Задачи линейного программирования
Графоаналитическое решение задач линейного программирования. Задача о коммивояжере. Оптимизация управления динамическими объектами методом динамического программирования Р. Беллмана. Синтез непрерывного оптимального управления с помощью уравнения Эйлера.
| Рубрика | Программирование, компьютеры и кибернетика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 17.10.2017 |
| Размер файла | 263,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Исходные данные
линейный программирование динамический
К заданию №1.
|
№ |
C1 |
C2 |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
A11 |
A12 |
A21 |
A22 |
A31 |
A32 |
A41 |
A42 |
|
|
217 |
2,5 |
3,5 |
12 |
5 |
2 |
2 |
-1 |
8 |
2 |
-1,5 |
-2 |
2 |
1 |
-2 |
К заданию №2.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|||
|
С = |
1 |
? |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
|
2 |
1 |
? |
1 |
3 |
2 |
4 |
||
|
3 |
6 |
5 |
? |
1 |
4 |
3 |
||
|
4 |
1 |
7 |
6 |
? |
5 |
1 |
||
|
5 |
4 |
1 |
2 |
5 |
? |
4 |
||
|
6 |
5 |
6 |
3 |
4 |
1 |
? |
К заданию №3.
|
№ |
A |
B |
б |
в |
г |
|
|
117 |
1 |
0,5 |
4 |
2 |
8 |
К заданию №4.
|
№ |
A |
B |
б2 |
|
|
117 |
1,4 |
0,7 |
12 |
К заданию №5.
|
№ |
k |
г |
|
|
117 |
34 |
17 |
Задание №1. Графоаналитическое решение ОЗЛП
1. Математическая постановка ОЗЛП:
ц=2,5x1+3,5x2>max, (0)
-x1+8x2?12, (1)
x1-1,5x2?5, (2)
-2x1+2x2?2, (3)
x1-2x2?2, (4)
x1?0, (5)
x2?0, (6)
CE: -x1+8x2=12, (1')
x1-1,5x2=5, (2')
BC: -2x1+2x2=2, (3')
DE: x1-2x2=2, (4')
AD: x1=0, (5')
AB: x2=0, (6')
2. Записываем уравнение граничных линий допустимого многоугольника (1') - (6').
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение -x1+8x2 = 12 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1.5. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -12. Соединяем точку (0;1.5) с (-12;0) прямой линией.
Построим уравнение x1-1.5x2 = 5 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -3.33. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 5. Соединяем точку (0;-3.33) с (5;0) прямой линией.
Построим уравнение -2x1+2x2 = 2 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = -1. Соединяем точку (0;1) с (-1;0) прямой линией.
Построим уравнение x1-2x2 = 2 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = -1. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 2. Соединяем точку (0;-1) с (2;0) прямой линией.
3. Строим линию, пересекающую область ц.
, (7)
, (8)
4. Находим градиент целевой функции:
, (9)
, (10)
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2.5x1+3.5x2 > max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2.5x1+3.5x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (2.5; 3.5). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (1) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
-x1+8x2?12, (1)
x1-2x2?2, (4)
, , (11)
, (12)
Ответ: , ;
Задание № 2. Задача о коммивояжере. Метод ветвей и границ
Расстояния между пунктами заданы матрицей:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|||
|
С = |
1 |
? |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
|
|
2 |
1 |
? |
1 |
3 |
2 |
4 |
||
|
3 |
6 |
5 |
? |
1 |
4 |
3 |
||
|
4 |
1 |
7 |
6 |
? |
5 |
1 |
||
|
5 |
4 |
1 |
2 |
5 |
? |
4 |
||
|
6 |
5 |
6 |
3 |
4 |
1 |
? |
Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ начинается с приведения матрицы (вычитания из каждой строки (столбца) матрицы C минимального элемента этой строки (столбца).
Произведем приведение матрицы C по строкам:
hн= min(i) hнi
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
hн |
|||
|
С' = |
1 |
? |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
? |
1 |
3 |
2 |
4 |
1 |
||
|
3 |
6 |
5 |
? |
1 |
4 |
3 |
1 |
||
|
4 |
1 |
7 |
6 |
? |
5 |
1 |
1 |
||
|
5 |
4 |
1 |
2 |
5 |
? |
4 |
1 |
||
|
6 |
5 |
6 |
3 |
4 |
1 |
? |
1 |
Произведем приведение матрицы C по столбцам:
gi = min(х) gнi
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|||
|
С' = |
1 |
? |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
|
|
2 |
0 |
? |
0 |
2 |
1 |
3 |
||
|
3 |
5 |
4 |
? |
0 |
3 |
2 |
||
|
4 |
0 |
6 |
5 |
? |
4 |
0 |
||
|
5 |
3 |
0 |
1 |
4 |
? |
3 |
||
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
? |
||
|
gi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В итоге получаем полностью приведенную (редуцированную) матрицу:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
hн |
|||
|
С0 = |
1 |
? |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
|
|
2 |
0 |
? |
0 |
2 |
1 |
3 |
1 |
||
|
3 |
5 |
4 |
? |
0 |
3 |
2 |
1 |
||
|
4 |
0 |
6 |
5 |
? |
4 |
0 |
1 |
||
|
5 |
3 |
0 |
1 |
4 |
? |
3 |
1 |
||
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
? |
1 |
||
|
gi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Величины hн и gi называются константами приведения.
Нижняя граница цикла: d0=1+1+1+1+1+1+0+0+0+0+0+0 = 6
().
Шаг №1.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q0 относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества () и (), т.е. , где
В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
бн |
|||
|
C0 = |
1 |
? |
3 |
4 |
5 |
6 |
0(3) |
3 |
|
|
2 |
0(0) |
? |
0(1) |
2 |
1 |
3 |
0 |
||
|
3 |
5 |
4 |
? |
0(4) |
3 |
2 |
2 |
||
|
4 |
0(0) |
6 |
5 |
? |
4 |
0(0) |
0 |
||
|
5 |
3 |
0(4) |
1 |
4 |
? |
3 |
1 |
||
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0(3) |
? |
2 |
||
|
вi |
0 |
3 |
1 |
2 |
1 |
0 |
Наибольшая сумма констант приведения равна
х34= б3 + в4 =2+2=4, следовательно,
множество разбивается на два подмножества и .
Оценка длины цикла: .
Исключение ребра (3,4) проводим путем замены элемента х34 = 0 на ?, после чего осуществляем очередное приведение матрицы расстояний для образовавшегося подмножества (), в результате получим редуцированную матрицу.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
бн |
|||
|
С0' = |
1 |
? |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
0 |
|
|
2 |
0 |
? |
0 |
2 |
1 |
3 |
0 |
||
|
3 |
5 |
4 |
? |
? |
3 |
2 |
2 |
||
|
4 |
0 |
6 |
5 |
? |
4 |
0 |
0 |
||
|
5 |
3 |
0 |
1 |
4 |
? |
3 |
0 |
||
|
6 |
4 |
5 |
2 |
3 |
0 |
? |
0 |
||
|
вi |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
Включение ребра (3,4) проводится путем исключения всех элементов 3-ой строки и 4-го столбца, в которой элемент х43 заменяем на ?, для исключения образования негамильтонова цикла.
В результате получим другую сокращенную матрицу (5x5), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:
|
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
hн |
|||
|
1 |
? |
3 |
4 |
6 |
0 |
0 |
||
|
2 |
0 |
? |
0 |
1 |
3 |
0 |
||
|
C1= |
4 |
0 |
6 |
? |
4 |
0 |
0 |
|
|
5 |
3 |
0 |
1 |
? |
3 |
0 |
||
|
6 |
4 |
5 |
2 |
0 |
? |
0 |
||
|
gi |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
d1=0
Шаг №2.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q1 относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества .
В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.
|
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
бн |
|||
|
1 |
? |
3 |
4 |
6 |
0(3) |
3 |
||
|
2 |
0(0) |
? |
0(1) |
1 |
3 |
0 |
||
|
C1= |
4 |
0(0) |
6 |
? |
4 |
0(0) |
0 |
|
|
5 |
3 |
0(4) |
1 |
? |
3 |
1 |
||
|
6 |
4 |
5 |
2 |
0(3) |
? |
2 |
||
|
вi |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
Наибольшая сумма констант приведения равна
х52=1+3=4, следовательно,
множество разбивается на два подмножества и .
Оценка длины цикла: .
Оценка на перспективном множестве:
В результате получим другую сокращенную матрицу (4x4), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:
|
1 |
3 |
5 |
6 |
hн |
|||
|
C2 = |
2 |
? |
4 |
6 |
0 |
0 |
|
|
3 |
0 |
0 |
? |
3 |
0 |
||
|
5 |
0 |
? |
4 |
0 |
0 |
||
|
6 |
4 |
2 |
0 |
? |
0 |
||
|
gi |
0 |
0 |
0 |
0 |
d2=0
Шаг №3.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q2 относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества
.
В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.
|
1 |
3 |
5 |
6 |
бн |
|||
|
C2 = |
1 |
? |
4 |
6 |
0(4) |
4 |
|
|
2 |
0(0) |
0(2) |
? |
3 |
0 |
||
|
4 |
0(0) |
? |
4 |
0(0) |
0 |
||
|
6 |
4 |
2 |
0(6) |
? |
2 |
||
|
вi |
0 |
2 |
4 |
0 |
Наибольшая сумма констант приведения равна
х65=2+4=6, следовательно,
множество разбивается на два подмножества
и .
Оценка длины цикла:
.
Оценка на перспективном множестве:
В результате получим другую сокращенную матрицу (3x3), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:
|
1 |
3 |
6 |
hн |
|||
|
1 |
0 |
? |
0 |
0 |
||
|
C3 = |
2 |
? |
0 |
1 |
0 |
|
|
4 |
0 |
5 |
0 |
0 |
||
|
gi |
0 |
0 |
0 |
d3=0
Шаг №4.
Определяем ребро ветвления и разобьем все множество допустимых значений Q3 относительно этого ребра на два непересекающихся подмножества .
В приведенной матрице исследуем все нулевые переходы.
|
1 |
3 |
6 |
бн |
|||
|
1 |
? |
4 |
0(4) |
4 |
||
|
C3 = |
2 |
0(0) |
0(4) |
? |
0 |
|
|
4 |
0(0) |
? |
0(0) |
0 |
||
|
вi |
0 |
4 |
0 |
Наибольшая сумма констант приведения равна
х16=4+0=4, следовательно,
множество разбивается на два подмножества
и .
Оценка длины цикла:
.
Оценка на перспективном множестве:
В результате получим другую сокращенную матрицу (2x2), которая подлежит операции приведения.
После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:
|
1 |
3 |
hн |
|||
|
C4 = |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
|
4 |
0 |
? |
0 |
||
|
gi |
0 |
0 |
d4=0
В соответствии с этой матрицей включаем в маршрут и .
Ответ: l* =C34+C41+C16+C65+C52+C23=1+1+1+1+1+1=6.
Дерево решения имеет следующий вид:
Задание №3. Оптимизация дискретных управлений дискретными динамическими объектами методом динамического программирования Р. Беллмана
Дано:
(1)k=0,1,2,3
(2)
, (3)n=4
U - н.у. (неограниченное управление), (4)
, (5)
Найти:
(6).
Решение
1.
Минимизируем
Вычислим S3 от x3:
2.
Минимизируем
Вычислим S2 от U2:
3.
Минимизируем
Вычислим S1 от U2:
4.
Минимизируем
Вычислим S0 от U0:
Рассчитаем оптимальный процесс:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рассчитаем оптимальное программное управление:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание №4. Синтез непрерывного оптимального управления с помощью уравнения Эйлера
Дано:
Найти: .
1. Выразим входное управляющее воздействие
Приведем задачу к варианту задачи на безусловный экстремум:
2.
3. Решим задачу с помощью уравнения Эйлера:
4. Решим ДУ Эйлера методом характеристического уравнения
p1=-8,52,p2=8,52
5. Т.к. x>?, то
Учитывая, что x0=C1
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Найдем оптимальную программу управления:
6. Найдем оптимальный регулятор (оптимальный закон управления):
7. Закон управления можно получить и другим способом:
8.
9. Структурная схема
Задание №5. Синтез непрерывных оптимальных уравнений с помощью уравнения Эйлера-Пуассона
Найти: .
1. Преобразуем эту задачу в вариационную задачу на безусловный экстремум:
2.
3.
+
4.
5.
6. Составим оптимальную синтезированную систему управления:
7. Структурная схема:
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Алгоритм решения задач линейного программирования симплекс-методом. Построение математической модели задачи линейного программирования. Решение задачи линейного программирования в Excel. Нахождение прибыли и оптимального плана выпуска продукции.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 21.03.2012Теоретическая основа линейного программирования. Задачи линейного программирования, методы решения. Анализ оптимального решения. Решение одноиндексной задачи линейного программирования. Постановка задачи и ввод данных. Построение модели и этапы решения.
курсовая работа [132,0 K], добавлен 09.12.2008Общее понятие и характеристика задачи линейного программирования. Решение транспортной задачи с помощью программы MS Excel. Рекомендации по решению задач оптимизации с помощью надстройки "Поиск решения". Двойственная задача линейного программирования.
дипломная работа [2,4 M], добавлен 20.11.2010Решение задачи линейного программирования симплекс-методом: постановка задачи, построение экономико-математической модели. Решение транспортной задачи методом потенциалов: построение исходного опорного плана, определение его оптимального значения.
контрольная работа [118,5 K], добавлен 11.04.2012Постановка задачи линейного программирования и формы ее записи. Понятие и методика нахождения оптимального решения. Порядок приведения задач к каноническому виду. Механизмы решения задач линейного программирования аналитическим и графическим способами.
методичка [366,8 K], добавлен 16.01.2010Изучение и укрепление на практике всех моментов графического метода решения задач линейного программирования о производстве журналов "Автомеханик" и "Инструмент". Построение математической модели. Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel.
курсовая работа [663,9 K], добавлен 10.06.2014Практические навыки моделирования задач линейного программирования и их решения графическим и симплекс-методом с использованием прикладной программы SIMC. Моделирование транспортных задач и их решение методом потенциалов с помощью программы TRAN2.
контрольная работа [199,8 K], добавлен 15.06.2009Математическое программирование. Линейное программирование. Задачи линейного программирования. Графический метод решения задачи линейного программирования. Экономическая постановка задачи линейного программирования. Построение математической модели.
курсовая работа [581,5 K], добавлен 13.10.2008Анализ метода линейного программирования для решения оптимизационных управленческих задач. Графический метод решения задачи линейного программирования. Проверка оптимального решения в среде MS Excel с использованием программной надстройки "Поиск решения".
курсовая работа [2,2 M], добавлен 29.05.2015Оптимизационная задача линейного программирования. Виды задач линейного программирования. Принятие решений на основе количественной информации об относительной важности критериев. Выбор средств разработки. Программный комплекс векторной оптимизации.
дипломная работа [1,3 M], добавлен 27.03.2013
