Моделирование систем автоматического управления с дробным ПИД-регулятором

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Самарский государственный университет путей сообщения

Моделирование систем автоматического управления с дробным ПИД-регулятором

А.В. Авсиевич, - к.т.н., доцент

В.В. Авсиевич, аспирант

г. Самара

Аннотация

Развитие современных систем автоматики дает возможность применения более сложных алгоритмов регулирования для организации оптимального управления. В данной работе разработан цифровой алгоритм управления на основе дробного ПИД-регулятора и построена имитационная модель системы управления с его применением. Это позволило произвести сравнительный анализ на основе полученных параметров качества переходных процессов.

Ключевые слова: автоматическое управление, интеграл дробного порядка, дифференциал дробного порядка, дробный ПИД-регулятор, система автоматического управления, цифровые системы управления.

Введение

В настоящее время в российских и иностранных научных изданиях наблюдается повышенный интерес к дробному исчислению вообще [1-6], а также к применению производных и интегралов дробных порядков в различных областях науки и техники [7-9], в том числе и в теории управления [10-15]. Применение в системах управления электроприводами ПИД-регуляторов, реализующих дробномерные законы управления, позволяет снизить перерегулирование, увеличить быстродействие и повысить запас устойчивости по сравнению с аналогичными системами, реализующими классические законы управления. Техническая реализация таких производных и интегралов может осуществляться несколькими способами: на основании аппроксимационных зависимостей Грюнвальда [11], с использованием цепных дробей [13] и путем применения преобразования Фурье. [11].

В данной работе проведено моделирование системы автоматического управления, в основе которой лежат ПИД-законы регулирования [16], где интегральные и дифференциальные звенья первого порядка заменены дробным интегралом и дифференциалом соответственно. Исследование временных и частотных свойств ПИД-законов регулирования дробного порядка приведено в работах [17, 18].

В результате выполненной работы исследована модель системы автоматического управления с использованием классического и предлагаемого метода регулирования. Исследовались качественные характеристики САУ с ПИД-законами регулирования дробного порядка. Был проведен сравнительный анализ между классической и предлагаемой моделью системы автоматического управления, что позволило выявить сильные и слабые стороны предлагаемой САУ.

Постановка задачи

Пусть система автоматического регулирования с обратной отрицательной связью, показанная на рис. 1, состоит из следующих блоков: РУ - регулирующее устройство, ОУ - объект управления, где x(t) - управляющее воздействие, е(t) - сигнал рассогласования, u(t) - выходная величина регулятора, у(t) - регулируемая величина.

Рис. 1. САУ с обратной отрицательной связью

Регулирующее устройство представим в виде дробного ПИД-регулятора с передаточной функцией вида

,

которой соответствует интегро-дифференциальное уравнение вида

, (1)

где интеграл дробного порядка

, , (2)

дифференциал дробного порядка

, , (3)

, - дробный порядок интеграла и дифференциала соответственно,

- время,

, - пропорциональный коэффициент (коэффициент усиления),

- постоянная интегрирования,

- постоянная дифференцирования,

- гамма-функция.

Предложенный регулятор в дальнейшем будем обозначать как ПИД-регулятор.

С учетом выше сказанного необходимо решить следующую задачу:

1) получить алгоритм цифрового ПИД-регулирования;

2) построить модель САУ с ПИД-регулятором;

3) исследовать работоспособность САУ на объектах управления разного порядка.

Моделирование САУ

При разработке цифровых ПИД-регуляторов основную сложность представляет выбор алгоритмов вычисления интегральной составляющей. Сравнение точности разных методов вычисления дробного интеграла приведены в работе [19].

Рассмотрим построение цифрового ПИД-регулятора с замещением интеграла дробного порядка Римана - Ливиулля суммой, приведенной в работе [5]

, (4)

где - шаг квантования,

- число разбиений интервала (0,t).

При вычислении дробной дифференциальной составляющей уравнения (3) воспользуемся гельдеровской производной [2]

. (5)

Основываясь на вышеперечисленном, из непрерывного ПИД-закона регулирования (1) получим цифровой путем замены интегрального звена выражением (4) и дифференциального - выражением (5). Тогда выражение для вычисления управляющего воздействия будет следующим:

. (6)

Отметим, что при достаточно малых периодах квантования цифровой ПИД-закон регулирования обеспечивает почти такое же качество процессов управления, что и исходный непрерывный закон (1). На практике вместо вычислений абсолютных значений управляющего сигнала удобней вычислять его приращения на каждом такте, т.е. получаем рекуррентный алгоритм управления, который полностью эквивалентный исходному. В этом случае становится возможным использовать этот алгоритм для управления объектами, оснащенными как пропорциональным, так и интегрирующими исполнительными механизмами.

Для этого представим алгоритм управления в разносном виде:

. (7)

Найдем , подставляя в (7) значения (6) для и и в результате получим:

Используя поправочный член , получаем рекуррентные выражения, описывающие динамику дискретного закона управления:

, (8)

где , ,

,

- уточняющий коэффициент дробной интегральной составляющей.

Как видно из полученного рекуррентного алгоритма (8), в уточняющем коэффициенте осталась сумма, которую требуется пересчитывать при каждом новом отсчете, но в отличие от уравнения (6) расчет уточняющего коэффициента можно ограничивать и тем самым уменьшать количество операций ( - погрешность вычисления, задаваемая исходя из точности работы системы).

На основе полученного алгоритма вычисления управляющего воздействия в пакете MATHLAB с применением приложения SIMULINK разработана S-функция, реализующая ПИД-регулятор (PidD), и составлена имитационная модель системы автоматического регулирования (рис. 2). Для нахождения оптимальных настроек регулятора использован блок «Simulink response optimization» c градиентным методом оптимизации, также реализована функция нахождения интегральной оценки процесса управления. При определении оптимальных настроек для чистоты эксперимента на систему были наложены следующие ограничения: перерегулирование не должно превышать 60%, время переходного процесса ограниченно 3 с, погрешность регулирования должна находиться в пределах 5%.

Рис. 2. Модель системы регулирования

Для исследования свойств полученного цифрового ПИД-закона регулирования возьмем передаточные функции, наиболее часто встречающиеся в реальных объектах управления 1-го, 2-го и 3-го порядков (табл. 1). цифровой алгоритм дробный регулятор управление

В результате проведенного моделирования получены оптимальные настройки ПИД (табл. 2) и ПИД-регуляторов (табл. 3). По вычисленным переходным характеристикам определены следующие показатели качества: перерегулирование (,%); время управления (t_y); время переходного процесса (t_p); статическая ошибка () и интегральная оценка (I₀).

Таблица 1

Тестовые передаточные функции

Таблица 2

Настройки и показатели качества ПИД-регулятора

Таблица 3

Настройки и показатели качества ПИД-регулятора

Как видно из табл. 2 и 3, имеет место преимущество ПИД-регулятора в среднем по времени управления на 47%, по времени переходного процесса - на 42% и по интегральной оценке - на 13%.

Время расчета управляющего воздействия на компьютере с процессором Pentium IV Core duo в среднем составляет 0,535 мс. Полученную скорость вычисления можно объяснить тем, что в алгоритме (8) на каждом шагу приходится неоднократно вычислять гамма-функцию. Так как для систем управления используются контроллеры с процессорами, имеющими гораздо более низкую частоту, время вычисления управляющего воздействия может возрасти в несколько раз. Поэтому для систем управления с высоким быстродействием данный алгоритм может вырабатывать управляющее воздействие с запаздыванием и тем самым ухудшать процесс управления.

Увеличить скорость вычисления управляющего воздействия можно за счет применения менее точного и менее трудоемкого с точки зрения вычисления интегратора. Поэтому получим цифровой ПИД-регулятор с дробной интегральной составляющей вида [19]

. (9)

Тогда выражение для вычисления управляющего воздействия запишется как

. (10)

Представим уравнение в разностном виде (7), для этого определим

В результате получим рекуррентное выражение, описывающие динамику дискретного закона управления

, (11)

где , , ,

- уточняющий коэффициент дробной интегральной составляющей.

Реализуем полученный алгоритм в приложении SIMULINK и проведем моделирование процессов управления на модели, представленной на рис. 2, с настройками ПИД-регулятора, приведенными в табл. 3. В процессе моделирования определим параметры показателей качества (табл. 4) для выражения (11).

Таблица 4

Показатели качества для процессов управления с ПИД-регулятором (11)

Сравнивая показатели качества табл. 3 и 4, можно сделать вывод, что погрешность регулирования с законом регулирования (11) незначительно отличается от (8). При этом скорость определения управляющего воздействия в среднем возросла с 0,535 мс до 0,047 мс, что делает возможным использование данного алгоритма в микроконтроллерах для управления техническими процессами.

Заключение

Получены алгоритмы цифрового ПИД-регулирования, на основе которых стало возможным построение имитационной модели системы автоматического управления по отклонению. В результате исследования переходных процессов с оптимальными параметрами настройки ПИД и ПИД-регуляторов получены следующие результаты: предлагаемый цифровой ПИД-регулятор показал лучшее быстродействие (в среднем на 47%) по сравнению с классическим ПИД-регулятором для объектов 1, 2 и 3 порядков при заданных ограничения на переходный процесс. Полученные алгоритмы управления позволяют использовать предлагаемый закон управления для контроллеров как с высоким, так и с низким быстродействием в зависимости от требуемых точности и быстродействия системы управления.

Библиографический список

Казбеков К.К. Дробные дифференциальные формы в евклидовом пространстве // Владикавказский математический журнал. Т. 7. Вып. 2. - 2005. - С. 41-54.

Нигматулин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // ТМФ. - 1992. - Т. 90. - №3. 405 с.

Самко С.Г., Килбас А.А., Марычев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

R. Ayala, A. Tuesta. Introduction to the Concepts and Applications of Fractional and Variable Order Differential Calculus, электронный документ, http://arxiv.org

K. Oldham, J. Spanier. The fractional calculus, Academic Press Inc, San Diego, 1974. - 240 p.

Oldham Keith B., Spanier Jerome. The Fractional Calculus (Theory and Applications of Differentiation and integration to Arbitrary Order). N.Y., London: Academic Press, 1974. - 233 р.

Коверда В.П., Скоков В.Е. Критическое поведение и 1/f -шум при пересечении двух фазовых переходов в сосредоточенных системах. Журнал технической физики. - 2000. - Т. 70. - С. 1-7.

Сербина Л.И. Математическое моделирование движения влаги в средах с фрактальной структурой // Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону: Матер. VIII регион. конф. Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2004. - 212 с.

Igor Poddubny. Geometric and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2002. - Vol.5. - №4.

Necati Ozdemir, Beyza Billur Iskender. Fractional Controller For Fractionalpi Orderline Arsystems With Input Hysteresis, Enoc-2008, Saint Petersburg, Russia, June, 30 - July, 4. - 2008.

Hany Farid. Discrete-Time Fractional Differentiation from Integer Derivatives, TR2004-528, Dartmouth College, Computer Science.

Ivo Petras, Lubomir Dorcak, Imrich Kostial. Control quality enhancement by fractional order controllers Acta Montanistica Slovaca Rocnik 3 (1998), 143-148.

Igor Podlubny1, Ivo Petras1, Blas M. Vinagre2, YangQuan Chen3, Paul O'Leary4 and Lubomir Dorcak, Realization of fractional order controllers, Acta Montanistica Slovaca Rocnik 8 (2003), cislo 4.

Ramiro S. Barbosa, J.A. Tenreiro Machado. Implementation of Discrete-Time Fractional-Order Controllers based on LS Approximations, Acta Polytechnica Hungarica. Vol. 3. - No. 4. - 2006.

Jun-Yi Cao and Bing-Gang Cao. Design of Fractional Order Controller Based on Particle Swarm Optimization, Design of Fractional Order Controller Based on Particle Swarm Optimization International Journal of Control, Automation, and Systems. - Vol. 4. - No. 6. - Pp. 775-781. - December, 2006.

Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. Теория и элементы систем. - М.: Машиностроение, 1973. - 606 с.

Авсиевич А.В., Салюков Е.Ф., Чернигов А.Л. Исследование частотных свойств ПИД-законов регулирования с интегральными и дифференциальными звеньями дробного порядка // Труды Братского государственного технического университета. - Том 1. - Братск: ГОУ ВПО «БрГТУ». - 2004. - С. 41-43.

Авсиевич А.В., Салюков Е.Ф., Чернигов А.Л. Исследование переходных характеристик ПИД законов регулирования дробного порядка // Труды Братского государственного технического университета. - Том 1. - Братск: ГОУ ВПО «БрГТУ». - 2004. - С. 44-47.

Авсиевич А.В. Авсиевич В.В. Алгоритм численного дробного ПИД-регулирования // Четвертая международная конференция по проблемам управления. - М.: Учреждение Российской академии наук. Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН. - 2009. - С. 164-168.

Размещено на allbest.ru