Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Задача о ранце

Введение

Цель данной работы - выделить основные методы решения задачи о загрузке, классифицировать и сравнить эти методы.

Задача о ранце - одна из задач комбинаторной оптимизации. Свое название получила от максимизационной задачи укладки как можно большего числа нужных вещей в рюкзак при условии, что общий вес (или объём) всех предметов ограничен. Подобные задачи часто возникают в экономике, прикладной математике, криптографии. В общем виде, задачу можно сформулировать так: из неограниченного множества предметов со свойствами «стоимость» и «вес», требуется отобрать некое число предметов таким образом, чтобы получить максимальную суммарную стоимость при одновременном соблюдении ограничения на суммарный вес.

2. Методы решения задачи о рюкзаке

На практике очень часто возникают NP-полные задачи, задача о рюкзаке - одна из них. Конечно, надежд, на то, что для них найдется полиномиальный алгоритм, практически нет, но из этого не следует, что с задачей нельзя ничего сделать. Во-первых, очень часто удается построить полиномиальный алгоритм для NP-полной задачи, конечно, он даст приближенное, а не точное решение, но зато будет работать за реальное время. Во-вторых, данные могут быть таковы, что экспоненциальный алгоритм, например, переборный, сможет тоже работать на них разумное время. К точным методам относятся: полный перебор, метод ветвей и границ, динамическое программирование. К приближенным: жадные алгоритмы. Полный перебор - перебор всех вариантов (всех состояний) - малоэффективный, но точный метод. Метод ветвей и границ - по сути, сокращение полного перебора с отсечением заведомо «плохих» решений. ДП - алгоритм, основанный на принципе оптимальности Беллмана. Жадный алгоритм - основан на нахождении относительно хорошего и «дешевого» решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

2.1 Динамическое программирование (ДП-алгоритм)

В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана: «Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на этом шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был оптимальным». Проще говоря, оптимальное решение на i-том шаге находится исходя из найденных ранее оптимальных решений на предшествующих шагах. Из этого следует, что для того чтобы найти оптимальное решение на последнем шаге надо сначала найти оптимальное решения для первого, затем для второго и так далее пока не пройдем все шаги до последнего.

Имеется набор из N предметов. Пусть MaxW - объем рюкзака, P_i - стоимость i-го предмета, W_i - вес i-го предмета. Value [W, i] - максимальная сумма, которую надо найти. Суть метода динамического программирования - на каждом шаге по весу 1<W_i<W находим максимальную загрузку Value[W_i, i], для веса W_i. Допустим мы уже нашли Value [1..W, 1..i-1], то есть для веса меньше либо равного W и с предметами, взятыми из 1..N-1. Рассмотрим предмет N, если его вес W_N меньше W проверим стоит ли его брать.

Если его взять то вес станет W-W_i, тогда Value [W, i] = Value [W - W_i, i-1] + P_i (для Value [W - W_i, i-1]) решение уже найдено остается только прибавить P_i.

Если его не брать то вес останется тем же и Value [W, i] = Value [W - Wi, i-1]. Из двух вариантов выбирается тот, который дает наибольший результат. Рассмотрим алгоритм подробнее:

Рисунок 2.1.1

Рисунок 2.1.2

Динамическое программирование для задачи о рюкзаке дает точное решение, причем одновременно вычисляются решения для всех размеров рюкзака от 1 до MaxW, но какой ценой? Метод очень трудоемок при больших входных данных.

2.2 Полный перебор

Название метода говорит само за себя. Чтобы получить решение нужно перебрать все возможные варианты загрузки. Здесь мы будем рассматривать такую постановку задачи. В рюкзак загружаются предметы N различных типов (количество предметов каждого типа не ограничено), каждый предмет типа I имеет вес W_i и стоимость P_i, i=(1,2..N). Требуется определить максимальную стоимость груза вес, которого не превышает W. Очевидна простая рекурсивная реализация данного подхода (рисунок 2.2.1). Временная сложность данного алгоритма равна O (N!). Алгоритм имеет сложность факториал и может работать лишь с небольшими значениями N. С ростом N, число вариантов очень быстро растет, и задача становится практически неразрешимой методом полного перебора. На рисунке 2.2.2 показано дерево перебора, дерево имеет 4 уровня. В каждом кружочке показан вес предмета, корень дерева - нулевой вес, то есть когда рюкзак пуст. Первый предмет можно выбрать четырьмя способами, второй - тремя, третий - двумя, а дальше можем взять только один оставшийся предмет.

Рисунок 2.2.1

Рисунок 2.2.2

N - Количество предметов. Пусть MaxW - объем рюкзака, P_i - стоимость i-го предмета, W_i - вес i-го предмета.

2.3 Метод ветвей и границ

По существу, данный метод - это вариация полного перебора, с исключениями заведомо не оптимальных решений. Для полного перебора можно построить дерево решений. Если у нас есть какое-то оптимальное решение P, мы пытаемся улучшить его, но если на рассматриваемой в текущий момент ветви решение заведомо хуже, чем P то следует остановить поиск и выбрать другую ветвь для рассмотрения. Например, на рисунке 2.2.2 есть ограничение на вес рюкзака W=5. Тогда используя метод ветвей и границ можно сократить дерево перебора до такого, рисунок 2.2.3. Видно сразу, что количество вариантов для перебора уменьшилось сразу. А именно осталось 8 вариантов исхода, вместо 24 ранее. Но не всегда получается отсеять достаточно много вариантов, чтобы скорость работы была заметно увеличена, всегда можно подобрать такие входные данные, для которых метод ветвей и границ даст оценку по времени идентичную полному перебору.

Рисунок 2.2.3

программирование рюкзак алгоритм

2.4 Жадный алгоритм

В случае применения жадного алгоритма поступаем так: сортируем предметы по убыванию стоимости единицы каждого. , где Pi - относительная стоимость единицы предмета i, W_i - вес предмета i, V_i - стоимость предмета i. Всего N предметов. Пытаемся поместить в рюкзак все что помещается, и одновременно наиболее дорогое по параметру P. Оценим сложность метода. Для сортировки нам потребуется плюс проход по N предметам в цикле. Итого , что в общем случае равно . Скорость работы относительно других алгоритмов высока, но если посмотреть более внимательно, видно, что точное решение мы получим не всегда. Обратим внимание на следующую таблицу ниже (Таблица 1):

Таблица 1

Недостатки:

· Веса предметов целые, если брать вещественные значения, ДП - алгоритм неприменим;

· Для больших значений N количества предметов ДП-алгоритм работает O().

Достоинства:

· Высокая скорость работы по сравнению с другими алгоритмами (для не больших значений N<50);

· Получаем точное решение;

· Имеем оптимальные загрузки рюкзака для всех его весов от 1 до MaxW.

3.2 Полный перебор

Недостатки:

· Входные данные не велики, т.к. с их увеличением растет и время выполнения;

· Временная сложность O (N!).

Достоинства:

· Полный перебор дает точное решение;

· Простота реализации.

3.3 Метод ветвей и границ

Недостатки:

· В худшем случае работает как полный перебор.

Достоинства:

· Возможно значительное сокращение времени работы;

· Простота реализации.

3.4 Жадный алгоритм

Недостатки:

· Всегда можно предоставить такой набор, при котором решение будет не точным.

Достоинства:

· Высокое время работы, ограниченное только скоростью сортировки, в среднем O(NlogN);

· Может работать с большими значениями N;

· Не использует дополнительных ресурсов компьютера;

· Простота реализации.

4. Пример решения задачи с помощью пакета экономических расчетов (ПЭР)

Для демонстрации наличия работоспособного программного обеспечения, направленного на решение задач по дисциплине, в том числе и упомянутой задачи о рюкзаке, рассмотрим решение с помощью программного продукта «ПЭР» - пакета экономических расчетов. Для примера возьмем условия задачи из пункта «2.1 Динамическое программирование (ДП-алгоритм)», а именно:

v вместимость рюкзака = 5;

v количество предметов = 3:

1) W₁ = 1, P₁ = 6;

2) W₂ = 3, P₂ = 12;

3) W₃ = 2, P₃ = 10.

После запуска, выбора раздела и ввода названия задачи программа просит ввести количество состояний - по сути, на данном этапе нужно указать, сколько предметов перечислено в задаче. В нашей задаче 3 предмета:

Рисунок 4.1

Затем мы конкретизируем задачу:

Рисунок 4.2

В следующем окне программа просит ввести условия нашей задачи, а именно максимальный вес ранца и характеристики предметов:

Рисунок 4.3

После ввода задачи, т.к. входные данные, откровенно говоря, небольшие, ее решение происходит, практически мгновенно. Пользователю остается лишь выбрать раздел №5 «Решение задачи»:

Рисунок 4.4

Кроме классической постановки задачи существуют и ее модификации. Для ознакомления приведу примеры некоторых из них:

1. Необходимо вывести только максимальную стоимость, набор нас не интересует.

2. В результате работы нужно получить не только максимальную стоимость, но и сам набор.

3. На размер рюкзака несколько ограничений (многомерность задачи).

4. Каждый предмет можно брать только лишь один раз.

5. Предметы можно брать произвольное количество раз.

6. Количество раз помещения предмета в рюкзак фиксировано. Либо для каждого предмета свое, либо для всех предметов одно.

7. Некоторые предметы должны обязательно быть уложены в рюкзак (имеют приоритет).

8. Находить несколько оптимальных решений (одинаковой стоимости, но с разным содержимым).

Заключение

В ходе исследования задачи о рюкзаке были выявлены три основных алгоритма решения. Полный перебор, динамическое программирование, жадный алгоритм. Также был рассмотрен метод ветвей и границ, но как сокращение полного перебора. Все методы разделены на две группы. Первая группа - точные методы, сюда входят ДП-алгоритмы, полный перебор и метод ветвей и границ. Вторая группа - приближенные методы, к таким методам относится жадный алгоритм. Выбор использования того или иного метода спорный вопрос, все зависит от постановки задачи, а также от того, какие цели поставлены. Если требуется найти точное решение, то конечно нужно использовать точные методы, при небольшом наборе входных данных, подойдет перебор или метод ветвей и границ в силу простоты реализации, при больших, следует использовать ДП-алгоритм. Если же точность решения не так важна, или входные данные таковы, что ни один из точных методов не работоспособен, остается применять только приближенные алгоритмы. Но остается возможность комбинирования различных методов для ускорения, или даже применение каких-либо «уловок» для конкретного примера. Безусловно, данная задача очень важна с точки зрения ее приложения в реальной жизни. Несмотря на свою «древность», «рюкзак» не только не забывается, а наоборот, интерес к нему только растет. Оптимальная загрузка транспорта помогает сокращать расходы, получать большую прибыль. Также задача применяется в криптографии и прикладной математике. Также мы убедились, что есть уже готовое работающее программное обеспечение (ПЭР) для решения задач по заданной дисциплине, в том числе и задачи о ранце.

Список использованной литературы

1. Шикин Е.В., Шикина Г.Е. Исследование операций: учеб. - М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006. - 280 с.

2. Ананий В. Левитин Глава 3. Метод грубой силы: Задача о рюкзаке // Алгоритмы: введение в разработку и анализ = Introduction to The Design and Analysis of Aigorithms. - М.: «Вильямс», 2006. - С. 160-163. - ISBN 0-201-74395-7

3. Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. - 2-е изд. - М.: «Вильямс», 2006. - С. 1296. - ISBN 0-07-013151-1

Размещено на Allbest.ru