В последние годы значительно возросла роль математического моделирования в различных отраслях науки и техники, это позволяет глубже познавать закономерности и характеристики, присущие тем или иным объектам, явлениям, процессам. Если в физике и технике методы математического моделирования применяются относительно давно, то в последнее десятилетие они нашли широкое Распространение также в таких, казалось бы, далеких от математики областях зданий, как биологии, медицина, экономика, социология, психология и многие другие. Это с одной стороны, можно объяснить общностью этих методов. а с другой стороны - возможностью их практической реализации в связи с появлением современных средств вычислительной техники.

Особенно велика роль математического моделирования при решении задач управления, на базе которого производится анализ и синтез системы управления. Осуществление математического моделирования возможно при наличии математической модели изучаемого объекта, процесса или явления, т.е. при наличии уравнений, описывающих этот объект. В настоящее время мы часто сталкиваемся (даже при наличии современных вычислительных машин) с невозможностью моделировалирования из-за отсутствия математического описания интересующего нас объекта или явления. Построение математической модели или создание алгоритмов их автоматического получения, таким образом, является первым этапом математического моделирования. Естественно в связи с этим значительно возрос интерес к методам построения математических моделей и особенно к одному из этих методов - идентификации (Само понятие идентификация исходит от латинского слова identifico - отождествляю);

В этом случае модель строится по результатам, полученным в условиях нормального функционирования изучаемого объекта. Математическая модель в данном контексте означает математическое описание поведения какой-либо системы или процесса в частотной или временной области, к примеру, физических процессов (движение механической системы под действием силы тяжести), экономического процесса (реакция биржевых котировок на внешние возмущения) и т.п. В настоящее время эта область теории управления хорошо изучена и находит широкое применение на практике.

Сейчас можно говорить о широком применении методов математического моделирования для изучения объективных законов природы, для отображения реальной действительности. Метод построения модели объекта, явления, реальной действительности и ее использование для решения конкретных задач не нов и применяется человечеством с древних времен. Например, при решении задач земледелия строилась модель земельного участка и интенсивно развивалась геометрия, для этого создавались специальные понятия и символический язык.

1. Идентификация, общие понятия, модели

Построение гносеологических моделей преследует познавательные цели - установление объективных законов природы (физические, химические, механические гидравлические и т.п. модели). Эти модели строятся не только для установления закономерностей, необходимых для управления, хотя до недавнего времени при построении моделей объектов управления в основном использовались закономерности, выведенные при создании гносеологических моделей. Но с ростом сложности объектов управления имеющихся моделей оказывалось недостаточно, и разрабатывались специальные методы построения моделей и проведения моделирования, чтобы использовать результаты моделирования для создания системы управлении или непосредственно модель - в системе управления.

Информационные модели представляют собой символические модели, описывающие поведение объекта оригинала, а не копирующие его по физической сущности. Целью построении информационной модели является разработка методов управления.

К сенсуальным (чувственным) моделям относятся модели, в которых дается описание чувств, эмоций, или модели, оказывающие эмоциональные воздействие на человека - произведении изобразительного искусства, литературы, музыки и т.п. Этот класс произведений также представляет собой модели реально существующих объектов (человека, природы, общества и др.), но во многих случаях еще не установлены методы их количественной оценки. Эта классификация является далеко не полной, приближенной, но до некоторой степени она отражает существующее положение вещей, и, может служить основой для дальнейшего уточнения и развития.

Но всех случаях моделирование требует знании математического описания (модели) объекта.

Л. Льюнг отмечал, что "Конструирование моделей по данным наблюдений включает три основных компонента.

1. Данные.

2. Множество моделей-кандидатов.

3. Правило оценки степени соответствия испытываемой модели данным наблюдений.

1. Данные наблюдений. Входо-выходные данные иногда регистрируются в процессе проведения целенаправленных идентификационных экспериментов, когда пользователь может определить перечень и моменты измерения сигналов, причем некоторые из входных сигналов могут быть управляемыми. Задача планирования экспериментов таким образом, состоит в том, чтобы, учитывая возможные ограничения, выбрать максимально информативные данные о сигналах системы. В некоторых случаях пользователь может быть лишен возможности влиять на ход эксперимента и должен опираться на данные нормальной эксплуатации.

2. Множество моделей. Множество моделей-кандидатов устанавливается посредством фиксации той группы моделей, в пределах которой мы собираемся искать наиболее подходящую. Несомненно, это наиболее важная и в то же время наиболее трудная часть процедуры идентификации. Именно на этом этапе знание формальных свойств моделей необходимо соединить с априорным знанием, инженерным искусством и интуицией. Множество моделей иногда становится результатом тщательного моделирования, после чего на основе законов физики и других достоверных знаний формируется модель, включающая физические параметры с еще не определенными значениями. Другая возможность состоит в том, чтобы без всякого физического обоснования использовать стандартные линейные модели. Множество таких моделей, у которых параметры рассматриваются прежде всего как варьируемые средства подстройки моделей к имеющимся данным и не отражают физики процесса, называется черным ящиком. Множества моделей с настраиваемыми параметрами, допускающими физическую интерпретацию, называют серыми ящиками.

3. Определение на основе данных наблюдений "наилучшей" модели множества. Эта часть есть собственно метод идентификации. Оценка качества модели связана, как правило, с изучением поведения моделей в процессе их использования для воспроизведения данных измерений.". (Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. 1991.С. 20)

Что же может дать идентификация систем? Методы идентификации систем являются гибким средством решения многих задач науки и техники. Ценность такого инструментария подтверждена многочисленными приложениями из различных областей.

Возможности. Методы, рассматриваемые в этой работе, как таковые, не зависят от приложений. Любой объект, обладающий динамическими свойствами, составляет потенциальное приложение. В самом деле, сообщалось об успешном применении методов идентификации к решению задач в таких разных областях, как управление, медико-биологические системы, сейсмология, экология и окружающая среда, динамика самолета, эконометрика и многих других. Ключ к успеху в том, чтобы получить качественные данные и иметь хорошее представление о типе модельном структуры, которую следует использовать.

Адаптивные и робастные системы: делают ли они математическое описание ненужным? Модели динамических целей являются вспомогательным (инструментальным) средством при решении многих задач: предсказания, управления, имитационного моделирования, проектирования фильтров, восстановления наблюдений и др. Иногда говорят о том, что потребность в модели может быть поставлена под сомнение введением более тонких решений: механизмов адаптации, когда осуществляется непосредственная настройка параметров принимаемых решений, или робастных схем, которые нечувствительны к корректности используемой модели. Однако нужно отметить, что адаптивные схемы, как правило, могут быть истолкованы как рекуррентные алгоритмы идентификации, применяемые к модельной структуре специального вида (например, параметризация модели в терминах соответствующего оптимального регулятора). Таким образом, процедура построения модели оказывается по существу встроенной в механизм адаптации.

Робастное проектирование основано на номинальной модели и определяется так, чтобы гарантировать нормальное функционирование даже при отклонениях от номинальной модели. Обычно можно ввести некоторую окрестность вокруг номинальной модели, в рамках которой соответствующее ухудшение качества считается допустимым. И здесь важен тот факт, что модели, полученные в процессе системной идентификации, могут быть снабжены этикеткой с указанием их качества: оценок отклонений от истинного описания в параметрической или частотной области. В результате такие модели хорошо подходят для робастного проектирования.

2. Классификация методов идентификации

Как писал П. Эйкхофф:

"Выходы объекта: , где - шум измерения i переменной.

Выходы модели =

Ошибки по отдельным переменным:

Ошибка системы:

1. Априорная информация: отсутствует.

Используется метод наименьших квадратов (МНК).

Критерий согласия J по методу наименьших квадратов имеет вид:

,

где I - единичная матрица.

2. Априорная информация:

- Ковариационная матрица шума Q:

Q=

Используются марковские оценки (обобщенный метод наименьших квадратов):

J =

3. Априорная информация:

ковариационная матрица шума Q.

информация о влиянии переменных друг на друга например, совместное распределение вероятностей p , зависящие от параметра а.

Используется метод максимального правдоподобия:

,

где - функция правдоподобия, - измеренные значения выходных переменных

4. Априорная информация:

ковариационная матрица шума Q,

информация о влиянии переменных друг на друга (совместное распределение вероятностей p )

плотности распределения x, , a. Используется метод минимального среднего риска". (Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния. - М.: Мир, 1975. - 681 с.)

4. Параметрическая идентификация