Моделирование листостебельных материалов с помощью теории графов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Моделирование листостебельных материалов с помощью теории графов

В настоящее время уделяется большое внимание вопросам математического моделирования растительных объектов. Растительные материалы представляют собой объекты сложной геометрической формы и построение моделей этих объектов очень трудный процесс. Рассмотрим построение моделей обобщенных листостебельных структур с помощью теории графов с использованием ориентированных графов с непустым множеством источников и непустым множеством стоков. Необходимо выбрать обобщенную аналитическую модель для описания архитектоники данного растительного объекта. Листостебельные растения представляют собой растительные объекты с различной скелетной структурой. На рис. 1 представлены обобщенные модели с различными типами ветвления.

а). б). в). г).

Рис. 1. Модели листостебельных структур в виде графов с различными типами ветвления (а-симподиальное,б-дихотомическое, в,г - моноподиальное симметричное,несимметричное)

Для описания этих моделей используются сети. Данный объект можно представить в матричной форме, при этом строятся матрицы ребер и узлов. Проанализировав структуру этих матриц можно отметить, что они являются почто квазидиагональными матрицами. В недиагональных блоках матрицы ребер все элементы равны нулю, а блоки имеют похожую структуру, что нельзя сказать о структуре матрицы узлов (рис. 2).

Для моноподиального несимметричного и дихотомического типов ветвления в области нулевых матриц встречаются ненулевые вектора и ненулевые матицы размером 4x2 и 2x4. Характерные особенности в матрице ребер: для каждого типа ветвления в состав матрицы входят ненулевые матрицы с характерным расположением элементов:

а).для симподиального типа ветвления матрица ;б).для дихотомического типа ветвления матрица по диагонали и в области нулевых элементов симметрично диагонали расположены матрицы и ; в). моноподиального симметричного типа ветвления матрица ; г). моноподиального несимметричного типа ветвления матрица

а). б).

Рис. 3. Модель развития листостебельного растения (1 - начало роста; 2 - росток; 3 - появление первых листочков; 4 - дальнейшее развитие листочков; 5- развитие ветвей;6 - дальнейшее развитие ветвей; …..; n - происходит увядание растения)

в). г).

Рис. 2 . Матрицы узлов для листостебельных структур в виде графов с различными типами ветвления

( а - симподиальное, б - дихотомическое, в,г - моноподиальное симметричное, несимметричное)

Рассмотренные модели листостебельных материалов позволяют создать математические модели технологического процесса в виде графа и идентификации растительных объектов.

Радиальное изображение графа используется для описания математической модели развития растительного объекта. В качестве вершины размещаемой в центре берется один из уровней развития растения (рис.3). Из вершины выходят ребра, которые характеризуют направления ветвей. Рассмотрим 5 уровень развития растительного объекта.

Вершина 5 является начальной вершиной ребра, а каждая из точек 5i ( i=1,…,n) будет конечной вершиной ребра. Расстояние между вершинами 5 и 5i будет длиной ребра и является самым коротким путем между этими вершинами. Диаметром графа будет наибольшее расстояние между вершинами 5 и наиболее удаленной вершиной.

На уровнях 5,6,.. растительный объект имеет наибольшую массу и ветви имеют максимальные значения длины. Если найти диаметр графа, то можно построить окружности с радиусами, кратными числам, которые характеризуют массу растения. Если длина i-го ребра попадает в границы построенных окружностей и большее количество ребер определяет зону с наибольшей растительной массой.

Для компьютерной реализации обобщенной математической модели развития растительного объекта лучше использовать модель в виде ориентированного дерева.

Рассмотрим модель в виде ориентированного дерева. Развитие растения идет от вершины 1 к вершине m и a, b, c, d, e, f, h … являются ребрами. На каждом этапе развития происходит разветвление на n направлений с вершинами j1,…,j n, где j=1,…,m. Из каждой j вершины выходят ребра с различной длиной ai, bi, ci, di, ei, fi, hi, где i=1,…, n. Модель можно представить в матричной форме согласно числу уровней и направлений. Ребра представлены буквами и числами. Буква соответствует уровню развития, цифра - направлению развития. Узлы представлены цифрами соответствующим образом. Так как учитываем направление роста растения, то матрицы узлов и ребер будут следующего вида:

и ,

где матрицы A_j , B_j и О равны:

В матрице ребер и узлов использованы следующие обозначения. Например, узел i (i=1,…,m) связан с узлами j1,…,jn, то ставим 1, если нет - то 0. В матрице ребер 1 означает, что ребра отходят от линии уровней, в противном случае - нет. Для каждого ребра задаем его длину, которая характеризует верви растения. Если длина векторов a, b, c, d, e, f, h в линии уровней увеличивается, то происходит рост растительного объекта..

Возможности теории графов позволяют построить модели растений со сложной геометрией. Они позволяют более гибко размещать элементы скелетной структуры растений и обходиться без пересечения. Долгое время в различных технологических процессах переработки сельскохозяйственной продукции для описания растительных объектов использовались упрощенные модели, без учета реальной формы. Для повышения эффективности данных процессов необходимо совершенствование рабочих органов, введение новых конструктивных решений и использование компьютерной техники. Именно такие перспективы открывает математическое моделирование растительных материалов.

Дальнейшее развитие целесообразно вести в следующих направлениях: разработка конкретных технологических процессов. создание программного обеспечения моделирования сложных процессов, в которых участвуют растительные объекты.

Литература

растительный моделирование граф листостебельный

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Мир, 1982.

2. Раздорский В.Ф. Архитектоника растений. - М.: Советская наука, 1955.

3. Математическое моделирование./ Дж. Эндрюс, Р. Мак - Лоун. - М.: Мир, 1979.

4. Владимирский Б.М., Горстко А. Б., Ерусалимский Я. М. Математика. Общий курс. - СПб.: Лань, 2002.

Размещено на Allbest.ru