Математическое моделирование систем массового обслуживания с циклической дисциплиной прохождения заявок

Размещено на http://www.allbest.ru/

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Математическое моделирование систем массового обслуживания с циклической дисциплиной прохождения заявок

Специальность: 05.13.18 -

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

На правах рукописи

Холодов Артем Юрьевич

Астрахань 2009

Работа выполнена в Астраханском государственном университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор Петрова И.Ю.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Лукьянов В.С.

доктор технических наук, профессор Шуршев В.Ф.

Ведущая организация Московский государственный университет приборостроения и информатики.

Защита состоится «27» марта 2009 года в 15.00 час. на заседании диссертационного совета ДМ 212.009.03 при Астраханском государственном университете по адресу: 414056, Астрахань, ул. Татищева, 20а, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Астраханского государственного университета

Автореферат разослан «21» февраля 2009 года

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н. Щербинина О.В.

Общая характеристика работы

имитационный маршрутизация циклический заявка

Актуальность исследования. В настоящее время в большинство сфер человеческой деятельности успешно интегрируются информационные технологии, сочетающие в себе четкий математический аппарат и стохастическую природу определяемых бизнес-процессов, т.к. исключение вероятностной составляющей, приводит к идеализации систем. Таким образом, становится актуальным создание математических моделей на основе теории вероятностей, теории динамических потоков и, в частности, систем массового обслуживания (СМО). Причем, рассматривая идеализацию систем, через призму теории динамических потоков, получается четкое разделение СМО, описывающих марковские и немарковские процессы. То есть можно абсолютно точно утверждать, что марковский процесс - это определенная идеализация параметров систем, а в целом СМО описывается немарковскими процессами.

Существуют определенные организационные системы, которые можно рассматривать и, соответственно, описывать с позиций СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок. Такие системы возникают в бизнес-процессах образования, управления качеством, здравоохранения, в частности, для последнего - бизнес-процессы диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации. Также определенные выше СМО используются для описания вычислительных систем и решения проблем распределения и коллективного доступа к вычислительным ресурсам.

Здравоохранение признано приоритетным направлением развития во всем мире. С начала 2006 года и в Российской Федерации начал реализовываться национальный проект «Здоровье», в рамках которого запланированы многочисленные мероприятия, призванные усовершенствовать и модернизировать сферу здравоохранения.

Решающую роль в снижении стоимости медицинского обслуживания при сохранении его качества и повышении эффективности играют информационные технологии. По оценкам Еврокомиссии, к 2010 году около 5% национальных бюджетов здравоохранения европейских государств будет вложено в системы и услуги электронного здоровья.

Диспансеризация - активное динамическое наблюдение за состоянием здоровья населения, включающее комплекс профилактических, диагностических и лечебно-оздоровительных мероприятий. Целью диспансеризации является формирование, сохранение и укрепление здоровья населения, профилактика заболеваний, снижение заболеваемости, инвалидности, смертности, достижение активного долголетия. Диспансеризация входит в качестве составной части в широкую систему мер по профилактике заболеваний, осуществляемых государством, обществом, здравоохранением. На эти цели в госбюджете предусматривается 6,0 млрд. рублей.

Таким образом, возникает задача качественной и оптимальной организации процесса диспансеризации всего населения, включающая обязательное обследование, как трудового населения, так и неработающего, как одного из эффективных методов улучшения здоровья нации. Качественная характеристика диспансеризации включает в себя не только высокую квалификацию медицинского персонала, но и качество обслуживания: высокую пропускную способность медицинского учреждения, минимальное время ожидания для пациентов, минимальные простои высококвалифицированного медицинского персонала и другие показатели. Количественные характеристики процесса организации диспансеризации определяются интенсивностями потока пациентов, временем осмотра пациентов специалистами лечебного учреждения.

Данная задача принадлежит к классу задач с циклической дисциплиной прохождения и не нашла достаточно полного отражения в существующих подходах к анализу СМО.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка математических моделей СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок, соответствующих имитационных моделей, с целью проведения вычислительных экспериментов, их анализа и создания программного комплекса для принятия управленческих решений в соответствующих организационных системах.

Для достижения поставленной цели в диссертационной работе осуществляется решение следующих основных задач:

1. Обзор и анализ существующих математических методов, применяемых для описания немарковских процессов.

2. Анализ существующих программных реализаций ИТ-бизнес-процессов для лечебно-профилактических учреждений (ЛПУ).

3. Разработка математических моделей СМО с циклической дисциплиной похождения заявок, описывающих различную степень детализации процесса с введением вертикали уровней абстракции.

4. Разработка имитационных моделей с целью проверки адекватности предложенных математических моделей и анализа принятия управленческих решений.

5. Разработка имитационной модели СМО с циклической дисциплиной похождения заявок.

6. Создание программного комплекса определения характеристик и маршрутизации СМО с циклической дисциплиной похождения заявок и, как следствие, для функционирования бизнес-процессов диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации населения, обеспечивающего формирование управленческих решений и рациональное использование ресурсов ЛПУ.

Методы исследования. Для решения поставленных задач и достижения намеченной цели использованы методы теории вероятностей и математической статистики, операционного и функционального анализа, объектно-ориентированного программирования и имитационного моделирования в среде «AnyLoqic».

Достоверность и обоснованность работы. Обоснованность результатов обусловлена корректным применением указанных методов. Достоверность подтверждается вычислительными и имитационными экспериментами и практическим применением методов и результатов диссертационной работы, что отображено в актах внедрения.

На защиту выносятся:

1. Математические модели СМО с циклической дисциплиной прохождения трех уровней детализации

2. Математический метод «виртуальных очередей».

3. Имитационная модель маршрутизации.

4. Комплекс программ, обеспечивающий формирование управленческих решений и рациональное использование ресурсов ЛПУ при проведении диспансеризации, профосмотра и дополнительной диспансеризации.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели с различной степенью абстракций, описывающие этапы процесса и включающие:

· метод реккурентного переноса нагрузки разрезов - стратегический уровень абстракции;

· метод матриц преобразований Лапласа от плотностей распределений входного и обслуженного потоков - тактический уровень абстракции;

· интегральный метод расчета вероятностей отказа СМО - оперативный уровень абстракции.

2. Разработана имитационная модель СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок в среде «AnyLogic» с целью установления адекватности предложенных математических моделей, и как результат анализа имитационных экспериментов - определен метод «виртуальных очередей», препятствующий вырождению системы в последовательную.

3. Разработана диаграмма потоков данных для компьютерной системы, формирующей СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок, с целью определения функциональных характеристик системы и маршрутизации заявок.

Апробация научных результатов. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на X Международной конференции «Региональная информатика - 2006» (Санкт-Петербург, 2006), Международной конференции «АСТИНТЕХ - 2007» (Астрахань, 2007), Международной конференции «ИНФОРМАЦИОННАЯ СРЕДА ВУЗА XXI века - 2008» (Петрозаводск, 2008), Всероссийской школе-конференции «Актуальные вопросы фундаментальной медицины и прикладной фармакологии - 2008» (Москва, 2008). Отдельные результаты работы используются при обучении студентов кафедры «Управление качеством» в Астраханском государственном университете и кафедр «САПР и ПК» и «ЭВМ и сети» Волгоградского государственного технического университета. Предложенные в диссертации методы и модели нашли практическое применение в виде программного комплекса проведения диспансеризации для медицинских учреждений.

Публикации. Основные положения диссертационной работы отражены в 11 опубликованных научных работах.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы из 94 наименований и 4 приложений. Общий объем работы 146 страниц машинописного текста, который включает 41 рисунок, 3 таблицы и 83 формулы.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы, определены цель и задачи исследования.

В первой главе проводится обзор и анализ существующих математических методов описания немарковских процессов:

· Система физических состояний - система дифференциальных уравнений (динамическое состояние), система алгебраических уравнений (стационарное состояние).

· Метод вероятностных графов - описание параллельно-последовательных и простейших мостиковых вероятностных графов.

· Использование преобразований Лапласа - правило «свертки» для установления зависимостей между характеристиками процессов.

· Использование аппроксимационных приближений - замена различных типов вероятностных распределений показательным распределением.

Также проводится обзор, и анализ существующих информационных технологий и программных реализаций для здравоохранения и медицинского страхования, предлагаемых отечественными и иностранными разработчиками.

Для совершенствования и развития лечебно-профилактических учреждений (ЛПУ) в настоящее время используются различные методы и технологии. Применение вычислительной техники и информационных технологий помогает решить проблему эффективного использования мощных концептуальных, математических и технических средств, с целью системной реорганизации материальных, финансовых и информационных потоков, перераспределения и максимального использования различных ресурсов, ориентации на потребности клиентов (для ЛПУ - пациентов), повышения качества их обслуживания. Таким образом, речь идет об использовании совершенно новых подходов, основанных на последних достижениях информационных технологий.

Автором был проведен анализ программного обеспечения для здравоохранения и медицинского страхования, предлагаемого отечественными и иностранными разработчиками: «ЦентрИнвест Софт» (Москва), «МЕДКОР-2000» (Москва), «СоюзМедИнформ» (Москва), «Galen» (Израиль), «Orsis» (Израиль).

Всеми разработчиками предлагаются как различные независимые модули, так и некоторые комплексные решения на их основе. Поскольку существует определенная нормативная документация, описывающая структуру и формат данных, подлежащих хранению, то идет речь о создании единого информационного пространства различных служб территориальных подразделений. Но из-за унификации данных программные реализации различных разработчиков, по сути, эквивалентны и различаются лишь формой реализации и особенностями интерфейса.

По приказу Минздравсоцразвития РФ № 188 от 22.03.2006, каждого диспансерного обследуемого должны осмотреть:

- врач-терапевт (врач общей практики);

- хирург;

- эндокринолог;

- невролог;

- офтальмолог;

- гинеколог (женщин);

- уролог (мужчин).

Кроме того, каждый обследуемый должен сдать анализы (клинический анализ крови и мочи, кровь на уровень холестерина и сахара), пройти ЭКГ и флюорографию. Женщины старше 40 лет - сделать маммограмму или УЗИ молочных желез. Причем, последовательность прохождения хирурга, эндокринолога, невролога, офтальмолога, гинеколога (женщины), уролога (мужчины) не регламентируется. Таким образом, пациент может проходить специалистов в любом порядке.

Таблица 1. Сводная таблица функциональных возможностей программных комплексов, представленных выше разработчиков, применительно к сбору и обработке статистической информации и проведению диспансеризации

Разработчики	Ввод данных о пациенте в формате соответствующего реестра	Сбор статистической информации	Вывод различных отчетов по любым временным интервалам	Обработка статистических данных - построение функций распределения (мониторинг)	Маршрутизация прохождения диспансеризации	Оперативный доступ к динамической информации при проведении диспансеризации
«ЦентрИнвест Софт»	+	+	+	+	-	-
«МЕДКОР-2000»	+	+	+	-	-	-
«СоюзМедИнформ»	+	+	+	+	-	-
«Galen»	+	+	+	-	-	-
«Orsis»	+	+	+	-	-	-

Проведенный обзор и анализ данных (таблица 1) позволяет сделать следующие выводы:

1. В большинстве случаев программные продукты для здравоохранения и медицинского страхования, предлагаемые отечественными и иностранными разработчиками, по своей сути являются реализациями электронного документооборота.

2. Предлагаемые информационные технологии построены без учета целенаправленности процессов обслуживания пациентов и не дают возможности для комплексной оценки их эффективности.

3. Рассмотренные информационные технологии организации бизнес-процессов системы управления опираются на теорию систем массового обслуживания только с целью прогнозирования.

Во второй главе дается описание задач теории массового обслуживания посредством определения трех показателей:

- входящими потоками заявок (функциями плотностей распределения временных интервалов поступления заявок);

- структурой и информацией об обслуживающих устройствах (функциями плотностей распределения времени обслуживания заявок в устройствах и возможными связями между ними);

- дисциплиной обслуживания заявок.

Решение прикладной задачи, принадлежащей к СМО, является получение необходимых характеристик (вероятность занятости-свободности системы, пропускной способности системы, данных о средних величинах времени пребывания в системе и очередях и т.д.), описывающих ее поведение и установление различных закономерностей между ними и структурой системы. Естественно, наиболее полную информацию о системе можно получить из анализа вероятностной функции, описывающей ее поведение, но практически получить ее в аналитическом виде в большинстве случаев невозможно.

Сделан вывод о том, что бизнес-процесс диспансеризации населения является прикладной задачей теории систем массового обслуживания.

Используя обозначения СМО, система, описывающая процесс диспансеризации, в общем случае, может быть представлена как трехфазная система, где вторая фаза есть узел, описываемый как СМО с 10-ю обслуживающими устройствами с циклической дисциплиной прохождения и входным потоком, состоящим из заявок трех типов. Причем можно выделить систему, описываемую как блок с 7-ю обслуживающими устройствами, так же с циклической дисциплиной прохождения, но уже с однородным входным потоком, что представляет прохождение общего модуля. Узел диспансеризации можно представить в виде объединения четырех модулей:

(1) - модуль, являющийся общим для всех, включает в себя кабинеты хирурга, эндокринолога, невролога, офтальмолога, параклинических анализов, ЭКГ и флюорографии;

(2) - модуль, являющийся кабинетом уролога;

(3) - модуль, являющийся кабинетом гинеколога;

(4) - модуль, являющийся кабинетом УЗИ.

Трехфазная модульная схема процесса диспансеризации представлена на рис. 1.

Профессиональный осмотр и дополнительная диспансеризация так же являются прикладными задачами теории массового обслуживания и являются частными случаями задачи диспансеризации.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Трехфазное модульное представление процесса диспансеризации

В качестве подходов к построению математических моделей систем с циклической дисциплиной обслуживания объединены методы вариационных принципов и иерархических цепочек, что приводит к введению вертикали абстрактных уровней моделирования:

1. Стратегический уровень - высокий уровень абстракции (минимум деталей, стационарность состояний, высокий уровень обобщений).

2. Тактический уровень - средний уровень абстракции (средняя детальность, динамика потоков, очереди, средний уровень обобщений).

3. Операционный уровень - низкий уровень абстракции (много деталей, расстояния/маршрутизация, управление очередями, максимальная детализация).

Модель стратегического уровня основана на методе рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа, тактического уровня - на методе матрицы преобразований Лапласа и оперативного уровня основана на интегральном методе представления параллельных соединений с произвольными типами распределения.

Метод рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа

Рассматривается СМО, состоящая из N обслуживающих устройств с показательными независимыми распределениями интервалов времен обслуживания, простейшим входным потоком и циклической дисциплиной прохождения заявок.

Известный метод вероятностных графов (МВГ) заключается в создании графа, отображающего структуру СМО - в качестве узлов используются обслуживающие устройства, в качестве ребер - доступные переходы между устройствами. В качестве базовой характеристики метода используются вероятности занятости (свободности) дуг (обозначают k, где k - идентификатор дуги) и, используя структуру графа, находится вероятность занятости (свободности) всей СМО.

Введены шесть (VI) базисных правил, присущих таким системам и описывающих свертки последовательных и параллельных соединений вероятностного графа:

(I) - min(, ) - прохождение потока заявок через обслуживающее устройство;

(II) - - вероятность занятости однолинейной системы;

(III) - - распределение прохождения простейшего потока по параллельно-соединенным обслуживающим устройствам;

(IV) - - сумма простейших входящих потоков (с характеристиками i) также является простейшим входящим потоком (с характеристикой );

(V) - - вычисление вероятности занятости для последовательного соединения;

(VI) - - вычисление вероятности занятости для параллельного соединения

Метод рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа заключается в преобразовании вероятностного графа со сложной мостиковой структурой в параллельно-последовательный вероятностный граф «всевозможных путей», путем введения разрезов и правил рекуррентного переноса потоков и дальнейшего применения МВГ (рис. 2.).

Рис. 2. Разрезы параллельно-последовательного графа «всевозможных путей»

Введены обозначения вершин графа (двух типов):

· вершины типа «q», где q = 1, 2, …, N.

· вершины типа «», где k = 1, 2, …, N, di описаны рекуррентно: d1 = 1, 2, …, k-1, k+1, …, N, или если = {1, 2, …, N}, то di = k [], т.е. k - обслуживающее устройство через которое заявка вошла в систему, индексы di содержат информацию о последовательности прохождении заявкой других обслуживающих устройств (повторение исключается).

Для определения характеристик входящего потока по дуге к обслуживающему устройству в разрезе Rh+1 используются характеристики всех потоков из разрезов Rj (j = 1, …, h) к соответствующим вершинам (устройствам) , т.е. в названии метода вполне оправдано использование слова «рекуррентный».

Начиная с разреза R2 потоки, входящие в вершины типа q (разрез R1) переносятся (в данном случае складываются, используя (IV)) с потоками, определенными по «правилу прохождения» (I), входящими в вершины типа при k = q и делятся (используя (III)) на их количество. Дальше процедура продолжается - для разреза R3 используется информация с разрезов R1 и R2 и т.д.

Следующий этап - определение вероятностей занятости дуг (используя (II)) и используя (V) и (VI) - «свертки» вероятностного графа и получения итоговой вероятности занятости системы.

Приведен анализ двухкомпонентных систем и показано теоретически и графически, что вероятность отказов системы с циклической дисциплиной обслуживания всегда меньше, чем для системы с последовательным соединением, таким образом, она более эффективна. Также сформулирована и доказана теорема для произвольного количества обслуживающих устройств (рис. 3.).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. Графическое представление зависимости вероятности отказа от частоты входящего потока для двух, трех, четырех и пятикомпонентных систем с циклической и последовательной дисциплиной прохождения

Сформулирована и доказана теорема.

Вероятность отказа стационарного состояния системы массового обслуживания (СМО) с отказами, определяемая простейшим входящим потоком и показательными независимыми распределениями интервалов времени обслуживания в устройствах, при последовательном соединении всегда больше, чем при циклической дисциплине прохождения для любого количества обслуживающих устройств.

Полученные результаты применения данного метода могут быть использованы для управленческих решений медицинских организаций городского и областного уровня - проводить мониторинг диспансеризации, оценивать загруженность различных районных ЛПУ, а так же функцию распределения интервалов времени, блока обслуживающих устройств.

Метод матрицы преобразований Лапласа.

Введено в рассмотрение понятие функционального анализа - преобразование Лапласа и показано его применение в теории вероятностей.

Рассматривается произвольная система с циклической дисциплиной обслуживания. На вход СМО, содержащей n обслуживающих устройств, поступает входной поток заявок, описывающийся функцией распределения интервалов между ними - Q(t). Плотности распределения функций обслуживания каждым обслуживающим устройством соответственно равны f1(t), f2(t),…, fn(t). Заявка, поступающая в систему, проходит n обслуживающих устройств (цикличность дисциплины прохождения), общая плотность распределения функции обслуживания заявки всеми устройствами будет определяться интегралом свертки от плотностей распределений функций обслуживания каждого устройства. В общем случае, когда в системе одновременно находится в среднем k заявок, общая плотность распределения функции обслуживания одной из заявок всеми устройствами, будет равна

, (1)

где 2(t), 3(t),…, n(t) - плотности распределений функций ожидания заявками обслуживания перед соответствующими устройствами. Поскольку интеграл от свертки равен произведению их преобразований Лапласа и в целом в системе существует n! комбинаций прохождения n обслуживающих устройств, последние удобнее представить через квадратную матрицу преобразований Лапласа от плотностей распределения функций обслуживания каждого устройства

(2)

где F*i(s) и *j(s) - преобразования Лапласа от функций fi(t) и j(t).

Фиксируя любой элемент матрицы (2) в первом столбце, что характеризует первоначальное поступление заявки в систему через данное обслуживающее устройство и «вычеркивая» первый столбец и соответствующую устройству строку, получаем матрицу размерности [(n - 1)x(n - 1)]. Суммируя элементы главной диагонали, полученной матрицы, с выбранным элементом, получаем преобразование Лапласа общей плотности распределения.

(3)

Из соотношений (3) видно, что преобразования Лапласа для общей плотности распределения функции обслуживания каждой заявки совпадают, поскольку они являются перестановкой одних и тех же сомножителей, и, в общем, полученные соотношения характеризуют среднее время нахождения заявки в системе обслуживания

(4)

которые, как видно из формул (4) при отсутствии очередей перед обслуживающими устройствами, равны между собой

(4.1)

Этот результат отражает тот факт, что заявки по циклу проходят одни и те же обслуживающие устройства и их времена обслуживания и ожидания суммируются, что и приводит к соотношениям (4). Если на вход системы обслуживания поступает поток заявок, описывающийся функцией распределения интервалов между ними - Q(t), то нетрудно получить величину среднего интервала между ними

(5)

где плотность функции распределения интервалов поступления между заявками. Тогда в системе обслуживания одновременно в среднем находится k заявок, их количество определяется отношением среднего времени нахождения заявки в системе к величине среднего интервала поступления заявок (формула Литтла)

(6)

Перейдя к рассмотрению частного случая - плотности распределений функций обслуживания устройств подчиняются показательному закону с параметрами обслуживания, т.е. . Вводим зависимость соотношений 2(t), 3(t),…, n(t) - плотностей распределений функций ожидания заявками обслуживания устройствами для потоков заявок от отношения , которое определяет три варианта загрузки системы и получены формулы среднего времени нахождения заявок в системе:

 (7)

(8)

(9)

где .

Вводим в рассмотрение Fc,i(t) - распределение длительностей нахождения заявок в системе обслуживания:

(10)

где i (1, k).

В системе наблюдается k независимых потоков, каждый из которых, после обслуживания, проведя в нем время Tнах, случайно покидает заявка, образуя объединенный поток освобождений, функцию распределения которого обозначим через Foc(t). Тогда для объединенного потока имеем

 (11)

или

(12)

Используя (3), (4) получаем:

(13)

то есть средний интервал освобождения системы равен времени нахождения заявки в системе поделенной на среднее число заявок, одновременно находящихся в системе. Причем среднее время нахождения заявки в системе обслуживания в зависимости от загрузки системы определяется по формулам (7), (8) и (9). Необходимо заметить, что данный метод опирается на работы Дж. Джексона, где он рассматривал СМО с произвольной дисциплиной прохождения и покидания системы без очередей, установив тем самым некоторые закономерности между вероятностями состояний при многошаговых переходах.

Резюмируя вышеизложенное, отметим:

1. Предложен матричный метод преобразований Лапласа от плотностей распределений функций ожидания и обслуживания каждого устройства для анализа СМО с циклической дисциплиной обслуживания.

2. Разработана математическая модель СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок на основе матриц преобразований Лапласа, с помощью которых установлены зависимости между показателями системы обслуживания и потоком обслуженных заявок при различном соотношении количества заявок и количества обслуживающих устройств: формулы (7) - (9), (13) (рис. 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Количество заявок Количество заявок

а б

Рис. 4. Графическое представление зависимости времени а - нахождения в системе; б - освобождения из системы, от количества заявок для СМО состоящей из 8-ми обслуживающих устройств, со средними временами обслуживания: T1=3, T2=4, T3=5, T4=6, T5=7, T6=8, T7=9, T8=10 мин.

Интегральный метод для СМО с произвольными типами распределения

Случайный процесс, протекающий в однолинейной системе обслуживания, состоит в том, что в систему в случайные моменты времени приходят заявки, интервалы следования между которыми имеют распределение G(t). Средний интервал следования заявок равен ср. Пусть распределение времени обслуживания имеет вид F(t) со средним временем обслуживания равным ср. Естественно предположить, что функции распределения определены в первом квадранте, то есть и > 0. При этом, если время обслуживания i i-ой заявки будет больше, чем i интервал между приходом i-ой и (i+1)-ой заявками, то (i+1)-ая заявка получит отказ в обслуживание. При этом будет выполняться условие i - i < 0. Вероятность указанного события будет определяться распределением процесса

 (14)

Найдем закон распределения величины T, являющийся разностью случайных величин - интервалов следования заявок и ? - времени обслуживания однолинейной системы

(15)

где h(,) - совместная плотность функции распределения величин и ?, область D - проекция сечения плоскости T плоскостью T1 = t на координатную плоскость О, при чем выбирается та область или то множество точек ,?, для которых выполняется условие - ? < t.

В силу независимости случайных процессов потока заявок и времени обслуживания их совместная плотность равна произведению плотностей функций распределения каждой величины

(16)

Подставляя соотношение (16) в формулу (15) получим функцию распределения взаимодействия случайных потоков заявок и обслуживания

(17)

Из соотношения (17) нетрудно получить вероятность отказа в обслуживания для однолинейной системы через функцию распределения взаимодействия H1(t) случайных потоков заявок и обслуживания, естественно для этого должно выполняться условие i - i < 0, поэтому значение функции распределения в нуле будет определять вероятность отказа

(18)

Нормируем аргументы в функциях распределений

(19)

тогда функция распределения взаимодействия случайных потоков заявок и обслуживания (17) и вероятность отказа (18) будут иметь следующий вид

(20)

или, переходя к плотностям распределений с нормированными аргументами,

(21)

получим

(22)

(23)

Путем аналогичных рассуждений для двух, трех-линейной систем получены закономерности и определена функция распределения взаимодействия случайных потоков заявок и обслуживания в n-линейной системе обслуживания

(24)

и соответствующая вероятность отказа в n-линейной системе обслуживания

(25)

В качестве проверки предложенного метода использована тождественность вероятностей отказа, рассчитанных с использованием интегрального метода и полученных из формул Эрланга.

Кроме того, интегральный метод позволяет учесть, во-первых, различный порядок дисциплины обслуживания, поскольку перемена мест для внутренних интегралов в соотношение (25) влияет на результат вычислений и, во-вторых, асимметричность, которая возникает при смене порядка прохождения обслуживающих устройств с разным временем обслуживания.

В третьей главе обусловлена важность имитационного моделирования и обоснован выбор пакета AnyLogic.

Приведены данные статистического анализа - использование критерия Пирсона (2) для проверки гипотез о теоретическом распределении на основе экспериментальной генеральной совокупности.

Проведен анализ имитационных моделей двухкомпонентных систем с отказами и установлена адекватность предложенного метода рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа, для циклической дисциплины прохождения. Так же установлена адекватность интегрального метода и подтвержден основной вывод метода - асимметричность системы (рис. 5).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

а б

Рис. 5. Графическое представление вероятности отказа от времени для СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок, состоящей из 2-х обслуживающих устройств, с частотами обслуживания: 1=3, 2=1 и входящим потоком с частотой =4 при внутренней последовательности доступа: а - устройство с 1, потом 2, p_otkaz 0.4; б - устройство с 2, потом 1 p_otkaz 0.45

Представлена таблица с описанием активных блоков, используемых в построенных моделях, и создан класс сообщений с полями, фиксирующими прохождение обслуживающих устройств. Реализована пользовательская функция распределения потока заявок.

Построена имитационная модель с семью обслуживающими устройствами и очередями, описывающая поведение общего модуля (1) процесса диспансеризации (рис. 6.).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6. Блок-схема имитационной модели с семью обслуживающими устройствами и очередями - реализация общего модуля (1) диспансеризации

Создан активный класс сообщений с девятью полями - семь отвечающих за прохождение обслуживающих устройств и два поля, использующих функцию getTime(), для фиксации модельных времен возникновения заявки в системе и выхода из системы после обслуживания. Использована пользовательская функция управления потоком заявок по принципу минимальной очереди: заявка направляется на обслуживание в то устройство, где она еще не была обслужена и очередь, перед которой минимальна. С помощью данной имитационной модели установлена адекватность метода матриц преобразования Лапласа.

При проведении имитационных экспериментов над данной моделью, с различной градацией средних времен облуживания в устройствах и ограничением количества заявок, была установлена закономерность, приводящая к вырождению циклической дисциплины обслуживания в последовательное прохождение системы, т.е. устройства с меньшим средним временем обслуживания пропускают через себя поток заявок и, останавливаясь, фактически прекращают свое функционирование в системе. В связи с этим, на основании метода матриц преобразований Лапласа предложен метод введения виртуальных очередей, который препятствует вырождению в последовательное прохождение системы, обеспечивая постоянную работу (загрузку) всех обслуживающих устройств. Определяются средние времена обслуживания

(26)

среди них определяется максимальное Tmax с индексом j и вводятся

(27)

где - преобразование Лапласа функции плотности распределения временных интервалов виртуальной очереди, соответствующего i-го обслуживающего устройства. Определяем среднее время нахождения в виртуальной очереди и принимая в качестве количества заявок в виртуальной очереди округленную величину , используем ее в пользовательской функции распределения прохождения заявок по принципу минимальной суммы реальной и виртуальной очереди.

Используя средства AnyLogic, реализована имитационная модель процесса диспансеризации с учетом маршрутизации реального плана расположения врачебных и лабораторных кабинетов Областной клинической больницы № 3 г. Астрахани и реальных данных времен обслуживания, на основании схемы на рис. 1., с организацией трех входных потоков. Используя метод введения виртуальных очередей, при обслуживании 150 пациентов (норма медицинского учреждения - прохождение профосмотра и дополнительной диспансеризации 150-тью обследуемыми в течение 6-ти часов) получена экономия времени 18%, что является 65-ю минутами, т.е. чуть больше часа, либо возможностью прохождения дополнительно 27-и пациентов.

В четвертой главе приводится описание программного комплекса определения характеристик и маршрутизации СМО с циклической дисциплиной похождения заявок и, как следствие, разработана система, обеспечивающая формирование управленческих решений и рациональное использование ресурсов ЛПУ для функционирования бизнес-процессов диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации населения. Диаграмма потоков данных представлена на рисунке 7.



Рис. 7. Диаграмма потоков данных

Модуль (1) - реализует сбор статистической информации об интервалах времен обслуживания во врачебных, процедурных и параклинических кабинетах.

Модули (2) - обрабатывает статистическую информацию, определяя типы и характеристики вероятностных распределений, используя аппроксимацию функции плотности нормального закона распределения показательным на временном интервале, используя метод наименьших квадратов и итерационный метод релаксации.

Модуль (3) - фактически создает структуру СМО, описывает входящий поток пациентов (либо путем введения теоретической частоты, либо, используя связь с модулем статистического анализа). Далее вводится количество кабинетов и повторяется процедура введения соответствующих частот, характеризующих показательные распределения, присущие каждому кабинету.

Модуль (4) - реализует регистрацию пациента и формирует листы маршрутизации (рис. 8.).

Модуль (5) - формирует отчеты о количестве пациентов, прошедших диспансеризацию, для заданных интервалов времени.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 8. Примеры листов маршрутизации для групп диспансеризуемых

В приложениях приведены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ, акт о внедрении программного комплекса проведения диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации в Областной клинической больнице №3 г. Астрахани, акты о внедрении программного комплекса определения характеристик и маршрутизации СМО с циклической дисциплиной похождения заявок в учебный процесс Астраханского государственного университета и Волгоградского государственного технического университета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные научные и практические результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Проведен обзор и анализ существующих математических методов описания немарковских процессов, который показал актуальность разработки математических методов, с целью построения моделей СМО с циклической дисциплиной прохождения заявок.

2. Проведен анализ функциональных возможностей программных реализаций ИТ-бизнес-процессов для ЛПУ, который показал необходимость разработки программного комплекса, управляющего маршрутизацией пациентов при проведении диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации.

3. Применен комплексный подход теории моделирования, объединяющий вариационный метод и метод иерархических цепочек, на основании которого введена вертикаль уровней абстракции моделирования, что позволило определить абстракции и математические методы для каждого уровня.

4. Разработан метод рекуррентного переноса нагрузки разрезов вероятностного графа - стратегический уровень абстракции, что позволило определять вероятность отказа стационарного состояния и при определенных допущениях, используя аксиоматическое утверждение Риордана, функцию распределения блока обслуживающих устройств.

5. Разработан метод матрицы преобразований Лапласа - тактический уровень абстракции, что позволило получить временные зависимости от числа находящихся в СМО и обслуженных заявок и, используя формулу Литтла, установить связь с входящим потоком при любых типах распределения времени обслуживания и интервалов поступления заявок.

6. Разработан интегральный метод представления n-линейных СМО - оперативный уровень абстракции, что позволило рассчитать вероятность отказа при любых типах распределения времени обслуживания и интервалов поступления заявок и установить асимметричность системы относительно порядка прохождения устройств.

7. Разработан метод «виртуальных очередей», препятствующий вырождению циклической дисциплины прохождения заявок в последовательную, что позволило разработать алгоритм определения маршрутизации заявок через обслуживающие устройства и реализовать его в программном комплексе.

8. Разработана имитационная модель бизнес-процесса диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации, что позволило путем проведения имитационных экспериментов установить характеристики распределения времени обслуживания во врачебных и лабораторных кабинетах и интервалов поступления пациентов, с целью ограничения времени ожидания и количества пациента в очередях.

9. Разработана и внедрена компьютерная система диспансеризации, профессионального осмотра и дополнительной диспансеризации, что привело, путем организацией управления данными бизнес-процессами, к тому, что время прохождения диспансеризации уменьшилось на 18%.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, включенных в список ВАК РФ.

1. Холодов, А.Ю. Математическая модель проведения профессионального осмотра для учреждения здравоохранения / А.Ю. Холодов // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2006. - № 4(5). С. 786 - 793.

2. Холодов, А.Ю. Имитационная модель профессионального осмотра для анализа адекватности математической модели систем обслуживания с эйлеровскими циклами / А.Ю. Холодов // Системный анализ и управление в биомедицинских системах. - 2006. - № 4(5). С. 794 - 796.

3. Холодов, А.Ю. Метод вероятностных графов для систем массового обслуживания (СМО) с циклической дисциплиной обслуживания / А.Ю. Холодов // Южно-Российский вестник геологии, географии и глобальной энергии. - 2006. - № 8(21). С. 373 - 378.

4. Холодов, А.Ю. Метод расчета вероятности отказа в однолинейной системе обслуживания на основе функций распределений потока и обслуживающего устройства / А.Ю. Холодов // Вестник Астраханского государственного технического университета. - 2007. - № 1(36). С. 50 - 53.

5. Холодов, А.Ю. Интегральный метод расчета систем массового обслуживания / А.Ю. Холодов // Системы управления и информационные технологии. - 2007. - № 1.1(27). С. 198 - 201.

6. Холодов А.Ю., Зарипов Р.М. Метод рекуррентной нагрузки разрезов вероятностного графа для систем массового обслуживания (СМО) с циклической дисциплиной прохождения / А.Ю. Холодов, Р.М. Зарипов // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвуз. сб. науч. ст. - 2007. - № 2(28). С. 20 - 24.

7. Холодов А.Ю. Анализ пропускной способности двухкомпонентных систем путем имитационных экспериментов / А.Ю. Холодов // Известия Волгоградского государственного технического университета: межвуз. сб. науч. ст. - 2008. - № 5. С. 146 - 153.

Другие публикации.

8. Холодов, А.Ю. Описание и создание математической модели класса систем массового обслуживания (СМО) с дисциплиной обслуживания - эйлеровским циклом как подкласса вероятностных потоков / А.Ю. Холодов // «Региональная информатика - 2006»: материалы X Санкт-Петербургской международной конференции 24-26 октября 2006 г. - СПб. - 2006. С. 60.

9. Зарипов, Р.М., Холодов, А.Ю. Математическая модель динамики процесса обучаемости / Р.М. Зарипов, А.Ю. Холодов // Инновационные технологии в управлении, образовании, промышленности «АСТИНТЕХ-2007»: материалы Всероссийской научной конференции 18-20 апреля 2007 г. в 2 ч./ сост. И.Ю. Петрова. - Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет» - 2007. - Ч.1. С. 160 - 164.

10. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611266. «Автоматизированная система поддержки принятия решений для оптимизации процессов массового обслуживания потребителей в организациях сервиса на базе математического аппарата теории очередей и теории графов». Авторы Холодов А.Ю., Зарипов Р.М. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 23 марта 2007 г.

11. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2007611555. «Имитационная модель систем управления с циклической дисциплиной прохождения обслуживающих блоков». Автор Холодов А.Ю. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 12 апреля 2007 г.

Размещено на Allbest.ur