Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«КАРАЧАЕВО-ЧЕРКЕССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСТЕТ имени У. Д. Алиева»

Физико-математический факультет

Кафедра «Информатика и вычислительная математика»

Направление подготовки 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника» профиль - Общий профиль: Системы автоматизированного проектирования

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Разработка программного продукта для решения балансовой модели

Заведующий кафедрой ______________доц. Х.Д. Шунгаров

Автор: студентка 44 гр. _____________ С.Б. Мухамметаманова

Научный руководитель: ______________ доц. каф. ИВМ Асхакова Ф.Х.

Карачаевск 2017



Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. БАЛАНСОВАЯ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И МЕТОДЫ ЕГО АНАЛИЗА

1.1 Балансовая модель

1.2 Некоторые необходимые сведения из линейной алгебры и математического программирования

1.3 Продуктивность модели Леонтьева

1.4 Построение неотрицательного решения в модели Леонтьева методом простой итерации

ГЛАВА II. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ БАЛАНСОВОЙ МОДЕЛИ И ЕГО ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

2.1 Обоснование программного обеспечения

2.2 Разработка алгоритма неотрицательного решения балансовой модели методом итерации

2.3 Описание программного продукта

2.4 Примеры использования программы

2.5 Разработка алгоритма решения плохо обусловленной балансовой модели методом регуляризации

2.6 Описание программного продукта

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПРИЛОЖЕНИЕ



Введение

С начала 19 века в экономической теории возникло целое направление, занимающееся исследованием равновесия экономических факторов. Традиционно различают статическое и динамическое равновесия. Под статическим равновесием понимают баланс всех экономических факторов в фиксированный момент времени, предполагая, что этот баланс сохраняется на некотором интервале времени. Под динамическим равновесием понимают баланс всех факторов в каждый момент времени из рассматриваемого временного интервала.

Среди всех балансов одним из важнейших является межотраслевой народнохозяйственный баланс. Для его построения используется балансовый метод - метод взаимного сопоставления материальных, трудовых, финансовых ресурсов и потребностей в них на производстве, в обществе. Первые народнохозяйственные межотраслевые балансы были разработаны в нашей стране в 20-е годы под руководством академика Баренгольца М.И.

Впервые математический аппарат для анализа таких балансов стал применять лауреат Нобелевской премии американский ученый В. Леонтьев. Им была разработана экономико-математическая модель межотраслевого баланса. С её помощью он в 30-50 годы 20 века провел тщательный анализ американской экономики. Полученные им результаты помогли экономистам США избежать многих ошибочных решений и прогнозов в экономике.

Различают два вида балансовых моделей Леонтьева: замкнутую и открытую.

Замкнутая балансовая модель Леонтьева - это система линейных алгебраических уравнений, каждое из которых выражает требование баланса между производимой отраслями валовой продукцией и совокупной потребностью на неё с учётом технологических затрат. В отличие от замкнутой модели Леонтьева, открытая модель позволяет учесть не только технологические затраты производства, но и экспорт-импорт продукции.

Исследованию экономико-математических моделей межотраслевого баланса посвящены работы многих российских и зарубежных исследователей. Будущим экономистам полезно знать, что, несмотря на большое число публикаций, посвященных балансовым моделям экономики, недостаточно разработанными остаются два вопроса: построение неотрицательных решений продуктивных экономико-математических балансовых моделей и постановка и исследование оптимизационных задач в рамках этих моделей.

Модель Леонтьева, имеющую неотрицательные решения, называют продуктивным. Существует несколько признаков (достаточных, необходимых и достаточных), позволяющих определить продуктивность рассматриваемой модели. Но эти признаки позволяют показать только продуктивность, но не способ построения решения модели. Формально, выяснив продуктивность модели, можно найти её решение известными «точными» методами (Гаусса, Крамера, матричным способом). Но хорошо известно, что при большом числе уравнений в системе линейных алгебраических уравнений «точные» методы страдают рядом существенных недостатков, от которых избавлены в значительной степени приближенные методы: «точные» методы громоздки при их реализации на ЭВМ, требуют при построении решения значительного числа арифметических операций, в результате их выполнения накапливаются вычислительные погрешности (часто значительные).

Исследования, приводимые в работе, направлены на разработку в рамках балансовых моделей известных методик до практических алгоритмов и программ.

В настоящее время существует несколько признаков (достаточных, необходимых и достаточных), позволяющих определить продуктивность рассматриваемой модели. Однако эти признаки позволяют указать только продуктивность, но не способ построения решения модели. Формально, выяснив продуктивность модели, можно найти её решение известными «точными» методами (Гаусса, Крамера и др.). Хорошо известно, что при большом числе уравнений в системе линейных алгебраических уравнений «точные» методы страдают рядом существенных недостатков: при их реализации на ЭВМ требуется выполнить значительное число различных арифметических операций, в результате выполнения которых накапливаются вычислительные погрешности (часто значительные). От этих недостатков в значительной степени избавлены итерационные численные методы.

Объект исследования - балансовая модель Леонтьева.

Предмет исследования: численные методы построения неотрицательного решения балансовой модели.

Цель и задачи выпускной квалификационной работы:

Цель работы - разработка алгоритмов и комплекса программ для решения систем линейных уравнений.

Достижение поставленной цели потребовало решения следующих задач:

Изучить балансовую модель Леонтьева.

Изучить методики численных и приближенных его решений.

Разработать алгоритм неотрицательного решения модели Леонтьева методом итерации и реализовать его в виде программного продукта.

Разработать алгоритм неотрицательного решения модели Леонтьева методом регуляризации и реализовать его в виде программного продукта.

Теоретические и методологические основы исследования. Теоретическую и методологическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных учёных-экономистов, посвященные проблемам экономико-математического моделирования.

Инструментально-методический аппарат. В работе использованы понятия и методы линейной алгебры, численных методов решения систем алгебраических уравнений, а также язык программирования высокого уровня.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и приложения.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы её цель и задачи, описаны объект и предмет исследования, обоснованы теоретические и методологические основы исследования, инструментально-методический аппарат.

В первой главе описана экономико-математическая балансовая модель Леонтьева. Приведены критерии продуктивности этой модели. Приведены основные сведения из математического программирования, линейной алгебры.

Во второй главе приводятся алгоритмы построения неотрицательного решения балансовой модели Леонтьева. Эти алгоритмы реализованы в программные продукты. Приводятся примеры их использования.

В заключении обобщены основные результаты, сформулированы выводы, вытекающие из проведённых исследований.



Глава I. Балансовая экономико-математическая модель и методы его анализа

1.1 Балансовая модель

В экономике при моделировании экономических процессов широко применяются балансовые модели, протекающих на разных региональных уровнях: от конкретного предприятия до государства или совокупности нескольких государств, объединённых в экономический союз.

Под балансовой моделью понимается система уравнений (алгебраических, дифференциальных), каждое из которых устанавливает баланс между совокупным количеством продукции, производимой отдельными секторами экономики и совокупной потребностью общества (или его части) в данной продукции [24]. В балансовой экономико-математической модели могут специально учитываться (в зависимости от рассматриваемой конкретной задачи) требования соответствия наличия рабочей силы и количества рабочих мест, спроса населения и предложения товаропроизводителей на конкретные виды продукции и т.д.

Понятие «отрасль» в этих моделях условное. Под «отраслью» будем понимать некоторую эмпирическую совокупность экономических объектов, объединенных на основе некоторой классификации рассматриваемых объектов и занятых выпуском определенного вида продукции [21]. Примерами отраслей являются машиностроительная, авиационная, сельскохозяйственная, домашнее хозяйство [15] и т.д. (отрасль «домашнее хозяйство» представляет собой совокупность из одного или нескольких лиц с общим доходом, который расходуется на покупку и потребление товаров и услуг [7]).

Информационное обеспечение балансовой модели осуществляется с помощью, так называемой технологической матрицы. Технологическая матрица - числовая таблица, элементами которой является коэффициенты (нормативы) прямых затрат на производство единицы продукции в натуральном выражении [36]. Однако по многим причинам данные хозяйственных объектов использовать непосредственно при построении технологической матрицы затруднительно. Поэтому при построении математической модели межотраслевого баланса используются такое понятие, как чистая (технологическая) отрасль. Чистой отраслью называется условная отрасль экономики, объединяющая производственные объекты, производящие данный продукт независимо от их ведомственной (административной) подчинённости. Переход от хозяйственных к чистым отраслям требует специального преобразования данных, полученных реальных объектов и перехода к новым единицам измерения элементов баланса [36].

Далее всюду будем предполагать, выполнимыми следующие условия:

Каждая отрасль производит один и только один продукт, так что отрасли могут быть перенумерованы числами, совпадающими с номерами выпускаемых ими продуктов.

В процессе производства продукта в каждой отрасли из отраслей используются (не исключается, что в нулевых количествах) продукты других и, возможно, этой же отрасли.

Количество используемого в -ой отрасли продукта -ой отрасли прямо пропорционально объёму выпуска продукции -ой отрасли, затрачиваемого на выпуск одной единицы продукции -той отрасли.

Общая схема межотраслевого баланса приведена в табл. 1 [24, 36, 21, 12, 14, 5].

модель леонтьев программа балансовый



Таблица 1 - Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) в стоимостном выражении

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3	…	n
1 2 3 … … … n	x11 x21 x31 … … … xn1	x12 x22 x32 … … … xn2	x13 x23 x33 … … … xn3	… … … I … …	x1n x2n x3n … … … xnn	f1 f2 f3 … II … fn	x1 x2 x3 … … … xn
Амортизация Оплата труда Чистый доход	c1 v1 m1	c2 v2 m2	c3 v3 m3	… Ш …	cn vn mn	IV
Валовой продукт	x1	x2	x3	…	xn

Квадрант I в табл. 1 - таблица межотраслевых материальных затрат. Здесь , - объем (величина) или стоимость продукта, произведённого в -ой отрасли и используемой в отрасли .

В квадранте II приведена (представлена) конечная продукция всех отраслей, выходящая из производственной сферы в серу конечного потребления и накопления.

В квадранте III представлен национальный доход, представляющий собой сумму, отражающую чистый доход и сумму, идущую на амортизацию и оплату труда.

Квадрант IV отражает конечное распределение и использование национального продукта. Общий итог, отражаемый в этом квадранте, равен созданному за рассматриваемый интервал времени национальному доходу.

Величины, отражённые в табл. 1, связаны соотношениями:

, ; (1.1.1)

, . (1.1.2)

Пусть экономическая система имеет взаимосвязанных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Тогда объем выпуска -й отрасли, используемого -й отраслью при производстве единицы его совокупного выпуска -й отраслью:

, (1.1.3)

где - коэффициент затрат продукта -й отрасли в -й отрасли - так называемый технологический коэффициент, - валовый выпуск продукции -й отрасли за данный промежуток времени, - количество продукции -й отрасли, расходуемый -й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере .

Обозначим через - валовый выпуск продукции -й отрасли за истекший промежуток времени; - количество продукции -й отрасли, расходуемый -й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере за истекший промежуток времени.

. (1.1.4)

Постоянство коэффициента затрат в уравнении (1.1.4) за некоторый промежуток времени, затрагивающее как истекшее время так и текущее, обуславливается примерным постоянством используемой технологии.

Отсюда, затраты продукта -й отрасли в -й отрасли, прямо пропорциональны количеству (объему) производимой продукции, т.е.

. (1.1.5)

Из уравнения (1.1.2) баланс между совокупным выпуском и суммарными затратами продукции каждой отрасли, может быть описан следующей системой уравнений [3]:

(1.1.6)

где - количество продукции -й отрасли или конечный продукт, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере, чистый выпуск продукта.

Подставляя уравнение (1.1.3) в уравнение (1.1.6), получим линейную балансовую модель

(1.1.7)

где - валовый продукт -й отрасли, - количество единиц -й отрасли, идущих на производство единицы продукции -й отрасли, - вектор чистого выпуска .

Обозначим матрицу

, (1.1.8)

где - единичная матрица,

- матрица затрат. (1.1.9)

При этом все элементы матрицы должны быть положительными.

Кроме того, систему (1.1.7) можно представить в матрично-векторной форме:

. (1.1.10)

Если вектор предполагать заданным, то можно определить вектор (обозначение здесь и далее означает вектор-столбец элементов ). Если существует , то (1.1.10) можно записать в следующем виде:

. (1.1.11)

Матрица существует и неотрицательна, если определитель матрицы и все её главные миноры положительны (условие Хокинса-Саймана) [17, 14]:

(1.1.12)

Если это условие выполняется для одной произвольно пронумерованной последовательности секторов, оно необходимо выполняется также и для любой другой последовательности. Материальная интерпретация этого условия состоит в том, что если экономическая система, в которой каждый сектор функционирует, непосредственно или косвенно потребляя продукцию других секторов, должна быть способна не только обеспечивать саму себя, но и осуществлять положительные поставки для конечного спроса, то и любая из ее подсистем должна быть способна осуществлять то же самое. Если хотя бы одна из подсистем не может удовлетворить этому тесту, она неизбежно вызывает утечку, которая нарушит способность само поддержки всей системы.

Необходимым и достаточным условием способности к само поддержке экономики является то, чтобы сумма элементов каждого столбца структурной матрицы была не больше единицы и, по крайней мере, одна из столбовых сумм была строго меньше единицы.

Систему (1.1.7) можно преобразовать следующим образом:



(1.1.13)

Отсюда, приходим к классической модели Леонтьева

, (1.1.14)

(1.1.15)

или

, (1.1.16)

где - вектор валового выпуска продукта, называемого полезным; ; - заданный неотрицательный вектор, характеризующий объем выпуска полезного продукта; - технологическая матрица размера с неотрицательными элементами. Здесь , где - объёмы (расчётные) выпуска продукции -й отрасли в системе, состоящей из отраслей.

Кроме указанных выше трех условий, при построении модели межотраслевого баланса всегда предполагается выполненным четвертое условие:

4) элементы матрицы затрат и вектора чистого дохода с течением времени не меняются, т.е. модель (1.1.7) или (1.1.15) является статической.

Данный факт подтверждается при рассмотрении конкретных экономических задач, впервые был замечен В. Леонтьевым и всегда учитывается при построении балансовых миделей. Он указывает на то, что балансовые модели разрабатываются только на конкретные периоды развития экономики и в рамках каждой такой модели не устанавливается связь между этими периодами.

Модель Леонтьева, где рассматриваются замкнутые экономические системы, т.е. системы, в которых используются все то, что производится внутри этой системы, принято называть замкнутой моделью Леонтьева. Модель Леонтьева, где рассматриваются экономические системы, в которых используются импорт и экспорт принято называть открытой моделью Леонтьева.

Обратим внимание, что модель (1.1.14) является частным случаем (при ) модели Леонтьева

, , (1.1.17)

где - некоторый числовой параметр.

1.2 Некоторые необходимые сведения из линейной алгебры и математического программирования

Теоремы о существовании и единственности решения систем линейных алгебраических уравнений

Приведём цикл теорем [13, 20], позволяющих провести исследование систем линейных алгебраических уравнений, содержащих уравнений и неизвестных

(1.2.1)

где - заданные коэффициенты, - заданные свободные члены, на предмет существования и единственности их решений.

Приводимые результаты будут использованы при анализе балансовых, моделей (представляющих собой системы подобного вида), рассматриваемых во второй главе.

Обозначили через и соответственно матрицу коэффициентов, и расширенную матрицу системы (1.2.1):

,

,

через , - ранги этих матриц.

1. Если , то система (1.2.1) не имеет решений (случай невозможен).

2. (теорема Кронекера-Капелли). Система (1.2.1) тогда и только тогда совместна (имеет решение), когда .

3. Совместная система (1.2.1) тогда и только тогда имеет единственное решение, когда .

4. Совместная система (1.2.1) тогда и только тогда имеет множество решений, когда .

Собственные векторы и собственные значения матриц

Собственным вектором матрицы размера называется ненулевой вектор, -мерное вещественное пространство, удовлетворяющий равенству (о собственных векторах и собственных значениях см., например [26, 22, 2])

, (1.2.2)

где - некоторое действительное число, называемое собственным значением

Из (1.2.2), следует, что

, (1.2.3)

где - единичная матрица, размера .

Из курса линейной алгебры известно, что система (1.2.3) имеет не нулевые решения, если

. (1.2.4)

Уравнение (1.2.4) называют характеристическим уравнением, а выражение - характеристическим многочленом.

Из (1.2.4) определяются собственные числа .

Решая однородную систему линейных алгебраических уравнений (1.2.3) для различных собственных значений , ,

, ,

получим линейно независимые собственные векторы , , соответствующие собственным значениям , .

Основные свойства собственных значений и собственных векторов [2].

1. (теорема Перрона). Если все элементы квадратной матрицы положительны, то её наибольшее по модулю собственное значение является положительным вещественным числом, которое является простым корнем характеристического уравнения. Ему соответствует собственный вектор с положительными компонентами.

2. Если собственному значению соответствует собственный вектор , то вектор , где - произвольное действительное число, также является собственным вектором, соответствующим собственному значению (при этом векторы и очевидно, являются линейно зависимыми).

3. Попарно различным собственным значениям соответствуют линейно независимые собственные векторы .

4. - кратному корню характеристического уравнения (1.2.4), построенного для произвольной матрицы , соответствует не более линейно независимых собственных векторов.

Число обусловленности матрицы

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (для удобства записи заданную в матричном виде) [2]:

, (1.2.5)



где - квадратная матрица коэффициентов размера , - заданный вектор свободных членов размерности . На практике, как правило, коэффициенты системы (1.2.5) (элементы матрицы ) и свободные члены задают с некоторыми погрешностями и вместо системы (1.2.5) приходится решать систему

, (1.2.6)

где , - заданные приближённо матрица и вектор .

Обозначим через - решение системы (1.2.5), через - решение системы (1.2.6). Возникает вопрос: как сильно будут отличаться решения и систем (1.2.5) и (1.2.6) при заданных - абсолютной погрешности матрицы и - абсолютной погрешности вектора . Здесь - норма матрицы . Оказывается [31], что достаточно полную характеристику о разности можно получить только через матрицу из (1.2.5). Для этого вводится число

, (1.2.7)

называемое числом обусловленности матрицы (системы (1.2.5)). Здесь - матрица, обратная по отношению к матрице .

Если , то матрицу принято называть хорошо обусловленной, в противном случае, при , - плохо обусловленной.

Если плохо обусловлена, то ошибка в решении системы (1.7.1) будет значительной.

Задачу построения решения системы (1.2.5) с плохо обусловленной матрицей принято называть некорректно поставленной.

Системы (1.2.5) с плохо обусловленными матрицами целесообразно решать с помощью специально разработанных методов решения некорректно поставленных задач - методов регуляризации [31].

В работе анализ и решение систем линейных алгебраических уравнений вида (1.2.5) осуществляется с помощью специальной функции «Поиск решения» офисной программы Microsoft Office Excel и функции пакета прикладных программ Maplesoft Maple V10.0.

1.3 Продуктивность модели Леонтьева

Модель Леонтьева (1.1.16) называется продуктивной, если она допускает неотрицательное решение , т.е. (-мерный нулевой вектор).

Согласно [3] квадратная матрица называется разложимой, если с помощью перестановки строк и столбцов она может быть приведена к виду

,

где ненулевые матрицы, причём - квадратные матрицы, 0 - нулевая матрица. В противном случае (т.е. когда такое представление невозможно) называется неразложимой.

Далее всюду будем предполагать, что технологическая матрица в (1.1.16) является неразложимой.

Экономически неразложимость технической матрицы означает, что каждая отрасль хотя бы косвенно использует продукцию всех рассматриваемых отраслей.

Для неразложимой матрицы справедлива следующая теорема Фробениуса-Перрона [3]:

1. Любая неразложимая матрица имеет собственное число , которое является вещественным положительным, т.е. , и которое превосходит модули всех остальных чисел этой матрицы.

2. Собственному числу из п.1 соответствует с точностью до скалярного единственный собственный вектор (с точностью до скалярного множителя ), все координаты которого отличны от нуля и имеют один знак (т.е. всегда можно выбрать положительным за счёт выбора знака у множителя )[2].

Опираясь на приведённую теорему Фробениуса-Перрона можно доказать следующее утверждение, играющее важную роль в прикладных исследованиях при анализе балансовых моделей. Модель Леонтьева (1.1.16) продуктивна тогда и только тогда, когда собственное число из теоремы Фробениуса-Перрона .

Указанное в теореме Фробениуса-Перрона собственное число часто называют спектральным радиусом матрицы и обозначают , т.е. . Это соглашение позволяет сформулировать последнюю теорему следующим образом: модель Леонтьева (1.1.16) продуктивна тогда и только тогда, когда спектральный радиус , технологической матрицы удовлетворяет условию .

Модель Леонтьева (1.1.16) можно переписать, очевидно, в следующем виде

, (1.3.1)

где - единичная матрица размера . Если матрица является невырожденной, т.е. её определитель отличен от нуля , то она имеет обратную [13] . Если обратная матрица неотрицательна, т.е. , где - квадратная нулевая матрица размера (т.е. того же размера, что и ), то матрица называется неотрицательно обратимой.

В системе (1.3.1) квадратную матрицу размера обозначим через :

, (1.3.2)

т.е. элементы , , матрицы имеют вид:

Тогда (1.3.1) можно представить в виде:

. (1.3.3)

Справедливо следующее необходимое и достаточное условие продуктивности модели (1.1.16) [14]. Модель Леонтьева (1.1.16) продуктивна тогда и только тогда, когда матрица , зависимая выражением (1.3.2) удовлетворяет условию Хокинса-Саймона:

(т.е. когда все главные миноры положительны).

Приведем ещё два необходимых и достаточных условия продуктивности (1.1.16) [2].

1. Модель Леонтьева (1.1.16) продуктивна тогда и только тогда, когда матрица неотрицательно обратима.

2. Модель Леонтьева (1.1.16) продуктивна тогда и только тогда, когда матричный ряд сходится и его сумма равна .

Относительно простым, легко проверяемым на практике достаточным условием продуктивности (1.1.16) является условие, ограниченности нормы [36]: для продуктивности модели Леонтьева (1.1.16) достаточно, чтобы норма была меньше 1, т.е. .

Определение нормы матрицы , её свойства и способы её задания можно найти, например, в [3, 31, 32].

1.4 Построение неотрицательного решения в модели Леонтьева методом простой итерации

Рассмотрим модель Леонтьева [2]:

, (1.4.1)

где - матрица с неотрицательными элементами размера , - вектор валового выпуска продукта, называемого полезным;

; , - вектор размерности , характеризующий объем выпуска полезного продукта;

- нуль вектор-столбец размерности .

При решении модели Леонтьева (1.4.1) возникают следующие важные проблемы:

1. Существование неотрицательного решения модели Леонтьева (1.4.1).

2. Если неотрицательное решение модели Леонтьева (1.4.1) существует, то единственно ли оно (условия существования и единственности решения (1.4.1) приведены в подпункте 1.2.1.).

3. Если модель имеет единственное неотрицательное решение, то можно ли найти это решение аналитическими методами.

4. Если модель Леонтьева имеет единственное неотрицательное решение и это решение нельзя получить аналитическими методами, то можно ли для этого использовать приближенные методы. Для этого нужно выяснить устойчиво ли решение модели (1.4.1) относительно начальных условий.

Если существует, тогда модель (1.4.1) можно представить в виде:

. (1.4.2)

Нас интересуют только неотрицательные решения . Поскольку , то для получения неотрицательного решения по формуле (1.4.2) необходимо и достаточно, чтобы . Известно [14], что существует и неотрицательна, если все главные миноры матрицы положительны (условие Хокинса-Саймана).



Пусть - собственные числа матрицы из (1.4.2), , где число - спектральный радиус матрицы .

Известно [5, 12, 15, 21, 24] и результаты работы [2], что модель (1.4.2), имеющая неразложимую матрицу продуктивна, т.е. имеет неотрицательное решение тогда и только тогда, когда

. (1.4.3)

Далее представим модель Леонтьева (1.4.2) в виде:

. (1.4.4)

Для удобства обозначим , тогда модель (1.4.4) будет иметь вид:

. (1.4.5)

Устойчивость решения модели Леонтьева (1.4.5) численными методами зависит от того, что относительно небольшие искажения данных модели (1.4.5) и погрешности, появляющиеся при больших значениях размерности , могут привести к небольшим погрешностям результата решения. Обозначим через и отличные от точных значений модели Леонтьева значения, тогда модель Леонтьева имеет вид:

. (1.4.6)

Из пункта 1.4 главы I относительно моделей (1.4.5) и (1.4.6) получим , , где - погрешность матрицы , - погрешность вектора . Тогда относительная погрешность решения модели Леонтьева (1.4.5) имеет вид:

где - число обусловленности матрицы , - сингулярное число,

- собственные числа.

Устойчивость модели (1.4.5) зависит от числа обусловленности матрицы. Если матрица модели хорошо обусловлена (), то решение модели становится устойчивой, в противном случае, решение модели Леонтьева численными методами становится неустойчивой.

Рассмотрим алгоритм аналитических методов решения модели Леонтьева вида (1.4.1).

Численное решение этой задачи методом последовательных приближений, где точность вычислений в каждой итерации определяется лишь результатами предыдущей итерации, практически не зависит от ранее выполненных вычислений:



, , . (1.4.7)

Согласно [36] матрица из (1.4.1) продуктивна, если норма этой матрицы меньше 1, т.е. .

Согласно [2], при выполнении условия решение системы

(1.4.8)

1) существует и единственно;

2) итерационный процесс (1.4.7) сходится при любом начальном приближении и справедлива оценка

, (1.4.9)

где - решение (1.4.4).

Обратим внимание, что в (1.4.8) ограничение отсутствует. Из указанных результатов [36, 2] вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть из (1.4.8) удовлетворяет условию . Тогда 1) решение системы (1.4.8) существует и единственно; 2) итерационный процесс (1.4.7) сходится к неотрицательному решению (системы (1.4.8)) и при любом начальном приближении имеет место оценка (1.4.9).

Заметим, что при конечном (т.е. в -мерном вещественном пространстве) норма может быть задана разложимыми способами, например:

,

.

Заключение по главе I

В главе I приведена экономико-математическая балансовая модель Леонтьева.

Описана методика построения модели Леонтьева. Она позволяет выделить интересующие нас отрасли экономики, используя статистические данные (по выделенным отраслям), построить принципиальную схему (в виде таблицы) межотраслевого баланса и по этой схеме построить экономико-математическую модель баланса между отраслями (балансовую модель Леонтьева).

Отмечены основные условия, предъявляемые отраслям производства необходимые для построения модели Леонтьева. Очерчен круг экономических задач, которые можно решать с помощью этой модели.

Приведены некоторые сведения из линейной алгебры математического программирования.

Кроме того, в данной главе приведено построение неотрицательного решения в модели Леонтьева методом простой итерации.



Глава II. Разработка алгоритма неотрицательного решения балансовой модели и его программная реализация

2.1 Обоснование программного обеспечения

При определении инструментальной среды разработки программного обеспечения существенными представлялись следующие критерии выбора:

- операционной оболочкой для неё должна быть Windows как наиболее популярная и широко используемая;

- инструментальная среда должна в полной мере предоставлять разработчику возможности объектно-ориентированного программирования;

- технология разработки программ должна базироваться на полной автоматизации программирования функций, реализующих интерфейс с пользователем;

- инструментальная среда должна обладать развитыми средствами отладки;

- должны быть представлены мощные и гибкие средства времени разработки (такие как библиотеки стандартных компонентов и т. д.).

Также здесь имеются предварительно определённые визуальные и не визуальные объекты, включая кнопки, объекты с данными, меню и уже построенные диалоговые панели. С помощью этих объектов можно, например, обеспечить ввод данных просто несколькими нажатиями кнопок мыши, не прибегая к программированию.

Визуальное программирование как бы добавляет новое измерение при создании приложений, давая возможность изображать эти объекты на экране монитора до выполнения самой программы. Без визуального программирования процесс отображения требует написания фрагмента кода, создающего и настраивающего объект “по месту”. Увидеть закодированные объекты было возможно только в ходе исполнения программы. При таком подходе достижение того, чтобы объекты выглядели и вели себя заданным образом, становится утомительным процессом, который требует неоднократных исправлений программного кода с последующей прогонкой программы и наблюдения за тем, что в итоге получилось.

Способность видеть объекты такими, какими они появляются в ходе исполнения программы, снимает необходимость проведения множества операций вручную, что характерно для работы в среде, не обладающей визуальными средствами - вне зависимости от того, является она объектно-ориентированной или нет.

Среда визуального программирования Delphi работает в среде Windows и предоставляет программисту возможность реализации всех достоинств графического интерфейса этой системы. Так как подавляющее большинство пользователей персональных компьютеров работают сегодня в среде операционных систем семейства Windows, то этот интерфейс является для них наиболее привычным и удобным.

Многие системы разработки приложений для Windows генерируют код-полуфабрикат, который не может быть выполнен процессором без дополнительной трансляции во время работы самой программы, что существенно снижает производительность компьютера. Delphi же использует настоящий компилятор и компоновщик и генерирует стопроцентный машинный код. Такая реализация лишена непроизводительных затрат, что делает программы, написанные на Delphi, максимально эффективными.

Так как Delphi является средой программирования для Windows, то, как и сама операционная система Delphi поддерживает длинные имена файлов и папок.

Для запуска программ, написанных на Delphi, не требуются никакие дополнительные библиотеки, интерпретаторы кода и прочее. Достаточно взять один-единственный сгенерированный исполняемый файл и запустить его там, где нужно. Для установки программы на другой компьютер не требуется создание каких-либо дистрибутивов, не нужен процесс инсталляции, достаточно переписать исполняемый файл программы.

Delphi - мощная современная система программирования, имеющая многочисленные приложения везде, где сегодня применяются компьютеры - от инженерных и научных расчётов до автоматизации управленческой деятельности. Прежде всего - это инструмент, инструмент довольно тонкий и универсальный, способный на многое в руках опытного мастера. Сегодня разнообразие приложений Delphi таково, что изучить все возможности этой системы, не представляется возможным.

Таким образом, Delphi, используемая нами для создания программного продукта, наиболее приемлемая и эффективная среда разработки, так как удовлетворяет поставленным требованиям, поэтому выбор был остановлен на данной системе программирования.

2.2 Разработка алгоритма неотрицательного решения балансовой модели методом итерации

На основании приведённого построения неотрицательного решения в модели Леонтьева методом простой итерации в пункте 1.4 первой главы разработаем следующий алгоритм:

1. Ввести размерность модели .

2. Ввести матрицу размерности .

3. Ввести вектор размерности .

4. Задать начальное приближение .

5. Задать погрешность для вычисления .

6. Вычислить число обусловленности матрицы.

7. Если , то система имеет устойчивое решение, иначе система имеет неустойчивое решение.

8. Проверить выполнимость условия (для выбранной нормы).

9. Если выполнены условия пунктов 6 и 7, то вычисления производить по формуле (1.4.7) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая погрешность .

10. Если условие пункта 7 не выполняется, то следует выбрать другую норму .

На основании указанного алгоритма разработан программный продукт (см. приложение) описание и примеры использования, которого приводятся ниже.

2.3 Описание программного продукта

Программа «BM» адресована специалистам в области математической экономики, занимающимся исследованием балансовой модели Леонтьева. Он позволяет исследовать балансовую модель Леонтьева на продуктивность, воспользовавшись одним из известных критериев продуктивности.

Работа с программным продуктом

Запуск программы «BM». Для запуска программы дважды щелкните его пиктограмму мышью.

Ввод исходных данных модели. В меню «Файл» выбираем команду «Открыть» и щелкаем по ней мышью (рис. 1). Откроется окно, в которое следует ввести исходные данные исследуемой модели.



Рисунок 1 - Ввод данных модели

Данные следует ввести в следующей последовательности:

1. Вводим размерность модели .

2. Вводим матрицу размерности

3. Вводим вектор размерности .

4. Задаём начальное приближение .

5. Задаём погрешность для вычисления .

При записях вещественных чисел вместо запятой надо применять точку.

Сохранение введенных данных. В пункте меню «Файл» выбираем команду «Сохранить» (рис. 2) и щелкаем на ней мышью. Окно ввода данных исчезает.



Рисунок 2 - Сохранение введённых данных

Выбор модели и метода его решения. В пункте меню «Задача» выбираем подпункт «Метод итерации» (рис. 3).

Если модель имеет положительное решение (т.е. она продуктивна), то на экране появится диалоговое окно с сообщением «Решение задачи завершено!» (рис. 4). В противном случае на экране появляется диалоговое окно с сообщением «Модель расходится».

Рисунок 3 - Выбор метода решения

Рисунок 4 - Сообщение о завершении решения

Просмотр результатов решения. Для просмотра результатов решения выбираем в пункте меню «Решение» подпункт «Просмотреть решение» (рис. 5). Результат полученного решения показан на рисунке 6.

Рисунок 5 - Выбор команды «Просмотреть решение»

Рисунок 6 - Просмотр результатов решения

Сохранение результатов решения. Для того чтобы сохранить результаты решения модели, выбираем в пункте меню «Решение» подпункт «Сохранить решение» (рис. 7).



Рисунок 7 - Сохранение результатов решения

Закрытие результатов решения. Выбираем в пункте меню «Решение» подпункт «Закрыть решение» и щелкаем на ней мышью. Окно просмотра решений закроется.

Завершение работы программы. В пункте меню «Файл» выбираем подпункт «Выход». После чего программный продукт завершит свою работу.

2.4 Примеры использования программы

Рассмотрим примеры применения программы «ВМ».

Пример 1. Пусть предприятие состоит из шести отраслей, общая схема её межотраслевого баланса приведена в таблице 2.

Таблица 2 - Принципиальная схема межотраслевого баланса (МОБ) предприятия (тыс.руб.)

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3	4	5	6
1	1050	350	420	7	70	7	5110	7000
2	7.98	119.7	19.95	119.7	5.985	1.995	1959.1	1995
3	24.945	498.9	99.78	498.9	4.989	19.956	4839.3	4989
4	2.776	83.28	2.776	180.44	55.52	55.52	2756.6	2776
5	181.02	54.306	150.85	6.034	12.068	6.034	5635.8	6034
6	2.394	7.182	11.97	95.76	2.394	4.788	2461	2394

Из таблицы 2 получим:

;

; .

Допустим, что предприятие должно увеличить продукцию конечного потребления на 25 %, т.е.

.

Введём размерность модели , матрицу , вектор , начальное приближение и погрешность (рис. 8).



Рисунок 8 - Ввод данных модели

Получим решение (рис. 9).

Рисунок 9 - Результат решения балансовой модели методом простой итерации

Из рисунка 9 видно, что вектор валового выпуска равен:



.

Пример 2. Пусть

.

Используя матрицу продуктивности, и задавшись вектором спроса

;

Задав начальное приближение вектора валового выпуска

.

С помощью программного продукта «ВМ» получим (рис. 10, 11).



Рисунок 10 - Ввод данных модели

Рисунок 11- Результат решения балансовой модели методом простой итерации

Из рисунка 11 видно, что вектор валового выпуска равен

.



2.5 Разработка алгоритма решения плохо обусловленной балансовой модели методом регуляризации

В отношении высоких размерностей решались модельные задачи при построении матриц специально разработанным генератором матриц, при этом размерности достигали до 1000. Эти задачи позволили обосновать необходимость применения к ним специально разработанных технологий, приведённых ниже [2].

При построении балансовой модели Леонтьева на практике, как элементы матрицы , так и элементы вектора не могут быть заданы точно. В одних случаях незначительные ошибки в определении элементов , несущественно влияют на решение модели, в других - существенно. Первый случай был достаточно подробно исследован ранее. Обратимся ко второму случаю, когда малые изменения исходных данных модели Леонтьева приводят к большим изменениям результатов ее решения. Задачу построения решения такой модели, согласно [27], будем называть некорректно поставленной, согласно этой терминологии саму рассматриваемую модель будем также называть некорректно поставленной [2].

В модели Леонтьева [2]:

, (2.5.1)

для удобства обозначим , тогда (2.5.1) примет вид:

. (2.5.2)

Будем предполагать, что вместо точных значений элементов матрицы и вектора конечного спроса располагаем их приближенными значениями , , т.е.

. (2.5.3)

Будем предполагать, что

, , (2.5.4)

а сама модель (2.5.1) является некорректно поставленной.

Для поиска приближенного решения модели (2.5.3) будем применять метод регуляризации А.Н. Тихонова [2], [27].

Из [2], [27] следует, что построение решения модели (2.5.2) на базе модели (2.5.3) сводится к нахождению вектора валового выпуска , минимизирующего сглаживающий функционал:

, , (2.5.5)

где - стабилизирующий функционал, - параметр регуляризации.

Как известно из [2], [27] существует один вектор валового выпуска , который может быть определен при всяком фиксированном из системы

, (2.5.6)

.

На основании указанных результатов, можно предложить следующий алгоритм построения решения системы (2.5.2) методом регуляризации:

1. Ввести размерность .

2. Задать .

3. Ввести матрицу .

4. Ввести вектор .

5. При заданном значении найти решение системы (2.5.6).

6. При известных значениях , вычислить значение функционала (2.5.5).

7. Задать , .

8. При заданном значении найти решение системы (2.5.6).

9. При известных значениях , вычислить значение функционала (2.5.5).

10. Если , то перейти к выполнению действий указанных в п.12.

11. Если , то положить .

12. Задать , .

13. При заданном значении , найти решение системы (2.5.6).

14. При известных значениях , , вычислить значение функционала (2.5.5).

15. Если , то перейти к выполнению действий, указанных в п.17.

16. Если , то положить .

17. Задать , .

И так далее, этот процесс продолжаем до тех пор, пока на -м шаге не найдём , , при которых . В этом случае полагаем и процесс вычислений прекращаем.

Данный алгоритм реализован в виде программного продукта «BMR». Ниже рассмотрим его описание.

2.6 Описание программного продукта

Программа «BMR» позволяет найти неотрицательное решение балансовой модели в случае его плохой обусловленности.

Работа с программным продуктом

Запуск программы «BMR». Для запуска программы дважды щелкаем по его пиктограмме мышью.

Ввод исходных данных модели. В меню «Файл» выбираем команду «Открыть» и щелкаем по ней мышью (рис. 12). Открывшееся окно вводим исходные данные исследуемой модели.

Рисунок 12 - Ввод данных модели

Данные вводим в следующей последовательности:

1. Водим размерность модели .

2. Задаём значение параметра .

3. Вводим значение матрицы

.

4. Вводим значение вектора .

При записях вещественных чисел вместо запятой надо применять точку.

Сохранение введенных данных. В пункте меню «Файл» выбираем подпункт «Сохранить» (рис. 13). Окно ввода данных исчезнет.

Рисунок 13 - Сохранение введённых данных

Выбор модели и метода его решения. В пункте меню «Задача» выбираем подпункт «Метод регуляризации» (рис. 14).

Если модель имеет положительное решение (т.е. она продуктивна), то на экране появится диалоговое окно с сообщением «Решение задачи завершено!» (рис. 15). В противном случае на экране появляется диалоговое окно с сообщением «Модель расходится».

Рисунок 14 - Выбор метода решения

Рисунок 15 - Сообщение о завершении решения

Просмотр результатов решения. Для просмотра результатов решения выбираем в пункте меню «Решение» подпункт «Просмотреть решение» (рис. 16). Результат полученного решения показан на рисунке 17.



Рисунок 16 - Выбор команды «Просмотреть решение»

Рисунок 17 - Просмотр результатов решения

Сохранение результатов решения. Для того чтобы сохранить результаты полученного решения модели, выбираем в пункте меню «Решение» подпункт «Сохранить решение».

Завершение работы программы. В пункте меню «Файл» выбираем подпункт «Выход». После чего программный продукт завершит свою работу.

Таким образом, с помощью разработанной нами программного продукта «BMR» получим:

.

Заключение по главе II

В главе II приведен алгоритм построения неотрицательного решения в экономико-математической балансовой модели Леонтьева. Данный алгоритм построен на основании методики построения неотрицательного решения модели Леонтьева, которая позволяет найти существование и единственность неотрицательного решения в модели Леонтьева. Выяснить, устойчиво ли решение модели Леонтьева относительно начальных условий.

Приведено подробное описание для пользователя методики использования программного продукта «ВМ», разработанного - на основании алгоритма построения неотрицательного решения в балансовой модели Леонтьева методом простой итерации. Данная методика проста в применении и позволяет даже неопытному пользователю использовать её для решения прикладных задач.

Приведены конкретные примеры использования программы.

Приведён алгоритм нахождения неотрицательного решения в балансовой модели Леонтьева методом регуляризации. Этот алгоритм реализован в программный продукт «BMR».

Приведено подробное описание для пользователя методики использования программного продукта «ВМR». Данная методика проста в применении и позволяет даже неопытному пользователю использовать её для решения прикладных задач.



Заключение

В представленной работе изложены следующие основные результаты, полученные в ходе проведения исследований по указанной теме.

Предложен алгоритм построения неотрицательного решения балансовой моделей Леонтьева методом простой итерации, реализованный в виде программы «ВМ».

Описана методика использования программы «ВМ», которая позволяет исследовать балансовую модель на продуктивность, найти её неотрицательное решение.

Приведены примеры применения программы «ВМ».

Предложен алгоритм построения неотрицательного решения балансовой модели Леонтьева методом регуляризации, реализованный в виде программы «ВМR».

Описана методика использования программы «ВМR», которая позволяет найти неотрицательное решение плохо обусловленной балансовой модели.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Агальцов В.П., Волдайская И.В. Математические методы в программировании: Учебник. - М.: ИД «ФОРУМ»: ИНФРА-М., 2006. - 224 с.

2. Асxакова Ф.Х. Экономико-математические методы и балансовые модели / Асxакова Ф. Х. Карачаекск: Изд-во КЧГУ, 2016 - 124 с.

3. Браславец М.Е. Кравченко Р.Г. Математическое моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве. М.: Колос, 1972. - 588 с.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

5. Гранберг А.Г. Основы региональной экономики. - 4-е изд., - М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2004. - 495 с.

6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник Изд. 3-е, перераб./4-е - М: Дело и Сервис /МГУ, 2004. - 368 с.

7. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 288 с.

8. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. - М.: Мир, 1964. - 838 с.

9. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ_ДАНА, 2002. - 399 с.

10. Крищенко А.П., Канатников А. Н. Линейная алгебра. Учебник для ВУЗов. Серия "Математика в техническом университете". Издательство: МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2006. - 335 с.

11. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Валощенко А.Б. Математическое программирование. - М.: Высш. школа, 1976. - 352 с.

12. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и исп./Под науч. Ред. Проф. Б.А. Суслакова. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2006. - 352 с.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Издательство «Наука», 1968. - 432 с.

14. Курс математической экономики: Учеб. Пособие/Н.Н. Данилов. - М.: Высш.шк., 2006. - 407 с.

15. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика: Пер. с англ./Автор предусл. и науч. ред. А.Г. Гранберг. - М.: ОАО «Издательство «Экономика», 1997. - 479 с.

16. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. - М.: Наука, 1984. - 391 с.

17. Некрасов Н.Н. Региональная экономика. - М.: Экономика, 1975. - 317 с.

18. Немчиков В.С. Экономико-математические методы и модели: Избр. произв., т. 3. - М., Наука. 1967 - 490 с.

19. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. - М.: Мир, 1972. - 518 с.

20. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник/Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФРА_М, 2006. - 656 с.

21. Орехов Н.А., Лёвин А.Г., Горбунов Е.А. Математические методы и модели в экономике. - М.: Юнити, 2004. - 302 с.

22. Основы численных методов: Учебник для вузов/Вержбицкий В.М. - М.: - Высш. шк., 2002. - 840 с.

23. Просветов Г.И. Математические методы в экономике: Учебное пособие. - М.: Издательство РДЛ, 2004. - 160 с.

24. Савкин Д.А. Математические методы в экономике: Учебное пособие Калининград: Изд-во RUE, 2001. - 85 c.

25. Симплекс метод. Математические методы и модели исследования операций: учеб. Пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности 061800 «Математические методы в экономике»/Б.Т. Кузнецов. - М.: ЮНИТИ_ДАНА, 2005. - 390 с.

26. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. Учебное пособие для вузов. Изд. 3_е, исправленное. - М.: Наука. Гл. ред. физ._мат. лит., 1986. - 288 с.

27. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ФИМАТЛИТ, 2014. - 304 с.

28. Фаддеев Д.К. Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз, 1963. - 354 с.

29. Фармалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. - Издание 2-е. испр. и доп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 400 с.

30. Федосеев В.В. Математическое моделирование в экономике и социологии труда: Методы, модели, задачи: Учебное пособие для студентов вузов. - М.: Юнити-Дана, 2007. - 167 с.

31. Численные методы/Н.С. Бахвалов. Н.П. Жидков, Г.Н. Кобельков. - 5-е изд. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. - 636 с.

32. Финансово_экономические расчеты в Excel.Овчаренко Е.К., Ильино О.П., Балыбердин Е.В., Изд. 3-е перер. и доп. - М.: Изд. дом «Филинъ», 1999. - 328 с.

33. Шабан М. Обобщённая норма интегральных операторов и матриц//Изв. АН Тадж. ССР. - 1998. - Т. 108, № 2. - С. 3-12.

34. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие для вузов. - 2_е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 287 с.

35. Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: Учебник 2-е изд., доп. - М.: ИНФРА - М., 2005. - 366 с.

36. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении: Учеб. пособие. - 3-е изд. - М.: Дело, 2004. - 440 с.

37. Экономика организации (предприятия): Учебник для бакалавров / Е. Ю. Алексейчева, М. Д. Магомедов, И. Б. Костин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2013. - 292 с.

38. Экономика предприятия (организации): Учебник / О. В. Баскакова, Л. Ф. Сейко. - М.: Издательско-торговая корпорация “Дашков и К°”, 2012. - 372 с.

39. Экономика предприятия: учебник для вузов / под ред. проф. В.Я. Горфинкеля. - 5-е изд., перераб. и доп. - M.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 767 с.

40. Экономика: Учебник для бакалавров / С.У. Нуралиев, Д.С. Нуралиева. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К0», 2015. - 432 с.

41. Экономико-математические методы и модели (микроэкономика)/ К.А. Багриновский, В.М. Матюшок. - М.: Российский университет дружбы народов, 1999. - 183 с.

42. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов//В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, И.В. Орлова и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 304 с.