8

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Чувашский государственный университет имени И.Н.Ульянова»

АЛАТЫРСКИЙ ФИЛИАЛ

Факультет управления и экономики

Кафедра высшей математики и информационных технологий

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Вычислительная математика»

на тему: «Аппроксимация функций. Выбор эмпирических формул»

Алатырь 2011

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Постановка задачи интерполяции

2.Практическая часть

2.1 Выполнение аппроксимации MathCAD

Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Введение

Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")- приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чисел или функций) через другие более простые, более удобные в пользовании или просто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяется для описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирических результатов.

Как известно, между величинами может существовать точная (функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одно определенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению аргумента соответствует приближенное значение или некоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг к другу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюдения или эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. При изучении количественных зависимостей различных показателей, значения которых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая их вариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемых объектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливается погрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнюю составляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишь минимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования и аккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательской работы возникает проблема выявления подлинного характера зависимости изучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностью вариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация - приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящим уравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденцию зависимости (или ее "тренд").

При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачи исследования. Обычно, чем более простое уравнение используется для аппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости. Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклонения конкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимости эмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большей точности, используя какое-либо более сложное, много параметрическое уравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностью передать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирических данных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данном случае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именно двухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбирая метод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, в какой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать» деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразить зависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей, замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общей закономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важных задач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значения зависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо, экстраполяции.

Глава 1. Теоретическая часть

Аппроксимировать - это означает "приближённо заменять". Допустим, известны значения некоторой функции в заданных точках. Требуется найти промежуточные значения этой функции. Это так называемая задача о восстановлении функции. Кроме того, при проведении расчетов сложные функции удобно заменять алгебраическими многочленами или другими элементарными функциями, которые достаточно просто вычисляются (задача о приближении функции).

1.1 Постановка задачи интерполяции

На интервале [a, b] заданы точки x_i, i=0, 1,..., N; a ? x _i ? b, и значения неизвестной функции в этих точках f_i, i=0, 1,...., N. Требуется найти функцию F(x), принимающую в точках x_i те же значения f_i. Точки называются узлами интерполяции, а условия F(x_i)= f_i. - условиями интерполяции. При этом F(x) ищем только на отрезке [a,b]. Если необходимо найти функцию вне отрезка, то - это задача экстраполяции. Пока мы будем рассматривать только интерполяционные задачи.

Задача имеет много решений, т.к. через заданные точки (x_i, f_i), i=0, 1,..., N, можно провести бесконечно много кривых, каждая из которых будет графиком функции, для которой выполнены все условия интерполяции. Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. .

Все методы интерполяции можно разделить на локальные и глобальные. В случае локальной интерполяции на каждом интервале [x_i-1, x_i] строится отдельный полином. В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [a, b]. При этом искомый полином называется интерполяционным полиномом.

Локальная интерполяция

Кусочно-постоянная интерполяция

На каждом отрезке интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

Для правой кусочно-линейной интерполяции , т.е.

Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной), что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление:

Кусочно-линейная интерполяция

На каждом интервале [x_i-1, x_i] функция является линейной . Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: . Получаем систему уравнений: , откуда находим . Следовательно, функцию F(z) можно записать в виде:

, т.е.

Или F(x) = k_i * (x - x_i-1) + f_i-1,

k_i = (f_i - f_i-1) / (x_i - x_i-1), x_i-1 ? x ? x_i, i=1,2,...,N-1

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно-постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно-линейной интерполяции приведена на рисунке



Пример: Заданы значений некоторой функции:

x	0	2	3	3.5
f	-1	0.2	0.5	0.8

Требуется найти значение функции при z=1 и z=3.2 по кусочно-постоянной и кусочно-линейной интерполяции.

Решение. Точка z=1 принадлежит первому локальному отрезку [0, 2], т.е. и, следовательно, по формулам левой кусочно-постоянной интерполяции F(1) = f₀ = -1, по формулам правой кусочно-постоянной интерполяции F(1)=f₁=0.2. Воспользуемся формулами кусочно-линейной интерполяции:

.

Точка z=3.2 принадлежит третьему интервалу [3, 3.5], т.е. и, следовательно, по формулам левой кусочно - постоянной интерполяции F(3.2)==0.5, по формулам правой кусочно - постоянной интерполяции F(3.2)= =0.8. Воспользуемся формулами кусочно-линейной интерполяции:

Кубический интерполяционный сплайн

Слово сплайн (английское слово "spline") означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки на плоскости. Форма этого универсального лекала на каждом отрезке описывается кубической параболой. Сплайны широко используются в инженерных приложениях, в частности, в компьютерной графике. Итак, на каждом i-м отрезке [x_i-₁, x_i], i=1, 2,…, N, решение будем искать в виде полинома третьей степени:

S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)²/2+d_i(x-x_i)³/6

Неизвестные коэффициенты a_i, b_i, c_i, d_i, i=1, 2,..., N, находим из:

* условий интерполяции: S_i(x_i)=f_i, i=1, 2,..., N; S₁(x₀)=f₀,

* непрерывности функции S_i(x_i-1)=S_i-1(x_i-₁), i=2, 3,..., N,

* непрерывности первой и второй производной:

S ^/_i(x_i-1)=S ^/_i-1(x_i-₁), S ^//_i(x_i-₁)=S ^//_i-₁(x _i-₁), i=2, 3,..., N.

Учитывая, что , для определения 4N неизвестных получаем систему 4N-2 уравнений:

a_i=f_i, i=1, 2,..., N,

b_i h_i - c_ih_i²/2 + d_i h_i³/6=f_i - f_i-₁, i=1, 2,..., N,

b_i - b_i-1 = c_i h_i - d_i h_i²/2, i=2, 3,..., N,

d_i h_i = c_i - c_i-1 , i=2, 3,..., N.

где h_i=x_i - x_i-1. Недостающие два уравнения выводятся из дополнительных условий: S ^//(a)=S ^//(b)=0. Можно показать, что при этом . Из системы можно исключить неизвестные b_i , d_i , получив систему N+1 линейных уравнений (СЛАУ) для определения коэффициентов c_i:

c₀ =0, c_N =0,

h_ic_i-₁+2(h_i+h_i+1)c_i+h _i+1c_i+1=6, i=1, 2,…, N-1. (1)

После этого вычисляются коэффициенты b_i, d_i:

, i=1, 2,..., N. (2)

В случае постоянной сетки h_i=h эта система уравнений упрощается.

Данная CЛАУ имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки.

Коэффициенты определяются из формул:

Для вычисления значения S(x) в произвольной точке отрезка z?[a, b] необходимо решить систему уравнений на коэффициенты c_i, i=1,2,…, N-1, затем найти все коэффициенты b_i, d_i. Далее, необходимо определить, на какой интервал [x_i0, x_i0-1] попадает эта точка, и, зная номер i₀, вычислить значение сплайна и его производных в точке z

S(z)=a_i0 +b_i0(z-x_i0)+c_i0(z-x_i0)²/2+d_i0(z-x _i0)³/6

S ^/(z)=b_i0+c_i0(z-x_i0)+d_i0(z-x _i0)²/2, S ^//(z)=c_i0+d_i0(z-x _i0).

Пример.

	x0,f0	x1,f1	x2,f2	x3,f3	x4,f4
х	0	ј	1/2	3/4	1
f	1	2	1	0	1

Требуется вычислить значения функции в точках 0.25 и 0.8, используя сплайн - интерполяцию.

В нашем случае: h_i=1/4, .

Выпишем систему уравнений для определения :



Рассмотрим точку 0.25, которая принадлежит первому отрезку, т.е. . Следовательно, получим,

Рассмотрим точку 0.8, которая принадлежит четвертому отрезку, т.е. .

Следовательно,

Глобальная интерполяция

В случае глобальной интерполяции отыскивается единый полином на всем интервале [a, b], т.е. строится полином, который используется для интерполяции функции f(x) на всем интервале изменения аргумента x. Будем искать интерполирующую функцию в виде полинома (многочлена) m-ой степени P_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_m x^m. Какова должна быть степень многочлена, чтобы удовлетворить всем условиям интерполяции? Допустим, что заданы две точки: (x₀, f₀) и (x₁, f₁), т.е. N=1. Через эти точки можно провести единственную прямую, т.е. интерполирующей функцией будет полином первой степени P₁(x)=a₀+a₁x. Через три точки (N=2) можно провести параболу P₂(x)=a₀+a₁x+a₂x² и т.д. Рассуждая таким способом, можно предположить, что искомый полином должен иметь степень N .

Для того, чтобы доказать это, выпишем систему уравнений на коэффициенты. Уравнения системы представляют собой условия интерполяции в при каждом x=x_i:

Данная система является линейной относительно искомых коэффициентов a₀, a₁, a₂,…, a_N. Известно, что СЛАУ имеет решение, если ее определитель отличен от нуля. Определитель данной системы

носит имя определителя Вандермонда. Из курса математического анализа известно, что он отличен от нуля, если x_k? x_m (т.е. все узлы интерполяции различные). Таким образом, доказано, что система имеет решение.

Мы показали, что для нахождения коэффициентов

a₀, a₁, a₂,…, a_N надо решить СЛАУ, что является сложной задачей. Но есть другой способ построения полинома N-й степени, который не требует решения такой системы.

Полином Лагранжа

Решение ищем в виде , где l_i(z) - базисные полиномы N-й степени, для которых выполняется условие: . Убедимся в том, что если такие полиномы построены, то L_N(x) будет удовлетворять условиям интерполяции:

.

Каким образом построить базисные полиномы? Определим

, i=0, 1,..., N.

Легко понять, что

, и т.д.

Функция l_i(z) является полиномом N-й степени от z и для нее выполняются условия "базисности":

=0, i?k;, т.е. k=1,…,i-1 или k=i+1,…,N.

.

Таким образом, нам удалось решить задачу о построении интерполирующего полинома N- й степени, и для этого не нужно решать СЛАУ. Полином Лагранжа можно записать в виде компактной формулы: . Погрешность этой формулы можно оценить, если исходная функция g(x) имеет производные до N+1 порядка:

.

Из этой формулы следует, что погрешность метода зависит от свойств функции g(x), а также от расположения узлов интерполяции и точки z. Как показывают расчетные эксперименты, полином Лагранжа имеет малую погрешность при небольших значениях N<20. При бьльших N погрешность начинает расти, что свидетельствует о том, что метод Лагранжа не сходится (т.е. его погрешность не убывает с ростом N).

Рассмотрим частные случаи. Пусть N=1, т.е. заданы значения функции только в двух точках. Тогда базовые полиномы имеют вид:

, т.е.

получаем формулы кусочно-линейной интерполяции.

Пусть N=2. Тогда:

В результате мы получили формулы так называемой квадратичной или параболической интерполяции.

Требуется найти значение функции при z=1, используя интерполяционный полином Лгранжа. Для этого случая N=3, т.е. полином Лагранжа имеет третий порядок. Вычислим значения базисных полиномов при z=1:

Подбор эмпирических формул

При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.



Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов6 подбора вида этой формулы , содержащей неизвестные параметры , и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками извесиных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. .

После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.

Метод наименьших квадратов

Пусть для исходных данных x_i, f_i, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: с неизвестными коэффициентами . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:

.

Параметры будем находить из условия минимума функции . В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).

Известно, что в точке минимума все частные производные от по равны нулю:

(1)

Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином

.

Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:

(2)

Приравнивая эти выражения нулю и собирая коэффициенты при неизвестных , получим следующую систему линейных уравнений:

Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты .

В случае полинома первого порядка m=1, т.е. , система нормальных уравнений примет вид:

При m=2 имеем:

Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.

т.е. N=6. Требуется найти эмпирические зависимости: линейную , квадратичную , гиперболическую по методу МНК и выбрать среди них наилучшую по наименьшей сумме квадратов отклонений.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости:

Учитывая, что N=6, , получим

Решая систему линейных уравнений, получим . Следовательно, линейная зависимость имеет вид: .

Вычислим сумму квадратов отклонений: .

Рассмотрим квадратичную зависимость. Система нормальных уравнений имеет вид

Найдем неподсчитанные суммы:

Решая СЛАУ, получим

Следовательно, квадратичная зависимость имеет вид: .

Вычислим сумму квадратов отклонений: .

Выпишем систему нормальных уравнений для гиперболической зависимости. Согласно МНК находим сумму квадратов отклонений:

. Составляем систему нормальных уравнений:

Или

Учитывая, что , получим

Сумма квадратов отклонений:

Из трех зависимостей выбираем наилучшую, т.е. квадратичную.

2.Практическая часть

2.1 Выполнение аппроксимации MathCAD

В MathCAD применяются 2 способа аппроксимации таблично заданной функции по МНК:

· Формируем матрицу Грама и решаем систему линейных уравнений методом Гаусса, в результате получаем вектор коэффициентов полинома C.

· Используем встроенную функцию системы linfit, возвращающую коэффициенты линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов, используя заданные базисные функции, хранящиеся в векторе-функции.

аппроксимация mathCad интерполяция сплайн



Выполнение аппроксимации в Matlab

Метод наименьших квадратов позволяет по экспериментальным данным подобрать такую аналитическую функцию, которая проходит настолько близко к экспериментальным точкам, насколько это возможно.

Идея метода наименьших квадратов заключается в том, что функцию:

Y=f(x, a0, a1 ..., ak)

необходимо подобрать таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений у_i. от расчетных Y. была наименьшей.

Пример:

x=[1 2.2 2.4 2.7 3.1 3.5 4.5 5];

y=[9.054 15.077 15.754 18.3 17.984 15.852 1.772 -13.042];

%Вычисление вектора коэффициентов полинома y=a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4

a=polyfit(x,y,3)

%Вычисление значений полиномов на интервале от 10 до 20

x1=0.9:0.5:5.1;

y1=polyval(a,x1);

%Построение графика полинома и экспериментальных точек в одной

%графической области

plot(x1,y1,'-k',x,y,'ok')

grid %Сетка

Результат:

a =

-1.3534 7.2257 -6.9270 10.0393

Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel.

Функция y=f(x) задана таблицей 1

Таблица 1

Исходные данные.

12.85	154.77	9.65	81.43	7.74	55.86	5.02	24.98	1.86	3.91
12.32	145.59	9.63	80.97	7.32	47.63	4.65	22.87	1.76	3.22
11.43	108.37	9.22	79.04	7.08	48.03	4.53	20.32	1.11	1.22
10.59	100.76	8.44	61.76	6.87	36.85	3.24	9.06	0.99	1.10
10.21	98.32	8.07	60.54	5.23	25.65	2.55	6.23	0.72	0.53

Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей 1.

Решение.

Поскольку в данном примере каждая пара значений встречается один раз, то между и существует функциональная зависимость.

Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel.

Таблица 2

Расчет сумм.

Поясним как таблица 2 составляется.

Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения .

Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения .

Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.

Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.

Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.

Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.

Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).

Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.

Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).

Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .

Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).

Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).

Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).

Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).

Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).

Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).

Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).

Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).

Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).

Аппроксимируем функцию линейной функцией . Для определения коэффициентов и воспользуемся системой

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27 и D27, запишем систему в виде

решив которую, получим и .

Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид .

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.

Результаты представлены в таблице 3.

Таблица 3

Результаты коэффициентов линейной аппроксимации.

В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.

В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.

Далее аппроксимируем функцию квадратичной функцией . Для определения коэффициентов , и воспользуемся системой

Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему в виде

решив которую, получим , и .

Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 4.

Таблица 4

Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации.

В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.

В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.

Теперь аппроксимируем функцию экспоненциальной функцией . Для определения коэффициентов и прологарифмируем значения и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27 получим систему

где .

Решив систему, найдем , .

После потенцирования получим .

Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид

.

Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты представлены в таблице 5.

Таблица 5

Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации.

В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.

В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.

В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).

Вычислим среднее арифметическое и по формулам:

Результаты расчета и средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.

Таблица 6

Вычисление средних значений X и Y.

В ячейке F49 записана формула =A26/25.

В ячейке F50 записана формула =B26/25.

Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7, которая является продолжением таблицы 2.

Таблица 7

Вычисление остаточных сумм.

Поясним как таблица 7 составляется.

Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).

Далее делаем следующие шаги.

Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).

Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.

Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.

Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.

Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.

Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.

Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.

Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.

Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу

=($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.

Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.

Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу

=($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.

Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.

Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования .

Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).

Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).

Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).

Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).

Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).

Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).

Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле

(только для линейной аппроксимации) и коэффициента детерминированности по формуле . Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.

Таблица 8

Результаты расчета.

В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).

В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.

В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.

В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.

Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные.

Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН.

Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше примере.

Исследуем характер зависимости в три этапа:

Построим график зависимости.

Построим линию тренда (, , ).

Рис.4.1. График зависимости y от

Рис.4.2. График линейной аппроксимации

Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.

Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации.

Программа на языке Pascal.

Часто многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять аппроксимацию. Для это разрабатываются программы на процедурных языках, например Pascal.

Текст программы:

program Kramer;

uses CRT;

const

n=25;

type

TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;

TArray = array[1..n] of real;

var

SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;

OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;

a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;

Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;

Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;

i:byte;

const

ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) , (154.77

145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));

begin

ClrScr;

SumX:=0.0;

SumY:=0.0;

SumXY:=0.0;

SumX2:=0.0;

SumX3:=0.0;

SumX4:=0.0;

SumX2Y:=0.0;

SumLnY:=0.0;

SumXLnY:=0.0;

{ Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }

for i:=1 to n do

begin

SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];

SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];

SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];

SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);

SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];

SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);

SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];

SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);

SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])

end;

{ Вычисление коэффициентов }

OPRlin:=0.0;

a1lin:=0.0;

a2lin:=0.0;

a1kvadr:=0.0;

OPRkvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a2kvadr:=0.0;

a1exp:=0.0;

a2exp:=0.0;

OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;

a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;

a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;

OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;

a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3- SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;

a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;

a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;

a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;

cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;

a1exp:=exp(cexp);

{ Вычисление средних арифметических x и y }

Xsr:=SumX/n;

Ysr:=SumY/n;

S1:=0.0;

S2:=0.0;

S3:=0.0;

Slin:=0.0;

Skvadr:=0.0;

Sexp:=0.0;

Kkor:=0.0;

KdetLin:=0.0;

KdetKvadr:=0.0;

KdetExp:=0.0;

for i:=1 to n do

begin

S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr);

S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr);

S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr);

Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);

Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]);

end;

{ Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности }

Kkor:=S1/sqrt(S2*S3);

KdetLin:=1-Slin/S3;

KdetKvadr:=1-Skvadr/S3;

KdetExp:=1-Sexp/S3;

{ Вывод результатов }

WriteLn('Линейная функция');

WriteLn('a1=',a1lin:8:5);

WriteLn('a2=',a2lin:8:5);

WriteLn('Квадратичная функция');

WriteLn('a1=',a1kvadr:8:5);

WriteLn('a2=',a2kvadr:8:5);

WriteLn('a3=',a3kvadr:8:5);

WriteLn('Экспоненциальная функция');

WriteLn('a1=',a1exp:8:5);

WriteLn('a2=',a2exp:8:5);

WriteLn('c=',cexp:8:5);

WriteLn('Xcp=',Xsr:8:5);

WriteLn('Ycp=',Ysr:8:5);

WriteLn('Коэффициент корреляции ',Kkor:8:5);

WriteLn('Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) ',KdetLin:2:5);

WriteLn('Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) ',KdetKvadr:2:5);

WriteLn('Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) ',KdetExp:2:5);

end.

Результаты расчета Pascal.

Коэффициенты линейной функции

a1=-24.73516

a2=11.63471

Коэффициенты квадратичной функции

a1= 1.59678

a2=-0.62145

a3= 0.95543

Коэффициенты экспоненциальной функции

a1= 1.65885

a2= 0.40987

c= 0.50613

Xcp= 6.52320

Ycp=51.16040

Коэффициент корреляции 0.96196

Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537

Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409

Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691

Результаты выполнения программы:

Заключение

Сделаем заключение по результатам полученных данных:

1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация наилучшим образом описывает экспериментальные данные т.к. согласно таблице 8 коэффициент корреляции - 0,9620; Коэффициенты детерминированности линейной аппроксимации - 0,9253; квадратической аппроксимации - 0,994; экспоненциальной аппроксимация - 0,0269.

2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что они полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то, что вычисления верны.

3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.

4. Результаты полученные с помощью программы на языке PASCAL и Delphi полностью совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.

Список литературы

Ахметов К.С. Windows 95 для всех. - М.:ТОО "КомпьютерПресс", 1995.

Вычислительная техника и программирование. Под ред. А.В. Петрова. М.: Высшая школа, 1991.

Гончаров A., Excel 97 в примерах. -- СПб: Питер, 1997.

Левин А., Самоучитель работы на компьютере. - М.: Международное агентство А.Д.Т., 1996

Информатика: Методические указания к курсовой работе. Санкт-Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб, 1999

Размещено на Allbest.ru