно из сравнительно старых применений двоичной системы - это телеграфный код. Если буквам русского алфавита присвоить двоичный код, то любую букву можно выразить пятью знаками. Таким образом, с помощью пяти проводов можно передать любую букву, используя комбинацию электрических импульсов. Например, «0» соответствует импульс в 1В, а «1» соответствует импульс в 20В. На месте приема эта комбинация импульсов в проводах может привести в действие, подключенное печатающее устройство телеграфного аппарата. В результате этого на ленте будет напечатана буква, соответствующая данной комбинации двоичных импульсов (то есть данному двоичному числу). Применение в телеграфии двоичной системы связано с удобством превращения двоичного числа в систему электрических сигналов. /л. 2/

Пример записи числа в двоичной системе счисления и перевода из двоичной системы в десятичную систему счисления:

Разряды 4 3 2 1 0

Число 1 1 1 0 12 =

1*24+1*23+1*22+0*21+1*20=1610+810+410+110=2910

Троичная система счисления.

В троичной системе счисления используются цифры 0,1,2

Пример записи числа в троичной системе счисления и перевода из троичной системы в десятичную систему счисления:

Разряды 4 3 2 1 0

Число 1 2 0 2 13 = 1*34+2*33+0*32+2*31+1*30=8110+5410+610+110=14210

Шестеричная система счисления.

В шестеричной системе счисления используются цифры 0,1,2,3,4,5

Пример записи числа в шестеричной системе счисления и перевода из шестеричной системы в десятичную систему счисления:

Разряды 4 3 2 1 0

Число 2 0 0 3 56 = 2*64+0*63+0*62+3*61+5*60=259210+1810+510=261510

Пример обратного перевода из десятичной системы счисления в шестеричную систему счисления:

2615/6=435 остаток 5

435/6=72 остаток 3

72/6=12 остаток 0

12/6=2 остаток 0

Итого получается 2*64+0*63+0*62+,3*61+5*60=200356,

261510=200356

5. Системы счисления, используемые в компьютере

Для ввода и вывода данных в вычислительных машинах используют десятичную систему счисления.

Кроме десятичной системы счисления широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

· двоичная (используются цифры 0, 1);

· восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

· шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел -- от десяти до пятнадцати -- в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

· для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток -- нет тока, есть напряжение -- нет напряжения, намагничен -- не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, -- как в десятичной;

· представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

двоичная арифметика намного проще десятичной. /л.5/

Недостаток двоичной системы -- быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Для сокращения длины записи чисел ввиду удобства перевода из одной системы в другую используются восьмеричная система счисления и шестнадцатеричная система счисления. Любую цифру восьмеричной системы можно записать с помощью трех разрядов двоичной системы, любую цифру шестнадцатеричной системы можно записать с помощью четырех разрядов двоичной системы.

Рассмотрим примеры перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Пример перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно:

Разряды 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Число2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

Число8 6 5 3 7

Разряды 3 2 1 0

Разряды в двоичной системе надо объединить по три в группы. Перевод числа надо осуществлять отдельно для каждой группы разрядов, так как три цифры числа в двоичной системе соответствуют одной цифре числа в восьмеричной системе счисления.

Пример перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления и обратно:

Разряды 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Число2 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1

Число16 D 5 F

Разряды 2 1 0

Разряды в двоичной системе надо объединить по четыре в группы. Перевод числа надо осуществлять отдельно для каждой группы разрядов, так как четыре цифры числа в двоичной системе соответствуют одной цифре числа в шестнадцатеричной системе счисления.

Заключение

Первые системы счисления появились, когда у человека возникла необходимость в счете. Эти системы были несовершенными, но они удовлетворяли потребности человека того времени.

По мере развития цивилизации происходило усовершенствование систем счисления, они становились более сложными и едиными для разных стран мира. Так, едиными стали десятичная система счисления, римская система счисления, а также системы счисления, применяемые в вычислительной технике: сначала двоичная система счисления, потом добавилась восьмеричная система счисления, далее по мере развития элементной базы, используемой в компьютерах, стали применять шестнадцатеричную систему счисления.

Литература

1. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка»

2. Издательство «Просвещение» Москва 1984г

3. Фомин С.В. «Системы счисления» Популярные лекции по математике выпуск 40 Издательство «Наука» Москва 1964г

Размещено на Allbest.ru